Hướng dẫn giải dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.56 MB, 22 trang )
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG TOÁN: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT.
Bài 1. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.
Hướng dẫn giải:
Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x.
Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2. Vậy Min S = 2 ⇔ x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x
+ y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ 2.
⇒ Min S = 2 khi x = y = 1.
Bài 2: Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Hướng dẫn giải:
Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b)
⇔ 122 ≥ 60P ⇔ P ≤
⇒ Max P =
.
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 ⇔ a = 2 ; b = 6/5.
Bài 3. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
Hướng dẫn giải:
Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = a3 + 1 – 3a + 3a2 – a3 = 1 – 3a + 3a2 = 3a2 –
3a + 1 = 3a2 – 3a + ¾ + ¼ = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ .
Dấu “=” xảy ra khi a = ½ . Vậy Min M = ¼ ⇔ a = b = ½ .
Bài 4. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
Hướng dẫn giải: Đặt a = 1 + x
⇒ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra: b ≤ 1 – x.
Ta lại có a = 1 + x, nên: a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
Bài 5. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt
giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn giải:
2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998.
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời :
1
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Vậy min M = 1998 ⇔ a = b = 1.
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Hướng dẫn giải:
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0
và 2x + xy = 4.
Hướng dẫn giải:
Bất đẳng thức Cauchy
viết lại dưới dạng
(*) (a, b ≥ 0).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được:
Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2.
⇒ max A = 2 ⇔ x = 2, y = 2.
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
.
Hướng dẫn giải:
Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , suy ra A > 0
do đó : A lớn nhất ⇔
Vậy max A =
nhỏ nhất ⇔ x2 – 6x + 17 nhỏ nhất.
⇔ x = 3.
với x, y, z > 0.
Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Hướng dẫn giải:
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :
Do đó
Cách 2 : Giả sử x ≥ y ≥ z.
2
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Ta có :
. Ta đã có
(do x, y > 0) nên để
chứng minh
ta chỉ cần chứng minh :
(1)
2
(1) ⇔ xy + z – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
2
⇔ xy + z – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm
được giá trị nhỏ nhất của
.
Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Hướng dẫn giải:
Ta có x + y = 4 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16.
Ta lại có (x – y)2 ≥ 0 ⇒ x2 – 2xy + y2 ≥ 0.
Từ đó suy ra 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ 8.
Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất của:
A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1 = x + y + z ≥ 3.
(1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm):
2 ≥ 9.
⇒
(2)
⇒ A≤
max A =
khi và chỉ khi x = y = z =
.
Bài 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
.
Hướng dẫn giải:
Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3 (lập bảng xét dấu)
Vậy min M = 5 ⇔ -2 ≤ x ≤ 3.
Bài 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Điều kiện tồn tại của
là x ≥ 0. Do đó : A =
.
+x≥0
3
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
⇒ min A = 0 ⇔ x = 0.
Bài 14. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Hướng dẫn giải:
= y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x ⇒ x = 3 – y2.
Điều kiện : x ≤ 3. Đặt
B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 +
≤
. max B =
⇔ y=½ ⇔ x=
Bài 15. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :
.
Hướng dẫn giải:
A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ .
Từ đó suy ra : min A = ¾ ⇔ x = ½ hoặc x = 1/6
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
.
P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 ⇔
.
Bài 17. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
Hướng dẫn giải:
Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 ⇔ (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0.
Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 ⇔ (A – 1)(A – 3) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ A ≤ 3.
min A = 1 ⇔ x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 ⇔ x = 0, khi đó y = ±
.
Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của :
A = | x | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
Hướng dẫn giải:
a) Tìm giá trị lớn nhất. Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |.
A≤|x|+
+|y|+1=6+
⇒ max A = 6 +
(khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b .
A≥|x|-
|y|-1=4-
⇒ min A = 4 -
(khi chẳng hạn x = 2, y = 3)
Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
Hướng dẫn giải:
Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2.
4
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Suy ra :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được : Nếu a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 ≥
Do đó từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥
Từ (1) , (2) : min A =
.
(2).
⇔ x=y=z=
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của :
Hướng dẫn giải:
.
⇔ x=±1;
Xét A2 để suy ra : 2 ≤ A2 ≤ 4. Vậy : min A =
max A = 2 ⇔ x = 0.
Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất của :
Hướng dẫn giải:
với a, b > 0 và a + b ≤ 1.
Ta có :
.
.
Bài 22.. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Hướng dẫn giải:
Để tồn tại
.
≥ 0. min A = 0 ⇔ x = 0.
phải có x ≥ 0. Do đó A = x +
Bài 24. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Hướng dẫn giải:
.
Ta có
.
Theo bất đẳng thức Cauchy :
min A =
nên A ≥ 2
khi và chi khi
+a+b=
.
.
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
Hướng dẫn giải:
Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2. Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
5
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
(am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2)
(1)
Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :
A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2).
Với cách trên ta không chỉ ra được hằng số α mà A2 ≤ α.
Bây giờ, ta viết A2 dưới dạng :
A2 =
rồi áp dụng (1) ta có :
Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ 5. min A = -5 ⇔
max A = 5 ⇔
Bài 26. Tìm giá trị lớn nhất của A = x +
Hướng dẫn giải:
.
= y ≥ 0, ta có : y2 = 2 – x.
Điều kiện x ≤ 2. Đặt
Bài 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải:
Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | . min A = 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2 .
Bài 28. Tìm GTNN, GTLN của
Hướng dẫn giải:
Xét A2 = 2 + 2
. Do 0 ≤
⇒ 2 ≤ A2 ≤ 4. min A =
.
≤1 ⇒ 2≤2+2
≤4
với x = ± 1 , max A = 2 với x = 0.
Bài 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức :
(bài 23)
.
6
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải:
.
(1)
Tập xác định :
Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9.
Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0.
Xét :
.
2
Hiển nhiên A ≥ 0 nhưng dấu “ = ” không xảy ra (vì A > 0).
Ta biến đổi A2 dưới dạng khác :
A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2
=
= (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - 2
= (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - 2
+3
=
.
= > A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A =
Bài 31.
với x = 0
Tìm GTNN, GTLN của :
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện : x2 ≤ 5.
* Tìm giá trị lớn nhất : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
A2 = (2x + 1.
)2 ≤ (22 + 11)(x2 + 5 – x2) = 25 ⇒ A2 ≤ 25.
.
Với x = 2 thì A = 5. Vậy max A = 5 với x = 2.
* Tìm giá trị nhỏ nhất :
Chú ý rằng tuy từ A2 ≤ 25, ta có – 5 ≤ x ≤ 5, nhưng không xảy ra
A2 = - 5. Do tập xác định của A, ta có x2 ≤ 5 ⇒ Do đó : 2x ≥ - 2
và
≤x≤
.
≥ 0.
Suy ra : A = 2x +
≥-2
. Min A = - 2
với x = b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacôpxki và Cauchy:
7
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
=>
.
Do đó: - 1000 < A < 1000.
Vậy
min A = - 1000 với x = - 10; max A = 1000 với x = 10.
Bài 32. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn
(a và b là hằng số dương).
Hướng dẫn giải:
Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =
.
Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương :
Do đó
.
.
với
Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
.
Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 33. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 và xyz(x + y + z) = 1.
Hướng dẫn giải:
A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz
Vậy: min A = 2 khi chẳng hạn y = z = 1 , x =
- 1.
8
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Bài 34. Tìm GTNN của
Hướng dẫn giải:
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
.
Theo bất đẳng thức Cauchy :
. Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
Tương tự :
min A = 1 với x = y = z =
.
Bài 35. Tìm GTNN của
Biết x, y, z > 0 và
Hướng dẫn giải:
.
Trước hết ta chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
, với a, b, c > 0.
.
Tương tự :
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức:
.
Theo kết quả chứng minh trên thì:
Theo bất đẳng thức Cauchy :
.
.
Vậy min A =
.
Bài 36. Tìm giá trị lớn nhất của:
a)
với a, b > 0 , a + b ≤ 1
9
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
b)
với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
Hướng dẫn giải:
a)
.
b) Ta có :
Tương tự :
Suy ra : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd)
= 6(a + b + c + d)2 ≤ 6
Vậy
Bài 37. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy min A = 18 với x = y = 2.
.
, với b + c ≥ a + d ; b, c > 0; a, d ≥ 0.
Bài 38. Tìm GTNN của
Hướng dẫn giải:
Không mất tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d.
Từ giả thiết suy ra :
.
Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có :
10
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Vậy:
;
Chẳng hạn khi
Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất của
Hướng dẫn giải:
, biết x + y = 4.
(*) (a + b ≥ 0)
*Trước hết ta chứng minh :
Áp dụng (*) ta có :
* Có thể tính S2 rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy.
Bài 40. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
Hướng dẫn giải:
Ta phải có | A | ≤
.
. Dễ thấy A > 0.
Ta xét biểu thức:
. Ta có :
.
.
Vậy
Khi đó
⇔
.
Khi đó min A =
Bài 41. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải:
với 0 < x < 1.
Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức :
Khi đó :
.
11
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ⇔ | x
=1–x ⇔
| = | 1 – x |. Do 0 < x < 1 nên x
⇔
x=
.
⇔ x=
Như vậy min B = 2
- 1.
Bây giờ ta xét hiệu :
Do đó min A = 2
+ 3 khi và chỉ khi x =
Bài 42. Tìm GTLN của :
- 1.
biết x + y = 4 ;
b)
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2.
Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng:
.
Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:
Vậy:
Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.
b) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2.
Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích:
Ta xem biểu thức
là các tích:
Theo bất đẳng thức Cauchy :
12
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Vậy
Bài 43. Tìm GTNN, GTLN của :
Hướng dẫn giải:
a) min A = 5 - 2
.
với x = 0. max A =
b) min B = 0 với x = 1 ±
với x = ±
với x = 1
. max B =
Bài 44. Tìm giá trị lớn nhất của
Hướng dẫn giải:
.
.
Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì
.
Vậy
Bài 45. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
Hướng dẫn giải:
A = | x – y | ≥ 0, do đó A lớn nhất khi và chi khi A2 lớn nhất.
Theo bđt Bunhiacôpxki :
Vậy:
hoặc
Bài 46. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
Hướng dẫn giải:
a) T
ìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết :
13
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 ⇒ x + y ≤
.
Do đó :
.
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
= (x2 + y2) = 1.
Vậy:
Bài 47. Tìm GTNN, GTLN của
Hướng dẫn giải:
.
biết
Đặt
, ta có a, b ≥ 0, a + b = 1.
A = a + b = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab.
Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 ⇔ a = 0 hoặc b = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1, y = 0.
3
3
Ta có
Bài 48. Tìm giá trị lớn nhất của A = x2(3 – x) với x ≥ 0.
Hướng dẫn giải:
a) Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4.
.
.(3 – x).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm
Ta được : . .(3 – x) ≤
b) Xét x > 3, khi đó A ≤ 0 (2).
,
, (3 – x)
. Do đó A ≤ 4 (1)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận :
.
14
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Bài 49. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải:
.
. min A = 2 với x = 0.
Cách 1 :
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
. Vậy min A = 2 với x = 0.
Bài 50. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2(2 – x) biết x ≤ 4.
Hướng dẫn giải:
Với x < 2 thì A ≥ 0 (1). Với 2 ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
- A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32. min A = - 32 với x = 4.
Bài 51. Tìm giá trị lớn nhất của
Hướng dẫn giải: Điều kiện : x2 ≤ 9.
Vậy: max A =
với x = ±
.
.
Bài 52. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x(x2 – 6) biết 0 ≤ x ≤ 3.
Hướng dẫn giải:
a) Tìm giá trị lớn nhất :
Cách 1 : Với 0 ≤ x <
thì A = x(x2 – 6) ≤ 0.
. Ta có
≤ x ≤ 3 ⇒ 6 ≤ x2 ≤ 9 ⇒ 0 ≤ x2 – 6 ≤ 3.
Với x ≥
Suy ra x(x2 – 6) ≤ 9. max A = 9 với x = 3.
Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x. Ta có x ≥ 0, x2 – 9 ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9.
max A = 9 với x = 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất :
Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2
)3 – 6x – (2
= (x + 2
)(x2 - 2
x + 8) – 6x - 16
= (x + 2
)(x2 - 2
x + 2) + (x + 2
)3
).6 – 6x - 16
15
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
. Vậy min A = - 4
= (x + 2
)(x )2 - 4
≥ -4
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số không âm :
x3 + 2
+2
Suy ra x3 – 6x ≥ - 4
≥ 3.
với x =
.
= 6x.
. min A = - 4
với x =
.
Bài 53. Một miếng bìa hình vuông có cạnh 3 dm. Ở mỗi góc của hình vuông lớn, người
ta cắt đi một hình vuông nhỏ rồi gấp bìa để được một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp.
Tính cạnh hình vuông nhỏ để thể tích của hộp là lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Gọi x là cạnh của hình vuông nhỏ, V là thể tích của hình
hộp.
Cần tìm giá trị lớn nhất của V = x(3 – 2x)2.
Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤
= 8
max V = 2 ⇔ 4x = 3 – 2x ⇔ x =
Thể tích lớn nhất của hình hộp là 2 dm3 khi cạnh hình vuông
nhỏ bằng
dm.
Bài 54. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Hướng dẫn giải:
Do A là tổng của hai biểu thức dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
=
.
Đẳng thức xảy ra khi :
.
Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy ra khi x = 0. Vậy : min A = 2 ⇔ x = 0.
Bài 55. Tìm GTNN của biểu thức :
Hướng dẫn giải:
Đưa biểu thức về dạng :
Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B |
.
.
16
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Vậy: min A = 2 ⇔ -1 ≤ x ≤ 0.
Bài 56. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Hướng dẫn giải:
(a < b)
Ta có :
=|x–a|+|x–b|≥|x–a+b–x|=b–a
(a < b). Dấu đẳng thức xảy ra khi (x – a)(x – b) ≥ 0 ⇔ a ≤ x ≤ b.
Vậy min P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b.
Bài 57. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
Hướng dẫn giải:
Áp dụng BĐT côsi ta có
(Vì x + y + z =1)
Chứng minh tương tự:
Mà
; Do đó A
Vậy GTLN của A =
khi x = y = z =
Bài 58: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: A =
Hướng dẫn giải: Áp dụng BĐT côsi ta có
17
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
(Vì x + y + z =1). Chứng minh tương tự:
Mà
Vậy GTLN của A =
. Do đó A
;
khi x = y = z =
Bài 59: C
ho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
Hướng dẫn giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b + c) và d ta có:
1 = (a + b + c) + d 2.
1 = a + b + c + d 4(a + b + c).d
1.(a + b + c) 4(a + b + c)(a + b + c).d => a + b + c 4(a + b + c)2.d 0 (1)
Lại áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm (a + b) và c ta có:
(a + b) + c 2.
(a+b+c)2 4 (a+b).c > 0 (2)
Vì (1) và (2 ) cùng chiều và cùng dương nên thay (2) vào (1) ta được:
a + b + c 4 (a + b + c)2.d
16 (a + b).c.d
Ta có A =
=
(3) (Vì (a+b)2 4ab.
Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a + b + c + d = 1
Suy ra:
.
Vậy A nhỏ nhất bằng 64 khi
Bài 60. Cho x, y là các số dương thỏa mãn
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải: - Ta có:
18
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
- Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được
;
- Vì
nên
- Dấu "=" xảy ra khi
- A đạt giá trị nhỏ nhất là
Bài 61. Cho
khi
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Do
, đặt
với
x = 1 + a – 3y,
thay vào biểu thức C:
.
khi:
Bài 62. T
ìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
ĐK: x≠0, y≠0
19
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:
;
=>
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 5/2 khi x2 = y2 = 1
Bài 63. V
ới x, y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải: Ta chứng minh hai bất đẳng thức:
(1);
Thật vậy BĐT (1)
(2)
(đúng với mọi x, y)
BĐT (2)
Do
Nên
Suy ra BĐT (2) luôn đúng.
Từ (1) và (2) ta được
Vậy min P = 1 khi x = y.
; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Bài 64. Cho a, b, c > 0 và
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
20
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Bài 65. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
Hướng dẫn giải:
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
Bài 66. Cho hai số a, b thỏa mãn:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
Hướng dẫn giải:
Bài 67. Cho x; y là các số thực dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Đặt
Có
Bài 68. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hướng dẫn giải:
Dấu bằng xảy ra khi
.Vậy Min B là 43 khi
21
/>
Hướng dẫn giải dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Bài 69. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
Hướng dẫn giải:
có =khi y=2x;
khi z=4x;
khi z = 2y
=>P 49/16
Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7
Bài 70. Cho a, b, c> 0 và
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn giải:
Tương tự :
Do đó:
---------------************------------------
22
/>
