Phương pháp giải phương trình vô tỷ

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
A. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
.Bài toán mở đầu:
Giải phương trình: 1

2
x  x2  x  1 x  1
3

Đ/k: 0 �x �1
Cách 1:
2

� 2
�
2
1
x  x2  x  1 x � �
1
x  x2 �
3
� 3
�









x  1 x





2

� 4 x  x2  6 x  x2  0 � x  x2 4 x  x2  6  0
� x  x2  0
�
x 0
��
��
3
�
x1
x  x2 
�
�
�
2
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x  0, x  1.
Cách 2:
Đặt t  x  1 x 1�t � 2 � x  x2 

t2  1
2

Phương trình trở thành:
�
t 1
t2  1
1
 t� �
�
t  2 kho�
ng tho�
a ma�
n
3
�

�
x1
x  1 x  1� �
x 0
�

Cách 3: Đặt a  x; b  1 x; a �0, b �0
Ta có:
� 2
�
3 2ab  3 a  b
1 ab  a  b �
�
�
� 3

�
2
2
2
a

b
 2ab  1
�
�


a  b 1
�
�
�
�
a b  1
�
�
a 0
�
�
�
�
ab

0
�
�

b 1 �
x 0
�
��
��
��
�
a b  2
�
x1
�
�
a1 �
�
�
kho�
n
g
to�
n
ta�
i
a
,
b


�
�
3

�
b 0
�
ab 
�
�
�
�
�
2
�

Trang 1


Cách 4:
Đặt


x  sin ,0 � �
2

Phương trình trở thành:
2
2
1 sin 1 sin2   sin  1 sin2  �  sin  cos   3 sin  cos   2  0
3

�
 0

�
sin  cos  1
�
x 0
�
��
�
��

�
sin  cos  2 kho�
ng to�
n ta�
i 
x1

�
�
� 2

Qua ví dụ trên ta thấy có rất nhiều cách để giải pt vô tỷ. Sau đây tôi đi vào một số pp cụ thể
1.Phương pháp 1:Biến đổi tương đương
Bài toán: Giải phương trình sau
x2  5x  x3  2x  1  x  1
Đk: x3  2x  1�0; x2  5x  x3  2x  1 �0;
�
�x  1�0
x2  5x  x3  2x  1  x  1 � � 2
2
3

x

5
x

x

2
x

1

x

1


�
�
�x �1
�
�
1
�
�1
�x �1
�1�x �
�۳��
3
� 3

� x
�
�x  0; x  1; x  8
� x  2x  1  1 3x �3
�
�x3  2x  1  1 3x 2
�

x 0 (TM�K)

2.Phương pháp2:Đặt ẩn số phụ





3
3
3
3
Bài toán: Giải phương trình: x 35 x x  35 x  30

Đặt t  x  3 35 x3 � x3 35 x3 

t3  35
3t

Phương trình đã cho trở thành
�
�

x3  8
x 2
t3  35
.t  30 � t3  125 � t  5 � x3 35 x3  6 � x3 35 x3  216 � �3
��
3t
x 3
x  27 �
�





3. Phương pháp 3:Phương pháp làm xuất hiện biểu thức liên hợp
Bài toán: Giải phương trình:



x  1 x  2





x2  x  2  1  3

Đk: x �1
Trang 2



x  1 x  2





 



2
x2  x  2  1  3 � �
 x  2   x  1 �
�
� x  x  2  1  3  x  1 x  2

� x2  x  2  1�0
�
� x  x  2  1  x  1  x  2 � �
2
2
� x  x  2  1   x  1 x  2
�
2
�x  x  2 �1
2
�

�
�x  x  2 �1
� �2
� ��
� x  2 (TM�K).
x 2
�x  x  2  0 ��
x  1
��
2

 





2

4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích
Bài toán: Giải phương trình:

x  3  2x x  1  2x  x2  4x  3

Đk: x �1
x  3  2x x  1  2x  x2  4x  3 � x  3 











 x  1  x 3   2x  2x



� x  3 1 x  1  2x 1 x  1  0 � 1 x  1
�
�
1 x  1  0
x 0
��
��
(TM�K ) .
x1
�
� x  3  2x  0 �

5. Phương pháp 5:Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Bài toán: Giải phương trình:

2x  8  3 2x  9  5

Đk: x �4
Đặt a  2x  8 �0; b  3 2x  9 �3 17

�
b  1
�
�
a b  5
a  b 5
2
�
3
� �2 3
�  b  5  b  17 � �
b  2
Ta có: �2 3
a  b  17 �
a  b  17
�
�
b 4
�
Với
b  1� 3 2x  9  1� x  4
1
b  2 � 3 2x  9  2 � x 
2
73
b  4 � 3 2x  9  4 � x 
2
1
73
Vậy nghiệm của pt là x  4, x  , x  .

2
2
6. Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá:
Trang 3



x  3  2x  0



x 1  0




Bài toán: Giải phương trình: 1 2012x  1 2012x  x  1 
Đk: 

1
x 1

1
1
�x �
2012
2012
x  1

Ta có:

1
x 1

�2 . Dấu = xảy ra khi x = 0.

Ta có:





2

1 2012x  1 2012x �2 1 2012x  1 2012x  4 � 1 2012x  1 2012x �2

Dấu = xảy ra khi x = 0. Vậy x = 0 là nghiệm của pt.
7. Phương pháp 7: Phương pháp hàm số
Bài toán: Giải phương trình:

x  1   x2  2x  17

Đk: x �1
Dễ thấy
Hàm số f  x  x  1 đồng biến trên  1;� .
2
Hàm số g x   x  2x  17 nghịch biến trên  1;� .

Suy ra pt đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Ta có: f  5  g 5 .

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.

Trang 4


8. Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa
Bài toán: Giải phương trình: 1 1 x2  2x2
Đk: 1�x �1
Đặt x  cos ,0 � �
Phương trình trở thành
�
sin  1 loa�
i
�
1 1 cos   2cos  � 1 sin  2cos  � �
1
sin 
�
�
2
� 

�
3
� � 6 � x �
2
5
�



�
� 6
2

2

2

9. Phương pháp 9: Phương pháp vectơ
Bài toán:Giải phương trình:

x2  4x  5  x2  10x  50  5

r
r
Chọn a   x  2;1 ; b   x  5;5
r
a
r
b

 x  2

2

 1  x2  4x  5

 x  5

2

 52  x2  10x  50

Suy ra:
r r
a  b  x2  4x  5  x2  10x  50
r r
r r
a  b   3; 4 � a  b  5
r r
r r
r
r
r
r
a

b
�
a

b
a

x

2;1
;
b


x

5
;5
�
a

kb
Ta có:
, dấu bằng xảy ra khi

 
 cùng hướng
 k  0
� 1
�x  2  k x  5
k
�
�
�
�
��
1 5k
�� 5
�
�x  5
k 0
� 4
�
Vậy x 

5
.
4

B. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG HAY SỬ DỤNG
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Trang 5


I. BỘ 2 SỐ:
( x  y)2 x 2  y 2
x. y �
�
1.
4
2
("  " � x  y )

(Với mọi x, y)

3
x 2  xy  y 2 � ( x  y )2
4
1
2. 2
x  xy  y 2 � (x  y)2
4
("  " � x  y )
1

1
8
 2�
2
y
( x  y)2
3. x
("  " � x  y )
1
1 1 1
� (  )
4. x  y 4 x y
("  " � x  y )
1 1
(x  y)(  ) �4
x y
5.
("  " � x  y )
x 3  y 3 �xy ( x  y )
6.

x 4  y 4 �xy ( x 2  y 2 )
x 5  y 5 �x 2 y 2 ( x  y )
("  " � x  y )

x y
� xy
7.
2
(x, y �1,"  " � x  y  1)

ab
ab
�
4
8. a  b
("  " � a  b  c)
9. Hằng đẳng thức Lagrange:
(a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (ac  bd ) 2  ( ad  bc )2
II. BỘ 3 SỐ:
Trang 6


a  b  c �ab  bc  ca � a  b  c
2

1.

2

2

2

2

2

 a  b  c
�
3

2

�ab  bc  ca

("  " � a  b  c )
2.

a 2  b 2  c 2  3 �2( a  b  c)
("  " � a  b  c)
a 3  b3  c 3 �ab 2  bc 2  ca 2
a 3  b3  c 3 �3abc

3.

a 3  b3  c 3  3abc �(a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca )
a 4  b 4  c 4 �abc(a  b  c)
a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 �abc(a  b  c)
("  " � a  b  c)

1 1 1 a b
c
  �  
a b c bc ac ab
bc ac ab
abc �  
a b
c
4.
2

2
a b c a b
c2
  � 2  2  2 (a, b, c  0)
b c a b c
a
("  " � a  b  c)
5.

(ab  bc  ca)( a  b  c) �9abc
("  " � a  b  c)

(a  b  c) 2 �3(ab  bc  ca)
6.
("  " � a  b  c )
1
1 1 1 1
� (   )
7. a  b  c 9 a b c
("  " � a  b  c)
8. Bất đẳng thức tam giác:
abc �(a  b  c)(b  c  a)(c a  b)
("  " � a  b  c)
III. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT
ĐẲNG THỨC CAUCHY:
1. Các đại lượng trung bình của hai số không âm:
Trang 7




Với hai số không âm a, b. Kí hiệu:
ab
2

là trung bình cộng của hai số a, b.

 G  ab

là trung bình nhân của hai số a, b.

 A

a 2  b2
là trung bình toàn phương của hai số a, b.
2

 Q
H



2
1 1

a b

là trung bình điều hòa của hai số dương a, b..

Ta có bất đẳng thức Q  A  G  H.



Chứng minh:

Từ





ab
2

2

a  �
b ��
0  a 2 ab b 0

 a  b

2

ab hay A  G

(1)

�0 � a 2  2ab  b 2 �0 � a 2  b 2 �2ab

2

hay  �
2 a�
b2 

a
2

�1
1�

�

��
�
� 0
Mặt khác � a
b�
�
�

b

a2  b2
2

2

1
a

1
b

2
ab

ab
hay Q  A
2
ab

(2)

2
1 1 hay G  H (3)

a b

Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q  A  G  H.
Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b.


Mở rộng ra cho n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta cũng có:

A

a1  a2  a3  ...  an
n

G  n a1a2 a3 ...an

Q
H

là trung bình cộng của n số a1 , a2 , a3 ,..., an .
là trung bình nhân của n số a1 , a2 , a3 ,..., an .

a12  a2 2  a32  ...an 2
là trung bình toàn phương của n số a1 , a2 , a3 ,..., an .
n
n
1 1 1
1 là trung bình điều hòa của n số dương a1 , a2 , a3 ,..., an .
  �
�
�

a1 a2 a3
an

Ta cũng có bất đẳng thức Q  A  G  H.
Dấu “=” xảy ra khi a1  a2  a3  ...  an .
Trang 8


* Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ Arithmetic mean (trung bình cộng),
Geometric mean (trung bình nhân), Quadratic mean (trung bình toàn phương) và Harmonic
mean (trung bình điều hòa).
2. Các bất đẳng thức phụ:

n = 2:  x, y ≥ 0 khi đó:

n = 3:  x, y, z ≥ 0 khi đó:

x y
� xy
2
x  y �2 xy

2.1
2.2

x y z 3
� xyz
3
x  y  z �3 3 xyz

2

3

2.3

�x  y �
�
� �xy
� 2 �

�x  y  z �
�
��xyz

� 3
�

2.4

2
 x  y  �4 xy

3
 x  y  z  �27 xyz

1 1
4
 �
x y x y
1
4
�
xy  x  y  2

1 1 1
9
  �
x y z x yz
1
4
�
xyz  x  y  z  3

2.5

2.6

IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY:
1. Kỹ thuật ghép đối xứng:
Trong kỹ thuật ghép đối xứng chúng ta cần nắm được một số kiểu thao tác sau:
�
2 x  y  z   x  y   y  z    z  x
�
Phép cộng: �
x y y z z x


�x  y  z 
2
2
2
�
2 2 2
Phép nhân: x y z   xy   yz   zx 

; xyz= xy yz zx

 x, y, z

�0 

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi:
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính
đồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.

3. Kỹ thuật thêm bớt hằng số.
4. Kỹ thuật tách nghịch đảo + ghép cặp nghịch đảo:

Trang 9


Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển
sang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì
việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ
thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.
5. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
6. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:
Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích,
hiểu nôm na là thay dấu “ + ” bằng dấu “ . ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng
là thay dấu “ . ” bằng dấu “ + ”. Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng
cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.
7. Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo:
Nội dung cần nắm được các bất đẳng thức sau:
�1

1 1�
 �
�9
�
x
y
z
�
�


1.  x  y  z  �
�

x, y, z  0

�1
1
1� 2
2. x1  x2  ........  xn �   .........  ��n x1 , x2 ,........, xn  0



 �x

�1

x2

xn �
�

8. Kỹ thuật đổi biến số:
9. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu:
10. Kỹ thuật cộng mẫu:
Các bất đẳng thức hay dùng:
1
n2
�

a) �i 1
ai �n ai
n

(Dấu “=” xảy ra khi a1  a2  ...  an )

i 1

b)

1
1 1 1
� (  )
ab 4 a b

c)

1
1
8
 2�
2
x
y
( x  y)2

11. Kỹ thuật chia tách hạng tử thích hợp:
Trang 10

12. Sử dụng điều kiện đưa bất đẳng thức không đồng bậc về đồng bậc để dụng các bất
đẳng thức cổ điển quen thuộc:

B. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ:
1. Với a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn là các số thực tùy ý:
(a1b1  a2b2  ...  an bn ) 2 �(a12  a22  ...  an2 )(b12  b22 ,..., bn2 )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(*)

a
a1 a2

 ...  n (Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
b1 b2
bn

0).
2. Trong (*), ta chọn ai 

xi
, bi 
yi

yi , với xi , yi �R, yi  0 , ta thu được bất đẳng thức

Cauchy – Schwarz dạng phân thức:
Nếu x1 , x 2 ,..., x n là các số thực và y1 , y 2 ,..., y n là các số thực dương thì:
x 2 ( x  x 2  ...  x n ) 2
x12 x22

  ...  n � 1
y1 y2
yn
y1  y 2  ...  yn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x
x1 x2

 ...  n
y1 y2
yn

3. Với a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn là các số thực tùy ý:
a1b1  a2b2  ...  anbn � (a12  a22  ...  an2 )(b12  b22 ,..., bn2 )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

(*)

a
a1 a2

 ...  n (Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
b1 b2
bn

0).

Trang 11