Su dung vecto giai toan trong khong gian

Véc tơ trong khơng gian
Chương III
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
§1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN .
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG
GIAN

1. Đònh nghóa
Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng .Ký
hiệu

, chỉ rõ véc tơ có điểm đầu là A và điểm cuối là

B.Véc tơ còn được ký hiệu :
* Các khái niệm về giá của véc tơ,độ dài của véc tơ, sự
cùng phương ,cùng hướng của hai véc tơ ,véc tơ -không ,sự
bằng nhau của hai véc tơ ....được đònh nghóa tương tự như trong
mặt phẳng .
A
1. Phép cộng ,phép trừ véc tơ
trong không gian .
* Phép cộng và phép trừ hai hay
K
M
nhiều véc tơ trong không gian
I
,được đònh nghóa tương tự như
phép cộng và phép trừ hai véc
D
B

tơ trong mặt phẳng . Phép cộng
véc tơ trong không gian cũng có
H
N
các tính chất như phép cộng véc
C
tơ trong mặt phẳng .Khi cộng véc
tơ trong không gian ta vẫn có thể
áp dụng quy tắc 3 điểm ,quy tắc HBH,như đối với véc tơ trong
mặt phẳng .
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD
1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD .Chứng
tỏ rằng
2.Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và
chỉ khi
Nguyễn Bá Đại

Trang 1


Véc tơ trong khơng gian

Với mọi điểm P
Bài giải :
1. Sử dụng quy tắêcba điểm :
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có :
Tương tự :
2. Trong tam giác AGB có GM là trung tuyến ,cho nên ,theo tính
chất của véc tơ trung tuyến ta có
Tương tự ,trong tam giác DMC với GN là trung tuyến ta có :

Từ đó ,lấy (1) cộng với (2) :
Mạt khác với một điểm P bất kỳ ,ta xét các tam giác PAB
;PCD và PMN .Thứ tự có các đường trung tuyến PM,PN và
PG .Áp dụng quy tắc trung tuyến ta có 3 kết quả sau .

Hay :
* Quy tắc hình hộp :
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh
xuất phát từ đỉnh A là AB,AD,AA' và
có đường chéo AC' .Khi đó ta có quy
tắc hình hộp là :

B

C

A

D
B
'

C'

A'
D'
3. Phép nhân véc tơ với một số .
* Các kết quả trong mặt phẳng đều áp dụng cho trong
không gian .
Nguyễn Bá Đại

Trang 2


Véc tơ trong khơng gian
Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AD và BC .G là trọng tâm của tam giác
BCD.Chứng minh rằng :

Bài giải :
Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì :
Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1).
b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau :

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC TƠ

1. Khái niệm đồng phẳng của ba véc tơ trong không
gian
* Trong không gian cho ba véc tơ

. Nếu từ một điểm O

bất kỳ ta vẽ
,khi đó có thể xảy ra hai
trường hợp :
• Trường hợp OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt
phẳng ,khi đó ta nói rằng ba véc tơ
không đồng
phẳng .
• Trường hợp OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng ,thì khi

đó ta nói ba véc tơ
đồng phẳng . Trong trường hợp
này giá của ba véc tơ luôn song song với một mặt
phẳng .
2. Đònh nghóa
Trong không gian ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các
giá của chúng song song với một mặt phẳng .

Nguyễn Bá Đại

Trang 3


Véc tơ trong khơng gian
* Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Chứng minh ba véc tơ
phẳng .
Bài giải :
Gọi P,Qlần lượt là trung điểm
của AC và BD .Ta có PN // MQ và
PN=MQ=1/2 AD.
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình
hành .mp(MNPQ) chứa đường
thẳng MN và // với các đường
thẳng AD và BC .
Vậy suy ra ba đường thẳng

đồng

AA

M
P

BB
B

D
DC
N C

Q
C

MN,AD,BC cùng // với mặt phẳng .Do đó ba véc tơ
đồng phẳng .
3. Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng
Đònh lý 1
Trong không gian cho hai véc tơ

và

đều khác véc tơ không

và không cùng phương ,với một vec tơ

cho

.Khi đó ba véc tơ

gọi là đồng phẳêng khi và chỉ khi có cặp
z số m,n sao
C
c
. Ngoài ra cặp số m,n là duy nhất .
M

Ví dụ 4.
Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần
lượt là trung điểm của AB và CD
.Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy
P và Q sao cho

.

Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng
thuộc một mặt phẳng .

B

O
x
Õ

A
M'

B
y

M'

Bài giải :

Nguyễn Bá Đại

Trang 4


Véc tơ trong khơng gian
Ta có : Theo kết quả của ví dụ
1:

A
M
P
D

B
Q

N

C

.
M
Mặt khác theo giả thiết :
D

B
Q

N
C
Chứng tỏ M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng ( do
đồng phẳng ).
Đònh lý 2:
zC

* Trong không gian cho ba véc tơ không
đồng phẳng
véc tơ

. Khi đó với mọi

,ta đều chọn được một bộ ba

số m,n,p sao cho :
+n
.
Ngoài ra bộ ba số m,n,p là duy nhất .
* Chứng minh đònh lý dựa vào hình
vẽ bên
Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
Có

DD

,

AA
x

D'
D'

y
y

x

. Gợi I là trung điểm của BC'.Hãy biểu

thò véc tơ AI theo ba véc tơ

Nguyễn Bá Đại

BB

.

Trang 5


Véc tơ trong khơng gian
Bài giải :
Ta có
Do I là trung điểm của BC' nên AI
là trung tuyến của tam giác

ABC',cho nên theo quy tắc trung
tuyến ta có :

B
B

AA

C
DD
B'
B'

A'

C'
D'

BÀI TẬP TRONG HH-11-CƠ BẢN ( Trang 91-HH11-CB)
Bài 2. Cho hình hộp ABCD ,A'B'C'D'. Chứng minh rằng

Bài giải :
Theo tính chất của hình hộp ta có các cặp véc tơ bằng nhau
sau :

Do vậy :
( Từ (2) và (3).)

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . Gọi S là một điểm nằm
ngoài mặt phẳng chứa HBH. Chứng minh rằng :

.
Bài giải :
Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD của HBH.
Nguyễn Bá Đại

Trang 6


Véc tơ trong khơng gian
Xét hai tam giác SAC và SBD ,chúng có chung đường trung
tuyến SO. Theo tính chất của đường trung tuyến : :
Bài 4. Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Chứng
minh rẳng :
Bài giải :
A
M

B

D
N
C

Bài 5. Cho tứ diện ABCD .Hãy xác đònh hai điểm E và F sao
cho

Bài giai :
a)Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Theo tính chất của
trọng tâm tam giác với một điểm A tuỳ ý ta có :
Chứng tỏ E nằm trên đường thẳng AG và độ dài của AE

=3AG .
Nguyễn Bá Đại

Trang 7


Véc tơ trong khơng gian
b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD .Thì :
Vậy : F nằm trên đường thẳng đi qua A // với Ị và có độ
dài bằng hai lần độ dài của IJ
E
Cách khác :
F
C
A
Với E là đỉnh thưc tư của HBH
ABGC và E là đỉnh thứ tư của
B
G
hình bình hành AGED. Hay nói một
cách khác E là một đỉnh của
D
hình hộp coa ba cạnh là AB,AC,AD .
E

Tương tự ,G là đỉnh thứ 4 của
hình bình hành ABGC ,còn F là
đỉnh thứ 4 của hình bình hành ADGF. (cách xác đònh chúng
như hình vẽ )
Bài 6. Cho tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

.Chưng minh rằng :
Bài giải :
Theo giả thiết ,nếu G là trọng tâm tam giac ABC thì :

Do (1).
Bài 7. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BD
của tứ diện ABCD.Gọi I là trung đoạn của đoanj thẳng MN và
P là một điểm bất kỳ trong không gian .Chứng minh rằng :

Bài giải :
a) Nếu M và N là trung điểm của AC và BD . F là trung điểm
của MN thì :

Nguyễn Bá Đại

Trang 8


Véc tơ trong khơng gian

b) Theo quy tắc ba điểm :

A

C

Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác
ABC.A'B'C' có :
.
Hãy phân tích (biểu thò ) các véc tơ

,theo các véc tơ

B
C'

A'

.

B'

Bài giải :
Theo hình vẽ thì :

Bài 9. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng
(ABC).Trên SA lấy điểm M sao cho
lấy điểm N sao cho

,và trên đoạn BC

Chứng minh ba véc tơ

đồng phẳng .
Bài giải :
Đặt :

. Khi đó ta biểu diễn ba véc tơ
theo ba véc tơ

.

Ta có

Chứng tỏ ba véc tơ

Nguyễn Bá Đại

đồng phẳng.

Trang 9


Véc tơ trong khơng gian
Bài 10. Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K là giaiểm của AH
và DE ,I là giao của BH và DF.
Chứng minh ba véc tơ
phẳng .
Bài giải :
Đặt :

B

theo ba

. Vì vậy ta có :

C

K

. Hãy

biểu diễn ba véc tơ
véc tơ

D

A

đồng

I
H

E

G

E
F
Thay (2) và (3) vào (1),ta có :
Chứng tỏ ba véc tơ
đồng phẳng.
TRONG HH-11-NÂNG CAO (Trang 91)
Bài 2. Cho hình chóp S,ABCD.
a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì

. Điều ngược lại có đúng hay không ?
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD .Chứng tỏ rằng ABCD là
hình bình hành khi và chỉ khi

.

Bài giải :
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì gọi O là giao hai đường chéo
AC và BD thì :
Ngược lại ,từ giả thiết :
.
Chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng .
b) Từ (1) suy ra hệ thức véc tơ :

Nguyễn Bá Đại

Trang 10


Véc tơ trong khơng gian

Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần
lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C'. I là giao điểm
của đường thẳng AB' và A'B .Chứng minh rằng các đường
thẳng GI và CG' song song nhau .
Bài giải :
Gọi M và N thứ tự là trung điểm
C
A
của hai cạnh BC và B'C' .
G
Đặt
. Ta biểu

B
diễn hai véc tơ GI và véc tơ CG'
I
theo ba véc tơ

.
A'

G'
B'

C'

Từ (2) chứng tỏ hai véc tơ cùng phương .Nhưng vì hai véc tơ
không có chung gốc nên hai giá của hai véc tơ này // nhau
,nghóa là ta có GI // CG'.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N thứ tự là trung
điểm của CD và DD'; G và G' lần lượt là trọng tâm của tứ
diện A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng GG' và
mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau ?
Bài giải :
Đặt :

. Ta hãy

biểu diễn các véc tơ :
,theo ba véc tơ

Nguyễn Bá Đại

.

Trang 11


Véc tơ trong khơng gian
Nếu G và G'là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D'
A
B
thì với một điểm A bất kỳ thì :
M

D

C
A'

N

B'

D'

Từ (*) ba véc tơ

đồng phẳng .Nhưng hai véc tơ

thuộc mặt phẳng (ABB'A') ,còn véc tơ
phẳng này .Vì vậy

C'

không thuộc mặt

// với mặt phẳng (ABB'A').

Bài 5. Trong không gian cho tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng nếu một điểm M thuộc mặt phẳng (ABC)
thì có ba số x,y,z mà x+y+z=1 sao cho
,với mọi điểm O.
b) Ngược lại ,nếu có một điểm O trong không gian sao cho
,trong đó x+y+z=1 thì điểm M thuộc mặt
phẳng (ABC).
Bài giải :
Nếu M thuộc mặt phẳng (ABC) thì ba véc tơ
phẳng .Nghóa là tồn tại hai số p,q sao cho :
đó với một điểm O bất kỳ .

đồng
. Do

Nếu đặt :

Nguyễn Bá Đại

Trang 12


Véc tơ trong khơng gian
Thì :

Và :
Ngược lại : Nếu
thay vào ta có :

,và x+y+z=1 thì : x=1-y-z

Chứng tỏ ba véc tơ
, đồng phẳng .Nhưng ba véc tơ
này chung gốc là A ,cho nên M thuộc mặt phẳng (ABC).
Bài 6.Cho hình chóp S.ABC .Lấy các điểm A',B',C' lần lượt
thuộc các tia SA,SB,SC sao cho SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong
đó a,b,c là các số thay đổi .Chứng minh rằng mặt phẳng
(A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
a+b+c=3.
Bài giải :
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì :
Và :
Tương tự ta có :

Vậy :

Theo kết quả bài 5 ,để mp(ABC) đi qua G thì :

MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG SÁCH BÀI TẬP CỦA HAI
BAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Nguyễn Bá Đại

Trang 13

Véc tơ trong khơng gian
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xét các điểm M và N
thuộc các đường thẳng A;C và C'D sao cho
(với k,l đều khác 1).
Đặt

.

a) Hãy biểu thò các véc tơ
qua các véc tơ
.
b) Xác đònh các số k,l để đường thẳng MN song song với
đường thẳng BD' .
Bài giải :
a) Từ giả thiết :
D

A
C

B

N
D'

A'
B'

C'

Nên :

Tương tự ,

Nguyễn Bá Đại

Trang 14


Véc tơ trong khơng gian
b)Nếu MN song song với BD' thì tồn tại hai số p sao cho :

Theo tính chất bằng nhau của các véc tơ ta có hệ :

* Chú ý : Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng thì
Với một điểm O bất kỳ ta có :

Nếu đặït 1-k=m ,k=n ;thì m+n=1-k+k=1 và

Các em hãy chú ý đến thứ tự của A,B,C trong công
thức
I. Trong BTGT -11-Nâng cao
Bài 1 (tr-113). Cho tứ diện ABCD ,M và N là các điểm lần
lượt thuộc AB và CD sao cho
I,J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho
Chứng minh các điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài giải :
Ta áp dụng công thức (1)

Nguyễn Bá Đại

, Các điểm
.

Trang 15


Véc tơ trong khơng gian

A
Từ (5) ta có :

I

M
B

D

J
K

C

N

Chứng tở I,J,K thẳng hàng .
Bài 2(tr-114-BTGT11-NC)

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Các điểm M,N lần lượt thuộc các
cạnh CA và DC' sao cho
.Xác đònh m để
các đường thẳng MN và BD' song song nhau .Khi ấy ,tính MN
biết

và BA=a,BB'=b ,BC=c.

Bài giải

Nguyễn Bá Đại

Trang 16


Véc tơ trong khơng gian
Đặt :
các véc tơ :

Ta biểu biễn các véc tơ

theo

. Do đó

A

D
M

B

C

N

A'
B'

D'
C'

Theo tính chất bằng nhau của hai véc tơ ,ta có hệ sau :

Nguyễn Bá Đại

Trang 17


Véc tơ trong khơng gian

Bài 3. (tr114-BTGT11-NC).
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của
BB' và A'C'.Điểm K thuộc B'C' sao cho
. Chứng minh
rằng bốn điểm A,I,J,K cùng thuộc một mặt phẳng .
Bài giải :
Đặt :

.Ta biểu diễn ba véc tơ

theo ba

véc tơ
Ta có :

A
B

C
A'

I
B'

J
C'

Từ (*) chứng tỏ A,I,J,K cùng thuộc một mặt phẳng .
Bài 5. (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. có
các cạnh bằng m ,các góc tại A bằng
. Gọi P và Q là các
Nguyễn Bá Đại

Trang 18


Véc tơ trong khơng gian
điểm xác đònh bởi
Chứng minh đường

thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB'. Tính độ dài của
đoạn thẳng PQ ?
Bài giải :
Đặt :
P

.
( Do các cạnh của hình hộp bằng
m ).Theo giả thiết : P,A,D' thẳng hàng
và A là trung điểm của PD'. Tương tự
C' là trung điểm của QD. Để chứng
minh đường thẳng PQ đi qua trung
điểm M của BB' thì trước tiên ta đi
biểu diễn các véc tơ

theo ba

véc tơ
.
Ta có ,từ giả thiết :

A
D

C

A'
D'

B

B'
C'
Q

Chứng tỏ đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' ( ba
điểm P,M,Q thẳng hàng ).
Tính độ dài PQ?

Bài 7( Trng 114-BTHH 11-NC).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N lần lượt là các
điểm thuộc AD' và DB sao cho
Nguyễn Bá Đại

.
Trang 19


Véc tơ trong khơng gian
a) Chứng minh MN song song với mp(A'BC).
b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A'C ,chứng
tỏ rằng MN vuông góc với AD' và DB ?
Bài giải :
a) Đặt :
Ta có từ giả thiết :

Chứng tỏ MN// với mặt phẳng (A'BC).
b) Nếu MN//A'C thì tồn tại một số p sao cho :

Do đó ta có hệ :

A
B

D
C
D'

A'
Nguyễn Bá Đại

B'

C'

Trang 20


Véc tơ trong khơng gian
Với :

,thì

Chứng tỏ MN vuông góc với AD' và DB.
Bài 9 (tr-114-BTHH11-NC)
Cho hình tứ diện ABCD;I và J lần lượt là trung điểm của AB và
CD ;M là điểm thuộc AC sao cho
thuộc BD sao cho

và N là điểm

Chứng minh rằng các điểm I,J,M,N

cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi

.

Bài giải :
Nếu bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng ,thì :

Đặt :

Ta biểu diễn các véc tơ theo ba véc

tơ
.
Từ giả thiết :

Với (*) ta tính theo ba véc tơ

:

Do đó :
Nguyễn Bá Đại

Trang 21


Véc tơ trong khơng gian

Từ (*),ta có :

Bài 12.(tr115-BTHH 11-NC).
Cho hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng song song tại
A,B,C và A',B'C'. Với một điểm O bất kỳ trong không gian ,đặt
Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài giải :
Theo đònh lý Ta -Lét trong không gian
Do vậy với một điểm O bất kỳ ta có :

Từ (*) và
Nên ba điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài 14. (tr-115-BTHH 11-NC).

Nguyễn Bá Đại

Trang 22


Véc tơ trong khơng gian
Cho tứ diện ABCD.Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc
AB,BC,CD,DA sao cho
Hãy xác đònh k để bốn điểm P,Q,M,N cùng nằm trên một
mặt phẳng .
Bài giải :
Đặt :
tơ

Ta biểu diễn các véc tơ theo ba véc
.

A
M

Q

B
N

C

P

D

Từ (1) ,(2) (3) và (4) ta có :

Để bốn điểm P,Q,M,N thuộc một mặt phẳng thì tồn tại hai
số p và q sao cho :

Nguyễn Bá Đại

Trang 23


Véc tơ trong khơng gian

Vậy với k=1/2 thì bốn điểm P,Q,M,N thuộc một mặt phẳng.
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
TRONG BÀI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1.

Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ( hoặc : đường
thẳng AB đi qua điểm C ,hoặc điểm C thuộc đường thẳng AB ).
Phương pháp giải :
1. Tìm được một số k sao cho
.
2. Hoặc với một điểm O tuỳ ý và một số thực k,l sao cho
Ví dụ1 : Bài1 (tr-113). Cho tứ diện ABCD ,M và N là các
điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho
Các điểm I,J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho

,

. Chứng minh các điểm I,J,K thẳng
hàng .
Bài giải :
Ta áp dụng công thức (1)

A
M
Nguyễn Bá Đại

I

B

D

J
K

C

N

Trang 24


Véc tơ trong khơng gian

Từ (5) ta có :

Chứng tỏ I,J,K thẳng hàng .
Ví dụ 2 : Bài 5. (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'. có các cạnh bằng m ,các góc tại A bằng

.

Gọi P và Q là các điểm xác đònh bởi
Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB'.
Tính độ dài của đoạn thẳng PQ ?
Bài giải :
Đặt :
P

.
( Do các cạnh của hình hộp bằng
m ).Theo giả thiết : P,A,D' thẳng hàng
và A là trung điểm của PD'. Tương tự
C' là trung điểm của QD. Để chứng
minh đường thẳng PQ đi qua trung

điểm M của BB' thì trước tiên ta đi
biểu diễn các véc tơ
véc tơ
.
Ta có ,từ giả thiết :

Nguyễn Bá Đại

theo ba

A
D

C

A'
D'

B

B'
C'
Q

Trang 25