Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý THCS biến trở và bài toán cực trị

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

MẠCH ĐIỆN CÓ BIẾN TRỞ - CÁC BÀI TOÁN
CỰC TRỊ
I.Lý thuyết
- Biến trở là một điện trở có thể thay đổi được trị số, thực chất biến trở là dây dẫn có thể thay đổi được
chiều dài.
- Có 3 loại biến trở: Biến trở con chạy, biến trở tay quay, biến trở than (chiết áp).
- Khi con chạy hoặc tay quay của biến trở dịch chuyển thì điện trở của biến trở thay đổi. Nếu trong mạch
có biến trở bất kì mắc nối tiếp hay song song thì khi dịch chuyển con chạy hay tay quay các đại lượng trong
mạch biến thiên. Muốn biết đại lượng biến thiên như thế nào ( U; I; R; P) thì ta cần viết công thức tính đại
lượng đó xem nó phụ thuộc ra sao với các biến trở rồi cho các đại lượng đó các giá trị theo yêu cầu để tìm
vị trí con chạy. Nếu trong mạch có biến trở mà điện trở các phần đóng vai trò như biến trở có thể làm dòng
điện qua cầu đổi chiều.
-Ta thường áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương hoặc đưa về hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất của các đại lượng theo yêu cầu của bài
-Bất đẳng thức cô-si : Cho 2 số dương a,b
Ta có a  b  2 a.b dấu “ = ” xảy ra khi a = b
II.Bài tập
Bài 1:Cho mạch điện như hình vẽ. Biết: UEF = 14V; đèn Đ ghi 3V – 3W; C
E F
Đ
là con chạy của biến trở AB. Khi RAC = 3Ω thì đèn sáng bình thường. Bỏ qua
M
điện trở dây nối và ampe kế.
C
1. Tính điện trở toàn phần RAB của biến trở AB?
A A
2. Nếu con chạy dịch chuyển đến vị trí C’ mà RAC’ = 6Ω thì đèn phải chịu
A

một hiệu điện thế bằng bao nhiêu? Độ sáng của đèn khi đó sáng hơn hay tối hơn mức bình
A thường?
3. Thay đèn bằng điện trở R = 3Ω. Xác định vị trí của C để số chỉ của ampe kế cực đại?A
Hướng dẫn
+ Cường độ dòng điện định mức và điện trở của đèn là:

Id 

Pd
 1( A);
Ud

Rd 

U d2
 3()
Pd

E F
Đ
M

C B
A A
– File word sách tham khảo, giáo án dạy A
thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
A
A

B


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
+ Do RAC = 3Ω = Rd và đèn sáng bình thường nên:
IAC = Id = 1A
=> Cường độ dòng điện mạch chính: I = 2A
+ RMC 

Rd .RAC
 1,5()
Rd  RAC

+ Ta có: I 

U EF
RMC  RBC



U EF

RMC   RAB  RAC 



14
 2  RAB  8,5
1,5   RAB  3

Khi con chạy đến C’ với RAC’= 6Ω:
+ RMC ' 

Rd .RAC '
3.6

 2();
Rd  RAC ' 3  6

RC ' B  8,5  6  2,5

=> Điện trở của mạch là: Rm = RMC’ + RC’B = 4,5Ω.
+ Cường độ dòng điện mạch chính: I’ = UEF/Rm = 28/9 (A)
'
+ Hiệu điện thế hai đầu của đèn khi đó: U d'  U MC
'  I '.RMC '  6,22(V ) > Ud

Vậy đèn sáng quá mức bình thường và có thể bị cháy.
Thay đèn bằng điện trở R = 3Ω.
+ Đặt: RAC= x với điều kiện: 0  x  8,5Ω
+ Điện trở của toàn mạch: Rm  RMC  RCB 
+ Cường độ dòng điện trong mạch:

+ Ampe kế chỉ giá trị IAC: I AC 

I

R.x
 x 2  8,5x  25,5

 ( RAB  x) 
Rx
x3

U EF
14( x  3)
 2
Rm
 x  8,5 x  25,5

I .RMC
3
42
42

.I  2

x
3 x
 x  8,5 x  25,5 43,5625  ( x  4,25) 2

Ta xét: y  43,5625  ( x  4,25)2

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
thì: ( x  4,25)2  0

 y  43,5625  ( x  4,25)2  43,5625

 ymax  43,5625 khi: ( x  4,25)2  0  x  4,25()

=> Khi y = ymax thì IAC đạt giá trị nhỏ nhất Imin.
Ta có:
- Khi x = RAC = 0, C  A thì IAC  1,65A
- Khi x = RAC = 8,5Ω, C  B thì IAC  1,65A
Ta có bảng sau:

x
0
(Ω)
25,5
y
25,5
IAC 1,65
(A)
1,65

4,25

8,5

ymax
Imin

Vậy: Khi C  A (RAC
thì số chỉ của ampe kế đạt cực đại 1,65A.

= 0) hoặc C  B (RAC = 8,5Ω)

Bài 2. Cho mạch điện như hình vẽ. Nguồn điện U có hiệu điện thế không đổi là 21V; RMN = 4,5Ω, R1 =
3Ω, bóng đèn có điện trở không đổi RĐ = 4,5Ω. Ampe kế và dây nối có điện trở không đáng kể.
a. Khi khóa K đóng, con chạy C của biến trở ở vị trí điểm N, thì ampe kế chỉ 4A. Tìm giá trị của R2.
b. Xác định giá trị của đoạn biến trở RX ( từ M tới C) để đèn tối nhất khi khóa K mở.
c. Khi khóa K mở, dịch con chạy C từ M đến N thì độ sáng của đèn thay đổi thế nào? Giải thích.
Hướng dẫn
Khi K đóng và con chạy ở đầu N thì toàn bộ biến trở MN mắc song song với ampe kế. Khi đó mạch điện
trở thành: (R2 // Đ) nt R1
Lúc này ampe kế đo cường độ dòng điện mạch chính

U

R1

R2
P

C R đề bồi
– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
Đ Nchuyên
M
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
X

K
A

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

Rtm 

U 21

 5,25 (1)
I
4

Mặt khác: Rtm 

Rđ .R2
4,5.R2
 R1 
 3 (2)
Rđ  R2
4,5  R2

Từ (1) và (2) giải ra: R2 = 4,5Ω
Gọi điện trở của phần biến trở từ M tới con chạy là RX, như vậy điện trở của đoạn từ C đến N là R - RX.

U

Khi K mở mạch điện thành:

R1
Đ

R1ntRXnt{R2//[(R-RXntRđ)]}
P

R-RX
N

RX
C

M

2
( R  R X  Rđ ) R2
 R X2  6 R X R81
Điện trở toàn mạch: Rtm 
 R X  R1 
R  R X  Rđ  R2
13,5  R X

Cường độ dòng điện ở mạch chính: I 

UPC = I.RPC =

U (13,5  R X )
U

Rtm  R X2  6 R X  81

U (13,5  R X ) (9  R X ).4,5

4,5U (9  R X )
.

 R X2  6 R X  81 13,5  R X
 R X2  6 R X  81

Cường độ dòng điện chạy qua đèn: I đ 

U PC
4,5U

(3)
2
9  R X  R X  6 R X  81

Đèn tối nhất khi Iđ nhỏ nhất. Mẫu của biểu thức trong vế phải của (3) là một tam thức bậc hai mà hệ số của
RX âm. Do đó mẫu đạt giá trị lớn nhất khi:

RX  

4,5.U
6
để RX = 3 
 3 hoặc phân tích: I d 
2
2.(1)
90  (Rx  3)

Vậy khi Rx = 3Ω thì Iđ nhỏ nhất, đèn tối nhất.
Theo kết quả câu trên, ta thấy: Khi K mở, nếu dịch chuyển con chạy từ M tới vị trí ứng với RX = 3Ω thì đèn

tối dần đi, nếu tiếp tục dịch chuyển con chạy từ vị trí đó tới N thì đèn sẽ sáng dần lên.
Bài 3:Cho mạch điện như hình vẽ (Hình 2).

+U-đề bồi
– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên
R1
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
A
r
R2

B


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
Biết r = 3  , R1, R2 là một biến trở.
1. Điều chỉnh biến trở R2 để cho công suất trên nó là lớn nhất,
khi đó công suất trên R2 bằng 3 lần công suất trên R1. Tìm R1?
2. Thay R2 bằng một bóng đèn thì đèn sáng bình thường, khi
đó công suất trên đoạn mạch AB là lớn nhất. Tính công suất và
hiệu điện thế định mức của đèn? Biết U =12V.
Hướng dẫn
R .R
R (r  R1 )  r.R1
- Điện trở toàn mạch: R= r + RAB = r + 1 2  2
R1  R2
R1  R2
U ( R1  R2 )
U

- Dòng điện mạch chính: I= 
R R2 (r  R1 )  r.R1
Từ hình vẽ ta có: U2= UAB=I.RAB=

UR1 R2
R2 (r  R1 )  r.R1

U 2 .R12 .R2
U 22
- Công suất trên R2 : P2=
=
2
R2
 R2  r  R1   rR1 
Vận dụng bất đẳng thức côsi ta có:
U 2 .R12 .R2
U 2 .R12 .R2
U 2 .R1

P2 =

2
4 R2 (r  R1 ).rR1 4r (r  R1 )
 R2  r  R1   rR1 
rR1
U 2 .R1
Vậy P2MAX=
Khi R2(r +R1) = rR1 => R2 =
r  R1
4r (r  R1 )

(1)

P1 1
R
U2
1
= => AB . 22 =
P2 3
R1 U AB 3
R
1
=> 2 =
=> R1=3R2
R1 3
Từ (1) và (2) Giải ra ta có: R2= 2  ; R1=6 
Thay R2 bằng đèn. Từ hình vẽ ta có:
U
Cường độ dòng điện mạch chính . I =
r  RAB
Mặt khác theo bài ra ta có:

Công suất trên AB: PAB= I2.RAB => PAB=
=> PABMAX=

(2)

U 2 .RAB
U 2 .RAB U 2



(r  RAB ) 2
4r.RAB 4r

U2
Khi r=RAB = 3 
4r

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

Mặt khác RAB=
=>

R1.Rd
= 3
R1  Rd

6 Rd
=3 => Rd = 6 
6  Rd

PAB U 2
=
=3W
8r

2
U
Mặt khác vì RAB= r => Ud=UAB= =6V
2

Do Rd=R1 => Pd=P1=

Bài 4: Hai sợi dây dẫn điện đồng chất tiết diện đều, có cùng chiều dài L, có điện trở lần lượt là R 1 và R2
(R1 ≠ R2). Hai dây được uốn thành hai nửa vòng tròn rồi nối với nhau tại A và B tạo thành đường tròn tâm
O. Đặt vào A1, B1 một hiệu điện thế không đổi U, với độ dài các cung A1A và B1B đều bằng x (Hình vẽ 1).
Bỏ qua điện trở của các dây nối từ nguồn đến A1 và B1.
A

1. Tính cường độ dòng điện trong mạch chính theo x, L, R1 và R2.
2. Xác định x theo L, để cho cường độ dòng điện mạch chính đạt:
a) Cực tiểu.
b) Cực đại.
Hướng dẫn

+

x

+

x

Hình 1

-

A1
+ I

B1
n

R A1xA 

RA1 xA

O
x

B1
x

m

A1

-

A1

Do tính đối xứng nên ta có thể xem điện trở dây cung AB1B là R1 và điện
trở dây cung AA1B là R2 ta có mạch điện tương đương như hình

A

O

RA1nB

B
Hình 1

A

B

R AmB1
R BxB1

B
Hình
2

x.R 2
x
xR 1
x
; R A1nB  (1  )R 2 ; R BxB1 
; R AmB1  (1  )R1
L
L
L
L

Khi đó điện trở toàn mạch A1B1 là: R A1B1

x
x
xR 1 
 xR 2

 L  (1  L )R1 .(1  L )R 2  L 

R1  R 2

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

B1
-


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

Đặt X 

( R  X )( R2  X )
x
( R2  R1 ) ta được: RA1 B1  1
L
R1  R2

Khi đó cường độ dòng điện mạch chính:
I=

U
R A1B1



U.(R1  R 2 )
U.(R1  R 2 )

x
x
(R1  X)(R 2  X) 


R

(
R

R
)
.
R

(R 2  R1 )
1
2
1
2




L
L



Để I đạt min ta chỉ cần xét RA1 B1 , vì R1 + R2 không đổi, áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
(R1  X)(R 2  X)  (

R1  R 2 2
)
2

Nên RA1 B1 cực đại khi R1 + X= R2 - X  X 


R1  R2
2

x
R  R2
L
( R2  R1 )  1
x
L
2
2

Vậy cường độ dòng điện mạch chính đạt cực tiểu khi x =

L
2

Để I đạt max ta thì phải có (R1+ X)(R2-X) đạt min khi 0 ≤ x ≤ L
Ta thấy f(X) = (R1+ X)(R2-X) = -X2 + (R2 - R1)X + R1.R2
Vì f(X) là hàm số bậc 2 có hệ số A = -1< 0 nên đồ thị là một phần parabol quay bề lỏm xuống dưới.
Xét ở hai cận x = 0 và x = L thì tương ứng X = 0 và X = R2 - R1 khi đó f(X) đều bằng nhau, đạt cực tiểu
và bằng f(X) min = R1R2
Vậy I max khi x =0 hoặc khi x = L nghĩa là khi A1 trùng A; B1 trùng B hoặc A1 trùng B; B1 trùng A
Bài 5:Cho mạch điện như hình 1.
Nguồn điện có hiệu điện thế không đổi U=8V. Các điện trở r=2, R2=3, MN là một biến trở có
điện trở toàn phần bằng 3. Đèn có điện trở R1=3 và chịu được hiệu điện thế cực đại gấp 1,2 lần hiệu
điện thế định mức. Ampe kế, khóa K và các dây nối có điện trở không đáng kể, coi điện trở của đèn không
phụ thuộc vào nhiệt độ.
1. Mở khóa K. Xác định vị trí của con chạy C trên biến trở để ampe kế chỉ 0,6A.
2. Đóng khóa K
a) Xác định vị trí của con chạy C để công suất tiêu thụ trên biến trở bằng 0,6W.

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
b) Di chuyển con chạy C thì đèn luôn sáng và có một vị trí độ sáng của đèn đạt tối đa. Xác định công suất
định mức của đèn.
Hướng dẫn
Đặt
RCN=x()


RCM=3-x
( 0  x  3 ) R DC 

(R1  R CN ).R 2 3.(x  3)

R1  R 2  R CN
x6

3.(x  3) x 2  2x  39
R AN  r  R DC  R CM  5  x 

.
x6
x6
U
8.(x  6)
IAB 
 2
R AB  x  2x  39
U DC  IAB R DC 
IA 

8.(x  6)
3.(x  3)
24(x  3)

 2
2
 x  2x  39 x  6

x  2x  39

U DC
24(x  3)
1
24
 2

 2
R DEC  x  2x  39 x  3  x  2x  39

Ampe kế chỉ 0,6A 

24
 0, 6 .Giải phương trình ta được: x=1
 x  2x  39
2

KL về vị trí của con chạy C
2. Khi K đóng, ta có mạch:
Đặt RCB=y  y 

x(3  x)  x 2  3x

3
3

R DCB  R 2  R CB  y  3
R DB 

R DCB .R1
3.(y  3)

R DCB  R1
y6

R AB  r  R DB  2 

3.(y  3) 5y  21
U
8.(y  6)


. I AB 
y6
y6
R AB 5y  21

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

U DB  IAB R DB 

8.(y  6) 3.(y  3) 24.(y  3)



5y  21
y6
5y  21
2

IDCB

U
24.(y  3) 1
24
 24 
2
. PCB  ICB
 DB 


R CB  
 y
R DCB
5y  21 y  3 5y  21
 5y  21 
2

 24 
3
 y  0, 6  y   x  2, 2 hoặc x  0,83
Để P tiêu thụ trên biến trở bằng 0,6W thì: 

5
 5y  21 

b) U DB 

24.(y  3)
24

6
5y  21
5
y3

Khi y tăng thì y+3 tăng  5 

6
giảm  UDB tăng.Như vậy UDB lớn nhất khi y lớn nhất.
y3
2

3 9

9
 x   
2
2
3
9
9
3
 x  3x
2 4



Ta có: y 
.Ta có:   x      y  4 
 
3 4
3
3
4 4 4

 ymax =

3
3
khi x  . UDB(max)  3, 6(V)
4
2

Hiệu điện thế định mức của đèn: Uđm 

U DB(max)
1, 2



3, 6
 3(V)
1, 2

2
Uđm

32
  3(W)
Công suất định mức của đèn: Pđm 
R1
3

Bài 6:Cho mạch điện như hình 2: Đặt vào hai đầu của đoạn mạch
một hiệu điện thế UAB = 18V. Biến trở Rb có điện trở toàn phần RMN =
20  , R1 = 2  , đèn có điện trở R Ð = 2  , vôn kế có điện trở rất lớn,
ampe kế có điện trở nhỏ không đáng kể.
1. Điều chỉnh con chạy C để ampe kế chỉ 1A.
a) Xác định vị trí con chạy C.
b) Tìm số chỉ vôn kế khi đó.

A
+

D

B

V

-

M

RĐ
C

Rb

R1
N
Hình 2

A

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
c) Biết đèn sáng bình thường. Tìm công suất định mức của đèn.
2. Phải di chuyển con chạy C đến vị trí nào để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị lớn nhất ? Giá trị
lớn nhất ấy bằng bao nhiêu ? Cho biết độ sáng của đèn lúc này.
3. Biết đèn chịu được hiệu điện thế tối đa là 4,8V. Hỏi con chạy C chỉ được dịch chuyển trong khoảng nào
của biến trở ?
Hướng dẫn
.+ Mạch gồm : (RCM//RCN )ntR1ntRđ
Đặt RCM = x thì RCN = 20 -x với 0  x  20 ; R CB 
+ R AB  R 1 R d  R CB

+ UCB  IAB R CB 
+ IA 

x(20  x)
20

x(20  x) x 2  20x  80
U
18.20
 4

. IAB  AB 
2
R AB  x  20x  80
20
20

18.20
x(20  x)
18x(20  x)

 2
20
 x  20x  80
x  20x  80
2

UCB
18x(20  x)
1
18x
 2

 2
R CN  x  20x  80 20  x  x  20x  80

+ Ampe kế chỉ 1A 

18x
 1  x 2  2x  80  0
 x  20x  80
2

+ Giải phương trình ta được x = 10 hoặc x = -8 (loại)
+ Vậy con chạy C ở chính giữa biến trở thì ampe kế chỉ 1A
b.Với x = 10 ta có IAB 

18.20
 2(A) ; UÐ  IAB R Ð  2.2  4(V)
10  20.10  80
2

+ Số chỉ của vôn kế là: UV  UAB  UÐ  18  4  14(V)
c + Công suất định mức của đèn là: PÐ(đm)  PÐ 

Ý 2.Đặt y  R CB 

U 2Ð 42

 8(W)
RÐ 2

U
x(20  x)
18
; R AB  R Ð  R1  R CB  4  y . I AB  AB 

20
R AB y  4

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

2
Công suất tiêu thụ trên biến trở là: PCB  I AB
R CB



2


 18 
18



 .y  
4

y

4



 y y 



2

2

+ Áp dụng BĐT côsi ta có:

4
 18 
y
 2 4  4  PCB     20, 25
y
4

 x  14,5
4
 x 2  20x
y
 y4
 4 
20
y
 x  5,5

+ Dấu "=" xảy ra khi

+ Vậy con chạy C ở vị trí sao cho R CM  5,5 hoặc R CM  14,5 thì công suất tiêu thụ trên biến trở đạt
cực đại, giá trị cực đại bằng 20,25W.
Cường

độ

dòng

điện

trong

mạch

lúc

đó

là:

IAB 

18
18

 2, 25(A)
y4 44

 UÐ  IAB R Ð  2, 25.2  4,5(V) . Đèn sáng hơn bình thường

Ý 3+ U Ð  IAB R Ð 

+ U Ð  4,8(V) 

18
36
2 
y4
y4

 x 2  20x
36
 3,5
 4,8  y  3,5 
20
y4

+  x 2  20x  70  0  4,5  x  15,5 + Vậy con chạy C chỉ được di chuyển trong khoảng sao cho
điện trở của đoạn CM có giá trị từ 4,5 đến 15,5
Bài 7: Cho sơ đồ mạch điện như hình 4: đặt vào hai
đầu đoạn mạch A, B hiệu điện thế không đổi U AB =
24 V, biến trở PQ có điện trở toàn phần R 0 = 25 Ω,
các điện trở có giá trị
R 1 = 24 Ω, R2 = 7 Ω. Bỏ qua
điện trở của dây nối và khoá K.

A B
+ –
R1

A
R2

a) Khi khoá K mở: di chuyển con chạy C thì nhận thấy
K

C
– File word sách tham khảo, giáo án dạy
thêm, chuyên đề bồi
Q
P
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
Hình 4


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

khi

CP 6
thì công suất trên biến trở lớn nhất. Xác

CQ 19

định số chỉ của ampe kế A và công suất toàn mạch khi
đó.
b) Cố định vị trí con chạy C ở câu a rồi đóng khoá K. Xác định số chỉ của ampe kế A.
Hướng dẫn
a) Khi khoá K mở:

Gọi x, RA lần lượt là điện trở phần CP của biến trở và điện trở của
ampe kế.
- Mạch điện: RA nt {(R1 // x) nt R2}
- Điện trở tương đương của mạch điện:
R tđ  R A  R 2  R1CP  R A  7 

24 x
24  x

- Cường độ dòng điện mạch chính: I =

- Vì R1 // x nên ta có: I1 

U
24 x
(R A  7) 
24  x

(1)

x
I x (2)
24

Mặt khác: I = I1 + Ix (3)
Kết hợp (1)(2) và (3), ta có: I x 

242
(31  R A ) x  24(7  R A )

- Công suất tiêu thụ trên biến trở khi đó
Px =I2x x 

244 x

(31  R A ) x  24(7  R A )

Đặt B  (31  R A ) x 

2



244
24(7  R A ) 

(31  R A ) x 

x



2

24(7  R A )
. Công suất trên biến trở lớn nhất khi B nhỏ nhất.
x

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

Vì (31  R A ) x .

24(7  R A )
 24(7  R A )(31  R A )  const (do điện trở của ampe kế không đổi) nên B đạt
x

giá trị nhỏ nhất khi (31  R A ) x 

24(7  R A )
(3)
x

Theo giả thiết: R0 = 25Ω và khi đó

CP 6
 nên x = 6Ω, thay vào (3) ta có RA = 1Ω.
CQ 19

- Điện trở tương đương của toàn mạch Rtđ = 12,8Ω.
- Cường độ dòng điện mạch chính: I =

U
24

 1,875A , suy ra mpe kế chỉ1,875A.

R tđ 12,8

- Công suất toàn mạch khi đó: P = U.I = 24.1,875 = 45W.
b) Cố định con chạy ở ý a rồi đóng khoá K. Gọi R3 = RCP = 6Ω, R4 = RCQ = 19Ω.
Mạch điện đã cho trở thành: RA nt (R1 // R3) nt (R2 // R4)
- Điện trở tương đương của toàn mạch R tđ 
- Cường độ dòng điện mạch chính I =

360, 6

32

U
24.32

 2,13A suy ra ampe kế chỉ 2,13A.
R tđ 360, 6

Bài 8: Cho mạch điện như hình 1. Biết hiệu điện thế U không đổi, R là biến
trở. Khi cường độ dòng điện chạy trong mạch là I1 = 2A thì công suất toả
nhiệt trên biến trở là P1 = 48W, khi cường độ dòng điện là I2 = 5A thì công
suất toả nhiệt trên biến trở là P2 = 30W. Bỏ qua điện trở dây nối.
a. Tìm hiệu điện thế U và điện trở r?
b. Mắc điện trở R0 = 12  vào hai điểm A và B ở mạch trên. Cần thay
đổi biến trở R đến giá trị bao nhiêu để công suất toả nhiệt trên bộ R0 và R
bằng công suất toả nhiệt trên R0 sau khi tháo bỏ R khỏi mạch?
Giải:
a. Gọi điện trở của biến trở ứng với hai trường hợp đã cho là R1 và R2 thì:
U  I1 (r  R1 ) với R1  P21  12
I1

U  I2 (r  R 2 ) với R 2  P22  6 
I2 5

+

o

U

-o

r
A

B
C
R
Hình 1

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
Giải hệ phương trình trên ta được: U = 36V và r = 6 
b. Khi R0 nối tiếp r thì công suất toả nhiệt trên R0 là: P1 

U2
.R 0

(R 0  r)2

Đặt điện trở tương đương của (R0 // R) là x.

U2
.x
Khi mắc (R0 // R) nối tiếp r thì công suất toả nhiệt trên x là: P2 
(x  r) 2
U2
U2
R0
x
.R 0 
.x . 
Theo bài ra, ta có: P1  P2 

2
2
2
(R 0  r)
(x  r)
(R 0  r)
(x  r) 2
Giải ra ta được: x1  3 hoặc x 2  12
Từ đó : Khi x1  3 thì R 
Khi x 2  12 thì

R 0x
12.3


 4
R 0  x 12  3

R = 0.

Bài 9: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ(Hình 1).
U không đổi, Ampe kế A1 có điện trở không đáng kể, đèn Đ ghi 20V- 10W.
Người ta thấy để đèn sáng bình thường thì con chạy C ở vị trí mà điện trở
trên đoạn CM gấp hai lần điện trở trên đoạn CN và khi đó ampe kế A1 chỉ
0,75A.
a. Tìm giá trị của biến trở RMN .
b. Thay đèn Đ bằng một ampe kế A2 có điện trở 10  . Dịch chuyển vị trí
con chạy C trên đoạn MN đến vị trí mà ampekế A2 chỉ giá trị cực đại. Tính
giá trị cực đại đó
Giải:
Điện trở của đèn RĐ= 40(  ), IĐ = 0,5(A)
Tính IMC = Ic - IĐ = 0,25(A)

A1

+
U
-

N
C
§
M

Hình 1

U MC
=80(  )
I MC
3
RMN= RMC + RCN = RMC = 120(  )
2
U
Vì Ia = a  Ia lớn nhất khi Ua lớn nhất và bằng U.
Ra
RMC=

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
Từ câu a ta có: U = UMC + UCM = 20 + 30 = 50(V).
Ia max= 5(A)
§iÖn trë cña ®Ìn R§= 40(  ), I§ = 0,5(A)
TÝnh IMC = Ic - I§ = 0,25(A)

U MC
=80(  )
I MC
3
RMN= RMC + RCN = RMC = 120(  )
2
U

V× Ia = a  Ia lín nhÊt khi Ua lín nhÊt vµ b»ng U.
Ra
RMC=

Tõ c©u a ta cã: U = UMC + UCM = 20 + 30 = 50(V).  Ia max = 5(A)
Bài 10: Cho mạch điện như hình 2: Đặt vào hai đầu của đoạn mạch một hiệu
A
D
điện thế UAB = 18V. Biến trở Rb có điện trở toàn phần RMN = 20  , R1 = 2  ,
V
+
đèn có điện trở R Ð = 2  , vôn kế có điện trở rất lớn, ampe kế có điện trở nhỏ
M
RĐ
C
không đáng kể.
Rb
1. Điều chỉnh con chạy C để ampe kế chỉ 1A.
R1
N
a. Xác định vị trí con chạy C.
A
Hình
2
b. Tìm số chỉ vôn kế khi đó.
c. Biết đèn sáng bình thường. Tìm công suất định mức của đèn.
2. Phải di chuyển con chạy C đến vị trí nào để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt giá trị lớn nhất ? Giá trị
lớn nhất ấy bằng bao nhiêu ? Cho biết độ sáng của đèn lúc này.
3. Biết đèn chịu được hiệu điện thế tối đa là 4,8V. Hỏi con chạy C chỉ được dịch chuyển trong khoảng nào
của biến trở ?

Hướng dẫn
1. a
.+ Mạch gồm : (RCM//RCN )ntR1ntRđ

x(20  x)
20
2
x(20  x) x  20x  80

+ R AB  R 1 R d  R CB  4 
20
20
U
18.20
+ IAB  AB 
2
R AB  x  20x  80
18.20
x(20  x)
18x(20  x)

 2
+ UCB  IAB R CB 
2
20
 x  20x  80
x  20x  80
Đặt RCM = x thì RCN = 20 -x với 0  x  20 ; R CB 

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi

dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

B

-


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..
UCB
18x(20  x)
1
18x
 2

 2
R CN  x  20x  80 20  x  x  20x  80
18x
+ Ampe kế chỉ 1A 
 1  x 2  2x  80  0
2
 x  20x  80
+ IA 

+ Giải phương trình ta được x = 10 hoặc x = -8 (loại)
+ Vậy con chạy C ở chính giữa biến trở thì ampe kế chỉ 1A
b. Với x = 10 ta có

18.20
 2(A) ; UÐ  IAB R Ð  2.2  4(V)

10  20.10  80
+ Số chỉ của vôn kế là: UV  UAB  UÐ  18  4  14(V)
+ IAB 

2

c . Công suất định mức của đèn là: PÐ(đm)  PÐ 

U 2Ð 42

 8(W)
RÐ 2

x(20  x)
; R AB  R Ð  R1  R CB  4  y
20
18

y4

2. Đặt y  R CB 
+ I AB 

U AB
R AB


2

 18 

18
2
Công suất tiêu thụ trên biến trở là: PCB  I AB R CB  
.y  

4

 y4
 y y

2
4
 18 
 2 4  4  PCB     20, 25
+ Áp dụng BĐT côsi ta có: y 
y
4
+ Dấu "=" xảy ra khi








2

 x  14,5
4

 x 2  20x
y
 y4
 4 
20
y
 x  5,5

+ Vậy con chạy C ở vị trí sao cho R CM  5,5 hoặc R CM  14,5 thì công suất tiêu thụ trên biến trở đạt
cực đại, giá trị cực đại bằng 20,25W.
Cường độ dòng điện trong mạch lúc đó là:
+ IAB 

18
18

 2, 25(A)  UÐ  IAB R Ð  2, 25.2  4,5(V)
y4 44

+ Đèn sáng hơn bình thường

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


File word sỏch tham kho, giỏo ỏn dy thờm, chuyờn bi
dng hc sinh gii, luyn thi i hc,..
18
36
2

y4
y4
36
x 2 20x
4,8 y 3,5
3,5 x 2 20x 70 0
+ U é 4,8(V)
20
y4
4,5 x 15,5
3.+ U é IAB R é

+ Vy con chy C ch c di chuyn trong khong sao cho in tr ca on CM cú giỏ tr t 4,5 n
15,5
Bi 11. Một dây điện trở đồng chất tiết diện đều có giá trị 72, đ-ợc uốn thành vòng tròn tâm O, bán kính
9 cm để làm biến trở. Mắc biến trở này với một bóng đèn Đ1 có ghi 6V 1,5W và bóng đèn Đ2 có ghi
3V 0,5W theo sơ đồ hình vẽ. Điểm B đối xứng với điểm A qua O và A, B là hai điểm cố định. Con chạy C
có thể dịch chuyển trên đ-ờng tròn. Đặt vào hai điểm O, A hiệu điện thế không đổi U 9 V . Cho biết
hiệu điện thế giữa hai đầu bóng đèn Đ1 không đ-ợc v-ợt quá 8V. Điện trở các dây nối không đáng kể và
nhiệt độ không làm ảnh h-ởng đến các điện trở trong mạch.
a) Hỏi con chạy C chỉ đ-ợc phép dịch chuyển trên đoạn nào của đ-ờng tròn.
b) Xác định vị trí của C để bóng đèn Đ1 sáng đúng công suất quy định.
c) Có thể tìm đ-ợc vị trí của C để bóng đèn Đ2 sáng đúng công suất quy định đ-ợc không, tại sao?
d) Nếu dịch chuyển con chạy C theo chiều kim đồng hồ thì độ sáng của hai bóng đèn thay đổi thế nào?
Giải: Điện trở của các đèn là: R1

R2

U dm1 6 2

24
Pdm1 1,5

M

2
U dm
33
2

18
Pdm2 0,5

B

72
M
36
2
Gọi điện trở cung AC là r suy ra điện trở cung BC là 36 r 0 r 36 .
Ta vẽ lại mạch điện nh- hình vẽ sau:

Gọi điện trở cung AB là R3 R3

Đ1 C
O

Đ2

A

C

RCA
O


Ta có: R2,3

Đ1
I

E

A


RBA=R3
RBC

R .R
18.36
2 3
12
R2 R3 18 36

Đ2

IBC

File word sỏch tham kho, giỏo ỏn dy thờm, chuyờn bi

dng hc sinh gii, luyn thi i hc,..


File word sỏch tham kho, giỏo ỏn dy thờm, chuyờn bi
dng hc sinh gii, luyn thi i hc,..

RAE

R

2, 3

RBC RAC

R2,3 RBC RCA



12 36 r r
12 36 r r



48 r r
48

(48 r )r 1152 48r r 2

48
48

U
9.48
432
I


2
Rtd 1152 48r r
1152 48r r 2
432.24
10368
Hiệu điện thế trên đèn D1 là: U1 I .R1

2
1152 48r r
1152 48r r 2
48 r r 9r 48 r
432
U CA I .RAE

2
48
1152 48r r
1152 48r r 2
9r.12
108
Hiệu điện thế trên đèn D2 là: U 2 I BC .R2,3

2
1152 48r r

1152 48 r 2
10368
a) U1 8 V
8 1296 115248r r 2
1152 48r r 2
r 2 48r 144 0 r 24 432 r 24 432 0
Rtd R1 RAE 24







Suy ra r 24 432 (loại) và r 24 432 (loại); hoặc r 24 432 và r 24 432
24 432 r 24 432
3,2 r 44,8
Vì r 36 r luôn bé hơn 44,8
3,2
r 3,2
360 0 16 0 Số đo cung BC BOC 1800 160 1640
72
Vậy con chạy C chỉ đ-ợc phép dịch chuyển trên cung BC, có số đo góc ở tâm là:
COC 2BOC 2.164 3280 . ( C đối xứng với C qua AB nh- hình vẽ).
b) Đèn D1 sáng đúng công suất
10368
U1 U dm1
6 1728 1152 48r r 2
2
1152 48r r

2
r 48r 576 0
24
2
r 24 0 r 24 , khi đó con chạy C ở vị trí M t-ơng ứng với AOM
360 0 120 0 .
72
Vậy D1 sáng đúng công suất suy ra con chạy C ở vị trí M hoặc M đối xứng với M qua AB, ứng với
AOM AOM 1200 .
c) Đèn D2 sáng đúng công suất U 2 U dm2
108r

3 36r 1152 48r r 2
2
1152 48r r
r 2 12r 1152 0

File word sỏch tham kho, giỏo ỏn dy thờm, chuyờn bi
dng hc sinh gii, luyn thi i hc,..


File word sỏch tham kho, giỏo ỏn dy thờm, chuyờn bi
dng hc sinh gii, luyn thi i hc,..
Nghiệm của ph-ơng trình bậc hai trên là r1 6 1188 28,5 (loại) và r2 6 1188 40,5
(loại).
Vậy không thể tìm đ-ợc vị trí của con chạy C để đèn D2 sáng bình th-ờng.
108r
108
10368

d) Ta có: U1
; U2
2
2
152 48r r
1152 48r r
1152
r 48

r

1152
Đặt 48r r 2 r 48 r x ;
r y ; xmax khi r 48 r hay r 24 , (tự chứng minh)
r
10368
108
U1
; U2
1152 x
48 y
Khi con chạy C dịch chuyển theo chiều kim đồng hồ ở nửa đ-ờng tròn phía trên cung BMC, r giảm
dần từ 36 đến 3,2 () (ứng với vị trí C).
- Với đèn D2 : r giảm y tăng U 2 giảm độ sáng của D2 giảm.
- Với đèn D1 :
+ r giảm từ 36 đến 24 (C dịch chuyển từ M đến C) x tăng U1 giảm độ sáng D1 giảm.
+ r giảm từ 24 đến 3,2 thì x giảm U1 tăng độ sáng D1 tăng.
Khi C dịch chuyển theo chiều kim đồng hồ ở nửa đ-ờng tròn phía d-ới cung BM C , r tăng dần từ
3,2 () đến 36 ().
- Với đèn D2 : r tăng y giảm U 2 tăng độ sáng của D2 tăng.

- Với đèn D1 :
+ r tăng từ 3,2 () đến 24 () (C dịch chuyển từ C đến M ) x tăng U1 giảm độ sáng D1 giảm.
+ r tăng từ 24 () đến 36 () (C dịch chuyển từ M đến B) x giảm U1 tăng độ sáng D1 tăng.

File word sỏch tham kho, giỏo ỏn dy thờm, chuyờn bi
dng hc sinh gii, luyn thi i hc,..