Hướng dẫn học sinh lớp 10 chứng minh các công thức tính diện tích tam giác

Hướng dẫn học sinh lớp 10 chứng minh các công thức tính diện tích tam giác:
( Phải biên soạn các câu hỏi phù hợp các bước giải sau)
S

1
1
1
ab sin C  bc sin A  ca sin B
2
2
2

1.
S

1
1
1
ah a  bh b  ch c ;
2
2
2

Do
do h a  ACsin C  b sin C;

h b  BA sin A  c sin A; h c  BCsin B  a sin B

Nên thay vào ta có
S

1
abc
4R

Theo định lý sin ta có
2R 

c
b
a


�
sin C sin B sin A

sin C 

S

c
b
a
; sin B 
; sin A 
;
2R
2R
2R

1

1
1
abc
ab sin C  bcsin A  ca sin B � s 
2
2
2
4R

S  pr

Gọi tâm đường tròn nội tiếp là I
SABC  SABI  SACI  SCBI




1
1
1
ar  br  cr
2
2
2



1
r(a  b  c)
2

 pr

Phương pháp chung để giải bài toán: Gồm 4 bước.
Bước1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Phát biểu đề bài dưới dạng khác để hiểu rõ nội dung bài toán.
- Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm, có thể dùng kí hiệu, công thức, hình vẽ...để hỗ
trợ hiểu nội dung bài toán.
Bước 2: Tìm cách giải
Có thể dùng phương pháp tổng hợp để biến đổi cái đã cho hoặc dùng phân tích để
biến đổi cái phải tìm, liên hệ với bài toán nào tương tự hoặc dùng phương pháp đặc
thù với từng dạng toán như toán quĩ tích, dựng hình, phương pháp chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học...
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải bước 2, sắp xếp các bước giải một cách hợp lý theo một trình tự thích
hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Kiểm tra lại lời giải về mặt định tính và mặt định lượng.


- Tìm tòi cách giải khác
- Khả năng ứng dụng kết quả lời giải
- Tổng quát hoá, đặc biệt hoá bài toán
- Xem xét bài toán mới bằng cách lật ngược vấn đề.
- Ví dụ minh họa:
- Đưa ra bài toán, giải bài toán theo 4 bước đã nêu trên.
Bước1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Tìm cách giải
Bước 3: Trình bày lời giải
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Trình bày cách giải khác
- Phát biểu bài toán mới

Có một miếng đất hình vuông có tâm O(1;1) , trên hai cạnh đối nhau có hai điểm
N(1;1); M(3; 2) Hãy tìm tọa độ các đỉnh; phương trình các cạnh và phương trình

các đường chéo của đám đất đó.
Giải: Điểm đối xứng của N(1;1) qua O là N '(2;1)
Điểm đối xứng của M(3; 2) qua O là M '(1;0)
Phương trình qua NM ' là x  1 ;


Phương trình qua N ' M là x  3
Phương trình qua N ' N y  1
Phương trình hai trục đối xứng của hình vuông đã cho là y  1 ; x  1
Phương trình các cạnh của hình vuông là :
y  1 và y  3 ;

x  1; x  3

Phương trình các đường chéo của hình vuông là
xy0
x y2  0

Tọa độ các đỉnh là :

 1; 1 ;  3; 1 ;  3;3 ;  1;3

Hướng dẫn học sinh lớp 10 chứng minh các công thức tính diện tích tam
giác:

S

1 uuur2 uuur2 uuur uuur 2
AB .AC  (AB.AC)
2
S

Do có
S2 

1
AB.AC sin A
2

và

1 uuur2 uuur2 2
1 uuur2 uuur2
AB .AC sin A  AB .AC (1  cos 2 A) 
4
4

1 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
1 uuur2 uuur2 uuur uuur
(AB .AC  AB .AC cos 2 A)  [AB .AC  (AB.AC) 2 ]
4
4


S

1 uuur2 uuur2 uuur uuur 2
AB .AC  (AB.AC)
2

S

1
p(p  a)(p  b)(p  c)
2
S

Do

1
1
1
1
cb sin A � S2  b 2c 2 sin 2 A  b 2c 2 (1  cos 2 A)  b 2c 2 (1  cosA)(1  cosA)
2
4
4
4

Do
1  cosA 

(b  c) 2  a 2 (b  c  a)(b  c  a)

2bc

2bc

1  cosA 

a 2  (b 2  c 2 ) (a  b  c)(a  b  c)

2bc
2bc

Ta có

S2 

1
(a  b  c)(a  b  c)(c  b  a)(a  b  c)
16

Do :
a  b  c  2p � c  b  a  2(p  a)

a  b  c  2p � a  c  b  2(p  b)
a  b  c  2p � a  b  c  2(p  c)

S2  p(p  a)(p  b)(p  c) � S  p(p  a)(p  b)(p  c)

Cho ba điểm A   1; 1 ; B=  3; 1 ; C   3;3 
1. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

uuur
uuu

r
uuur
A   1; 1 ; B=  3; 1 ; C   3; 3 � AB  (4;0); BC  (0; 4); AC  (4; 4)

Nên các cạnh AB, BC vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau nên tam
giác là tam giác vuông cân tại đỉnh B


Phương trình các cạnh là: AB : x  1; BC : y=3; AC: x = y
2. Viết phương trình ba đường cao của tam giác ABC

Tam giác vuông cân nên có hai cạnh là hai đường cao
Đường cao AB : x  1 ;
Đường cao

BC : y = 3 ;

Đường cao BP : x + y = 2
3. Viết phương trình đường phân giác của góc B của tam giác AB. Loại và trọng tâm của tam giác
ABC?

Tam giác vuông cân nên tại B có đường cao tại B là đường phân giác
Phương trình đường phân giác qua đỉnh B là BP : x + y = 2
5 1
A   1; 1 ; B=  3; 1 ; C   3; 3 � G  ( ; )
3 3
Trọng tâm


( Phải biên soạn các câu hỏi phù hợp các bước giải đã giải và có thể gắn với các

kiến thức sau)
Hướng dẫn giải theo cách khác: A   1; 1 ; B=  3; 1 ; C   3;3 
1. Có thể viết theo ba cách các cạnh của tam giác ABC
Phương trình tham số;
Phương trình chính tắc;
Phương trình tổng quát
2. Có thể viết theo ba cách các đường cao của tam giác ABC
Phương trình tham số;
Phương trình chính tắc;
Phương trình tổng quát
3. Có thể viết theo bốn cách phân giác của góc B
Phương trình tham số;
Phương trình chính tắc;
Phương trình tổng quát;
Công thức đường phân giác
 Có thể tìm Trọng tâm theo sáu cách khác nhau
 Loại của tam giác ABC dựa vào độ dài các cạnh hoặc các góc