Bài tập bất đẳng thức khả quy

Bài tập đa thức bất khả quy
n

1) Chứng minh rằng: Đa thức P(x)   (x  a i )  1 (với a1 , a 2 ,...,a n là các số nguyên đôi
i 1

một phân biệt) bất khả quy trên Z[x].
n

2) Chứng minh rằng: Đa thức P(x)   (x  a i ) 2  1 (với a1 ,a 2 ,..., a n là các số nguyên đôi
i 1

một phân biệt) bất khả quy trên Z[x].
n

3) Chứng minh rằng: Đa thức P(x)   (x 2  k 2 )  1 bất khả quy trên Z[x].
k 1
n

4) Chứng minh rằng đa thức P(x)   a i x i (với a1 ,a 2 ,..., a n là các số nguyên tố thỏa mãn
i 0

a 0  a 2  ...  a n 1  a n ) bất khả quy trên Z[x].
n

5) Cho đa thức P(x)  a  (x  a i )  1 . Tìm a, n  Z, n  2 sao cho P(x) bất khả quy trên Z[x]
i 1

với mọi bộ ( a1 ,a 2 ,..., a n ) các số nguyên đôi một phân biệt.
n

6) Cho đa thức P(x)   (x  a i )  1 . Tìm n  N sao cho P(x) bất khả quy trên Z[x] với mọi
i 1

bộ ( a1 ,a 2 ,..., a n ) các số nguyên đôi một phân biệt.
7) (Tiêu chuẩn Oscar Perron) Cho P(x)Z[x] và số tự nhiên a, số nguyên tố p thỏa mãn:
i) P(a) = p;
ii) P(a – 1) ≠ 0;
1
2

iii) Các nghiệm của P(x) đều có phần thực nhỏ hơn a  .
Chứng minh rằng: P(x) bất khả quy trên Z[x].
n

8) Cho số nguyên tố p  a n a n 1 ...a 0 , chứng minh rằng P(x)   a i x i bất khả quy trên Z[x].
i 0

9) Chứng minh rằng nếu đa thức P(x)Z[x] bậc n nhận giá trị bằng 1 hoặc (-1) tại nhiều
n
hơn 2   điểm nguyên phân biệt thì f(x) là đa thức bất khả quy trên Z[x].
2

10) Chứng minh rằng nếu đa thức P(x)Z[x] nhận giá trị bằng 1 hoặc (-1) tại nhiều hơn 3
điểm nguyên phân biệt thì f(n) ≠ -1 với mọi n nguyên.
n

11) Cho f(x) = ax2 + bx+ 1 bất khả quy trên Z[x] và P(x)   (x  a i ) (với a1 ,a 2 ,..., a n là
i 1

các số nguyên đôi một phân biệt). Chứng minh rằng: f(P(x)) bất khả quy trên Z[x].