TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN
NĂM HỌC: 2017 - 2018

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC

Sinh viên thực hiện: DƯƠNG LAN PHƯƠNG
Người hướng dẫn:
TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN
NĂM HỌC: 2017 - 2018

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC

Xác nhận

Sinh viên thực hiện

người hướng dẫn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức cơ sở
1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại và
1.2 Vành Noether . . . . . . . . . .
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . .
1.4 Phân tích nguyên sơ . . . . . . .
1.5 Vành và môđun phân bậc . . . .

2
2
4
5
8
9

iđêan nguyên sơ
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc
12
2.1 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc . . . . . . . . . 12
2.2 Phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc . . . . . . . . . . . 16
Kết luận

20

Tài liệu tham khảo

21


Mở đầu
Trong một vài thập niên gần đây, lý thuyết vành và môđun đã có bước
phát triển rực rỡ. Đã có những hướng phát triển lý thuyết vành và môđun
mang lại những ứng dụng khác nhau. Nhìn nhận một vành và môđun dưới
dạng tổng trực tiếp của các nhóm đã mở ra cho ta hướng nghiên cứu khá

thú vị dẫn đến lý thuyết vành và môđun phân bậc. Do đó, với mong muốn
tìm hiểu thêm và hiểu sâu hơn các định nghĩa, cách chứng minh các định lý
cùng những tính chất liên quan đến lý thuyết vành và môđun phân bậc, cụ
thể hơn là về tập iđêan nguyên tố liên kết, phân tích nguyên sơ của môđun
phân bậc, tôi đã lựa chọn thực hiện đề tài này "Tập iđêan nguyên tố liên kết
của môđun phân bậc".
Dựa trên những kiến thức về các iđêan, iđêan nguyên tố liên kết, phân
tích nguyên sơ, các kiến thức cơ bản về vành và môđun, tôi mong muốn giới
thiệu cho người đọc biết về phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc, iđêan
nguyên tố liên kết của môđun phân bậc.
Nội dung đề tài được chia thành 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở. Chương này tôi trình bày về các kiến thức
cơ sở như định nghĩa và các tính chất về iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan
nguyên sơ, vành noether. Đặt biệt trong chương này là iđêan nguyên tố liên
kết, phân tích nguyên sơ, vành phân bậc và môđun phân bậc. Đây là những
công cụ mạnh nhất hỗ trợ cho những nghiên cứu được trình bày ở chương 2.
Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc. Chương
này nghiên cứu về phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết của môđun
phân bậc bao gồm: định nghĩa về iđêan phân bậc với ví dụ liên quan; từ đó
đưa ra định lí về iđêan nguyên tố liên kết của một môđun phân bậc. Các
bổ đề và định lí về môđun con phân bậc, môđun con nguyên sơ; từ đó đến
định lí về phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc. Các kết quả chính của
chương là: Định lí 2.1.3 và định lí 2.2.5.

1


Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1

Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại và iđêan nguyên sơ

Định nghĩa 1.1.1. Cho p là một iđêan của vành giao hoán A có đơn vị. Khi
đó
i) p được gọi là iđêan nguyên tố nếu thỏa mãn p = A và nếu x, y ∈ A
sao cho xy ∈ p thì x ∈ p hoặc y ∈ p.
ii) p được gọi là iđêan tối đại nếu thỏa mãn p = A và không tồn tại
iđêan q sao cho p q A (hay các iđêan của A chứa p chỉ có thể là A và
p).
Tập các iđêan nguyên tố của A được kí hiệu là Spec(A). Tập các iđêan
tối đại của A được kí hiệu là M ax(A).
Ví dụ 1.1.2.
(i) Trong vành các số nguyên Z, iđêan nZ là nguyên tố nếu và chỉ nếu
n là số nguyên tố. Thật vậy, nếu n = rs(1 < r, s < n) thì ta có rs ∈ nZ
nhưng r ∈
/ nZ và s ∈
/ nZ, khi đó theo định nghĩa nZ không phải là iđêan
nguyên tố. Ngược lại, nếu n = p là số nguyên tố và giả sử ab ∈ nZ. Suy ra
ab chia hết cho p, vì p là số nguyên tố nên hoặc a chia hết cho p, hoặc b chia
hết cho p. Điều này tương đương với hoặc a ∈ pZ hoặc b ∈ pZ. Vậy pZ là
iđêan nguyên tố.
(ii) Iđêan {0} là iđêan nguyên tố của vành Z.
(iii) Vành Z6 có hai iđêan tối đại, đó là 2Z6 = {¯
0, ¯2, ¯4} và 3Z6 = {¯0, ¯3} .
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử I, J là các iđêan của vành R.
(i) Giao của I và J là một iđêan của R, kí hiệu là I ∩ J , xác định bởi
I ∩ J = {x ∈ R | x ∈ I, x ∈ J}.
2

3

(ii) Tổng của I và J, kí hiệu là I + J , là một iđêan của R sinh bởi I ∪ J .
Từ đó I + J = {x + y | x ∈ I, y ∈ J}.
(iii) Tích của I và J, kí hiệu là IJ là một iđêan của R sinh bởi tập
n

{xy | x ∈ I, y ∈ J}. Tức là IJ = {

xi yi | n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J}. Đặc biệt

i=1

xJ = {xa | a ∈ J} trong đó x ∈ R.
Định nghĩa 1.1.4. Cho I và J là hai iđêan của R. Khi đó ta gọi iđêan thương
của I và J là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ R sao cho xJ ⊆ I, kí hiệu
(I : J).
Như vậy (I : J) = {x ∈ R | xJ ⊆ I}. Ta có (I : J) là một iđêan của R.
Khi I = 0 ta có (0 : J) = {x ∈ R | xJ = 0} được gọi là linh hóa tử của
J, kí hiệu AnnR J.
Nếu J = (x) thì ta viết AnnR (x) thay vì AnnR ((x)).
Mệnh đề 1.1.5. Trong vành giao hoán A mọi iđêan tối đại đều là iđêan
nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử A là vành giao hoán và p là iđêan tối đại của A. Ta
chứng minh p là iđêan nguyên tố. Thật vậy, vì p là iđêan tối đại của A nên
p = A. Giả sử có x, y ∈ A sao cho xy ∈ p và x ∈
/ p, khi đó (x) p. Suy ra
(x) + p = A . Vì 1 ∈ A nên 1 ∈ (x) + p. Vì vậy tồn tại các phần tử a ∈ A,

b ∈ p sao cho 1 = ax + b , suy ra y = 1y = (ax + b)y = axy + by ∈ p . Vậy
p là iđêan nguyên tố.
Định nghĩa 1.1.6. Cho A là vành giao hoán có đơn vị, và p là một iđêan
của vành A. Iđêan p được gọi là iđêan nguyên sơ nếu và p = A và nếu có
x, y ∈ A mà xy ∈ p và x ∈
/ p thì ∃n ∈ N sao cho y n ∈ p.
Ví dụ, trong vành số nguyên Z, iđêan mZ là nguyên sơ nếu và chỉ nếu
m = pk (trong đó p là số nguyên tố và m ∈ N∗ ) hoặc m = 0.
Định lý 1.1.7. Cho A là vành giao hoán có đơn vị, p là iđêan của vành A.
Khi đó
(i) p là iđêan nguyên tố trong A khi và chỉ khi vành thương A/p là miền
nguyên.
(ii) p là iđêan tối đại trong A khi và chỉ khi vành thương A/p là một
trường.
Từ định lý 1.1.5, suy ra nếu p là iđêan tối đại thì p là iđêan nguyên tố;
nếu p là iđêan nguyên tố thì p là iđêan nguyên sơ.


4

1.2

Vành Noether

Định nghĩa 1.2.1. Vành R được gọi là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi
dãy tăng các iđêan đều dừng. Tức là nếu I0 ⊆ I1 ⊆ ... ⊆ In ⊆ ... là dãy tăng
các iđêan của R thì tồn tại n0 ∈ N sao cho In = In0 .
Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Zorn). Cho X là tập khác ∅ được sắp thứ tự bởi ≤. Nếu
như mọi tập con khác ∅ của X được sắp thứ tự toàn phần bởi ≤ đều có cận
trên trong X thì X chứa ít nhất một phần tử tối đại.

Mệnh đề 1.2.3. Cho R là vành. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
(i) R là vành Noether;
(ii) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử tối đại;
(iii) Trong R mọi iđêan đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. (i ⇒ ii) Gọi Σ là tập khác rỗng những iđêan của R. Giả sử
(αi )i ∈ I là một dãy tăng các iđêan của R thuộc Σ, tức là I1 ⊆ I2 ⊆ . . . ⊆
In ⊆ . . .. Do R là vành Noether nên dãy trên dừng. Tức là tồn tại n ∈ N
sao cho In = In+1 = . . .. Điều đó chứng tỏ In là phần tử chặn trên của
dãy(αi )i ∈ I sắp thứ tự tuyến tính trong (αi )i ∈ I . Khi đó áp dụng bổ đề
Zorn trong Σ tồn tại phần tử cực đại.
(ii⇒ iii) Gọi I là một iđêan bất kì của R. Chọn bất kì x1 ∈ I nếu
(x1 ) = I thì I là hữu hạn sinh, nếu (x1 ) = I thì đặt I1 = (x1 ), và chọn
x2 ∈ I \I1 . Nếu (x1 , x2 ) = I thì I là hữu hạn sinh. Ngược lại đặt I2 = (x1 , x2 )
và chọn x3 ∈ I \ I2 . . .. Cứ tiếp tục quá trình trên...Ta khẳng định quá
trình trên phải dừng. Vì giả sử ngược lại ta có dãy trên không dừng. Tức
là I1 ⊆ I2 ⊆ . . . ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ . . . và Ii = Ij với mọi i = j . Đặt
Σ = I1 , I2 , . . . , In , . . . là tập vô hạn thì theo (ii) tồn tại phần tử đại J ∈ Σ.
Vì J ∈ Σ nên tồn tại n là số tự nhiên để J = Jn . Vì Im ⊂ In và Im = In với
mọi m > n. Vì J là cực đại nên Im ⊂ J . Điều này mâu thuẫn. Vậy trong R
mọi iđêan đều hữu hạn sinh.
(iii⇒ i) Giả sử I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ . . . ⊆ In ⊆ In+1 . . . là dãy tăng tùy ý các
∞

iđêan trong R. Đặt J =

In . Ta có J là một iđêan của R. Theo (iii) J hữu
n=0

hạn sinh. Giả sử J = (x1 , x2 , . . . , xn )R. Khi đó với mỗi x1 , x2 , . . . , xt ∈ In0 .
Suy ra J ⊆ In0 ⊆ J . Điều đó chứng tỏ tồn tại n là một số tự nhiên sao cho

In = In+1 = . . .. Vậy R là vành Noether.


5

Mệnh đề 1.2.4. Cho R, R là hai vành, f : R −→ R là toàn cấu vành. Khi
đó R là vành Noether thì R cũng là vành Noether.
Hơn nữa nếu I là 1 iđêan của vành R và R là vành Noether thì R/I là vành
Noether.
Chứng minh. Lấy một dãy tăng các iđêan của R/I có dạng

I1 /I ⊆ I2 /I ⊆ . . . ⊆ In /I ⊆ . . .
Trong đó I1 /I ⊆ I2 /I ⊆ . . . ⊆ In /I ⊆ . . . là một dãy iđêan của R. Vì R là
Noether nên ∃k ∈ N sao cho Ik = Ik+i , ∀i ∈ N. Do đó Ik /I = Ik+i , ∀i ∈ N.
Vì vậy R/I là Noether.
Từ mệnh đề trên ta thấy vành thương của vành Noether là vành Noether.
Tuy nhiên vành con của vành Noether lại chưa chắc là vành Noether. Chẳng
hạn như vành các chuỗi lũy thừa hình thức vô hạn biến Z[[X1 , . . . , Xn , . . .]]
là vành Noether nhưng vành con của nó là Z[X1 , X2 , . . . , Xn , . . .] lại không
phải vành Noether.

1.3

Iđêan nguyên tố liên kết
Ta đặt A là kí hiệu của một vành và M là một A-môđun.

Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan nguyên tố p của A được gọi là iđêan nguyên
tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M , x = 0 sao cho p = (0 : x), trong đó

(0 : x) = {a ∈ A | ax = 0} = Ann(x).

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssA (M ) hay đơn
giản hơn ta kí hiệu là Ass(M ).
Các phần tử tối tiểu của Ass(M ) được gọi là nguyên tố tối tiểu của M
và các phần tử còn lại được gọi là nguyên tố nhúng của M .
Bổ đề 1.3.2. Phần tử tối đại bất kỳ của tập {(0 : y) | y ∈ M, y = 0} là một
iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử (0 : x) là một phần tử tối đại của {(0 : y) : y ∈ M, y = 0}.
Khi đó (0 : x) = A vì x = 0. Hơn nữa, nếu a, b ∈ A sao cho ab ∈ (0 : x)
và a ∈
/ (0 : x) thì ax = 0 và b ∈ (0 : ax). Chú ý rằng (0 : ax) ⊇ (0 : x). Vì
(0 : x) là tối đại nên (0 : ax) = (0 : x). Do đó b ∈ (0 : x). Vậy (0 : x) là một
iđêan nguyên tố.


6

Định nghĩa 1.3.3. Một phần tử a ∈ A được gọi là một ước của không của
M nếu (0 : a)M = 0, hay nói cách khác nếu có có phần tử x ∈ M mà x = 0
sao cho ax = 0.
Tập tất cả các ước của không của M được kí hiệu là Z(M ).
Bổ đề 1.3.4. Cho bất kì một môđun con N của M, khi đó ta có

Ass (N ) ⊆ Ass (M ) ⊆ Ass (N ) ∪ Ass (M/N )
Hay tổng quát hơn, nếu 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ... ⊆ Mn = M là một chuỗi các
môđun con của M thì Ass(M ) ⊆ ni=1 Ass(Mi /Mi−1 ).
Chứng minh. Bao hàm Ass(N ) ⊆ Ass(M ) là hiển nhiên. Gọi x ∈ M sao
cho (0 : x) ∈ Ass(M ). Nếu (0 : x) ∈
/ Ass(N ) thì ta chỉ ra rằng (0 : x) =
(0 : x¯) ∈ Ass(M/N ), trong đó x¯ là kí hiệu ảnh của x trong M/N . Để thấy
rõ điều này, chú ý rằng (0 : x) ⊆ (0 : x

¯) và nếu a ∈ A sao cho a¯
x = 0 = ax
thì ax ∈ N và a ∈
/ (0 : x), và vì (0 : x) là nguyên tố nên chúng ta có b ∈ (0 :
ax) ⇔ ba ∈ (0 : x) ⇔ b ∈ (0 : x). Do đó (0 : x) = (0 : ax) ∈ Ass(N ), điều
này là mâu thuẫn. Vậy Ass(M ) ⊆ Ass(N ) ∪ Ass(M/N ). Khẳng định cuối
cùng được quy nạp theo n.
Hệ quả 1.3.5. Cho M1 , M2 , ..., Mh là các A-môđun sao cho M =
Khi đó
Ass(M ) = ∪hi=1 Ass(Mi ).

h
i=1 Mi .

Chứng minh. Sử dụng chứng minh quy nạp theo h, lưu ý trường hợp h = 2
là kết quả của khẳng định đầu tiên của bổ đề 1.3.4.
Định nghĩa 1.3.6. Ta nói tập con S của vành giao hoán R là tập con nhân
đóng nếu
(i) 1 ∈ S ;
(ii) Với bất kì s1 , s2 ∈ S thì s1 .s2 ∈ S .
Định nghĩa 1.3.7. Cho S là một tập con nhân đóng của vành A. Khi đó,
địa phương hóa của A với tương ứng tới S , kí hiệu S −1 A hoặc AS , là một
vành
a
S −1 A =
| a ∈ A, s ∈ S
s
trong đó sự bằng nhau được xác định bởi

a a

= ⇔ ∃s ∈ S : s (s a − sa ) = 0
s
s


7

và phép cộng, phép trừ được xác định bởi dạng thông thường của phân số.
Bổ đề 1.3.8. Giả sử A là vành Noether và S là một tập con nhân đóng của
A. Khi đó

AssS −1 A (S −1 M ) = S −1 p : p ∈ Ass(M ), p ∩ S = ∅ .
Chứng minh. Nếu p ∈ Ass(M ) và S ∩ p = ∅ thì ta có một phép nhúng
A/p → M . Khi đó, kéo theo một phép nhúng S −1 A/S −1 p → S −1 M và
S −1 p ∈ Spec(S −1 A) vì S ∩ p = ∅. Vì thế, S −1 p ∈ AssS −1 A (S −1 M ).
Ngược lại, nếu p ∈ Asss−1 A (S −1 M ) thì p = S −1 p với một p ∈ Spec(A)
với p ∩ S = ∅ và p = (0 : xs ) với một x ∈ M . Ta viết p = (a1 , a2 , ..., an )
thế thì a1i . xs = 0 trong S −1 M với 1 ≤ i ≤ n . Do đó ∃t ∈ S sao cho
tai x = 0 với 1 ≤ i ≤ n. Suy ra p ⊆ (0 : tx). Hơn nữa, nếu a ∈ (0 : tx) thì
a
x
−1
1 ∈ (0 : s ) = S p. Do đó tồn tại s ∈ S để s a ∈ p và vì thế a ∈ p. Như vậy
p = (0 : tx) ∈ Ass(M ).
Chú ý, theo kết quả kéo theo ở trên nếu p ∈ Ass(M ) thì pAp ∈
AssAp (Mp ). Do đó Mp = 0.
Định nghĩa 1.3.9. Tập {p ∈ Spec(A) : Mp = 0} được gọi là giá trị của M
và kí hiệu là Supp(M ).
Bổ đề 1.3.10. Tập Supp(M ) ⊆ {p ∈ Spec(A) : p ⊇ Ann(M )}. Hơn nữa,
nếu M là hữu hạn sinh thì Supp(M ) = {p ∈ Spec(A) : p ⊇ Ann(M )}.

Chứng minh. Nếu p ∈ SpecA và Mp = 0 thì ta có x ∈ M sao cho x1 = 0
trong Mp . Thế thì a ∈ Ann(M ) ⇒ ax = 0 ⇒ a ∈ p. Do đó, p ⊇ Ann(M ).
Giả sử M là hữu hạn sinh và p ∈ SpecA chứa Ann(M ). Ta viết M =
Ax1 + ... + Axn . Nếu Mp = 0 thì ta có thể tìm a ∈ A \ p sao cho axi = 0 với
1 ≤ i ≤ n. Do đó aM = 0 hay nói cách khác a ∈ Ann(M ), điều này là mâu
thuẫn.
Định lý 1.3.11. Giả sử A là vành Noether và M là hữu hạn sinh. Khi đó
tồn tại một chuỗi 0 = M0 ⊆ M1 ⊆ ... ⊆ Mn = M của các môđun con của
M sao cho Mi /Mi−1 (A/pi ), với một số pi ∈ Spec(A) (1 ≤ i ≤ n).
Ngoài ra, cho bất kỳ chuỗi như vậy, ta có Ass(M ) ⊆ {p1 , ..., pn } ⊆
Supp(M ). Hơn thế, các phần tử tối tiểu của ba bộ là trùng nhau.
Chứng minh. Trường hợp của M = 0 là tầm thường. Nếu M = 0 thì tồn
tại p1 ∈ Spec(A) sao cho A/p1 là đẳng cấu với một môđun con M1 của M .


8

Nếu M1 = M , ta áp dụng cùng lập luận cho M/M1 để tìm p2 ∈ Spec(A) và
một môđun con M2 của M sao cho M2 ⊇ M1 và A/p2
M2 /M1 . Vì M là
Noether nên M không có dãy tăng nghiêm ngặt vô hạn các môđun con, và
khi đó quá trình trên phải chấm dứt. Điều này cho ta khẳng định đầu tiên.
Ngoài ra, Ass(Mi /Mi−1 ) = Ass(A/pi ) = {pi } và vậy nên, ta thấy rằng
Ass(M ) ⊆ {p1 , ..., pn }. Thêm nữa, ta có (Mi /Mi−1 )pi
(Api /pi ), Api = 0.
Vì thế, (Mi )pi = 0. Do đó {p1 , ..., pn } ⊆ Supp(M ).
Cuối cùng, nếu p ∈ Supp(M ) thì Mp = ∅ và vậy nên AssAp (Mp ) = 0.
Từ 1.3.8 chỉ ra rằng tồn tại q ∈ Ass(M ) với q ∩ (A \ p) = ∅ tức là q ⊆ p.
Điều này kéo đến khẳng định cuối cùng.

1.4

Phân tích nguyên sơ
Ta tiếp tục đặt A là kí hiệu của một vành và M là một A-môđun.

Định nghĩa 1.4.1. Cho Q là một môđun con của M . Ta nói Q là nguyên
sơ nếu Q = M và với bất kì a ∈ A, x ∈ M nếu ax ∈ Q và x ∈
/ Q thì ta suy
ra am M ⊆ Q với một số m ≥ 1 nào đó.
Ta nói Q là bất khả quy nếu Q = M và với bất kì môđun con N1 và N2
của M , nếu Q = N1 ∩ N2 , thì suy ra Q = N1 hoặc Q = N2 .
Rõ ràng một môđun con Q của M là nguyên sơ nếu và chỉ nếu với mỗi
ước của 0 của M/Q là lũy linh cho M/Q (tức là một phần tử a ∈ M được
gọi là lũy linh của M nếu am M = 0 với một số n ≥ 1; nói cách khác, a là
lũy linh của M nếu và chỉ nếu a ∈ Ann(M )).
Nếu Q là một môđun con nguyên sơ của M và p = Ann(M/Q) thì
ta nói Q là p-nguyên sơ.
Ví dụ 1.4.2. Cho môđun con bất kì Q của M , ta thấy:
(i) Nếu A là vành Noether và M là hữu hạn sinh thì Q là nguyên sơ
⇔ Ass(M/Q) là có duy nhất một phần tử.
(ii) Nếu A là vành Noether và M là hữu hạn sinh thì Q là p-nguyên sơ
⇔ Ass(M/Q) = p.
Bổ đề 1.4.3. Giả sử A là vành Noether, M là hữu hạn sinh và Q1 , Q2 , ..., Qr
là p-nguyên sơ môđun của M trong đó r là số nguyên dương. Khi đó Q1 ∩
Q2 ∩ ... ∩ Qr cũng là p-nguyên sơ.


9

Chứng minh. Rõ ràng Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr = M . Hơn nữa có một đồng cấu tự

nhiên M/(Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr ) → M/Q1 M/Q2 ... M/Qr . Do đó ta
có
r

∅ = Ass(M/(Q1 ∩Q2 ∩...∩Qr )) ⊆ Ass(

r

Ass(M/Qi ) = {p} .

(M/Qi ) =
i=1

i=1

Khi đó suy ra Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qr là p-nguyên sơ.
Bổ đề 1.4.4. Giả sử A là vành Noether, M là hữu hạn sinh, Q là một môđun
con p-nguyên sơ của M . Khi đó, ảnh ngược của Qp trong ánh xạ tự nhiên
M → Mp (cho bởi x → x1 ) là Q.
Chứng minh. Giả sử x ∈ M thỏa mãn x1 ∈ Qp . Khi đó tx ∈ Q với một số
t ∈ A \ p. Nếu x ∈
/ Q thì x¯, ảnh của x trong M/Q là khác không và khi đó
t ∈ Z(M/Q) = p , điều này là mâu thuẫn.
Chú ý: Cho bất kỳ p ∈ Spec(A) và một môđun con Q của Mp , ảnh
ngược của Q trong ánh xạ tự nhiên M → Mp thường được kí hiệu là Q ∩M .
Khi đó từ bồ đề trên có thể phát biểu rằng nếu Q là một p-môđun nguyên
sơ của M thì Qp ∩ M = Q.
Định lý 1.4.5. Giả sử A là vành Noether, M là hữu hạn sinh và N là môđun
con bất kì của M . Khi đó ta có
(i) Tồn tại các môđun con nguyên sơ Q1 , Q2 , . . . , Qh của M sao cho

N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qh .
(ii) Từ i) ở trên, Q1 ∩Q2 ∩...∩Qh có thể được chọn sao cho Qi
j=i Qj
với 1 ≤ i ≤ h và p1 , ..., ph phân biệt, trong đó pi = Ann(M/Qi ).
(iii) Nếu Qi và p cho như ii), thì p1 , ..., ph là duy nhất (cụ thể là
{p1 , . . . , ph } = Ass(M/N )). Hơn nữa, nếu pi là tối tiểu trong {p1 , ..., ph }
thì môđun con nguyên sơ tương ứng Qi cũng là xác định duy nhất (cụ thể là
Qi = Npi ∩ M ).
Định nghĩa 1.4.6. Một phân tích N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qh như (i) ở trên,
được gọi là một phân tích nguyên sơ của N . Nếu Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qh thỏa mãn
điều kiện ở (ii) thì nó được gọi là một phân tích nguyên sơ thu gọn của N .

1.5

Vành và môđun phân bậc
Ta xét G là vị nhóm cộng (chẳng hạn G = Z, hoặc G = N).


10

Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Ta nói R là vành
phân bậc nếu R có thể phân tích được dưới dạng R =
d∈G Rd (như các
nhóm abel cộng) và thỏa mãn tính chất Ri Rj ⊆ Ri+j với mọi i, j ∈ G.
Phần tử x ∈ Rd được gọi là phần tử thuần nhất bậc d của R.
Định nghĩa 1.5.2. Cho R = d∈G Rd là vành phân bậc. Một R-môđun M
được gọi là R-môđun phân bậc (hoặc M là môđun phân bậc trên vành phân
bậc R) nếu M có thể phân tích được thành M = d∈G Md (như các nhóm
abel cộng) và thỏa mãn tính chất Ri Mj ⊆ Mi+j với mọi i, j ∈ G.
Cho d ∈ G và M =

i∈G Mi là R-môđun phân bậc. Ta xét tập hợp
mới M (d) về mặt tập hợp M (d) vẫn là M nhưng bậc của nó xác định bởi
M (d)i = Mi+d với mọi i ∈ G. Khi đó M (d) cũng là R-môđun phân bậc, nó
được gọi là M dịch chuyển bởi d.
Nếu M là môđun phân bậc trên R với G = Z là tập các bậc của nó, khi
đó:
i) Phần tử x ∈ M được gọi là phần tử thuần nhất nếu và chỉ nếu tồn
tại d ∈ Z để x ∈ Md . Trong trường hợp x ∈ Md , ta nói x là phần tử thuần
nhất bậc d, kí hiệu là deg(x) = d.
ii) Quy ước phần tử 0 là phần tử thuần nhất bất kỳ, vì 0 ∈ Md với mọi
d.
iii) Từ định nghĩa trên ta có thể suy ra rằng mọi phần tử x ∈ M đều
có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = d∈Z xd trong đó xd là
thuần nhất bậc d và chỉ có hữu hạn xd khác 0. Trong biểu diễn x = d∈Z xd ,
thì xd được gọi là thành phần thuần nhất bậc d của phần tử x.
Định nghĩa 1.5.3. Giả sử M = n∈G Mn là một R-môđun phân bậc và N
là một R-môđun con của M . Ta nói N là R-môđun con phân bậc của M nếu
N = i∈G N ∩ Mi .
Mệnh đề 1.5.4. Cho N là môđun con của môđun phân bậc M trên vành
phân bậc R. Khi đó N là môđun con phân bậc khi và chỉ khi với mỗi x ∈ N
ta có các phần tử thuần nhất của x cũng thuộc N .
Chứng minh. (⇒) Giả sử N là môđun con thuần nhất của M , khi đó N =
i∈G (N ∩ Mi ) (*). Lấy tùy ý x ∈ N , khi đó do (*), nên x =
i∈G xi trong
đó xi ∈ N ∩ Mi với mọi i ∈ G và chỉ có hữu hạn xi = 0. Khi đó rõ ràng mọi
thành phần thuần nhất xi đều thuộc N .


11

(⇐) Giả sử với mọi x ∈ N đều có tính chất là mọi thành phần thuần
nhất của x đều thuộc N . Ta sẽ chứng minh N thuần nhất, tức là N =
j∈G (N ∩ Mj ). Thật vậy, ta có
j∈G (N ∩ Mj ) ⊆ N . Ngược lại, lấy x ∈ N
thì x ∈ M suy ra x = i∈G xi với xi ∈ Mi với mọi i ∈ G và chỉ có hữu hạn
xi = 0. Theo trên thì mọi thành phần xj ∈ N , do đó xj ∈ N ∩ Mj với mọi
j ∈ G. Vậy x ∈ j∈G (N ∩ Mj ) hay N = j∈G (N ∩ Mj ).
Ví dụ 1.5.5. Ở đây xét tập các bậc là G = N. Khi đó
1. Một vành R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = n∈N Rn
trong đó R0 = R và Rn = 0 với mọi n > 0.
2. Một R-môđun M luôn là R-môđun phân bậc với phân bậc tầm thường
M= ∞
n=0 Mn (xét R là vành phân bậc tầm thường), trong đó M0 = M và
Mn = 0 với mọi n > 0.
3. Xét vành đa thức R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] với K là một trường. Khi đó
R có phân bậc R = n∈N Rn với R0 = K và Rn là tập các đa thức thuần
nhất bậc n của R.
Định nghĩa 1.5.6. Cho R = ⊕i∈G Ri là vành phân bậc và d ∈ G. Giả sử có
hai R-môđun phân bậc M và N . Một R-đồng cấu môđun f : M → N gọi
là đồng cấu thuần nhất (hay phân bậc) có bậc d nếu f (Mi ) ⊆ Ni+d với mọi
i ∈ G.


Chương 2

Iđêan nguyên tố liên kết của môđun
phân bậc
2.1

Iđêan nguyên tố liên kết của môđun phân bậc

Mục này ta xét vành phân bậc R = ⊕n∈N Rn và R-môđun phân bậc
M = ⊕n∈N Mn xét trên tập các bậc là N.
Định nghĩa 2.1.1. Nếu R là vành phân bậc thì R cũng là R-môđun phân
bậc. Khi đó I là một iđêan phân bậc của R nếu I là iđêan của R thỏa mãn
I= ∞
n=0 (I ∩ Rn ). I còn được gọi là iđêan thuần nhất.
Ví dụ 2.1.2.
1. Ta xét vành đa thức R[x]. Khi đó R[x] = n≥0 An là vành phân bậc,
trong đó An = {axn | a ∈ R} là các nhóm con của nhóm cộng (R[x], +);
đồng thời thỏa mãn An Am ⊆ An+m với mọi n, m ≥ 0.
2. Trong vành phân bậc R[x] = n≥0 An , ta lấy iđêan

I = x2 = {x2 f (x) | f (x) ∈ R[x]},
khi đó I là một iđêan thuần nhất.
Thật vây, ta có I ∩ A0 = {0} , I ∩ A1 = {0}; đồng thời I ∩ A2 =
A2 , I ∩ A3 = A3 , . . . , I ∩ An = An , ..., tức là I ∩ An = An với mọi n ≥ 2.
Mặt khác với mọi ω ∈ I ta thấy
k
2

2

k
i

ω = x h(x) = x

ai x2+i ∈ A2 ⊕ A3 ⊕ . . . Ak+2 .

ai x =
i=0

i=0

12


13

Do đó

I = 0 ⊕ 0 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An ⊕ ... =

(I ∩ An ).
n≥0

Định lý 2.1.3. Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R-môđun
phân bậc. Khi đó
(i) Bất kì iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc. Hơn nữa,
tồn tại một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x).
(ii) Với mỗi p ∈ Ass(M ) chúng ta có thể chọn một môđun con phân bậc
p-nguyên sơ Q(p) sao cho (0) = p∈Ass(M ) Q(p).
Chứng minh. i) Cho p ∈ Ass(M ), khi đó ∃x ∈ M sao cho p = Ann(x). Vì
M là R-môđun phân bậc nên ta có thể viết

x = xe + xe−1 + . . . + x0 với xi ∈ Mi .
Vì R là vành phân bậc nên với f ∈ p thì ta có thể viết f dưới dạng

f = fr + fr−1 + . . . + f0 với fi ∈ Ri .

Ta sẽ chứng minh rẳng fi ∈ p với mọi i = r, r − 1, . . . , 1, 0. Vì f ∈ p =
Ann(x), nên f x = 0. Ta viết lại

0 = f x = fr xe + (fr−1 xe + fr xe−1 ) + . . . + (

fi x j ) + . . . + f0 x 0 .
i+g=k

Vì đây là đẳng thức trong R = ⊕n≥0 Rn nên dẫn đến
nhất đều là 0, tức là ta có hệ các đẳng thức sau:



fr x e







fr−1 xe + fr xe−1







fr−2 xe + fr−1 xe−1 + fr xe−2








...

mọi thành phần thuần

=0
=0
=0




fr−e xe + fr−e+1 xe−1 + ... + fr x0 = 0







...








f0 x 1 + f1 x 0
=0






f0 x0
=0


14

(trong đó ta quy ước fj = 0 nếu j < 0). Từ hệ đó bằng cách nhân dòng i
với fri−1 với mọi i = 1, . . . , e + 1, ta được hệ mới




fr xe
=0








=0
fr fr−1 xe + fr2 xe−1







=0
fr2 fr−2 xe + fr2 fr−1 xe−1 + fr3 xe−2




...






fre fr−e xe + fre fr−e+1 xe−1 + ... + fre+1 x0 = 0








...







f0 x0
=0
Từ đó suy ra fre+1 xi = 0 với 0 ≤ i ≤ e. Vì thế fre+1 x = 0, kéo theo
fre+1 ∈ Ann(x) = p. Do đó vì p là iđêan nguyên tố nên ta được fr ∈ p.
Bây giờ bằng quy nạp lùi theo 0 ≤ i ≤ r ta sẽ chứng tỏ fi ∈ p với
mọi i ≤ r. Rõ ràng i = r ta có fr ∈ p (theo trên). Giả sử fj ∈ p với mọi
i < j ≤ r, ta cần chỉ ra fi ∈ p. Ta thấy

f = fr + fr−1 + . . . + fi+1 + fi + . . . + f1 + f0 ∈ p
trong khi đó fr , fr−1 , . . . , fi+1 ∈ p, dẫn đến phần tử

f = fi + . . . + f1 + f0 = f − (fr + fr−1 + . . . + fi+1 ) ∈ p.
Bây giờ bằng lập luận tương tự như với f đối với phần tử f , ta suy ra
được fie+1 xj = 0 với mọi j = 0, . . . , e; suy ra fie+1 x = 0 hay fie+1 ∈ p, kéo
theo fi ∈ p. Vậy ta đã chứng minh được fi ∈ p với mọi i ≤ r. Nói cách khác
p là iđêan thuần nhất, hay p là iđêan phân bậc.
Cuối cùng ta sẽ chứng minh tồn tại phần tử xi để p = Ann(xi ). Do p là
iđêan phân bậc nên với mọi f = fr + . . . + f1 + f0 ∈ p kéo theo fi ∈ p với mọi
i = r, . . . , 0. Khi đó với mọi fi ta có fi ∈ p, nên fi xe +fi xe−1 +. . .+fi x0 = 0,

kéo theo fi xj = 0 với mọi j = e, . . . , 0. Do đó fi xj = 0 với mọi i = r, . . . , 0 và
mọi j = e, . . . , 0. Dẫn đến f xj = 0 với mọi j = e, . . . , 0; do đó p ⊆ Ann(xj )
với mọi j = e, . . . , 0. Vì thế
p ⊆ ∩ej=0 Ann(xj ).


15

Ngược lại rõ rằng là nếu f xj = 0 với mọi j = e, . . . , 0 thì f x = 0, suy ra
f ∈ p. Do đó p ⊇ ∩ej=0 Ann(xj ). Vậy
p = ∩ej=0 Ann(xj ).
Từ đó, vì p là iđêan nguyên tố nên phải ∃xi (với i ∈ {0, 1, . . . , e}) để p =
Ann(xi ). Vậy tồn tại phần tử thuần nhất xi sao cho p = Ann(xi ).
Để chứng minh (ii) ta cần chứng minh định lí sau.
Định lý 2.1.4. Cho R là một vành Noether và M là một môđun Noether.
Thế thì ta có thể chọn môđun con p-nguyên sơ Q(p) ứng với mỗi p ∈ Ass(M )
sao cho (0) = p∈Ass(M ) Q(p).
Chứng minh. Cố định một iđêan nguyên tố liên kết p của M , và xét tập hợp
các môđun con N = {N ⊆ M : p ∈
/ Ass(N )}. Ta có N = ∅ vì 0 ∈ N . Do
M là Noether nên tồn tại phần tử cực đại trong N , kí hiệu Q(p) ∈ N . Ta có
p∈
/ Q(p), M = Q(p) và p ∈ Ass(M ). Ta sẽ chứng minh Q(p) là p-nguyên
sơ nghĩa là ta chứng minh Ass(M/Q(p)) = {p}.
Giả sử ∃ p = p và p ∈ Ass(M/Q(p)). Khi đó, ∃ Q
Q(p) để
Q /Q(p) ∼
/
= A/p . Suy ra Ass(Q ) ⊆ Ass(Q(p)) ∪ Ass(Q /Q(p)) ⇒ p ∈
Ass(Q ). Do đó Q ∈ N . Do Q

Q(p) mà p ∈
/ Q nên Q = Q(p) (do tính
chất tối đại của Q(p)), điều này vô lí vì Q = Q(p).
Mặt khác, M/Q(p) = 0 nên Ass(M/Q(p)) = ∅, do vậy Ass(M/Q(p)) =
{p}.
Cuối cùng vì Ass( p∈Ass(M ) Q(p)) = p∈Ass(M ) (Q(p)) = ∅. Suy ra

(Q(p)) = (0).
p∈Ass(M )

Việc chứng minh (ii) chính là sự điều chỉnh nhỏ của chứng minh định lí
trên. Cách khác, chúng ta có thể trích dẫn Định lý 2.1.4 và từ bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.5. Cho p là iđêan phân bậc và Q ⊂ M là môđun p-nguyên sơ.
Khi đó môđun con phân bậc lớn nhất Q chứa trong Q (Q là môđun con được
sinh bởi các phần tử thuần nhất trong Q) cũng là môđun con p-nguyên sơ.
Chứng minh. Cho p ∈ Ass(M/Q ). Vì cả p, p là phân bậc nên ta có p = p
khi và chỉ khi p ∩ H = p ∩ H trong đó H là tập tất cả các phần tử thuần
nhất của R.


16

Nếu a ∈ p ∩ H thế thì a là lũy linh địa phương trên M/Q . Nếu a ∈ H
và a ∈
/ p thế thì với x ∈ M thỏa mãn ax ∈ Q , x = xi , xi ∈ Mi , chúng ta
có axi ∈ Q ⊆ Q với mỗi i; do đó xi ∈ Q với mỗi i, vì thế x ∈ Q . Như vậy,
a∈p.

2.2

Phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc

Trong phần này ta lấy R = d∈N Rd là một vành phân bậc, và M =
d∈N Md là một R-môđun phân bậc. Cho một môđun con N của M , ta kí
hiệu N ∗ là môđun con thuần nhất lớn nhất của N , tức là N ∗ là môđun con
sinh bởi các phần tử thuần nhất trong N .
Bổ đề 2.2.1. Cho M là R-môđun phân bậc. Với mỗi p ∈ Ass(M ), khi đó
tồn tại một số nguyên m và một đẳng cấu từ (R \ p)(−m) đến một môđun
con phân bậc của M (xét như các R-môđun phân bậc).
Chứng minh. Vì p ∈ Ass(M ) nên tồn tại phần tử thuần nhất x ∈ M sao
cho p = Ann(x) (theo định lý 2.1.3). Ta đặt m = deg(x). Xét ánh xạ

f : R → M, a → ax,
ta thấy f là một đồng cấu thuần nhất bậc m giữa các R-môđun phân bậc
(thật vậy: f (ab) = abx = af (b); f (a+b) = (a+b)x = ax+bx = f (a)+f (b);
f (Ri ) = Ri x ⊆ Mi+m ).
Ta thấy Kerf = Ann(x) = p và f (Ri ) = Ri x ⊆ Mi+m với mọi
i ∈ N. Do đó Imf là một môđun con phân bậc của M và thỏa mãn
(R/Kerf )(−m) ∼
= Imf hay

(R/p)(−m) ∼
= Imf.

Định lý 2.2.2. Cho R là vành Noether và M là R-môđun phân bậc hữu hạn
sinh. Khi đó tồn tại một dãy

0 = M0 ⊆ M1 ⊆ . . . ⊆ Mn = M
gồm các môđun con phân bậc của M , tồn tại các iđêan nguyên tố thuần nhất
p1 , . . . , pn của R, và tồn tại các số nguyên m1 , . . . , mn sao cho Mi /Mi−1 ∼

=
(R/pi )(−mi ) (các đẳng cấu này giữa các môđun phân bậc).


17

Chứng minh. Tương tự như định lý 1.3.11 nhưng theo quan điểm của định
lý 2.1.3 và bổ đề 2.2.1.
Bổ đề 2.2.3. Cho N là một môđun con phân bậc của M sao cho N = M
và với bất kì phần tử thuần nhất b ∈ R và y ∈ N ta có

by ∈ N và y ∈
/ N ⇒ tồn tại n ≥ 1 sao cho bn M ⊆ N.
Khi đó N là một môđun con nguyên sơ của M .
Chứng minh. Cho a ∈ R và x ∈ M sao cho ax ∈ N và x ∈
/ N . Khi đó ta có
thể viết x = x + xe + xe+1 + . . . + xd với x ∈ N , xj ∈ Mj và xe ∈
/ N . Lấy
a = ar +ar+1 +. . .+as trong đó ai ∈ Ri . Bây giờ vì a(xe +xe+1 +...+xd ) ∈ N
và vì N là phân bậc nên ta suy ra được rằng ar xe ∈ N . Từ đó theo giả thiết,
tồn tại n1 ≥ 1 để anr 1 M ⊆ N . Bây giờ lại vì (a−ar )n1 (xe +xe+1 +. . .+xd ) ∈ N
1 n2
và do đó tồn tại n2 ≥ 1 để anr+1
M ⊆ N . Tiếp tục thực hiện theo cách này,
ta có thể tìm được n0 ≥ 1 sao cho ani 0 M ⊆ N với mọi r ≤ i ≤ s. Do đó ta
có thể tìm được n ≥ 1 (chẳng hạn, n = n0 (s − r + 1)) sao cho an M ⊆ N .
Vậy N là môđun con nguyên sơ.
Bổ đề 2.2.4. Nếu Q là một môđun con p-nguyên sơ của M thì Q∗ là p∗ nguyên sơ.
Chứng minh. Vì các phần tử thuần nhất của Q (tưng ứng, của p) là các
phần tử của Q∗ (tương ứng, của p∗ ) nên từ bổ đề 2.2.3 ta suy ra Q∗ là một

môđun con nguyên sơ. Hơn nữa, nếu a là phần từ thuần nhất bất kì của
p = Ann(M/Q), thì tồn tại n ≥ 1 để an M ⊆ Q; và vì M là phân bậc,
nên an M ⊆ Q∗ . Kéo theo là p∗ ⊆ Ann(M/Q∗ ). Mặt khác, vì M/Q∗ là
phân bậc và Ann(M/Q∗ ) ⊆ Ann(M/Q), nên ta thấy rằng Ann(M/Q∗ )
là một iđêan thuần nhất chứa trong p, và do đó Ann(M/Q∗ ) ⊆ p∗ . Vậy
Q∗ là p∗ -nguyên sơ.
Định lý 2.2.5. Giả sử A là vành Noether phân bậc, M là A-môđun phân
bậc hữu hạn sinh và N là một môđun con phân bậc của M . Xét N = Q1 ∩
Q2 ∩ . . . ∩ Qh là một phân tích nguyên sơ của N , và p1 , . . . , ph lần lượt là
các nguyên tố ứng với Q1 , . . . , Qh . Khi đó ta có
(i) pi = p∗j , Q∗i là pi -nguyên sơ với 1 ≤ i ≤ h và N = Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ . . . ∩ Q∗h .
(ii) Nếu phân tích nguyên sơ N = Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qh là thu gọn (tối
tiểu) thì phân tích nguyên sơ N = Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ . . . ∩ Q∗h cũng là thu gọn (tối
tiểu).


18

(iii) Nếu pi là tối tiểu trong tập {p1 , . . . , ph } thì Qi là một môđun con
phân bậc của M .
Chứng minh. (i) Áp dụng định lý 2.1.3 cho môđun thương M/N , ta nhận
được pi = p∗i với mọi i. Do đó bởi bổ đề 2.2.4, ta tìm được rằng Q∗i là
pi -nguyên sơ. Vì N là phân bậc và N ⊆ Qi nên ta có N ⊆ Q∗i . Khi đó
N ⊆ Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ . . . ∩ Q∗h ⊆ Q1 ∩ Q2 ∩ . . . ∩ Qh = N , suy ra (i) được chứng
minh.
(ii) Nếu N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qh là một phân tích nguyên sơ thu gọn thì
p1 , . . . , ph là phân biệt và Ass(M/N ) = {p1 , . . . , ph }. Khi đó các nguyên tố
liên kết tương ứng với Q∗1 , Q∗2 , . . . , Q∗h là phân biệt. Hơn nữa, nếu phân tích
N = Q∗1 ∩ Q∗2 ∩ . . . ∩ Q∗h có thể rút gọn được thì Ass(M/N ) sẽ có ít hơn h
phần tử, điều này là mâu thuẫn. Suy ra (ii) được chứng minh.

(iii) Cuối cùng, nếu pi là cực tiểu trong tập {p1 , . . . , ph } thì các thành
phần nguyên sơ tương ứng Qi là duy nhất. Do đó từ i), ta suy ra được
Qi = Q∗i , tức là Qi là môđun con phân bậc.
Như là một trường hợp đặc biệt của kết quả trên, ta thu được một số
kết quả hữu ích về iđêan trong vành phân bậc.
Nhận xét 2.2.6. Thấy rằng tất cả kết quả ở phần này vẫn có hiệu lực khi
R được thay bởi một vành Zs -phân bậc, và thay thế M bởi môđun Zs -phân
bậc. Điều được suy ra từ đây là nếu I là một iđêan đơn thức trong vành
A = K[X1 , . . . , Xn ] thì các nguyên tố liên kết với I (tức là các iđêan thuộc
Ass(A/I)) là các iđêan đơn thức và I có một phân tích nguyên sơ sao cho
mỗi một iđêan nguyên sơ xuất hiện trong nó cũng là một iđêan đơn thức.
Ví dụ sau đây chỉ là một phương pháp xây dựng để có được phân tích
nguyên sơ của iđêan đơn thức.
Ví dụ 2.2.7. Xét J là một iđêan đơn thức của A = K[X1 , . . . , Xn ] và u, v
là các đơn thức nguyên tố cùng nhau trong K[X1 , . . . , Xn ]. Khi đó (J, uv) =
(J, u) ∩ (J, v) và cũng cho thấy nếu e1 , . . . , en là các số nguyên dương, thì
iđêan (X1e1 , X2e2 , . . . , Xnen ) là iđêan (X1 , X2 , . . . , Xn )-nguyên sơ. Ta có thể sử
dụng những điều này để xác định các nguyên tố liên kết và một phân tích


19

nguyên sơ của iđêan I = (X 2 Y Z, Y 2 Z, Y Z 3 ) của A = K[X, Y, Z]. Đó là

I = (X 2 Y Z, Y 2 Z, Y ) ∩ (X 2 Y Z, Y 2 , Z 3 )
= (Y ) ∩ (X 2 , Y 2 , Z 3 ) ∩ (Y Z, Y 2 , Z 3 )
= (Y ) ∩ (X 2 , Y 2 , Z 3 ) ∩ (Y, Y 2 , Z 3 ) ∩ (Z, Y 2 , Z 3 )
= (Y ) ∩ (X 2 , Y 2 , Z 3 ) ∩ (Y, Z 3 ) ∩ (Z, Y 2 ).
Do đó

Ass(A/I) = {(Y ), (X, Y, Z), (Y, Z)}.


Kết luận

Tóm lại, trong toàn bộ đề tài này đã trình bày và hệ thống các nội
dung về phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc, iđêan nguyên tố liên kết
của môđun phân bậc. Kết quả chính của đề tài gồm những phần sau:
1. Hệ thống lại các kiến thức cơ sở về iđêan nguyên tố liên kết, phân
tích nguyên sơ,vành và mô đun phân bậc. Mô tả tập iđêan nguyên tố liên
kết, hệ thống ví dụ minh họa chi tiết.
2. Chứng minh các kết quả về vành và môđun phân bậc, về iđêan nguyên
tố liên kết của môđun phân bậc, phân tích nguyên sơ của môđun phân bậc.
Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức của
bản thân nên trong quá trình thực hiện đề tài này không tránh khỏi thiếu
sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng của các thầy cô và các
bạn để đề tài được hoàn chỉnh hơn.

20


Tài liệu tham khảo
[1] H. Matsumura (1980), Commutative Algebra, Benjamin, London.
[2] M.Atiyah and I.G.Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley Reading, University of Oxford.
[3] Sudhir R. Ghorpade and Jugal K. Verma (2000), Primary decomposition
of modules, Department of Mathematics, Indian Institute of Technology,
Mumbai 400076, India.

21