Đề thi chính thức môn toán THPT quốc gia năm 2018 mã 112 file word có lời giải (miễn phí)

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 MÔN TOÁN
MÃ ĐỀ THI 112
Mã đề thi 112
Họ, tên thí sinh: .......................................................Trường: ................................................
Câu 1. Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối
lăngtrụ đã cho bằng

A.

2a

3

B.

4a

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số

3x + 2 x + C
2

A.

B.

3

C.

f ( x ) = x3 + x2

1 4 1 3
x + x +C
4
3

2 3
a
3

là

C.

x4 + x3 + C

Câu 3. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
A.
C.

Q ( −1;1;3)

Câu

4.

D.

2

x = 1− t

d :y = 5+t
 z = 2 + 3t


?

y

M ( 1;1;3)

Cho

y = ax + bx + c ( a, b, c ∈ ¡
4

D.

x3 + x 2 + C

P ( 1; 2;5 )

B.

N ( 1;5; 2 )

D.

4 3

a
3

hàm

số

)

có đồ thị như
hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã
cho là
A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

x

O

Câu 5. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị
của hàm số nào dưới đây?
A.
B.
C.
D.

y = x4 − x2 − 2
y = x3 − 3x 2 − 2
y = − x4 + x2 − 2

y
O

x

y = − x3 + 3 x 2 − 2

Câu 6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
Trang 1


82

A.

B.

28

C.

D.

C82
A82

Câu 7. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
uu
r
uu
r
n2 = ( −1;3; 2 )
n4 = ( 1;3; 2 )
A.
B.
Câu 8. Phương trình
x=3

A.

lim
Câu 9.

A.

52 x+1 = 125

1
2n + 5

B.

( P ) : 2 x + y + 3z − 1 = 0
uu
r

n3 = ( 2;1;3)

C.

có nghiệm là
x=

x =1

C.

B. 0

Câu 10. Cho hình phẳng

( H)

2

giới hạn bởi các đường

2

V = ∫ ( x 2 + 2 ) dx

1 + log 3 a

3

5

2

B.

3 − log 3 a

B.

2 3

1
2

y = x 2 + 2, y = 0, x = 1, x = 2

(H)

. Gọi V là thể

xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào
2

V = π ∫ ( x 2 + 2 ) dx

2

1

C.
3

log 3  ÷
a

D.

V = π ∫ ( x 2 + 2 ) dx

2

1

B.

Câu 12. Trong không gian Oxyz, mặt cầu
A.

D.

2

V = ∫ ( x 2 + 2 ) dx

Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý thì

A.

x=

+∞

C.

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình
đúng?

1

3
2

bằng

1
5

A.

có một vectơ pháp tuyến là
ur
n1 = ( 3;1; 2 )
D.

1

D.

bằng
1 − log 3 a

C.

( S ) : ( x − 5)

2

D.

+ ( y − 1) + ( z + 2 ) = 3

C. 9

2

1
log 3 a

2

có bán kính bằng

D. 3

y = f ( x)

Câu 13. Cho hàm số
có bảng biến thiên như
hình bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào
sau đây?

Trang 2

A.
C.

( −2;3)

B.

( −∞; −2 )

D.

( 3; +∞ )
( −2; +∞ )

Câu 14. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có bán kính r và độ dài đường sinh

A.

4
π rl
3

B.

4π r l

C.

2π r l

D.

l

bằng:

π rl

Câu 15. Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là
A.

−1 − 3i

B.

1 + 3i

Câu 16. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 85

B.

C.
y = x 4 − x 2 + 13

51
4

−1 + 3i

trên đoạn

D.

[ −1; 2]

B. 30°
2

Câu 18. Tích phân

D. 13
AB = a

2 ln
A.

7
5

C. 90°

và

SB = 2a

. Góc giữa

D. 45°

dx

∫ 2x + 3
1

bằng

C. 25

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
đường thẳng SB với mặt phẳng đáy bằng
A. 60°

1 − 3i

bằng

B.

1 7
ln
2 5

C.

1
ln 35

2

ln
D.

7
5

Câu 19. Từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3
quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng:

A.

2
91

B.

12
91

Câu 20. Tìm hai số thực x và y thỏa mãn
A.

x = 1, y = 1

B.

C.

1
12

D.

( 2 x − 3 yi ) + ( 3 − i ) = 5 x − 4i

x = −1, y = −1

C.

phẳng đáy và

A.

a
2

SA = a

. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng

B.

a 2
2

C.

với i là đơn vị ảo.

x = −1, y = 1

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C,

( SBC )
a 3
2

24
91

D.
BC = a

x = 1, y = −1

, SA vuông góc với mặt

bằng

D.

a 2
Trang 3


Câu 22. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên đoạn

hình bên. Số nghiệm thực của phương trình
là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

3 f ( x) − 5 = 0

và có đồ thị như
trên đoạn

x + 16 − 4
x2 + x

y=
Câu 23. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. 1

[ −2; 4]

B. 0

[ −2; 4]

là

C. 3

D. 2

Câu 24. Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,1%/năm. Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lại sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp
theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền
gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền
ra?
A. 12 năm

B. 11 năm

C. 10 năm
A ( 5; −4; 2 )

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là
A.
C.

2 x − 3 y − z − 20 = 0

B.

3x − y + 3z − 13 = 0

Câu 26. Hệ số của

x5

D.

và

. Mặt phẳng đi qua A và

3 x − y + 3 z − 25 = 0

x ( x − 2 ) + ( 3 x − 1)

B. −13668

A. 13668

B ( 1; 2; 4 )

2x − 3y − z + 8 = 0

6

trong khai triển biểu thức

D. 13 năm

C. 13548

8

bằng
D. −13548

e

∫ ( 2 + x ln x ) dx = ae
Câu 27. Cho
A.

2

+ be + c

1

a + b = −c

với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
B.

a − b = −c

C.

a −b = c

D.

a +b = c

( z − 2i ) ( z + 2)

Câu 28. Xét các số phức z thỏa mãn
là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp
tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng
A.

2

B.

2 2

C. 4

D. 2

Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình

9 x − m.3x +1 + 3m 2 − 75 = 0
A. 5

có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
B. 4

C. 8

D. 19

Trang 4


x y +1 z −1
=
=
1
2
1

∆:
Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

( P) : x − 2 y − z + 3 = 0

. Đường thẳng nằm trong

( P)

và mặt phẳng

đồng thời cắt và vuông góc với

∆

có phương

trình là

A.

 x = −3

 y = −t
 z = 2t


B.

x = 1

 y = 1− t
 z = 2 + 2t


C.

 x = 1 + 2t

 y = 1− t
z = 2


D.

x = 1+ t

 y = 1 − 2t
 z = 2 + 3t


Câu 31. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian
v( t) =

1 2 58
t + t ( m / s)
120
45

bởi quy luật
, trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu
chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng
a ( m / s2 )

hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng
(a là hằng số). Sau khi
B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
A. 21 (m/s)

B. 36 (m/s)

C. 30 (m/s)

D. 25 (m/s)

Câu 32. Ông A dự định sử dụng hết 5,5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ
nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có
dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A. 1,51 m3

B. 1,17 m3

C. 1,40 m3

D. 1,01 m3

OA = a
Câu 33. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau,
và
OB = OC = 2a
. Gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng

A.

a 2
2

B.

a

C.

a 6
3

D.
y=

Câu 34. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

( −∞; −6 )

x+2
x + 3m

2a 5
5

đồng biến trên khoảng

?

A. 2

B. 1

C. Vô số

D. 6

Câu 35. Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều cạnh đáy bằng 3mm và chiều cao bằng
200mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có
chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính bằng 1mm. Giả định 1m3 có giá a
(triệu đồng), 1m3 than chì có giá 7a (triệu đồng). Khi đó giá nguyên vật liệu làm một chiếc bút chì
như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 84,5.a (đồng)

B. 90,07.a (đồng)

C. 8,45.a (đồng)

D. 9,07.a (đồng)
Trang 5


Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
x=0
đạt cực tiểu tại điểm
.
A. 7

B. Vô số

C. 6

y = f ( x) , y = g ( x)

Câu 37. Cho hai hàm số

y = x8 + ( m − 3 ) x5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1

D. 4

. Hai hàm số

y = f '( x)

và

y = g '( x)

hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
5

h ( x ) = f ( x + 6) − g  2x + ÷
2


A.

 21

 ; +∞ ÷
 5


có đồ thị như

y = g '( x )

. Hàm số

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

B.

 17 
 4; ÷
 4

C.

1 
 ;1÷
4 

D.

 21 
 3; ÷
 5

5
BB '
, khoảng cách từ C đến đường thẳng
bằng
,
CC '
BB '
khoảng cách từ A đến đường thẳng
và
lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A

Câu 38. Cho khối lăng trụ

lên mặt phẳng
bằng

A.

( A ' B ' C ')

f ( 1)

là trung điểm M của

2 5
3

Câu 39. Cho hàm số

ABC. A ' B ' C '

B.
f ( x)

B 'C '

15
3

C.
f ( 2) = −

thỏa mãn

và

1

5

và

A'M = 5

. Thể tích khối lăng trụ đã cho

5

f ' ( x ) = x 3  f ( x ) 

D.

2 15
3

2

với mọi

x∈¡

. Giá trị của

bằng

Trang 6

−
A.

4
35

−
B.

79
20

−
C.

4
5

−
D.

71
20

 x = 1 + 3t

d :  y = 1 + 4t
z = 1


∆
Câu 40. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
. Gọi
là đường thẳng đi qua
r
A ( 1;1;1)
u ( −2;1; 2 )
∆
điểm
và có vectơ chỉ phương
. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và
có phương trình là

A.

 x = 1 + 27t

 y = 1+ t
z = 1+ t


B.

x = 1− t

 y = 1 + 17t
 z = 1 + 10t


D.

 x = −18 + 19t

 y = −6 + 7t
 z = 11 − 10t


với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

để phương trình đã cho có nghiệm.

A. 19

B. 17

a > 0; b > 0

Câu 42. Cho
a + 2b
thức
bằng

A.

C.

2 x + m = log 2 ( x − m )

Câu 41. Cho phương trình
m ∈ ( −18;18 )

 x = −18 + 19t

 y = −6 + 7t
 z = −11 − 10t


C. 9

thỏa mãn

3
2

D. 18

log 2 a + 2b +1 ( 4a 2 + b 2 + 1) + log 4 ab +1 ( 2a + 2b + 1) = 2

B. 5

C. 4

D.

. Giá trị biểu

15
4

Câu 43. Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn

suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

A.

683
2048

B.

Câu 44. Cho hình lập phương

1457
4096
ABCD. A ' B ' C ' D '

MO =
và M thuộc đoạn thẳng OI sao cho
phẳng

( MC ' D ')

và

( MAB )

C.

1
MI
2

77
512

D.

[ 1;16]

. Xác

19
56

tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông

A ' B 'C ' D '

(tham khảo hình vẽ). Khi đó sin góc tạo bởi hai mặt

bằng

Trang 7


A.

6 13
65

B.

7 85
85

C.

B. 3
y=

Câu 46. Cho hàm số
tuyến của

( C)

tại A cắt

y1 − y2 = 4 ( x1 − x2 )

, có đồ thị

( C)

B. 0

. Xét các điểm M thuộc
mặt phẳng có phương trình là

3x + 4 y − 2 = 0

B.

y=

Câu 48. Cho hàm số

x−2
x +1

( S)

B.

3x + 4 y + 2 = 0

sao cho tiếp
thỏa mãn

có đồ thị

D. 2

( S ) : ( x − 2)

( C)

C.

2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 16
2

2

6 x + 8 y − 11 = 0

D.

( S)

( C)

và điểm

, M luôn thuộc

6 x + 8 y + 11 = 0

. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của

( C)

. Xét

, đoạn thẳng AB có độ dài bằng

3

Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu tâm
B, C, D thuộc
trị lớn nhất bằng

( C)

( M , N ≠ A)

sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với

tam giác đều ABI có A, B là hai điểm thuộc

( S)

M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 )

C. 3

A ( −1; −1; −1)

6

. Có bao nhiêu điểm A thuộc

tại hai điểm phân biệt

Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

A.

D. 1

?

A. 1

A.

6 85
85

.

C. 2

1 4 7 2
x − x
6
3

( C)

D.

z ( z − 5 − i ) + 2i = ( 6 − i ) z

Câu 45. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
A. 4

17 13
65

C.

2 2

I ( −1; 0; 2 )

D.
đi qua điểm

2 3

A ( 0;1;1)

. Xét các điểm

sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích tứ diện ABCD có giá

Trang 8


A.

8
3

B. 8

C. 4

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx +
Câu 50. Cho hai hàm số

y = f ( x)

3
4

D.
g ( x ) = dx 2 + ex −

và

3
4

4
3

( a, b, c, d , e ∈ ¡ )

. Biết

y = g ( x)

rằng đồ thị của hai hàm số
và
cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ là
−2;1;3
(tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho bằng

O

1

3

2

A.

125
48

B.

x

253
24

C.

125
24

D.

253
48

Trang 9

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1A

2B

3C

4A

5D

6D

7C

8B

9B

10C

11C

12A

13A

14C

15B

16C

17A

18B

19A

20A

21B

22C

23A

24A

25A

26D

27C

28A

29B

30B

31C

32B

33C

34A

35C

36C

37C

38D

39C

40D

41B

42D

43A

44A

45B

46D

47A

48D

49D

50D

Câu 1. Chọn đáp án A.
V = S day .h = a 2 .2a = 2a 3
Câu 2. Chọn đáp án B.

∫( x

3

+ x 2 ) dx =

x4 x3
+ +C
4 3

Câu 3. Chọn đáp án C.
Câu 4. Chọn đáp án A.
Câu 5. Chọn đáp án D.
Câu 6. Chọn đáp án D.

Lấy từ 8 chữ số ra 2 chữ số khác nhau có

A82

(cách chọn).

Câu 7. Chọn đáp án C.
Câu 8. Chọn đáp án B.
PT

⇔ 52 x +1 = 53 ⇔ 2 x + 1 = 3 ⇔ x = 1

.

Câu 9. Chọn đáp án B.
Câu 10. Chọn đáp án C.
Câu 11. Chọn đáp án C.
3
log 3  ÷ = log 3 3 − log 3 a = 1 − log 3 a
a

.

Câu 12. Chọn đáp án A.
Câu 13. Chọn đáp án A.
Câu 14. Chọn đáp án C.
Đường sinh của hình trụ bằng đường cao của hình trụ.
Câu 15. Chọn đáp án B.
Câu 16. Chọn đáp án C.
 x = 0 ∈ [ −1; 2]

y ' = 4 x − 2 x = 0 ⇔ 
1
x=±
∈ [ −1; 2]

2
3

. So sánh

 1 
 1 
f ( −1) , f  −
÷, f ( 0 ) , f 
÷, f ( 2 )
2

 2

.
Trang 10


Câu 17. Chọn đáp án A.

Góc giữa SB và mặt phẳng đáy là

·
SBA

. Ta có

AB 1
·
·
SBA
=
= ⇒ SBA
= 60°
SB 2

.

Câu 18. Chọn đáp án B.
dx
1 d ( 2 x + 3) 1
1 7
∫1 2 x + 3 = 2 ∫1 2 x + 3 = 2 ln 2 x + 3 1 = 2 ln 5
2

2

2

.

Câu 19. Chọn đáp án A.

Xác suất cần tìm là

C53
2
=
3
C15 91

.

Câu 20. Chọn đáp án A.

2 x + 3 = 5 x
x = 1
⇔
−3 y − 1 = −4  y = 1

( 2 x + 3) + ( −3 y − 1) i = 5 x − 4i ⇔ 

.

Câu 21. Chọn đáp án B.
Dễ thấy

BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAC )

theo giao tuyến SC.

AH ⊥ SC ( H ∈) ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d  A; ( SBC )  = AH =

Kẻ

SA. AC
SA2 + AC 2

=

a 2
2

.

Câu 22. Chọn đáp án C.
⇔ f ( x) =

5
3

y=

PT
, mà
nghiệm phân biệt.

5
3

là đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Do đó PT đã cho có 3

Câu 23. Chọn đáp án A.
Tập xác định
y=

Ta có

D = [ −16; +∞ ) \ { −1;0}

x + 16 − 4
= 2
x2 + x
( x + x)

(

.

x
x + 16 + 4

)

=

( x + 1) (

1
x + 16 + 4

)

( x ≠ −1)

⇒ lim x→−1− y = −∞; lim x→−1+ y = +∞

⇒ x = −1

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 24. Chọn đáp án A.
T = M ( 1 + 6,1% ) ⇒ 2 M = M ( 1 + 6,1% ) ⇒ 2 = 1, 061n ⇒ n ≈ 11, 706
n

n

.
Trang 11


Câu 25. Chọn đáp án A.
A ( 5; −4; 2 )

Mặt phẳng đi qua điểm
phương trình là

và nhận

uuu
r
AB = ( −4;6; 2 ) / / ( 2; −3; −1)

2 ( x − 5 ) − 3 ( y + 4 ) − ( z − 2 ) = 0 ⇒ 2 x − 3 y − z − 20 = 0

làm vectơ pháp tuyến có

.

Câu 26. Chọn đáp án D.
x ( x − 2 ) + ( 3x − 1) = x.C6k x k ( −2 )
6

Ta có

Để tìm hệ số của

8

x5

6−k

+ C8m ( 3x )

k = 4, m = 5 ⇒ C64 ( −2 )

thì

6− 4

m

( −1)

8− m

+ C85 .35. ( −1)

8−5

= −13548
.

Câu 27. Chọn đáp án C.
e

e

e

e

1 2

 1
∫1 ( 2 + x ln x ) dx = 2 x 1 + ∫1 x ln xdx =  2 x + 2 x ln x ÷ 1 − 2 ∫1 xdx
e

1

a=

e
4

1 2

1 2
1 2
7

=  2 x + x ln x − x ÷ = e + 2 x − ⇒ b = 2 ⇒ a − b = c
2
4 1 4
4 

7
c = −
4


.

Câu 28. Chọn đáp án A.
Giả sử
Ta có
Để

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

.

( z − 2i ) ( z + 2 ) =  x − ( y + 2 ) i  ( x + 2 + yi ) = x ( x + 2 ) + y ( y + 2 ) +  xy − ( x + 2 ) ( y + 2 )  i

( z − 2i ) ( z + 2)

⇔ x ( x + 2 ) + y ( y + 2 ) = 0 ⇔ ( x + 1) + ( y + 1) = 2
2

là số thuần ảo

.

2

.

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

2

.

Câu 29. Chọn đáp án B.
Đặt

t = 3x ( t > 0 )

. Phương trình đã cho trở thành

t 2 − 3mt + 3m 2 − 75 = 0

(1)

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

dương.

Trang 12




9m − 4 ( 3m − 75 ) > 0
 ∆( 1) > 0
m < 100
 −10 < m < 10





⇔ m > 0
⇔ m > 0
⇒ 5 < m < 10
 S > 0 ⇔ 3m > 0
P > 0
3m 2 − 75 > 0
 m 2 > 25
 m>5




  m < 05
2

Khi đó

⇒ m ∈ { 6;7;8;9}

2

2

.

.

Câu 30. Chọn đáp án B.
Gọi d là đường thẳng cần tìm,
Đường thẳng d nằm trong
Vì

( P)

A = d ∩ ∆ ⇒ A ( a; −1 + 2a;1 + a ) ∈ ∆

và vuông góc với

∆

có VTPT

.
uu

r uuur uur
nd =  n( P ) , u∆  = ( 0; −2; 4 ) / / ( 0; −1; 2 )

A ∈ ( P ) ⇒ a − 2 ( −1 + 2 a ) − ( 1 + a ) + 3 = 0 ⇔ a = 1 ⇒ A ( 1;1; 2 )

x = 1

⇒ d :  y = 1− t
 z = 2 + 2t


.

.

.

Câu 31. Chọn đáp án C.
Quãng đường điểm A đi được cho đến lúc gặp B là
18

 1 2 58 
SA = ∫ 
t + t ÷dt = 225 ( m )
120
45 

0

.

vB ( t ) = at

Vận tốc của điểm B tại thời điểm t (giây) tính từ lúc B xuất phát là

.

Quãng đường điểm B đi được cho đến lúc gặp A là
15

at 2
S B = ∫ atdt =
2
0

Theo đề bài ta có

225 = 112,5a ⇒ a = 2

15

0

= 112, 5a ( m )

.

.

Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

vB ( 15 ) = 15a = 15.2 = 30 ( m / s )

.

Câu 32. Chọn đáp án B.
Đặt chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp lần lượt là x, y, z.
Theo giả thiết có

y = 2x

và diện tích 5 mặt (không kể nắp) của hình hộp chữ nhật là

Trang 13


xy + 2 xz + 2 yz = 5,5 ⇔ 2 x 2 + 6 xz = 5,5

Thể tích của hình hộp là

V = xyz = 2 x 2 z

2 x 2 + 6 xz = 5,5 ⇔ z =

Ta có

5, 5 − 2 x 2
6x

.

.

.

Vì

vậy

 33  11 33
 5,5 − 2 x 2 
−2 x 3 + 5,5 x
3
V = 2x2 z = 2 x2 
=
f
x
=
≤ max f ( x ) = f 
(
)
÷
÷
÷ = 54 ≈ 1,17m

11 
6
x
3
6



 0;
÷


4 ÷




.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số dương ta có
3

2
2
11 33
 11 
2 x 2 + 3 xz + 3 xz ≥ 3 3 2 x 2 .3 xz.3xz = 3 3 18 ( x 2 z ) ⇒ 18 ( x 2 z ) ≤  ÷ ⇒ V = 2 x 2 z ≤
54
6

.

Câu 33. Chọn đáp án C.
Chọn gốc tọa độ tại O các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia OB, OC, OA.
Ta có

O ( 0;0;0 ) , B ( 2a;0;0 ) , C ( 0; 2a;0 ) , A ( 0;0; a )

.
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
⇒ M ( a; a;0 ) , OM = ( a; a;0 ) , AB = ( 2a;0; −a ) , OA = ( 0;0; a )

uuuur uuur uuu
r
OM , AB  .OA a 6


⇒ d ( OM , AB ) =
=
uuuu
r uuu
r
3
OM , AB 



.

Câu 34. Chọn đáp án A.
y' =

3m − 2

( x + 3m )

2

Có
Do đó

m ∈ { 1; 2}

2

3m − 2 > 0
2
m >
> 0, ∀x < −6 ⇔ 
⇔
⇔ 3
3
 x + 3m ≠ 0, ∀x < −6
 −3m ≥ −6

.

.

Câu 35. Chọn đáp án C.
Thể tích của khối trụ bằng

V1 = π r 2 h = 200π ( mm3 )

Thể tích của khối lăng trụ bằng

.

 32 3 
3
V = Sh = 6 
÷
÷200 = 2700 3 ( mm )
4



Thể tích của phần gỗ làm bút bằng

.

V2 = V − V1 = 2700 3 − 200π ( mm3 )
Trang 14


(

(

V1.7 a + V2 .a = 7 × 200π + 2700 3 − 200π
Vậy giá nguyên vật liệu bằng

(đồng).

) ) ×10

−9

× a ×106 ≈ 8, 45.a

Câu 36. Chọn đáp án C.
Ta có

f ( x ) = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1; f ( 0 ) = 1

f ' ( x ) = 8 x 7 + 5 ( m − 3) x 4 + 4 ( 9 − m 2 ) x 3 ⇒ f ' ( 0 ) = 0, ∀m

Vì
nghĩa

Vì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
∀x ∈ [ −h; h ] \ { 0}

x=0

. Do vậy lúc này cần sử dụng định
∃h > 0

nên theo định nghĩa phải

sao cho

f ( x ) > f ( 0)

,

.

∃ > 0 | x 4  x 4 + ( m − 3) x − m 2 + 9  > 0, ∀x ∈ [ − h; h ] \ { 0}
⇔ ∃h > 0 | x 4 + ( m − 3) x − m 2 + 9 > 0 ( *) , ∀x ∈ [ −h; h ] \ { 0}
h 4 + ( m − 3) h − m 2 + 9 > 0
⇒ 4
2
h − ( m − 3) h − m + 9 > 0
⇒ 2 h 4 + 2 ( − m 2 + 9 ) > 0 ⇒ − m 2 + 9 ≥ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3

.

Thử lại
•
•
•
•
•
•
•

m = 3 ⇒ x 4 > 0, ∀x ≠ 0

(thỏa mãn).

m = −3 ⇒ x 4 − 6 x > 0 ⇔ x > 3 6 ∨ x < 0

m = 2 ⇒ x 4 − x + 5 > 0, ∀x

(loại).

(thỏa mãn).

m = −2 ⇒ ( *) ⇔ x 4 − 5 x + 5 > 0, ∀x
m = 1 ⇒ ( *) ⇔ x 4 − 2 x + 8, ∀x

(thỏa mãn).

(thỏa mãn).

4
m = −1 ⇒ ( *) ⇔ x − 4 x + 8 > 0, ∀x

m = 0 ⇒ ( *) ⇔ x 4 − 3 x + 9 > 0, ∀x

(thỏa mãn).

(thỏa mãn).

Vậy có tất cả 6 số nguyên thỏa mãn.
Câu 37. Chọn đáp án C.
Trang 15


Có

5


h ' ( x ) = f '( x + 6) − 2g '  2x + ÷> 0
2


. Không thể giải trực tiếp bất phương trình này.

Quan sát đồ thị của hai hàm số trên đoạn
Do đó

f ' ( x ) > 2 g ' ( x ) , ∀x ∈ ( 3;8 )

min f ' ( x ) = f ( 3 ) = 10; max g ' ( x ) = g ( 8 ) = 5

có

[ 3;8]

[ 3;8]

.

.

3 < x + 6 < 8
1

⇔ 
5

4
3 < 2 x + 2 < 8

Do đó nếu

[ 3;8]

thì

5

f ' ( x ) > 2 g '  2 x + ÷⇒ h ' ( x ) > 0
2


trên khoảng

1 
 ;2÷
4 

.

Đối chiếu đáp án chọn C.
Câu 38. Chọn đáp án D.
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
AA '/ / BB '/ / CC '

nên

EF = d ( C , BB ' ) = 5

Gọi N là trung điểm
2

AE ⊥ AA ', AF ⊥ AA ' ⇒ ( AEF ) ⊥ AA ' ⇒ EF ⊥ AA '

BC , H = EF ∩ MN ⇒ AH ⊥ MN ( MN / / AA ' )

.

Do

và
đó

AH =

2

nên

EF
5
=
2
2

. Ta có H là trung điểm EF và
AN = A ' M = 5

. Tam giác vuông AMN có

1
1
1
4
1
1
15
15 2 15
=
+
⇒ =
+ ⇔ AM =
⇒ AA ' = 5 +
=
2
2
2
2
AH
AM
AN
5 AM
5
3
9
3

Mặt khác do

AE = 1, AF = 2

ta có

.

AE + AF = EF = 5
2

BB ', CC '

( A ' B ' C ') ⊥ AM
·
⇒ ( ( A ' B ' C ' ) , ( AEF ) ) = ( AM , AA ' ) = MAA
'

( AEF ) ⊥ AA '

Tam giác AEF là hình chiếu vuông góc của tam giác

A ' B 'C '

lên mặt phẳng

và

.

.

( AEF )

.
Trang 16


Vì vậy theo định lý hình chiếu có
S A ' B 'C '

1
.1.2
S AEF
15 2 15
2
=
=
= 2 ⇒ VABC . A ' B ' C ' = S A ' B 'C ' . AM = 2.
=
·
3
3
15
cos MAA '
3
2 15
3

.

Cách 2: Ta có thể tính thông qua các công thức nhanh thể tích tứ diện như sau:
VABC . A ' B ' C ' = 3VA. A ' B ' C ' =

2 S AA ' B ' .S AA ' C ' .sin ( ( AA ' B ' ) , ( AA ' C ' ) )
3 AA '

Có

Trong đó

= AA ' =

2 15
3

1
1
1

 S AA ' B ' = 2 AA '.d ( B ', AA ' ) = 2 AA '.d ( A, BB ' ) = 2 AA '

1
1

 S AA 'C ' = AA '.d ( C ', AA ' ) = AA '.d ( A, CC ') = AA '
2
2

·

( ( AA ' B ') , ( AA ' C ' ) ) = EAF
= 90°



* Điểm khó nhất của bài toán này là đi tính được độ dài AM thông qua tam giác vuông AMN. Theo
đánh giá của thầy, thì đây là câu hỏi khó nhất của đề thi năm nay.
Câu 39. Chọn đáp án C.
Có
f '( x)

( f ( x) )
⇔

2

=x ⇒∫
3

2

1

f '( x)

( f ( x) )

2

15

1
dx = ∫ x dx =
⇔−
4
f ( x)
1

2

=
1

15
4

1
1
15
1
15
4
−
= ⇔
+ 5 = ⇔ f ( 1) = −
f ( 1) f ( 2 ) 4
f ( 1)
4
5

Câu 40. Chọn đáp án D.

Có

2

3

ur
u1 ( 3; 4;0 )

A ( 1;1;1) = d ∩ ∆

. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
uruu
r
ur uu
r
uu
r
u1 u2 = −6 + 4 = −2 < 0 ⇒ u1 , u2 > 90°
u2 ( −2;1; 2 )
phương
. Có
.

(

)

. Đường thẳng

∆

có vectơ chỉ

∆
Do đó phân giác của góc nhọn d và sẽ đi qua A và có vectơ chỉ phương
r 1 ur 1 uu
r 1
1
2
 19 7
u = ur u1 − uu
r u2 = ( 3; 4; 0 ) − ( −2;1; 2 ) =  ; ; − ÷/ / ( 19; 7; −10 )
5
3
 15 15 3 
u1
u2
Câu 41. Chọn đáp án B.

Trang 17


log 2 ( x − m ) = t ⇔ x − m = 2t ⇔ m = x − 2t

Đặt

, phương trình trở thành:

2 x + x − 2t = t ⇔ 2 x + x = 2t + t ⇔ x = t ⇔ x = log 2 ( x − m ) ⇔ m = x − 2 x

Khảo sát hàm số

f ( x ) = x − 2x

ta có


 1 
 1  1
m ≤ max f ( x ) = f  log 2 
= log 2 
≈ −0,91393
÷
÷−
÷
¡
 ln 2  
 ln 2  ln 2


Vậy

m ∈ { −17;...; −1}

.

.

. Có 17 số nguyên thỏa mãn.

Câu 42. Chọn đáp án D.
ln ( 4a 2 + b 2 + 1)

Có

ln ( 2a + 2b + 1)

+

ln ( 2 a + 2b + 1)
ln ( 4ab + 1)

=2

.

Sử dụng AM - GM có
ln ( 4a 2 + b 2 + 1)

ln ( 4a 2 + b 2 + 1)
ln ( 2a + 2b + 1)
+
≥2
ln ( 2a + 2b + 1)
ln ( 4ab + 1)
ln ( 4ab + 1)

4a + b ≥ 2 4a .b = 4ab ⇒ 4a + b + 1 ≥ 4ab + 1 ⇒
2

2

2

2

2

2

Mặt khác

Do đó dấu bằng phải xảy ra tức
a + 2b =
Do đó

3
15
+3=
4
4

ln ( 4a 2 + b 2 + 1)
ln ( 4ab + 1)

≥1

.

3

 2a = b
a=
2


ln
6
a
+
1
=
ln
8
a
+
1
(
)
(
)



4
⇔
⇔
 ln ( 2a + 2b + 1)
 ln ( 4ab + 1) = 1 b = 2a

b = 3


2

.

Câu 43. Chọn đáp án A.
Mỗi bạn có 16 cách viết nên số phần tử không gian mẫu là

163

.

Các số tự nhiên từ 1 đến 16 chia thành 3 nhóm:
• Nhóm I gồm các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 5 số
• Nhóm II gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 gồm 6 số
• Nhóm III gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 2 gồm 5 số.
Để ba số có tổng chia hết cho 3 thì xảy ra các trường hợp sau:
• Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm I có

53

cách
Trang 18


• Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm II có

63

cách

53

• Cả ba bạn viết được số thuộc nhóm III có

cách

• Mỗi bạn viết được một số thuộc một nhóm có
Vậy có tất cả

53 + 63 + 53 + 3!× ( 5 × 6 × 5 ) = 1366

Xác suất cần tính bằng

1366 683
=
163
2048

3!× ( 5 × 6 × 5)

kết quả thuận lợi cho biến cố cần tính xác suất.

.

Câu 44. Chọn đáp án A.

B'

Chọn gốc tọa độ tại
các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia
cạnh hình lập phương bằng 6.
Ta có

B ' ( 0;0;0 ) , C ' ( 6;0;0 ) , D ' ( 6;6;0 ) , A ( 0;6;6 ) , B ( 0;0;6 ) , M ( 3;3; 2 )

Mặt phẳng

ur uuuur uuuur
n1 =  MC ', MD ' = ( 12;0;18 )

( MC ' D ')

có vectơ pháp tuyến
uu
r uuur uuur
n2 =  MA, MB  = ( 24;0;18 )
( MAB )
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
cos α =
Vậy

B ' C ', B ' A ', BB '

12.24 + 182
122 + 182 24 2 + 182

=

. Chọn độ dài

.
.

17 13
6 13
⇒ sin α = 1 − cos 2 α =
65
65
.

( MAB ) , ( MC ' D ')

AB / / C ' D '
lần lượt chứa hai đường thẳng
nên giao
N, P
AB, C ' D '
Mx / / AB / / C ' D '
tuyến là đường thẳng
. Gọi
lần lượt là trung điểm các cạnh
ta có

Cách 2: Hai mặt phẳng

MN ⊥ AB MP ⊥ C ' D ' ⇒ Mx ⊥ ( MNP ) ⇒ ( ( MAB ) , ( MC ' D ' ) ) = ( MN , MP )
,
.

Có

MP = 22 + 32 = 13, MN = 32 + 4 2 = 5, PN = AD ' = 6 2

Trang 19


·
cos PMN
=
Do đó

MN 2 + MP 2 − PN 2 13 + 25 − 72
17 13
=
=−
2 MN .MP
65
2 13.5

.

2

Do đó

 17 13 
6 13
·
sin PMN
= 1 − 
=
÷
÷
65
 65 

.

Câu 45. Chọn đáp án B.
Để cho đơn giản đặt

a = z ( a ≥ 0)

, đẳng thức trở thành:

a ( z − 5 − i ) + 2i = ( 6 − i ) z ⇔ az − 5a − ai + 2i = ( 6 − i ) z ⇔ ( a − 6 + i ) z = 5a + ( a − 2 ) i

.

Lấy môđun 2 vế có
z . a − 6 + i = 5a + ( a − 2 ) .i ⇔ a

( a − 6)

2

+ 1 = 25a 2 + ( a − 2 )

2

2
2
2
a ( a − 12a + 37 ) = 26a − 4a + 4
⇔
a ≥ 0

a = 1
( a − 1) ( a 3 − 11a 2 + 4 ) = 0
 a 4 − 12a3 + 11a 2 + 4a − 4 = 0

⇔
⇔
⇔  a 3 − 11a 2 + 4 = 0 ( 1)
a ≥ 0
 a ≥ 0
 a ≥ 0


Bấm máy nhận thấy (1) có ba nghiệm

a1 ≈ −0, 58754 ( l ) ; a2 = 0, 62079 ( tm ) ; a3 ≈ 10,967 ( t / m )
z=

Với mỗi giá trị của a ta có một số phức

.

5a + ( a − 2 ) i
a −6+i

. Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn.

Câu 46. Chọn đáp án D.

Xét

điểm

7 
 1
A  a; a 4 − a 2 ÷∈ ( C )
3 
 6

14 
1
7
2
y =  a 3 − a ÷( x − a ) + a 4 − a 2
3 
6
3
3

,

phương

trình

tiếp

tuyến

của

( C)

tại

A

là

.

Phương trình hoành độ giao điểm:
1 4 7 2  2 3 14 
1
7
x − x =  a − a ÷( x − a ) + a 4 − a 2
6
3
3 

6
3
3
⇔ x 4 − 14 x 2 − ( 4a 3 − 28a ) ( x − a ) − a 4 + 14a 2 = 0

Trang 20


⇔ ( x − a)

2

(x

2

x = a
+ 2ax + 3a 2 − 14 ) = 0 ⇔  2
2
 x + 2ax + 3a − 14 = 0 ( 1)

.

Ta cần tìm điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt
∆ ' = a 2 − ( 3a 2 − 14 ) > 0
7
x1 , x2 ≠ a ⇔ 
⇔ ≠ a2 < 7
2
2

2
3
a + 2a + 3a − 14 ≠ 0

y1 − y2 = 4 ( x1 − x2 ) ⇔ kMN =
Vậy

y1 − y2
=4
x1 − x2

.

Đường thẳng MN chính là tiếp tuyến có hệ số góc
y '( a) = 4 ⇔
Vậy

.

k = y '( a)

2 3 14a
a −
= 4 ⇔ a = −2; a = −1; a = 3
3
3

.

. Đối chiếu điều kiện nhận

a = −1; a = −2

.

Câu 47. Chọn đáp án A.
Có

I ( 2;3; −1) , R = 4

Xét điểm

M ( x; y ; z )

.
2

ta có

2

2

(1).

AM ⊥ IM ⇒ AM = IA − IM ⇔ AM = 3 + 4 + 0 − 4 ⇔ AM = 9
2

Và

M ∈ ( S ) ⇒ ( x − 2 ) + ( y − 3 ) + ( z + 1) = 16

Vậy

( x + 1)

2

2

2

+ ( y + 1) + ( z + 1) = 9
2

2

2

2

2

2

2

.

2

(2).

6 x + 8 y − 11 = −7 ⇔ 3 x + 4 y − 2 = 0
Lấy (2) trừ (1) theo vế có
. Vậy M luôn thuộc mặt phẳng có
3x + 4 y − 2 = 0
phương trình
.
Câu 48. Chọn đáp án D.
Có

I ( −1;1)

là tâm đối xứng của

Trục đối xứng của

( C)

( C)

. Phương trình hai đường tiệm cận là

x + 1 = 0; y − 1 = 0

.

là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có phương trình:

 y = −x
x + 1 = ± ( y − 1) ⇔ 
y = x+ 2

.

Vì tam giác IAB đều nên trước tiên phải cân tại I do đó AB vuông góc với một trong hai trục đối
xứng này.
TH1: Nếu

AB ⊥ d1 : y = x + 2 ⇒ ·AIB > 90°

(loại).
Trang 21


TH2: Nếu

AB ⊥ d 2 : y = − x ⇒ AB : y = x + m

của phương trình
Khi đó

. Hoành độ các điểm A, B là 2 nghiệm phân biệt

x−2
= x + m ⇔ x 2 + mx + m + 2 = 0
x +1

A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m )

x1 , x2

.

và

2
2
AB = 2 ( x1 − x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2  = 2 ( m 2 − 4m − 8 )



.

Để tam giác IAB đều ta phải có

d ( I , AB ) =

Do đó

m−2
AB 3
3
⇔
=
2 ( m 2 − 4m − 8 ) ⇔ m 2 − 4m = 14
2
2
2

AB = 2 ( 14 − 8 ) = 2 3

.

.

Câu 49. Chọn đáp án D.
V=
Vì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A nên

1
AB. AC. AD
6

.

R=
Mặt khác I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông này nên

AB 2 + AC 2 + AD 2
= IA = 3
4

12 = AB 2 + AC 2 + AD 2 ≥ 3 3 AB 2 AC 2 AD 2 ⇒ AB. AC.D ≤ 8 ⇒ V ≤
Do đó

8 4
=
6 3

.

.

Câu 50. Chọn đáp án D.
Phương trình hoành độ giao điểm là một phương trình bậc ba với hệ số của
−2;1;3
lần lượt là
. Do đó phương trình hoành độ giao điểm:
3 
3
ax 3 + bx 2 + cx + −  dx 2 + ex − ÷ = a ( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 3 )
4 
4

Đồng nhất hệ số tự do hai vế có

x3

là a và có 3 nghiệm

.

3 3
1
+ = a × ( 2 ) ( −1) ( −3) ⇔ a =
4 4
4

.

3

S=
Vậy

1
253
∫ 4 ( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 3) dx = 48

−2

.

Trang 22


*

Chú

ý

đa

thức

Pn ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0

Pn ( x ) = an ( x − x1 ) ( x − x2 ) ... ( x − xn )

có

n

nghiệm

x1 , x2 ,...xn

thì

.

Trang 23