CÔNG THỨC cơ bản ôn THI THPT QG 2018 l12 EAROK

CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018

TRƯỜNG THPT EAROK

Họ và tên HS:………………………………………..Lớp:……..
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d
(a0)
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2  3ac
/  0 hay y '  0 có 1 nghiệm hoặc vơ /  0 hay y '  0 có 2
nghiệm
nghiệm Phân biệt
Lập BXD
y/ cùng dấu với hệ số a
KL: hàm số Đ B? NB?
KL: a>0: hàm số Đ B trên
a<0: hàm số NB trên
 Cực tri ̣CĐ ? Cực tiểu?
Hàm số không có cực trò
( a 0)
+ Giới hạn:  lim (ax3 bx2 cx d ) =
x
( a 0)
 lim (ax3

bx2

x

cx

d) =

(a

0)

(a

0)

a>0

+ Bảng biến thiên:
x

y/
+
y 

x 

x1

x2

+

0

+
+

Có 3 cực trò
+ Giới hạn : lim (ax4
x

bx2

+ Bảng biến thiên :
x 
0
+
y/
 0 +
y +
CT
+

c) =
a>0
x
y/
y+

(a

0)

(a

0)



x1
0
0 + 0
CT
CĐ

x2

+

x1
0
x2
+
0  0 + 0

CĐ
CT
CĐ
-



0
CT

y/
y 

+

a<0
x 
y/
y 

+




+

+

0
CĐ





x1

0
CT

x2
+
0
CĐ

+



Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thò :

X
y/
Y


+


0
+
0 
CĐ


x 

y/
y -

+ Dạngõ đồ thò :
a> 0
b <0

a> 0
b>0

a< 0
a< 0
b>0
b <0
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M x0 ; y0 củ a đ ồ thị ham số y

f ( x) có

phương trình là :
Vớ i y0 f ( x0 )  Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + y0

a>0 , có 2 CT;

a<0, có 2 CT; a>0,không CT; a<0,không CT
ax b
2.Hàm phân thức : y =
( c  0; ad  bc  0 )
cx d

+ TXĐ : D = R\

d
c

ad
+ Đạo hàm : y/ =
(cx

bc
d )2

adbc < 0
adbc > 0
y/ < 0  x D
y/ > 0  x D
Hàm số không có cực trò
Hàm số nghòch biến trên D
Hàm số đồng biến trên D
d
ax b
+ Tiệm cận:  x =
là tiệm cận đứng vì xlimd /c
=
c
cx d
a
ax b a
y=
là tiệm cận ngang vì xlimd /c

=
c
cx d
c
+Bảng biến thiên :
x 
d/c
+
x 
d/c
+



y/
y/
+

+
y a/c
 +
a/c
y a/c
+ 
a/c
+ Vẽ đồ thò :

3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
1

tiếp tuyến  đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = 
a
+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến
f/(x0).
+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x  x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong
đó đồ thò hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m)
Đặt: M = g(m)
+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thò (C)
+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thò (C) với đồ thò y = M
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác đònh khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số :
+ TXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định
của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số Đ B
; y/ < 0 thì hàm số NB

x= d/ c

TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG
x= d/c

+
+
+



CT
x
y/
y

3. Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
(a0)
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu
a, b trái dấu
y/ = 0  x = 0
y/ = 0  2x (2ax2 + b) = 0
b
 x= 0; x1,2=
KL: Đ B? NB?
2a
KL: Đ B? NB?
Giá trò cực trò : y(0) = c
b
 Giá trò cực trò: y(0)= c ; y(
) =
có một cực trò

2a
4a

y= a/c

y= a/c

1


CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng ...
Đònh lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x)  0  x  (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
 Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định
của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln ĐB ( NB) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên
(a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/
= 0.
3)

x0 là cực trị của hàm số 

/
y (x ) 0
0
/
y ( x ) đổi dấu qua x0

 Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. .
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có )  x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……….
So sánh  KL
y(a) ; y(b)
+ max y ?
min y ?
[a;b]
[a;b]

TRƯỜNG THPT EAROK
2. Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thò (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt

f ( x)

g ( x)

f ( x)

g ( x)

có nghiệm

Bài tốn 8: Cách xác đònh tiệm cận :
*Tiệm cận đứng : lim f ( x)
=> x = x0 là tiệm cận đứng
x x
0
Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác đònh
*Tiệm cận ngang : lim f ( x) y => y = y0 là tiệm cận ngang
0
x
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng
phân thức ) và bậc tử  bậc mẫu thì có tiệm cận ngang
Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số
mũ hoặc hàm số logarit
m

1
an = n ; a0 = 1 ; a n n am ( m; n nguyên dương , n > 1)
a
 Các quy tắc:
ax.ay = ax+y
(a.b)x =ax.bx
x
x
y
a
a
ax
x y
y x
x. y
ax
a
a
y a
x
b
b
a
 Hàm số mũ : y = a x với a > 0 ; a  1
TXĐ : D = R

MGT : (0; + )

+ a > 1 ; h/s đồng biến :

x

x1 > x2  a 1 > a x

2

x

+ 0 < a < 1 ; h/s nghòch biến : x1 > x2  a 1 < a x
* Logarit:
 = logaN  a = N
logax = b  x= ab
 Đặc biệt : a log x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0
2

a

 Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a  1 ta có:
log a (B.C) = log a B + log a C

B
= log a B  log a C log a B =
log a B
C
 Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c  1 ta có :
logc b
log c a.log a b = logc b  log a b
logc a
log a

1
0 < a, b  1 : log a b =
2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
log a
b
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
 Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a  1
+ BBT:
TXĐ : D = (0 ; + )
MGT : R
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0  log a x1 > log a x2
giá trò CT min y yCT
[a;b]
+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0  log a x1 * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng
Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
giá trò CĐ max y yCĐ
(ex) / = ex
> ( eu)/ = u/.eu
[a;b]
x) / = ax.lna
(
a
> ( au)/ = u/.au.lna
* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên
1

u
khoảng (a;b).
(lnx) / =
x (0;+) > (lnu)/ =
x
u
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của
1
u
h/s đó :
(logax) / =
> (logau )/ =
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
x ln a
u.ln a
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường
 Dạng cơ bản:
cong).
f ( x)
g ( x)
= a
 f(x) = g(x)
a
1. Cho hai đồ thò (C1) : y = f(x) ;
(C2) : y = g(x)
f
(
x

)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
= b ( với b > 0 )  f(x) = log a b
a
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
f ( x) 0
hoặc g ( x ) 0
log a f(x) = log a g(x) 
 pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
f ( x) g ( x)
 pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

2


CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018

b  f(x) = ab

loga f ( x)

dx
Sin2 x

 Đặt ẩn phụ :
2 f ( x)
f ( x)
. a

+. a
+ =0

;

Đặt : t = a

f ( x)

Đk t > 0

b f ( x)
b f ( x)
f ( x)
. a
+. a
+ =0;
Đặt : t = a
Đk t > 0
f ( x)
f ( x)
f ( x) 1
f ( x)
. a
+. b
+  = 0 và a.b = 1; Đặt: t = a
; =b
t
f ( x)
f ( x)

a
2 f ( x)
2 f ( x)
. a
+. a.b
+ . b
= 0 ; Đặt t =
b

 Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
 Dạng cơ bản :
f ( x) g ( x) khi a 1
f ( x)
g ( x)
1. a
> a

f ( x) g ( x) khi 0 a 1
2. a

f ( x)

>b 

Nếu b  0 có nghiệm x
Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1
f(x) < log a b nếu 0 < a < 1

3. a

TRƯỜNG THPT EAROK

f ( x)

< b 

Nếu b  0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1
f(x) > log a b

log a f(x) > log a g(x)

log a f(x) > b
log a f(x) < b




dx

1).dx

Cos 2 (ax

=
b)

1
tg(ax+ b) + C

a

= Cotgx +C

dx
1
=  Cotg(ax+ b) + C
a
Sin2 (ax b)
Bài tốn 2: Tìm ngun hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = f [u( x)].u '( x)dx bằng cách đặt t = u(x)

Đặt t = u(x)
I=

dt

u '( x)dx

f [u( x)].u '( x)dx

f (t )dt

Dạng 2: Tính I = f ( x)dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng
trong tích phân có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể
đổi biến như sau:
1
a2 x2 ;
thì đặt x = asint
2

a
x2

1
thì đặt x = atant.
a2 x2
Bài tốn 3: Tìm ngun hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u( x).v '( x)dx u( x).v( x)
v( x).u '( x)dx
a2

x2 ;

Hay udv

uv

vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm sớ dễ phát hiện u và dv

nếu 0 < a < 1

sin ax

a

1

0

f x

0

a

f x

(Cotg 2 x

=

g x

@ Dạng 1

f ( x) cosax dx với f(x) là đa thức:
eax

1
g x

* Nếu a > 1 :

u

0
bpt là f(x) > a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b
* Nếu a > 1 :
bpt là 0 < f(x) < a b

Đặt

dv

f ( x)
sin ax
cos ax dx
eax

Sau đó thay vào cơng thức

udv

du

f '( x)dx

v

sin ax
cosax dx
eax

uv

vdu để tính

* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > a b

f ( x ) ln( ax b)dx
@ Dạng 2:
Lưu ý:
a.dx
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng
du
u ln(ax b)
thức sau để bài tốn trở nên dễ dang hơn.
ax b
Đặt
dv f ( x)dx
f ( x)
g ( x)
v
f ( x)dx
1. a
> a
 (a1)(f(x)  g(x)) > 0.
2. log a f(x) > log a g(x)  (a1)(f(x)  g(x)) > 0.
Sau đó thay vào cơng thức udv uv
vdu để tính
*) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm
thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên.
sin ax
dx
@ Dạng 3: eax .

*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
cosax
Phần 3: Ngun hàm.
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài tốn 1: Tìm ngun hàm cơ bản (dựa vào bảng ngun hàm
Phần 4: Tích phân.
của các hàm số cơ bản).
1. Định nghĩa
dx x C
(ax b) 1
-1) f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một ngun
(ax b) dx
C ( Cho
a( 1)
x 1
+ C ( -1 )
x .dx
hàm của f trên [a; b]. Hiệu số F (b) F (a) được gọi là tích phân từ
dx
1
 
= lnax+ b + C
a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí
ax b
a
dx
= lnx + C ( x 0)
b
1 ax+b
x

e
+C
eax b .dx
f ( x ) dx.
hiệu
là
a
e x .dx = ex + C
a
b
1 a x b
x
ax
b
C
a
.dx =
a x .dx =
+C
f ( x )dx F ( x ) a F (b ) F (a ) .
Vậy

ln
a
ln a
a
1
Cosx.dx = Sinx + C
Cos(ax b).dx = Sin(ax+ b)+ C Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và khơng âm
a

Sinx.dx =  Cos x + C
b
1
f ( x)dx là diện tích S của hình thang
[a; b] thì tích phân
trên
đoạn
dx
=

Cos(ax+
b)+
C
Sin
(
ax
b
).
dx
= (tg 2 x 1).dx =
a
a
Cos 2 x
tgx+C

TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

3

CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018
cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y

TRƯỜNG THPT EAROK
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với  = b2  4ac.

f ( x) , trục Ox và hai đường

b

thẳng x

b. Vậy S

a, x

f ( x ) dx.

Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệp kép x
1
thực)

a

2. Tính chất của tích phân
a

b

f ( x)dx

1.

0

f ( x )dx

f ( x )dx ( a

a

b

Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x

c )

b

f ( x )dx (k là hằng số)

k.

a

a
b

b

[ f ( x)

5.

g ( x)]dx

a

b

f ( x) dx
a

g ( x) dx .

d

a

E

Phần 5: Diện tích hình phẳng  thể tích vật thể tròn xoay.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
 Hình phẳng giới hạn bởi :
y
hàm số y f ( x ) liên tục trên [a; b]
trục hoành y 0; x a; x b
Diện tích : S =

b
| f ( x) | .dx

a
a
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
 Hình phẳng giới hạn bởi :
y
hàm số y f ( x) liên tục trên [a; b]

Điểm trong
N

b

E'

x

Điểm ngồi

M
C'

y=f(x)

b

B'

II. KHỐI ĐA DIỆN LỒI
y=g(x)
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì của (H) ln thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được
xgọi là đa diện lồi (Hình 2.1).
S

C'

A'
B'

B

x

A

2
f ( y) .dy

c

A
D

B
Hình 2.1

4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac  bd)+(ad+bc)i
c di
1
7) z =
[(ac+bd)+(ad-bc)i]
a bi a2 b2

E

Cơng thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số
cạnh, M là số mặt Đ+M=C+2
III. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c; b = d.
a bi
a 2 b2
2) mơđun số phức z
3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a  bi.
2
a 2 b2
* z+ z = 2a; z. z = z

C

C

b

d

D'

A'

2
f ( x) .dx
a
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
hàm số x f ( y ) liên tục trên [c;d]
quay quanh trục Oy thì
trục tung x 0;y c; y d
V= 

C
B

a
b
| f ( x) g ( x) | .dx
a
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định
hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình.
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể tròn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
hàm số y f ( x) liên tục trên [a; b]

quay quanh trục Ox thì
trục hoành y 0; x a; x b
V= 

D

A

hàm số y g ( x) liên tục trên [a; b]
x a; x b

Diện tích : S =

i

2a
B. HÌNH HỌC 12.
I. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bới một hình đa diện
(H), kể cả hình đa diện đó.

c

b

k . f ( x ) dx

b

b

f ( x )dx
a

2a

b

c

3.

b

Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: x

f ( x )dx

a

b

4.

a

f ( x) dx

2.

a

b
(nghiệm
2a

x
2

A

D'

C'

A'
B'

B

D

D

C
Hình 2.2.1

C

A

B
Hình 2.2.2

Định nghĩa: Khới đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất
sau:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

4


CÔNG THỨC CƠ BẢN MÔN TOÁN - ÔN THI THPT QG 2018
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loạij {p;q}.
Nhận xét: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và
bằng nhau.
Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện
đều loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, và loại {3,5}.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo
theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám
mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều

Tứ diện đều

Số
đỉnh

Số
cạnh

Số
mặt

Ký hiệu
{p, q}

4

6

4

{3, 3}

TRƯỜNG THPT EAROK

1
a.ha
2
1
a.b.c
= a.b sin C
2
4R
a b c
với p

2
S

p.r

p.( p

Đặc biệt :* ABC vuông ở A : S
a: S

a)( p

b)( p

1
AB. AC ,*
2

c)

ABC đều cạnh

a2 3
4
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diện tích hình thoi : S =
d/ Diện tích hình thang : S

1

(chéo dài x chéo ngắn)
2
1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều
2

cao

Khối Lập
Phương

8

12

6

{4, 3}

Khối Tám Mặt
Đều

6

12

8

{3, 4}

Khối Mười
Hai Mặt Đều

20

30

12

{5, 3}

Khối Hai
Mươi Mặt Đều

12

30

20

{3, 5}

*) chú ý: Trong một khối đa diện đều loại {p,q} nếu gọi Đ là số đỉnh,
C là số cạnh, M là số mặt ta có:
qĐ=2C=pM
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9-10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A
ta có :
A
a)

Định lý Pitago : BC 2 AB 2 AC 2

BA2 BH .BC; CA2 CH .CB
c
AB. AC = BC. AH
1
1
1
d)
2
2
AH
AB
AC 2
H
e)
BC = 2AM
B
b
c
b
c a
sin B
, cosB
, tan B
,cot B
f)
a
a
c

b
g)
b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =
b
b
,
sin B cos C
b = c. tanB = c.cot C
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
a
b
c
* Định lý Sin:
2R
sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
b)
c)

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
.R 2
f/ Diện tích hình tròn : S
4. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều:

I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG
TRỤ:

V= B.h
với B: diện tích đáy
h: chiều cao

b a)
M

Thể tích khối hộp chữ
nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước

C

b) Thể tích khối lập phương:
V = a3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

a

c
a

b

a

a

1
V= Bh
3
với B: diện tích đáy
h: chiều cao

h

B

TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

5


CÔNG THỨC CƠ BẢN MÔN TOÁN - ÔN THI THPT QG 2018
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ
DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần
lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

S



Độ dài đoạn thẳng
cao của hình trụ.



Hình tròn tâm

C'
A'

A

VSABC
VSA 'B'C'

TRƯỜNG THPT EAROK

SA SB SC
SA ' SB ' SC '

AB  CD  h được gọi là chiều

A , bán kính r  AD

bán kính r  BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới
hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ


B'
C
B

Cho hình trụ có chiều cao là

h

và bán kính đáy bằng



Diện tích xung quanh của hình trụ:



Diện tích toàn phần của hình trụ:

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a

2,

b2

c2



,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

với

r

cũng chính

M

trong không gian cách điểm

O

cố định một

O; R  và một điểm A bất kì, khi đó:
+)Nếu OA  R  A  S O; R  . Khi đó OA gọi là bán
Cho mặt cầu S

kính mặt cầu.

B

OA  R  A nằm trong mặt cầu.
+)Nếu OA  R  A nằm ngoài mặt cầu.
 Khối cầu S O; R  là tập hợp tất cả các
+)Nếu

O

Cho mặt cầu S

A

hình chiếu của
r

+)Nếu

l
D

O

trên

O

của mặt cầu đến

d  R  mp  P 

tuyến là đường tròn nằm trên

+)Nếu

mp  P 

và

H

là

mp  P   d  OH .
cắt mặt cầu

mp  P 

S O; R 

có tâm là

r  HM  R 2  d 2  R 2  OH 2

được gọi là

A

O; R  và một mp  P  . Gọi

là khoảng cách từ tâm

A

A

điểm M sao cho OM  R .
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

khúc ABCD tạo thành một hình, hình
đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi

tắt là hình trụ.

Đoạn thẳng CD được gọi là
đường sinh.

r

2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu

thì đường gấp



thì ta được đường tròn

R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là:
S O; R  . Khi đó S O; R   M | OM  R

∆

AB



khoảng

d

Đường thẳng
trụC.

vuông góc với trục

r ) bởi một

Khối cầu
1/ Định nghĩa
Tập hợp các điểm

Khối Trụ
1/ Hình trụ tròn xoay




V  B.h   r 2 h

có tâm trên  và có bán kính bằng
là bán kính của mặt trụ đó.

1) Các công thức cần nhớ.
 Diện Sñ
r2
tích đáy
CVđ 2 r
 Chu
vi đáy
 Diện S xq
rl
tích

xung
quanh
 Diện Stp S xq Sñ
tích toàn
phần
 Thể
1 2
Vnoùn
rh
tích khối
3
nón
l 2 h2 r 2

AB

Thể tích khối tru:

mp  

 r bán kính đáy
 h chiều cao (khoảng cách từ
đỉnh đến đáy)
 l đường sinh

hạn cạnh

S xq  2 rh

4/ Tính chất:

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là

a 3
2

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên
đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh
trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Nón

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung
quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng

r , khi đó:

Stp  S xq  2.S Ðay  2 rh  2 r 2

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =

a2

B,

và hình tròn tâm

d  R  mp  P 

H

theo giao
và bán kính

(hình a).

không cắt mặt cầu

S O; R 

(hình b).
+)Nếu
B

d  R  mp  P 





mặt cầu S O; R tiếp xúc
r
TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CÔNG KHÔNG CÓ DẤU CHÂN C
CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

có một điểm chung duy nhất. Ta nói

mp  P  . Do đó, điều kiện cần và
6

CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018
đủ để

mp  P 

tiếp xúc với mặt cầu

d O,  P    R

S O; R 

TRƯỜNG THPT EAROK
AB = ( xB xA ; yByA;zB zA)

là

 M chia đoạn AB theo tỉ số k1 ( MA = k MB ). Thì M:

(hình c).

x

x
M
y
z

Hình a

Hình b

O; R  và một đường thẳng  . Gọi H là hình

chiếu của O trên đường thẳng  và d

M

k .x

B
k
k. y
B
k
k .z
B
k
x

Hình c

4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S

M

A
1
y

A
1
z
A
1

x

 I là trung điểm của AB thì I: y

 OH là khoảng cách từ

y

y

A

M

Nếu

d  R   khơng cắt mặt cầu S O; R  .



Nếu

d  R   cắt mặt cầu S O; R  tại hai điểm

z

A

M

Nếu d  R   và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một
điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường
thẳng  tiếp xúc với mặt cầu là d

Định lí: Nếu điểm

A

nằm ngồi mặt cầu

 d  O,    R .

S O; R 

thì:

A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu S O; R  .



Qua



Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng
nhau.
Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt



cầu

S O; R  .

x
x
G

 G là trọng tâm tam giác ABC thì G: y

G

• Diện tích mặt cầu:

SC  4 R

• Thể tích khối cầu:

4
VC   R3
3

2

.

.

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
Tính chất :

 a = x. i + y. j + z. k

Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)

 a  b =(a1  b1; a2  b2; a3  b3)
 a k. = (ka1;ka2;ka3)

kR

Tích vô hướng :

a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos 
ab a b
a b
11
2 2
33
Cos  =
vớ i a, b
2
2
2
2

a
a
a . b
b2 b2
1
2
3 1
2
3
a

b

z
G

x

B
3
y
y
B
A
3
z
z
B
A
3

A

x
C
y
C
z
C

 Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :

a , b , c đồng phẳng  [ a , b ]. c = 0
 ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện )
là: ba véc tơ AB , AC , AD không đồng phẳng <=>
[ AB , AC ]. AD  0

1
.[ AB , AC ]
2
1
 Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = [ AB , AC ]. AD 
6
 Diện tích tam giác ABC :

SABC =

 Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ]. AA 

5/ Diện tích và thể tích mặt cầu

a = (x;y;z)

B

2

phân biệt.


B

2

tâm O của mặt cầu đến đường thẳng  . Khi đó:


B

2

z
z

x

A

M

 a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0

a cùng phương b ; a  0  b = k. a  [ a , b ] = 0
Toạ độ điểm:

Phần 3: Mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz .
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x a)2 + (y  b)2+ (zc )2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x2 + y2+ z2+ 2.ax+ 2.by + 2.cz + d = 0 với a 2 + b2 + c2d > 0
có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = a 2 b 2 c 2 d
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
 Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)
+ Bán kính R = IM1 = ( x a ) 2 ( y b) 2 ( z c) 2
1
1
1
 Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
x
+ Tâm I là trung điểm AB => I( A

x
2

y
B ; A

y
2

z
B ; A

z
2

B )

+ Bán kính R = IA
 Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
 Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng ()
-> bán kính R = d(I; ())
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
() : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2

M = (x;y;z) OM = x. i + y. j + z. k
TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

7


CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018

TRƯỜNG THPT EAROK

Tính d(I; ()) = ?
Nếu: d(I;  ) > R <=>   và S không có điểm chung ( rời nhau)

x

 d(I;  ) = R <=>   tiếp xúc với S (  là mp tiếp diện)
()  (S) =M0 ;
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : () qua M0 nhận IM làm VTPT
0
 d(I;  ) < R <=>  cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)
tâm H; bán kính r
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp  

R2

+ bán kính r =

x

a

At

(d) y
z

b

Bt thay vào pt mp() => giải t =>toạ độ điểm H

c

Ct

( A; B; C) là:

* (ABC): +) tính AB

x0 )

B( y

? ; AC

y0 )

C( z

z0 )

0

* () có hai vectơ chỉ phương a, b thì n

[nP , nQ ]

[u a , AB] với A a; B  b.

[u a , ub ]

+) VCTP của  là u

[n , n ] .

+) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn còn lại tìm điểm M?
=>  đi qua M có VTCP là u

[n , n ]

*  là hình chiếu của đ.thẳng (d) lên mp ()
#) Viết phương trình mp(P) chứa (d) và vng góc mp()
+) chọn M trên đ.thẳng (d).
+) VTPT của (P) là nP

[ud , n ]
[n P , n ]

# ) cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt
[n P , n ]

[BC, AC ] = ?.
[BC, n] = ?

[BC, AC ] = ?.

+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u [BC, n] = ?.
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC.
=> Đường trung trực cạnh BC của ABC là đường thẳng đi qua M

PTmp ( )
PT ( d )

+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên.
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d .

[u a , AB] ( thay u a = a )

* () chứa đ.thẳng (d) và () .
+) chọn M trên đ.thẳng (d).

+) giải hệ gồm

[ud , n ]

* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d /).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).
+) VTPT của () là nP

đgl

*  là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () thì

+) giải hệ gồm

n

ua

+) VTPT của () là n

z0

a3

+) Viết PT đ.thẳng (d) qua M có VTCP là n .

[u a , AB] với B a.

*() đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc
có VTCP a thì n

z

có VTCP u [BC, n] .
Bài tốn 3: Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng
hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên ()

[nP , ud ] .

* () a thì VTPT n

y0
a2

R)

*  đi qua 2 điểm A và B =>  đi qua A có VTCP AB .

+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n

* () song song đường thẳng d và vng góc với một mặt phẳng

* () //() thì VTPT n

y

(t

=> Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP u [BC, n] .
* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ABC.

[a, b] .

*() vng góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT n

*(A;a) thì VTPT n

x0
a1

+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u

Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB .

Nếu a cắt b thì n

x

+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n

+) Tính vectơ AB .

* (a,b) : nếu a//b thì VTPT n

a3t

* Cách viết phương trình đường cao AH của ABC.

[AB, AC ]

=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n .
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.

thì n

a2 t

zo

phẳng (P) và ()=> M? =>  đi qua M có VTCP u

?

+) VTPT của (ABC) là n

yo

z

phương trình chính tắc của d.

# ) VTCP của  là u

A( x

(d ) : y

* đi qua A và () thì  qua A có VTCP là n .

[d(I ; )]2

Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: cách viết phương trình mặt phẳng:
 Phương trình mặt phẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT

P

0 thì (d ) :

a1t

* đi qua A và // (d) =>  qua A có VTCP u d .

Cách xác đònh H: + Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận n làmVTCP

n

 Nếu a1a2a3

xo

[ud , ud ]
/

=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT nP [ud , ud ]
Bài tốn 2: viết phương trình đường thẳng.
 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a (a1; a2 ; a3 ) :

PTmp ( )
PT ( d )

+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (d) là nghiệm của hệ trên.
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc
mp
* Đối xứng qua mp()
+) Viết PT đ.thẳng (d) qua M có VTCP là n .

/

+) giải hệ gồm

PTmp ( )
PT ( d )

+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (d) là nghiệm của hệ trên.

TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

8

CƠNG THỨC CƠ BẢN MƠN TỐN - ƠN THI THPT QG 2018

x
+) Tọa độ điểm đối xứng A/ : y

z

2x

H
2y
H
2z
H

x

A
y
A
z
A

* Đối xứng qua đường thẳng (d).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d .
+) giải hệ gồm

PTmp ( )

PT d

+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (d) là nghiệm của hệ trên.

x

2x

x
H
A
+) Tọa độ điểm đối xứng A/ : y 2 y
y
H
A
z 2z
z
H
A
Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt
và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
với n =(A;B;C) và n =(A/; B/ ; C/ )
A
B
C
D
(P)  (Q) <=>
=

=
=
/
/
/
A
B
C
D/
A
B
C
D
(P) // (Q)<=>
=
=

/
/
/
A
B
C
D/
(P) cắt (Q)<=>

A
B
B
C

C
A





A/ B /
B/ C /
C / A/

Chú ý :   / <= > n . n = 0 <=> AA/ + BB/ + CC/ = 0
  cắt / <=> n và n không cùng phương
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d1) và (d2).

TRƯỜNG THPT EAROK
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) (khơng có cơng thức
tính trong chương trình mới phân ban đối với ban cơ bản) nhưng ta
có thể tính như sau:
+) lập PT mp(Q) qua A và vng góc với (d).
+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (d).
+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH.
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d/).
+) Chọn điểm M bất kỳ trên (d).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d .
+) Tìm điểm N là giao điểm của (d/ ) và mp(P) ( bằng cách giải hệ
gồm PTcủa (d/) và PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z là tọa độ điểm
N).
+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN.
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d /).

* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với
(d/).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).
+) VTPT của () là nP

n .n
1 2
n .n
1 2

thì cos =

=

[ud , ud ]
/

 A
B B
CC 
1 2
1 2
1 2
2
2
2
B
C . A
B2 C 2
1

1
2
2
2
(( mp (Q), mp ( P ))

x

x
at
0
* Góc giữa đường thẳng d: y y
bt
0
z z
ct
0
và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là
sin

n .ud
P
=
n . ud
P

=

Với

A

2

a

bB

2

2

B

Góc giữa hai đường thẳng (d1) : y

z
x

x0/

a2t /

y

y0/

b2t /

z

/
0

z

C . a

cC 
2

b2

c2

( d ,( P ))

x

d 2 theo t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo

tùng thành phần ).
+) Hệ có nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 cắt d2 => giao điểm.
+) Nếu hệ VN thì d1 chéo d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d) và mặt phẳng (P).
+) Thay PTTS của đ.thẳng (d) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn
t.
+) Nếu PTVN thì (d)//mp(P).
Nếu PTVSN thì (d)  mp(P).
Nếu PT có nghiệm duy nhất thì (d) cắt mp(P) =>giao điểm?

Chú ý: u d và nP cùng phương  d   P 

A2
1

Với

Nếu :[ u , u / ]= 0 hay u , u ' cùng phương
+) chọn M1 (d1). Nếu M1 d2 thì d1 // d2
Nếu M1 (d2) thì d1  d2

Ta giải hệ d1

/

=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT nP
Bài tốn 6: Tính góc .
* Góc giữa hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = 0
và mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = 0

Xác định các VTCP u =(a;b;c) , u / =(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u , u / ]

Nếu [ u , u / ]  0 hay u , u ' khơng cùng phương

[ud , ud ]

x
a1t
0
y

b1t Và (d2):
0
z
c1t
0

c2t /
u .u

thì cos =

1 2
u .u
1 2

=

a a
b b
cc 
1 2
1 2
12
a 2 b2 c2 . a 2 b2 c2
1
1
1
2
2
2

Với

(d1, d 2 )

Bài tốn 5: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 .
d(A;()) =

Ax
0

By
Cz
D
0
0
A2 B 2 C 2

* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên
(P)
* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)
+) chọn điểm M bất kỳ trên (d).
+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))
TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG

9