Bài tập tích phân

CÙNG SINH VIÊN YÊU TOÁN - BÀI 6
VŨ TIẾN VIỆT
Tóm tắt nội dung. Bất đẳng thức là vùng đất mầu mỡ cho những hoa đẹp quả ngon.

1. Đề bài
2

Cho hàm f : [0, 3] → R khả vi liên tục và thỏa mãn

f (x)dx = 0.
1

Chứng minh rằng
3

3

[f (x)]2 dx

2

f (x)dx .

0

0

2. Lời giải
Sử dụng tích phân từng phần ta có
1

1

1

xf (x)dx = xf (x)dx −
3
2

f (x)dx = f (1) −

0

0

1

0
3
2

(2x − 3)f (x)dx = (2x − 3)f (x)

1

1

f (x)dx,
0

3

2

−2

3
2

f (x)dx = f (1) − 2

1

f (x)dx.

1

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được
1

1

x2 dx

0

1

[f (x)]2 dx

0

0
1

= f (1) −

f (x)dx

2

1

=

0
3
2

3
2

(2x − 3)2 dx

1

2

xf (x)dx

2

f (x)dx − f (1) ,
0

3
2

[f (x)]2 dx

1

(2x − 3)f (x)dx

2

1
3
2

= f (1) − 2

f (x)dx

2

3
2

= 2

1

2

f (x)dx − f (1) .

1

Suy ra
1

[f (x)]2 dx

1

3

0

2

(1)

0
3
2

1

f (x)dx − f (1)

2

[f (x)] dx

3
2

6 2
1

1

f (x)dx − f (1)

2

(2)


2

VŨ TIẾN VIỆT

Trong (1) và (2) ta đổi biến t = 3 − x thì được
2

2

[f (t)]2 dt

6 2

2

f (t)dt − f (2)

3
2

(3)

3
2

3

3

2

[f (t)] dt

3

2

f (t)dt − f (2)

2

(4)

2

Đặt
3
2

1

A=

f (x)dx − f (1) , B = 2
0

f (x)dx − f (1) ,

1
3

2

f (x)dx − f (2) , D =

C=2
3
2

f (x)dx − f (2)
2

2

và chú ý

f (x)dx = 0, ta thấy A − (B + C) + D =
1
3
2

1

=

f (x)dx − 2
0

f (x)dx +

f (x)dx +
f (x)dx

f (x)dx +
2
3

1
2

0

1

f (x)dx.
0

2

1

0

3

f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx +

f (x)dx
2

3

2

f (x)dx − 2

=

3

3
2

1
1

=

2

Cộng từng vế (1), (2), (3), (4) ta được
3

1

2

[f (x)] dx +

[f (x)] dx =
0

3
2

2

0

2

[f (x)]2 dx +

3

3
2

1

f (x)dx

f (x)dx +
2

3A2 + 6B 2 + 6C 2 + 3D2
= 3(A2 + 2B 2 + 2C 2 + D2 ) = 3[A2 + (B + C)2 + (B − C)2 + D2 ]
3[A2 + (B + C)2 + D2 ] = [12 + (−1)2 + 12 ].[A2 + (B + C)2 + D2 ]
3

2

[A − (B + C) + D] =

2

f (x)dx .
0

Tài liệu
[1] Mitrinoviic D.S., Pecaric J.E., Fink A.M.. Classical and New Inequalities in Analysis.
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht - Boston - London, 1993.
[2] Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Bất đẳng thức.
Bản dịch của Nguyễn Khắc Lân, Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Hữu Ngự.
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002.
[3] George A. Anastassiou. Advanced Inequalities.
World Scientific, 2011.
[4] Vũ Tiến Việt (chủ biên), Phạm thị Hằng, Nguyễn thị Lê. Giáo trình Toán cao cấp - Học phần A2.
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016.
(Đại tá - TS. Vũ Tiến Việt) Tổ Toán ứng dụng - Khoa CN&ANTT
E-mail address: