Chuyên đề lũy thừa, mũ và logarit

Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

GIẢI TÍCH 12

HÀM SỐ
LŨY THỪA
MŨ VÀ LƠGARIT
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT



LỜI NĨI ĐẦU
Q đọc giả, q thầy cơ và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên
soạn cuốn tài liệu TRỌNG TÂM GIẢI TÍCH 12.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về mơn Tốn đã được Bộ Giáo dục và
Đào tạo quy định.
Bài tập Giải tích 12 gồm 2 phần
Phần 1. Phần tự luận
Ở phần này tơi trình bày đầy đủ lí thuyết và bài tập có hướng dẫn
giải ở từng bài học. Với mong muốn mong các em nắm được
phương pháp giải bài tập trước khi chuyển sang giải Tốn trắc
nghiệm.
Phần 2. Phần trắc nghiệm có đáp án
Ở phần này tơi trình bày tóm tắt các lý thuyết cần nắm, kĩ năng
làm bài trắc nghiệm, hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay cần
thiết trong q trình làm bài trắc nghiệm.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ cịn có những khiếm khuyết. Rất
mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các

em học sinh để lần sau cuốn bài tập hồn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 0939 98 99 66 – 0916 620 899
Email:
Chân thành cảm ơn.

Lư Sĩ Pháp
GV_ Trường THPT Tuy Phong


MỤC LỤC
Phần 1. Hàm số Lũy Thừa – Mũ – Lôgarit
Bài 1. Lũy Thừa.................................................................................. 01 – 08
Bài 2. Hàm Số Lũy Thừa ................................................................... 09 – 13
Bài 3. Lôgarit ...................................................................................... 14 – 24
Bài 4. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lôgarit .............................................. 25 – 34
Ôn Tập Hàm Số Lũy Thừa – Mũ – Lơgarit .................................... 35 – 41

Phần 2. Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lơgarit
Bài 1. Phương Trình Mũ ................................................................... 42 – 52
Bài 2. Phương Trình Lơgarit ............................................................ 53 – 64
Bài 3. Hệ Phương Trình Mũ – Lôgarit ............................................ 65 – 71
Bài 4. Bất Phương Trình Mũ ............................................................ 72 – 77
Bài 5. Hệ Phương Trình Lơgarit ...................................................... 78 – 83
Ơn tập Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lơgarit ....................................................................................... 84 – 98

TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG II
Bài 1. Lũy thừa – Hàm số lũy thừa .................................................. 99 – 104
Bài 2. Lôgarit ..................................................................................... 105 – 108

Bài 3. Hàm Số Mũ – Hàm Số Lơgarit .............................................. 109 – 119
Bài 4. Phương Trình – Hệ Phương Trình – Bất Phương Trình
Mũ – Lơgarit ....................................................................................... 120 – 126
Ôn tập chương II ................................................................................ 127 – 153
Một số câu trong kì thi THPT .......................................................... 154 – 169
Đáp án ................................................................................................. 170 – 175


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG II
PHẦN I
HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT
---o0o---

§1. LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Cho a ∈ ℝ, n ∈ ℕ* . Khi đó: a n = a.a...a .
n thừa số
n

Trong biểu thức: a , ta gọi a là cơ số, n là số mũ
2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0
1
Cho a ≠ 0, n ∈ ℕ* , quy ước: a − n = , a 0 = 1

a
Chú ý:
0 0 và 0 − n không có nghĩa
Người ta thường dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những
số rất bé. Chẳng hạn: Khối lượng của Trái Đất là 5,97.1024 kg ; khối lượng nguyên tử của hiđrô là
1,66.10 −24 kg .
3. Căn bậc n
a) Khái niệm
Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n = b

Khi n lẻ và b ∈ ℝ : Tồn tại duy nhất căn bậc n của b , kí hiệu
Khi n chẵn:
b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b
b = 0 : Có một căn bậc n của b , kí hiệu

n

n

b

0=0

b > 0 : Có hai căn bậc n của b trái dấu, kí hiệu giá trị dương là
b) Tính chất của căn bậc n
Với hai số khơng âm a, b , hai số nguyên dương m, n , ta có:

a . n b = n a.b

.

n

a = m .n a

.

n

.

n

.

m n

a na
=
,( b > 0)
b nb
a, khi n lẻ
an = 
 a , khi n chẵn

.

n

b , còn giá trị âm là − n b

( )
n

a

m

= n am

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a > 0 và số hữu tỉ r =

m
, trong đó m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 .
n
m
n

Lũy thừa của a với số mũ r là số a xác định bởi: a = a = n a m
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Giả sử a là một số dương, α là một số vô tỉ và ( rn ) là một dãy số hữu tỉ sao cho lim rn = α .
r

r

n →+∞

α

Khi đó: a = lim a

rn

n →+∞

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

1

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Tốn 12

GV. Lư Sĩ Pháp

II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Cho a, b là những số thực dương; α , β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα
2) β = aα − β
a

1) a .a = a
α

β

( )

3) aα

α +β

β

4) ( a.b ) = aα .bα
α

= aα .β

α

a
aα
5)   = α
b
b
7) Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β

6) aα > 0

8) Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β

B. BÀI TẬP

D

ẠNG 1.

Tính các giá trị của một biểu thức.
Rút gọn biểu thức.
Bài 1.1. Tính các biểu thức sau:
2

2

2

2

3

a) A = 9 5 .27 5

−0,75

3

5
−
 1
2
c) C =  
+ 0,25
 16 
HD Giải

b) B = 144 4 : 9 4

2
5

2
3 5

4

( ) .(3 )

a) A = 9 5 .27 5 = 32
3

3

3

6

4 6
+
5

= 3 5 .3 5 = 3 5

3

3

3

d) D = ( 0, 04 )

−1,5

− ( 0,125)

−

2
3

= 32 = 9

3

b) B = 144 4 : 9 4 = 12 2 : 3 2 = 4 2 .3 2 : 3 2 = 23 = 8
 1
c) C =  
 16 

−0,75

−

+ 0,25

5
2

3

5

= 16 4 + 4 2 = 23 + 25 = 40

 1 
d) D = ( 0, 04 ) − ( 0,125 ) =  
 25 
Bài 1.2. Tính các biểu thức sau:
−1,5

−

1
a) A =  
3

−10

2
3

.27 + ( 0,2 )
−3

(

c) C = 251+

2

− 52

2

)

−4

.5−1−2

3
2

−

1
− 
8

−

2
3

= 53 − 22 = 121

1
.25 + 128 .  

2
−2

−9

b) B = 43+ 2 .21− 2 .2 −4 −

−1

2

d) D =

6 3+

2

5

22+ 5 .31+

5

HD Giải
1
a) A =  
3

−10

−9

−4
1
1
1
1
1 9
.27−3 + ( 0,2 ) .25−2 + 128−1.   = 310. 3 +
. 2+
.2 = 3 + 1 + 4 = 8
4
27 0,2 25 128
2

b) B = 43+ 2 .21− 2 .2 −4−

(

c) C = 251+
d) D =

2

63+

− 52
5

2

=

2

) .5

= 26 + 2
−1− 2 2

23+ 5 .33+

2 +1− 2 − 4 − 2

(

= 52+ 2
5

= 23+

2

− 52

5 − 2− 5

2 .3
2 .3
Bài 1.3. Tính các biểu thức sau:

2+ 5

1+ 5

a) A = 81

−0,75

2+ 5

1+ 5

 1 
+

 125 

−

1
3

= 23 = 8

 1 
− 
 32 

−

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

3
5

2

) .5

.33+

−1− 2 2

= 52+ 2

5 −1− 5

= 2.32 = 18

1

2 −1− 2 2

− 52

2 −1− 2 2

2

b) B = 0, 001 3 − ( −2 ) .64 3 − 8

−

2

−2

= 5 − 5− 1 =

−1

1
3

( )

+ 90

24
5

2

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp
2
3

 1
c) C = 27 +  
 16 

−0,75

− 25

 1
−2 
 4

d) D = ( −0,5) − 625
−4

0,5

0,25

−1

1
2

+ 19 ( −3 )

−3

HD Giải

−

−0,75

a) A = 81

1
3

 1 
 1 
+
 − 
 125 
 32 
1

2

−

b) B = 0, 001 3 − ( −2 ) .64 3 − 8
−

−2

2
3

 1 

c) C = 27 +  
 16 

−0,75

− 25

0,5

3
5

−1

( )

= ( 3)
1
3

4

−

3
4

  1 3 
+   
 5  




( ) (

+ 90

2

= 10−3

( ) ( )

= ( 3)

 1
d) D = ( −0,5) − 6250,25 −  2 
 4
−4

−1

1
2

2
3 3

+ (2)

−4

−

)

3
4

−

1
3

−

2
3

3
5

−

= ( 3)

( ) ( )

( )

− 52

(

  1 5 

−   
 2  



− 2 −2 2 6

+ 19 ( −3 ) = ( −2 )
−3

1
3

−1

1
2

)

− 23

−

4
3

−3

−1

−3

1
1
80
+  −  = −
27
 5
2

+ 1 = 10 − 22 − 2−4 + 1 =

111
16

= 32 + 23 − 5 = 12
−4

  3 2 
−  
 2  



1
4 4

( )

− 5

−

3
2

−

19
27

−3

3
19
8 19
= 2 −5−  −
= 11 − −
= 10
27
27 27
2
4

Bài 1.4. Tính các biểu thức sau:
b) B = 3 3 3

a) A = 5 4. 5 −8

c) C = 4 5

1
16

d) D =

3

729

HD Giải
a) A = 5 4. 5 −8 = 5 −32 =

5

( −2 )

5

b) B = 3 3 3 =

= −2

3

( 3)

3

= 3

1 4 81 4 81 3
=
=
=
d) D = 3 729 = 6 729 = 3
4
16
16
16 2
Bài 1.5. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

c) C = 4 5

a) A =

a

(

a

7 +1

.a

2 −2

(
b) B =

2− 7

)

2 +2

a

a

3 −1

5 −3

)

(
c) C =

3 +1

.a 4−

5

4

)

a3 b 2

3

12

a b

4

1

d) D =

6

7

a3 − a 3
1
3

a −a

4
3

−

a

−
2

1
3

5

− a3

a3 + a

−

HD Giải
a) A =

a

7 +1

.a

2− 7

(a )
2 −2

(
c) C =

3

4

a3 b 2

2 +2

)

a

7 +1+ 2 − 7

(a )
b) B =

a
=
= −2 = a 5
2

2
2
2
−
+
( )( ) a
a

a

4

1

3 2

ab

3 2

ab
=
= 2 = ab
6 12 6
ab
a b
a12 b6

3 +1

3 −1

3

d) D =

(

a 3 1 − a2
1
3

5 −3

.a 4−
1
3

5

=

a

(

a

a (1 − a )

−

a

(
(

3

)

3 +1

5 −3+ 4 − 5

=

) − (1 − a ) = 1 + a
a

−

1
3

2

( a + 1)

Bài 1.6. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

4
2
 − 13

1
3
a  a + a 3 
b 5 5 b 4 − 5 b −1

a) A = 1  3
b) B = 2
1

− 
b 3 3 b − 3 b −2
a 4  a 4 + a 4 



Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

)(

3 −1

(

a2
=a
a

) − (1 − a ) = 2a

)
)

SyPhap 0939989966 – 0916620899

1
3


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp
1

a3b

c) C =

3

−

1
3

−

1

1

1

− a 3b3

d) D =

a2 − 3 b2

1

a3 a + b3 b
6

a+6b

HD Giải
2
 − 13

4 1
4 2
a  a + a 3 
−
+
3 3
3 3

a
+
a
a + a2


a) A = 1 3
=
=
= a, ( a ≠ −1)
1 3
1 1
1
+
−
a
+
1

− 
a 4  a 4 + a 4  a 4 4 + a 4 4


1
1
 45
− 
1
5
5

1 4
1 1
5
5
b
b
−
b
−
4
1


+
−
b5 b − b

b5 5 − b5 5 b −1


b) B = 2
= 2 1
= 2 1
=
= 1,(b ≠ 1)
2 2
2
+
−
b −1

 3
− 
3 −2
3 3
3 3
3 3
3
3
b
b− b
b  b − b  b − b


1
1
2
2

−
− 
1
1
1 1
a 3 b 3  a 3 − b 3 
−
−
1
1
a3b 3 − a 3b3


 = a− 3 b− 3 = 1 , a ≠ b
c) C =
=
( )
2
2
3
3 2
ab
a − 3 b2
3
3
a −b
1
1
1
 1

1
1
a 3 .b 3  a 6 + b 6 
1
1
a3 b + b3 a

 = a 3 .b 3 = 3 ab
=
d) D =
1
1

6
a+6b
a6 + b6
Bài 1.7. Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
4
3

)
)

(
(

1


b b   12
a) A =  1 − 2
+  :  a − b 2 

a a  


1
3


c) C =  a + b


1
3

2

1
4

9
4

1
4

5
4

a −a

b) B =

a −a

 
a
b
 :  2 + 3 + 3 
b
a
 

d) D =

(

3

−

b

−

1
2

−b

1
2

−

3
2
1
2

b +b
2

 2

a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab 



)

HD Giải
2

2

1

 
b b   12
b
a) A =  1 − 2
+  :  a − b 2  =  1 −
 :




a
a
a








b) B =

1
4

9
4

1
4

5
4

a −a
a −a

−

b

−
1
2

1
2

−b

b +b

−

3
2
1
2

1
4

=

(

a 1− a
1
4

2

(

1

2

a− b

) − b (1 − b ) = 1 + a

a (1 − a )

−

b

−

1

1
2

2

( b + 1)
1

(

1
 1
 
a

b
a3 + b3
=
c) C =  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3  =

 2 3 ab + 3 a + 3 b
b
a

 

3
ab

(

)

2

 a− b
=
 :


a



2

(

3

(

)

3

a+3b

)

ab
2

=

3

)

a− b

)

2

=

1
a

) − (1 − b ) = a + b

a+3a
3

(

3
3

ab

a+3b
3

2
1
1 1
2
 2
  1
 2
  1  1
d) D = a + b  a 3 + b 3 − 3 ab  =  a 3 + b 3  a 3 − a 3 b 3 + b 3  =  a 3  +  b 3  = a + b


 

    

 

    
ạng 2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
So sánh giá trị của biểu thức
Chú ý: Nếu a > 1 thì α < β ⇔ aα < a β
3

3

D

Nếu 0 < a < 1 thì α < β ⇔ aα > a β

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

4

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 1.8. Hãy so sánh các cặp số sau:

2 5

2 3

a) 5

3 2

và 5

b) 7

6 3

và 7

3 6

1
c)  
và
3
HD Giải

1
 
3

3 2

3
d)  
4

8

3
và  
4

1
d)  
3

3

1
và  
3

3

a) Ta có: 2 3 = 12,3 2 = 18 .Do 12 < 18 nên 2 3 < 3 2
Vì cơ số a = 5 > 1 nên 52 3 < 53 2
6 3 = 108 > 54 = 3 6
b) Ta có: 
⇒ 76 3 > 73 6
a = 7 > 1
2 5 = 20 > 18 = 3 2
2 5

3
1
1

c) Ta có: 
⇒  < 
1
3
3
0 < a = < 1
3

 8< 9 =3
8
3
3
3

d) Ta có: 
⇒  > 
1
4
0 < a = < 1  4 
2

Bài 1.9. Hãy so sánh các cặp số sau:
a) 3 10 và

5

20

b)

4

5 và

3

7

2

c) 4 13 và

5

23

2

HD Giải
a) Đưa hai căn đã cho về cùng căn bậc 15, ta được:
 3 10 = 15 105 = 15 100000
. Do 100000 > 8000 nên 3 10 > 5 20
5
15
3
15

 20 = 20 = 8000
 4 5 = 12 53 = 12 125
b) Ta có: 
. Do 125 < 2401 nên 4 5 < 3 7
 3 7 = 12 74 = 12 2401

 4 13 = 20 135 = 20 371293
c) Ta có: 
. Do 371293 > 279841 nên 4 13 > 5 23
20
5
4
20
 23 = 23 = 279841
 3> 2
3
2
1
1

d) Ta có: 
⇒  < 
1
3
0 < a = < 1  3 
3

Bài 1.10. Hãy so sánh các cặp số sau:
2 và

a)
c)

3

3

3

7 + 15 và 10 + 3 28

( )

3 + 3 30 và

b)
d)

( 3)

5
−
6

và

3

3

63

3−1 4

1
3

HD Giải
6


3
 2 = 2 =2 =8
a) Ta có: 
. Do 8 < 9 nên 2 < 3 3
6
 3 3 = 32 = 9

 3 > 1

⇒ 3 + 3 30 > 4
3
3
b) Ta có:  30 > 27 = 3
⇒ 3 + 3 30 > 3 64
3
3
 63 < 64 = 4

( )

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

5

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

 3 7 < 3 8 = 2

⇒ 3 7 + 15 < 6
 15 < 16 = 4
c) Ta có: 
⇒ 3 7 + 15 < 10 + 3 28
 10 > 9 = 3
⇒ 10 + 3 28 > 6
 3
3
 28 > 27 = 3
5
5

−
−
 3 6 = 3 12


d) Ta có: 
1
5
5 ⇒
−
−
3
3 −
 3 3−1 4 1 = 3 3−1. 1 = 3−1.3 4 = 3 4 = 3 12
1

3
34

Bài 1.11. Khơng dùng máy tính và bảng số. Chứng minh:

( )

a)

3

c)
3

a)

( 3)

−

5
6

= 3 3− 1 4

847 3
847
+ 6−
=3
27
27

7+5 2 + 3 7−5 2 = 2

b)

4+2 3 − 4−2 3 = 2

d) 3 9 + 80 + 3 9 − 80 = 3
HD Giải

7+5 2 + 3 7−5 2 = 2

3

6+

(

1
3

)

(

3

Cách 1. Ta có: 7 + 5 2 = 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 1 + 2 .Tương tự: 7 − 5 2 = 1 − 2
Suy ra:

3

)

3

7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 1+ 2 +1− 2 = 2

Cách 2. Đặt x = 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 . Ta cần chứng minh x = 2
Ta có:
3

x 3 =  3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2  = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 + 3 3 7 + 5 2 . 3 7 − 5 2  3 7 + 5 2  + 3 7 − 5 2




3

3
= 14 − 3  7 + 5 2 + 7 − 5 2  = 14 − 3 x



(

)

Từ đó ta có: x 3 + 3 x − 14 = 0 ⇔ ( x − 2 ) x 2 + 2 x + 7 = 0 ⇔ x = 2 (vì x 2 + 2 x + 7 > 0 )

7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 = 2 nếu 3 7 + 5 2 và
 3 7 + 5 2 = 1 + 2 (1)

7 − 5 2 là nghiệm của phương trình X 2 − 2 X − 1 = 0 , tức là: 
 3 7 − 5 2 = 1 − 2 (2)

Cách 3. Ta có:
3

3

7 + 5 2 . 3 7 − 5 2 = −1 . Do đó

(

Ta chứng minh đẳng thức (1). Ta có: 1 + 2

)

3

3

= 1 + 3 2 + 6 + 2 2 = 7 + 5 2 . Từ đó suy ra (1).

Đẳng thức (2) chứng minh tương tự. Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
b)

3

6+

847 3
847
847 3
847
+ 6−
= 3 . Đặt x = 3 6 +
+ 6−
. Ta cần chứng minh x = 3
27
27
27
27


847 3
847 
Ta có: x 3 =  3 6 +

+ 6−

27
27 


⇔ x3 = 6 +

3

847
847
847 3
847  3
847 3
847 
+6−
+ 33 6 +
. 6−
6+
+ 6−
27
27
27
27 
27
27 



⇔ x 3 = 12 + 3 3 36 −

847
5
.x ⇔ x 3 = 12 + 3. x ⇔ x 3 − 5 x − 12 = 0 ⇔ ( x − 3 ) x 2 + 3 x + 4 = 0 ⇔ x = 3
27
3

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

(

6

)

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Tốn 12

GV. Lư Sĩ Pháp

(vì x 2 + 3 x + 4 > 0 )
c) 4 + 2 3 − 4 − 2 3 = 2
Cách 1. Ta có:

( 4 + 2 3 )( 4 − 2 3 ) = 8 − 2 16 − 12 = 4

2

 4+2 3 − 4−2 3  = 4+2 3 +4−2 3 −2




4 + 2 3 − 4 − 2 3 > 0 nên

Vì

( 3 ) ± 2 3 + 1 = ( 3 ± 1)
3 = ( 3 + 1) − ( 3 − 1) = 2

Cách 2. Ta có: 4 ± 2 3 =
Nên:
d)

3

4+ 2 3 − 4 −2 3 = 2.

2

4+2 3 − 4−2

2

9 + 80 + 3 9 − 80 = 3 . Có thể giải bằng ba cách như câu a)

Đặt x = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 . Ta cần chứng minh x = 3

3

(

)

Ta có: x 3 =  3 9 + 80 + 3 9 − 80  ⇔ x 3 − 3 x − 18 = 0 ⇔ ( x − 3 ) x 2 + 3 x + 6 = 0 ⇔ x = 3 (vì


2
x + 3x + 6 > 0 )

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.12. Hãy tính:
3

( )

3 

a) A =  3 
b) B = 41− 2 3 .161+


Bài 1.13. Đơn giản các biểu thức sau:

a) A =

a− b

4

a−4b

3

c) C = 27

a + 4 ab

−

a+4b
 a+b

c) C = 
− 3 ab  : 3 a − 3 b
3
3
 a+ b


)

2

a) A =

c) C =

(a

2

−b
a

2 5
3

3

5
5
3

3

)

2

( )

a + a .b
Bài 1.16. So sánh các số:

a) 3

600

và 5

400

c) C = a

(a
b) B =

+1

−b

7

7
3

1
b)  
2

+b
−

5
7

d) D =

2 7
3

và

 1 
Bài 1.17. Chứng minh rằng:  
 16 

2.2

−0,75

a−3b

a −1
3

1

3

2 3

3

(a

c) 7

30

)(
π

+b

3

4 3

a +1

)

2

+ a 3 + a3

−a

−

5
2

và 4

5

4

a+3b
1

.a 4 + 1

3

− 1 a2

40

8

d) D = a 2 .a13 : a3

a
π

3

a+4a

.

5

a+b

3

2

)

3

π

 1 
−  4 π ab 



π

3
14

+ ( 0,25 )

3

−

a4 + a2

2 −1

− b2

a−b

d) D =

1
a) A = a 2 .  
b) B = aπ . 4 a2 : a 4π
a
Bài 1.15. Đơn giản các biểu thức sau:
2

d) D = 2

:3

Bài 1.14. Đơn giản các biểu thức sau:

a2

( )

3 2

b) B =

4

(

2

1
1
d)   và  
9
9

3,14

= 40

Bài 1.18. Rút gọn các biểu thức sau:

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

7

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp
−2

−3

 b 2   a2 
a)   .   ( a ≠ 0, b ≠ 0 )
 a   b 
4
2
 − 13

3
a  a + a 3 
 ,(a > 0)
c) 1  3
1

− 
a 4  a 4 + a 4 


1
1
4


2n 3  3n 3 − 4 n 3 




e)
2n

(

b) a2 + b2

)( a


y
d)  2 x + 
2


( )
4a

3

f)

1
−
3

6

−1

−2

+ b −2

)

−1

,( a ≠ 0, b ≠ 0 )

−1

−1
y 
( 2 x ) +   

 2  

2

4a

Kết quả:
Bài 1.12. A = 3 3 , B = 64 , C = 1 , D = 4
Bài 1.13. A = 4 b , B = 2 3 ab , C = 1 , D = a
Bài 1.14. A = a , B = a , C = a3 , D = a1,3
2a

Bài 1.15. A =

a

Bài 1.16. a) 3

600

Bài 1.18. a)

1
a4b

2

2

−b

>5

400

3

, B=a

1
, b)  
2

b) a 2 b 2

−

3

5
7

5

7

+ 1 , C = a 3 − b 3 , D = aπ − bπ
π

3
14

1 1
= 2.2 , c) 7 > 4 , d)   <  
9 9

c) a

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

30

d)

3,14

40

1
xy

8

e) 3n − 4n 2

f) 2 a

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Tốn 12

GV. Lư Sĩ Pháp

§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Hàm số y = x α , với α ∈ ℝ , được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α :
Với α nguyên dương, tập xác định là D = ℝ.
Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là D = ℝ \ {0} .
Với α không nguyên, tập xác định là D = ( 0; +∞ ) .

Lưu ý: y = xα , α =

1

, n là số chẵn. Tập xác định: D = [0; +∞).
n

3. Đạo hàm

( )

Hàm số y = x α ( α ∈ ℝ ) có đạo hàm với mọi x > 0 và x α

/

= α x α −1

( )

/

Cơng thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng: uα

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng ( 0; +∞ )

= α uα −1 .u /

α >0

Đạo hàm
Chiều biến thiên

y =αx
Hàm số ln đồng biến

Tiệm cận

Khơng có

/

α <0
y =αx
Hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận ngang là trục Ox ,
tiệm cận đứng là trục Oy

α −1

/

α −1

Đồ thị luôn đi qua điểm (1;1)

Hình dạng đồ thị ứng với các giá trị khác nhau của α

Đồ thị

D

B. BÀI TẬP
ẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α :
Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ
Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0}
Với α không nguyên, tập xác định là ( 0; +∞ )

Bài 2.1. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = (1 − x )

−

1
3

(

b) y = 2 − x 2

)

3
5

(

)

c) y = x 2 − 1

−2

(

d) y = x 2 − x − 2

)

2

HD Giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − x > 0 ⇔ x < 1
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞;1)
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

9

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi 2 − x 2 > 0 ⇔ − 2 < x < 2

(

Vậy tâp xác định là: D = − 2; 2

(

)

c) y = x 2 − 1

−2

1

=

(x

2

)

−1

2

)

. Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1

Vậy tâp xác định là: D = ℝ \ {−1;1}
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − x − 2 > 0 ⇔ x < −1 hoặc x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ )

Bài 2.2. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = 3 ( x − 1)

−3

(

b) y = 4 x 2 − 3 x − 4

c) y = x 3 − 8

)

π

(

d) y = x 3 − 3 x 2 + 2 x

3

)

1
4

HD Giải
a) y = 3 ( x − 1) =

3

−3

. Hàm số xác định khi và chỉ khi ( x − 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
3

( x − 1)

3

Vậy tâp xác định là: D = ℝ \ {1}
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 2 − 3 x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 hoặc x ≥ 4
Vậy tâp xác định là: D = ( −∞; −1 ∪  4; +∞ )
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 3 − 8 > 0 ⇔ x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( 2; +∞ )
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi x 3 − 3 x 2 + 2 x > 0 ⇔ 0 < x < 1 hoặc x > 2
Vậy tâp xác định là: D = ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ )

D

ẠNG 2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa
Cho hàm số y = x α có tập xác định D; α ∈ ℝ

(x )
α

/

( ) 2
( x) = n
/

x

Lưu ý:

=

α

= α uα −1 .u / với u = u( x ), y = uα ( x )
/

u/

=

u

x
1
n

/

( ) 2u
( u( x) ) = n uu ( x()x)

1

/

n

(u )

= α .xα −1

/

/

n

x n −1

n −1

n

Bài 2.3. Tính đạo hàm các hàm số sau:

(

)

a) y = 2 x 2 − x + 1

1
3

π

(

b) y = ( 3 x + 1) 2

c) y = 4 − x − x 2

)

1
4

d) y = ( 5 − x )

3

HD Giải


a) y / =  2 x 2 − x + 1



(

)

1
3

/

 1
2
 = 2 x − x + 1
3


(

)(
/

)

2x2 − x + 1

1
−1
3

=

1
( 4 x − 1) 2 x 2 − x + 1
3

(

)

−

2
3

/

π
π
π

 π
/
−1
−1
3π
b) y = ( 3 x + 1) 2  = ( 3 x + 1) ( 3 x + 1) 2 =
3 x + 1) 2
(
2
2


1
/
−1
1
1
c) y / = 4 − x − x 2 4 − x − x 2 4 = ( −1 − 2 x ) 4 − x − x 2

4
4
/

(

)(

)

/

3
/
d) y / = ( 5 − x )  = 3 ( 5 − x ) ( 5 − x )



Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

(

3 −1

= − 3 (5 − x )
10

)

−

3
4

3 −1

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Tốn 12

GV. Lư Sĩ Pháp

Bài 2.4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a

1 + x3
b) y =
1 − x3

a) y = ( 2 x + 1)

π

b

x a
c) y =     ,(a > 0, b > 0)
b  x
HD Giải

3

(

d) y = x 3 − 8

)

π
3

/

π
/
π −1
π −1
a) y / = ( 2 x + 1)  = π ( 2 x + 1) ( 2 x + 1) = 2π ( 2 x + 1)


/
6x2
 1 + x3 
2
/

3 
 1 + x3 
1 − x3

1
−
x
2x2
/


b) y =  3

=
=
=
3
2
2
2
2
 1 + x3 
 1 + x3 
 1 + x3 
 1 − x 
3
33 
33 
1− x 3 
3 
3 
3 
 1− x 
 1− x 

 1− x 

(

)

(

/

)

/

 x  a  a  b   x  a   a  b  x  a   a  b 
/
c) y =      =      +     
 b   x    b    x   b   x  

a x
=  
bb

a −1

b

a

a  x a

  +   b 
x b x
/

π
 3
 π 3
d) y =  x − 8 3  =
x −8
3



(

/

)

(

) (x
/

b −1

3

/

a

b

(x

π

 a   x   a a−b
− 2  =    
 x  b x x

−8

)

π
3

−1

=πx

2

3

−8

)

3

−1

D

ẠNG 3. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α
Khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thểm ta phải xét hàm số đó trên tồn tập xác định của nó
Tập xác định
Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α
Sự biến thiên
Tìm đạo hàm y / . Xét dấu y / và kết luận chiều biến thiên của hàm số
Tìm tiệm cận (nếu có)
Lập bảng biến thiên
Đồ thị
Lưu ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1;1)
Bài 2.5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4

b) y = x −3

a) y = x 3
4

a) y = x 3

d) y = x 2

Tập xác định: D = ( 0; +∞ )

4 13
x
3
y / > 0 trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến

Đạo hàm: y / =

Sự biến thiên:

Bảng biến thiên:
x

π

c) y = x −4
HD Giải

Giới hạn: lim y = 0, lim y = +∞
x →0

x →+∞

Đồ thị:

0

y

+∞

+

y'

+∞
y

1

0

0

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

11

1

x

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12
b) y = x −3 =

GV. Lư Sĩ Pháp
1
x3

Tập xác định: D = ℝ \ {0}

3
< 0, ∀x ∈ D
x4
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 0 ) và ( 0; +∞ )

Đạo hàm: y / = −

Sự biến thiên:

Giới hạn: lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 0 là TCĐ
x →0

x →0

lim y = 0, lim y = 0 ⇒ y = 0 là TCN

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên:
x

+∞

0

∞

Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số lẻ. Nên đồ thị
hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
y

y'
+∞

0

1

y
0

∞

c) y = x −4 =

1
x4

0

1

x

Tập xác định: D = ℝ \ {0}

4
x5
y / > 0 trên khoảng ( −∞; 0 ) nên hàm số đồng biến trên khoảng này và y / < 0

Đạo hàm: y / = −

Sự biến thiên:

trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Giới hạn: lim− y = +∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = 0 là TCĐ
x →0

x →0

lim y = 0, lim y = 0 ⇒ y = 0 là TCN

x →−∞

x →+∞

Bảng biến thiên:
x

Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm số chẵn. Nên đồ
thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
+∞

0

∞

y

+

y'

+∞ +∞
y
0

0

1
1 0

π

d) y = x 2

1

x

Tập xác định: D = ( 0; +∞ )

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y / =

π

π

x2

−1

2
y > 0 trên khoảng ( 0; +∞ ) nên hàm số đồng biến
/

Giới hạn: lim y = 0, lim y = +∞
x →0

x →+∞

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

12

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

Bảng biến thiên:
x

Đồ thị:

0

y

+∞
+

y'

+∞
y
0

1
0

1

x

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2.6. Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) y = x 4

b) y = x 7
−

7

c) y = x 0
5
8

f) y = x
g) y = x
Bài 2.7. Tìm tập xác định các hàm số sau:

(

b) y = 4 − x 2

a) y = 3 5 x + 4

)

1
2

h) y = x

d) y = x −15

π

i) y = x

(

c) y = x 2 + x − 2

)

−2

3

j) y = x

1
4

d) y = x 2 + 3 x − 4

Bài 2.8. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1
a) y = 5 x
b) y =
5
x

c) y = n x − 1

e) y = 4 x 4 + x 2 + 1

g) y = (12 − x )

f) y = 4 x 2 − 3 x − 1

e) y = 8 x

d) y = n x m

(

3

h) y = x 2 + x − 4

Bài 2.9. Hãy vẽ đồ thị mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ:
1

1

a) y = x 4 và y = x 4
b) y = x 5 và y = x −5
c) y = x 2 và y = x 2
Bài 2.10. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = x

−

1
2

π

b) y = x 4

c) y =

( 3)

x

Kết quả:
Bài 2.6. a) D = ℝ ; b) D = ℝ ; c) D = ℝ \ {0} ; d) D = ℝ \ {0} ; e) D =  0; +∞ ) ;

f) D = ℝ ; g) D = ( 0; +∞ ) ; h) D = ( 0; +∞ ) ; i) D = ( 0; +∞ ) ; j) D = ( 0; +∞ )

Bài 2.7. a) D = ℝ ; b) D =  −2; 2  ; c) D = ℝ \ {−2;1} ; d) D = ( −∞; −4  ∪ 1; +∞ )
Bài 2.8. a)

e)

1
5

5 x

4

;

b) −

4x3 + 2x

(

)

33 x4 + x2 + 1

2

1
5

5x x
; f)

4

;

c)

8x − 3
2 4 x − 3x − 1
2

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

1
n n ( x − 1)

n −1

;

; g) − 3 (12 − x )

13

d)
3 −1

m n m−n
x
n

; h)

2x + 1

(

4 4 x2 + x − 4

)

3

SyPhap 0939989966 – 0916620899

)

1
4


Tốn 12

GV. Lư Sĩ Pháp

§3. LƠGARIT
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Định nghĩa
Với hai số dương a, b ( a ≠ 1) . Số α nghiệm đúng đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số a của
b và kí hiệu là log a b . Như vậy: α = log a b ⇔ aα = b
Chú ý: Không có lơgatir của số âm và số 0.
2. Tính chất
Cho hai số dương a và b, a ≠ 1 . Ta có:
log a 1 = 0
log a a = 1

( )

a loga b = b

log a aα = α

3. Quy tắc tính
a) Lơgarit của một tích
Với các số dương a, b1 , b2 và a ≠ 1 . Ta có: log a ( b1b2 ) = log a b1 + loga b2
Lưu ý: Lơgarit của một tích bằng tổng các lôgarit
b) Lôgarit của một thương

b
Với các số dương a, b1 , b2 và a ≠ 1 . Ta có: log a 1 = log a b1 − log a b2
b2
Lưu ý: Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit
1
log a = − loga b, (a, b > 0, a ≠ 1)
b
c) Lôgarit của một lũy thừa
Với các số dương a, b và a ≠ 1 . Với mọi α , ta có: log a bα = α log a b
Lưu ý: Lơgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
1
log a n b = log a b, (a, b > 0, a ≠ 1)
n
d) Đổi cơ số
Cho ba số dương a, b, c với a ≠ 1, c ≠ 1 . Ta có:
logc b
log a b =
log a b = loga c.logc b
logc a
1
1
, b ≠1
log aα b = loga b, α ≠ 0
α
log b a
4. Kí hiệu lơgarit thập phân, lơgarit tự nhiên
a) Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10. log10 b thường được viết là log b hoặc lg b
b) Lôgarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên (lôgarit Nê – pe) là lôgarit cơ số e . loge b được viết là ln b

log a b =

n

 1
Lưu ý: e = lim  1 +  và một giá trị gần đúng của e là: e ≈ 2, 718281828459045
n →+∞
 n

B. BÀI TẬP

D

ạng 1. Tìm điều kiện để một biểu thức lơgarit có nghĩa
b > 0
Lưu ý:
log a b có nghĩa 
0 < a ≠ 1
Bài 3.1. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

14

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

( )
( x + x − 2x )

a) log2 1 − x 2
c) log 1
3

3

(
(x

b) logπ x 2 + 3 x − 4

2

d) log 1
2

4

)

+ 5x 2 − 6

)

HD Giải
có nghĩa ⇔ 1 − x > 0 ⇔ x < 1 ⇔ −1 < x < 1

( )
b) log ( x + 3 x − 4 ) có nghĩa ⇔ x + 3 x − 4 > 0 ⇔ x < −4 hoặc x > 1
c) log ( x + x − 2 x ) có nghĩa ⇔ x + x − 2 x > 0 ⇔ −2 < x < 0 hoặc x > 1
a) log2 1 − x

2

2

2

2

2

π

3

2

3

2

1
3

 x 2 < −6
 x < −1

d) log 1 x 4 + 5 x 2 − 6 có nghĩa ⇔ x 4 + 5 x 2 − 6 > 0 ⇔  2
⇔
 x > 1
x > 1
2
Bài 3.2. Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
7
a) log x −3 x 2 − 4
b) log x
3x − 2
HD Giải
3 < x ≠ 4
0 < x − 3 ≠ 1 
2
a) log x −3 x − 4 có nghĩa ⇔  2
⇔   x < −2 ⇔ 3 < x ≠ 4
 x − 4 > 0
 x > 2

0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
7
2


b) log x
có nghĩa ⇔  7
⇔
⇔ < x ≠1
2

3x − 2
3
>0

x >
3
 3x − 2

ạng 2. Tính giá trị của một biểu thức
Rút gọn biểu thức
Lưu ý: Vận dụng và dùng linh hoạt tính chất; quy tắc tính lơgarit.
Bài 3.3. Tính:
1
a) log 1 4
b) log3
c) log 1 8
d) 32 log3 5
27
2
2

(

)

(

(

)

)

D

HD Giải
−2

1
a) log 1 4 = log 1 2 = log 1   = −2
2
2
2
2 
2

3

1
1
b) log3
= log3   = log3 3−3 = −3
27
3

−3

1
c) log 1 8 = log 1 2 = log 1   = −3
2

2
2
2 
Bài 3.4. Tính:
1
a) log2
b) log 1 2
8
4
3

2 log3 5

d) 3

(

= 3

c) log3 4 3

log3 5

)

2

= 52 = 25

d) log 0,5 0,125

HD Giải
a) log2

1
= log2 ( 2 ) = −3 log2 2 = −3
8
−3

1

c) log3 4 3 = log3 ( 3) 4 =

1
1
log3 3 =
4
4

1
1
b) log 1 2 = log2−2 2 = − log2 2 = −
2
2
4
d) d) log 0,5 0,125 = log 0,5 ( 0,5) = 3
3

Bài 3.5. Tính:
a) 4 log2 3

b) 27log9 2

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

log

c) 9
HD Giải

15

3

2

d) 4 log8 27

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

a) 4 log2 3 = 22 log2 3 = 2
log

2 log

2

c) 9 3 = 3
Bài 3.6. Tính:
a) 4

log2

2

1
32

( ) =9
2

log2 3

3log

b) 27log9 2 = 3
4

= 34 log3 2 = 3log3 2 = 24 = 16

1
7

 1 
b)  

 25 

log5

1
3

d) 4 log8 27 = 2

2

32

2log 3 33
2

=3

3
log 2
2 3

=3

 3
log3  2 2 
 
 

3

= 22 = 2 2

2

= 22 log2 3 = 2log2 3 = 9

c) 35log3 2

d) 3

log 1 2
27

HD Giải
a) 4

log2

1
7

=2

2

log2

(

1
7

2

2

 log2 1   1 
1
=  2 7  =   =
49

  7

 1 
b)  
 25 

)

d) 3

5log 2
log 2
c) 3 3 = 3 3

5

log 1 2

= 25 = 32

27

log5

1
3

( )

= 5
log

=3

3−3

−2

2

log5

1
3

−2

−2

 log5 1 
1
=  5 3  =   = 9
3



1
− log3 2
3

=3

(

log3 2

= 3

)

−

1
3

=2

−

1
3

=

Bài 3.7. Tính:
a) log 1 2 + 2 log 1
2

2

1
3
+ log 1
3
8
2

1
b) 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45
2
3
3
3

1
d) log5 3 − log5 15
2
HD Giải

 1 1 3
1
3
1
1
3
1
a) log 1 2 + 2 log 1 + log 1 = log 1 2 + log 1 + log 1 + log 1 = log 1  2. . .  = log 1
3
8
3
3
8
3 3 8
12
2
2
2
2
2
2
2
2 
2
c) log 7 49 − log7 343

1
1
b) 2 log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 ( 400 ) 2 + log 1
2

3
3
3
3
3
3

3

c) log 7 49 − log 7 343 = log 7

3

3

3

36.45
= log 1 81 = − log3 34 = −4
20
3

= log 1 36 − log 1 20 + log 1 45 = log 1
3

( 45 )

3

49

1
= log7 = − log7 7 = −1
343
7

1
−
1
3
1
1
d) log5 3 − log5 15 = log5 3 − log5 15 = log5
= log5
= log5 5 2 = −
2
2
15
5
Bài 3.8. Tính:
log7 16
1
a)
b) log5 3 − log5 12 + log5 50
log 7 15 − log 7 30
2

c) log 1 ( log3 4.log2 3 )

d) log8 12 − log8 15 + log8 20

4

HD Giải
log 7 16
log 7 16 log 7 2
4 log 7 2
a)
=
=
=
= −4
−1
15 log7 2
log7 15 − log 7 30
− log 7 2
log 7
30
1
1
1
1
b) log5 3 − log5 12 + log5 50 = log5 3 − log5 3 − log5 4 + 2 log5 5 + log5 2
2
2
2
2
= − log5 2 + 2 + log5 2 = 2
4

1

1
c) log 1 ( log3 4.log2 3 ) = log 1 ( 2 log3 2.log2 3 ) = log 1 2 = − log2 2 = −
2
2
4
4
4

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

16

SyPhap 0939989966 – 0916620899

1
3

2


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

d) log8 12 − log8 15 + log8 20 = log8

12.20
4
= log8 16 = log23 24 =
15

3

Bài 3.9. Tính:
log5 36 − log5 12
a)
log5 9

b)

1
c) log36 2 − log 1 3
2
6

1
log 7 36 − log 7 14 − 3log 7 3 21
2

d) 36 log6 5 + 101− log2 − 8log2 3

HD Giải
36
log5 36 − log5 12 log5 12
log5 3 1
a)
=
=
=
2
log5 9

2 log 5 3 2
log5 3
b)

 6 
1
−2
log 7 36 − log7 14 − 3log 7 3 21 = log 7 6 − log7 14 − log7 21 = log 7 
 = log7 7 = −2
2
 14.21 

1
1
1
1
1
c) log36 2 − log 1 3 = log6 2 + log6 3 = log6 6 =
2
2
2
2
2
6
2

3

d) 36 log6 5 + 101− log2 − 8log2 3 = 62 log6 5 + 10 log10 10− log10 2 − 23log2 3 = 6log6 5 + 10 log10 5 − 2 log2 3 = 52 − 5 + 33 = 3
Bài 3.10. Rút gọn các biểu thức sau:

1
a) log 1 7 + 2 log9 49 − log 3
b) log3 6.log8 9.log6 2
7
3

1 1
d) log + log 4 + 4 log 2
8 2
HD Giải

c) log a b 2 + log a2 b 4
a) log 1 7 + 2 log9 49 − log
3

3

1
= log3−1 7 + 2 log33 72 − log 1 7−1 = − log3 7 + 2 log3 7 + 2 log3 7 = 3log3 7
7
32

2
2
2
b) log3 6.log8 9.log6 2 = ( log3 6.log6 2 ) .log23 32 = log3 2. log2 3 = log2 2 =
3
3
3
2

4
2
2
2
c) log a b + log a2 b = log a b + log a b = 2 loga b = 4 log a b
1 1
d) log + log 4 + 4 log 2 = − log8 + log 2 + log 4 = − log 8 + log 8 = 0
8 2
Bài 3.11. Rút gọn các biểu thức sau:
4 1
3
9
27
a) log + log 36 + log
b) log 72 − 2 log
+ log 108
9 2
2
2
256
 1 log7 9 − log7 6
1
− log 4 
c) log − log 0,375 + 2 log 0,5625
d) 72  49 2
+ 5 5 
8


HD Giải

3


3 

 4 33 1 
9 
4 1
3
9
4  9 2 
4


a) log + log 36 + log = log .6.   = log .6.   = log  .6. .  = log18 2



9
9 2
2
2
2 2 
2 
9 2 
9





b) log 72 − 2 log

27
36
+ log 108 = log 23.32 − log 16 + log 22.33
256
2
3
5
16



− 
2
5
= log  23.32. 6 .2.3 2  = log  220.3 2  = 20 log 2 − log 3
2
3





(

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

)

17

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

1
c) log − log 0,375 + 2 log 0,5625 = log 2 −3 − log 0,53.3 + 2 log 0,54.32
8
3
= log 2 −3 − log 2−3 − log3 + 2 log 2 −2 + 2 log 3 = log 2 −4 + log3 = log
16
2
 1 
 log7 3
 1 log7 9 − log7 6
1  45
− log 4 
log 4−2 
d) 72  49 2
+ 5 5  = 72  49 6 + 5 5  = 72    +  =
  2  16  2







ạng 3. Tìm x
Lưu ý: Vận dụng định nghĩa.
log a x = α ⇔ x = aα , ( 0 < a ≠ 1)

(

)

D

log x b = α ⇔ xα = b, ( 0 < x ≠ 1, b > 0 )

Đưa biểu thức về cùng cơ số : log a x = log a b ⇔ x = b, ( 0 < a ≠ 1, b > 0 )
Tính chất; quy tắc tính lơgarit
Bài 3.12. Tìm x, biết:
a) log 5 x = 4
b) log2 ( 5 − x ) = 3

d) log 1 ( 0,5 + x ) = −1

c) log3 ( x + 2 ) = 3

6

HD Giải
b) log2 ( 5 − x ) = 3 ⇔ 5 − x = 23 ⇔ x = −3

4

a) log5 x = 4 ⇔ x = 5 = 625

−1

1
c) log3 ( x + 2 ) = 3 ⇔ x + 2 = 3 ⇔ x = 25 d) log 1 ( 0,5 + x ) = −1 ⇔ 0,5 + x =   ⇔ x = 5,5
6
6
Bài 3.13. Cho a và b là các số dương. Tìm x, biết:
1
4
a) log3 x = 4 log3 a + 7 log3 b
b) log 2 x = log 2 a + log 2 b
4
7
3
3
3
3

c) log5 x = 2 log5 a − 3log5 b

d) log 1 x =
2

2
1
log 1 a − log 1 b
3
5

2
2

HD Giải
a) log3 x = 4 log3 a + 7 log3 b ⇔ log3 x = log3 a 4 + log3 b 7 ⇔ log3 x = log3 a 4 b 7 ⇔ x = a 4 b 7

(

b) log 2 x =
3

)

4
4
1
1
 1 4
1
4
log 2 a + log 2 b ⇔ log 2 x = log 2 a 4 + log 2 b 7 ⇔ log 2 x = log 2  a 4 .b 7  ⇔ x = a 4 .b 7
4
7
3
3
3
3
3
3
3 



c) log5 x = 2 log5 a − 3log5 b ⇔ log5 x = log5 a 2 − log5 b 3 ⇔ log5 x = log5

a2
a2
⇔
x
=
b3
b3
2

2

2
1
2
1
a3
a3
d) log 1 x = log 1 a − log 1 b ⇔ log 1 x = log 1 a 3 − log 1 b 5 ⇔ log 1 x = log 1 1 ⇔ x = 1
3
5
2
2
2
2
2
2

2
2
b5
b5
Bài 3.14. Tìm x, biết:
3
1
a) log3 x + log9 x =
b) log 4 x = log4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3
2
3
1
1
c) log 1 x = log3 125 − log3 4 + log 3 2
d) log6 x = 3log6 2 + 0,5 log6 25 − 2 log6 3
3
2
3

HD Giải
3
1
3
3
3
a) log3 x + log9 x = ⇔ log3 x + log3 x = ⇔ log3 x = ⇔ log3 x = 1 ⇔ x = 3
2
2
2
2

2

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

18

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

1

4 
 ( 216 ) 3 .3 
1
b) log 4 x = log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log4 3 ⇔ log 4 x = log 4 

2
3
 10



 486 
243
⇔ log 4 x = log4 
⇔ x=

50
 100 
1
1
1
1
c) log 1 x = log3 125 − log3 4 + log 3 2 ⇔ − log3 x = log3 (125) 3 − log3 4 + log 1 2
3
2
2
32
3

−1

 5.2 
5
2
⇔ − log3 x = log3 
 ⇔ log3 x = log3   ⇔ x =
5
 4 
2
 23.5 
40
d) log6 x = 3log6 2 + 0,5log6 25 − 2 log6 3 ⇔ log6 x = log6  2  ⇔ x =
9
 3 

D

ạng 4.

Biểu diễn các lôgarit qua các yếu tố cho trước
Chứng minh đẳng thức

Bài 3.15.
a) Cho log2 20 = α . Hãy tính log20 5 theo α .
b) Cho log2 5 = a . Hãy tính log 4 1250 theo a.
c) Cho log30 3 = a, log30 5 = b . Hãy tính log30 1350 theo a, b.
d) Cho log15 3 = c . Hãy tính log25 15 theo c.

HD Giải
a) Ta có: α = log2 20 = log2 2 .5 = 2 log2 2 + log2 5 = 2 + log2 5 ⇒ log2 5 = α − 2

( )
2

Mặt khác: log20 5 =

log2 5
α −2
. Vậy log20 5 =
log2 20
α

b) Ta cần phân tích 1250 thành tích các lũy thừa của 2 và 5. Ta có: 1250 = 2.54
1
1
1

1
Do đó: log 4 1250 = log22 2.54 = log2 2.54 = log2 2 + log2 54 = (1 + 4 log2 5) = (1 + 4a )
2
2
2
2
1
Vậy: log 4 1250 = (1 + 4a )
2
c) Ta có: 1350 = 32.5.30
Do đó: log30 1350 = log30 32.5.30 = 2 log30 3 + log30 5 + log30 30 = 2a + b + 1

(

(

d) Ta có: log25 15 =

)

(

)

(

)

)

log3 15 log3 ( 3.5 ) log3 3 + log3 5 1 + log3 5
=
=
=
log3 25
2 log3 5
2 log3 5
log3 52

Mặt khác: c = log15 3 =

log3 3
1
1
1
=
=
⇒ log3 5 = − 1
log3 15 log3 ( 3.5) 1 + log3 5
c

1
1+ −1
1
c
Vậy: log25 15 =
=
 1  2 (1 − c )
2  − 1
c 

Bài 3.16.
a) Cho log3 15 = a, b = log3 10 . Hãy tính log 3 50 theo a, b .
b) Cho log2 3 = a, b = log3 5, c = log 7 2 . Hãy tính log140 63 theo a, b, c .

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

19

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

c) Cho log a b = 5 . Hãy tính log a

5

a3 b 6 .

b

d) Cho log25 7 = a, b = log2 5 . Hãy tính log5 6,125 theo a, b .
a) Ta có: log 3 50 = log

( 2.5 )
2

1

32

HD Giải
= 2 log3 2 + 4 log3 5

Mặt khác:
a = log3 15 = log3 ( 3.5) = 1 + log3 5 ⇒ log3 5 = a − 1

b = log3 10 = log3 ( 2.5) = log3 2 + log3 5 ⇒ log3 2 = b − log3 5 = b − a + 1

Do đó: log 3 50 = 2 ( b − a + 1) + 4 ( a − 1) = 2a + 2b − 2

( )

b) log140 63 = log140 32.7 = 2 log140 3 + log140 7 =

2
1
2
1
+
=
+
2
log3 140 log 7 140 log3 2 .5.7 log 7 22.5.7

(

)

(

)

2
1
+
2 log3 2 + log3 5 + log3 7 2 log 7 2 + log 7 5 + 1
Mặt khác:
1
1
log3 2 =
=
log2 3 a
=

log 7 5 = log 7 2.log2 3.log3 5 = c.a.b
log3 7 =

1
1
1
=
=
log 7 3 log 7 2.log2 3 ca
2

Vậy: log140 63 =

+

2
1
+b+
a
ca

1
2ac + 1
=
2c + cab + 1 abc + 2c + 1

(
(

)
)

(

)

3 6
5 3 6
+ log a b 6 1 + 2 5
6 12 + 2 5
log
a
b

a
c) Ta có: log a a3 b 6 =
=5 5
=
=−
1
a
5
5 2− 5
b
loga
1 − log a b
2
b
6125
49
d) Ta có: log5 6,125 = log5
= log5
= log5 49 − log5 8 = 2 log5 7 − 3 log5 2
1000
8
Mặt khác:
1
1
1
a = log25 7 = log5 7 ⇒ log5 7 = 2a
b = log2 5 =
⇒ log5 2 =
2
log5 2

b
5

3
b
Bài 3.17. Hãy chứng minh:
Vậy: log5 6,125 = 4a −

a) log 1 3 + log3
2

c) 4

log5 7

=7

a) Ta có: log 1 3 =
2

1
< −2
2

b) log3 7 + log 7 3 > 2

log5 4

1
1

log3
2

d) 3
HD Giải
và log 1 3 +
2

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lôgarit

1
1
log3
2

log2 5

=5

cô−si

log2 3

> 2 ( vì log 1 3 ≠
2

20

1
1

log3
2

)

SyPhap 0939989966 – 0916620899


Toán 12

GV. Lư Sĩ Pháp

Mặt khác: log3

1
< 0 nên − log 1 3 −
2
2

1
log3

1
2

b) Ta có: log3 7 > 0,log 7 3 > 0 và log3 7 =

> 2 hay log 1 3 + log3
2

1
≠ log 7 3
log 7 3

Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có: log 7 3 +
c) 4

log5 7

=7

log5 4

⇔ log4 4

d) 3

log2 5

=5

log2 3

⇔ log3 3

log5 7

log2 5

= log4 7

= log3 5

log5 4

log2 3

1
>2
2

1
> 2 . Suy ra: log3 7 + log7 3 > 2
log 7 3

⇔ log5 7 = log5 4.log4 7 (đúng).
⇔ log 2 5 = log2 3.log3 5 (đúng).

Bài 3.18. Hãy chứng minh:
a)

loga c
= 1 + loga b,(a, b, c > 0; a, c, ab ≠ 1)
log ab c

b) a

logc b

=b

logc a

,(0 < a, b, c ≠ 1)
HD Giải

1
log a c
logc a
logc ab logc a + logc b
logc b
a) Ta có:
=
=
=
= 1+
= 1 + log a b
1
log ab c
logc a
logc a
logc a
log c ab
b) Ta có: a

logc b

=a

logc a. log a b

(

= a

loga b

)

logc a

=b

logc a

. Vậy a

logc b

=b

logc a

,(0 < a, b, c ≠ 1)

Bài 3.19. Cho x 2 + 9 y 2 = 10 xy,( x, y > 0; 0 < a ≠ 1) .
Chứng minh: log a ( x + 3y ) − 2 loga 2 =

1
( loga x + loga y )
2

HD Giải

Ta có: x 2 + 9 y 2 = 10 xy ⇔ x 2 + 6 xy + 9 y 2 = 16 xy ⇔ ( x + 3y ) = 16 xy
2

Lấy lôgarit cơ số a hai vế, ta có:

log a ( x + 3y ) = log a 16 xy ⇔ 2 log ( x + 3y ) = log a 2 4 + ( log a x + log a y )
2

⇔ loga ( x + 3y ) = 2 log a 2 +

D

1
1
loga x + loga y ) ⇔ loga ( x + 3y ) − 2 loga 2 = ( log a x + log a y )
(
2
2

ạng 5. So sánh lôgarit
Lưu ý: Cho a, b > 0 , ta có:
Nếu c > 1 thì log c a < logc b ⇔ a < b
Hệ quả:
Nếu c > 1 thì log c a > 0 ⇔ a > 1

Nếu 0 < c < 1 thì logc a < logc b ⇔ a > b
Nếu 0 < c < 1 thì logc a > 0 ⇔ 0 < a < 1

Bài 3.20. So sánh các cặp số sau:

1
và logπ 0,7
2
c) log2 3 và log6 5
a) log 0,3

b) log12 2 và log 0,2 7
d) log 0,2 0,3 và log 0,5 0,4

HD Giải
a) Ta có:

Chương 2. Lũy thừa – Mũ – Lơgarit

21

SyPhap 0939989966 – 0916620899