Phuong trinh TQ duong thang

2x  y  4
�
�
�x  2 y  3

 Hãy giải hệ phương trình sau:
 Hướng dẫn:

y

 PP đại số: x = 1; y = 2.
 PP đồ

4

thị:
Hai đồ thị cắt nhau tại
điểm M(1; 2).

2

-4

O

-2

x  2 y  3

M

2

x

4

-2
-4

 Nhận xét:

2x  y  4

Đưa vào mặt phẳng hệ trục tọa độ ta thấy có mối liên quan chặt
chẽ giữa PP đại số và PP đồ thị !
Hai đường thẳng trên có vuông góc với nhau không ?



1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

a) Vectơ pháp tuyến

n3

ĐỊNH NGHĨA

Vectơ n khác 0, có giá vuông góc với
đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến
của đường thẳng ∆.

n1

n2

 Nhận xét

 Mỗi đường thẳng có vectơ pháp tuyến? Chúng liên hệ với nhau
thế nào?
 Cho điểm I và n ≠ 0 thì có bao nhiêu đường thẳng qua I và nhận
n là vectơ pháp tuyến ?
Đường thẳng ∆ thỏa mãn đ/k là duy nhất !


b) Bài toán:
Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm I(x0; y0) và vectơ n(a;b) ≠ 0.
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I, có vtpt n. Tìm điều kiện của x
và y để điểm M(x; y) nằm trên ∆.
y
 Hướng dẫn:
∆
4

Điều kiện cần & đủ để M∆ ?

M

n

2

I
IM  n
-4

O

-2

2

4

x

-2

IM. n = 0 (*)

-4

(*)

a(x - x0) + b(y - y0) = 0

(1)
Tại sao đường thẳng ∆ là duy nhất ?

Vậy, hệ thức (1) là điều kiện cần và đủ để điểm M  ∆.

ĐỊNH NGHĨA:
 Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng có phương trình

tổng quát dạng ax + by + c = 0, với a2+ b2 ≠ 0.
 Ngược lại, ta có thể chứng minh được rằng: Mỗi phương trình

dạng ax + by + c = 0, với a2 + b2 ≠ 0 là phương trình tổng quát
của đường thẳng nhận n(a; b) là VTPT.
 Chú ý:
 Phương trình tổng quát của đường thẳng có đặc điểm gì ?
 Tại sao PT tổng quát của đường thẳng có điều kiện là a2 + b2 ≠ 0

?

 Phương trình tổng quát của đường thẳng được xác định khi nào ?

c) Áp dụng
 Ví dụ 1:
Mỗi phương trình sau có phải là phương trình tổng quát của
đường thẳng không? Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường
thẳng đó.

i) 7 x  5  0

ii ) mx  (m  1) y  3  0

iii ) kx  2ky  1  0

c) Áp dụng
 Ví dụ 2:
Cho tam giác có ba đỉnh A(–1; –1), B(–1; 3), C(2; – 4). Viết phương
trình tổng quát của đường cao ∆ kẻ từ A.
A

 Hướng dẫn:
 Đường cao ∆ đi qua điểm nào?
 Xác định vectơ pháp tuyến của

đường thẳng ∆ ?
 Áp dụng công thức PT tổng quát
của đường thẳng qua 1 điểm ?

∆
B

C

 Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC ?
 Hai đường thẳng 2x + y = 4 và x – 2y = –3 vuông góc với nhau ?
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0. Ta có nhận xét gì về vị trí
tương đối của ∆ và các trục tọa khi a = 0? Khi b = 0? Khi c = 0?


d) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát.
GHI NHỚ 1:

y

∆

 Đường thẳng by + c = 0 song

song hoặc trùng với trục Ox ?
 VTPT của trục Ox và by + c = 0 !
 So sánh 2 VTPT trên để kết luận !

n2 (0; b)

n1(0; 1)
O

x

y

∆

 Đường thẳng ax + c = 0 song

song hoặc trùng với trục Oy ?
O

 Đường thẳng ax + by = 0 đi

x

y

∆

qua gốc toạ độ ?
O

x


d) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát.
GHI NHỚ 2:

y

 Viết PT đường thẳng d cắt 2 trục

tại A(a; 0) và B(0; b) ?
B(0;b)

 Xác định VTPT của đường thẳng d !
 Áp dụng công thức PT tổng quát của

đường thẳng d !

x
y

 1(a ≠ 0, b ≠ 0)
Phương trình
a b

A(a;0)

O

x

- Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
GHI NHỚ 3
 Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0

Nếu b ≠ 0 thì phương trình được đưa về dạng y = kx + m. (2)

a
a
Với k = - , m = - . Khi đó k là hệ số góc của đừơng thẳng ∆
b
c
và (2) gọi là phương trình của ∆ theo hệ số góc.


CỦNG CỐ BÀI HỌC
 Vectơ pháp tuyến của 1 đường thẳng ?
 Phương trình tổng quát của đường thẳng ? Điều kiện ?
PT tổng quát đường thẳng có dạng ax + by + c = 0, với a2+ b2 ≠ 0

 Viết phương trình tổng quát đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và
có vectơ pháp tuyến n(a; b) ?
a(x - x0) + b(y - y0) = 0

 Viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn ?

x
y
Phương trình đoạn chắn
  1(a ≠ 0, b ≠ 0)
a b
 Hệ số góc của đường thẳng trong hệ tọa độ ?

 Bài tập về nhà: Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 (SGK, trang 80)


NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
 Phương trình tổng quát của đường thẳng ?
PT tổng quát đường thẳng có dạng ax + by + c = 0, với a2+b2 ≠ 0

 Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0)
và có vectơ pháp tuyến n(a; b) ?
a(x - x0) + b(y - y0) = 0

 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0)
và có vectơ chỉ phương u (a; b) ?
Phương trình có dạng: x = x0 + at
y = y0 + bt

(a2 + b2 
0)
 Đặt vấn đề tương tự đối với đường tròn ?


1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

 Định nghĩa đường tròn ?
Đường tròn
>0



C( , R) là tập hợp các điểm cách đều  một khoảng bằng R

Đường tròn (C) xác định khi biết tâm I và bán kính R.

 Ta đưa vào mặt phẳng 1 hệ trục tọa

y

độ Oxy: Tâm (x0; y0 ) và bán kính R >0.
Tìm điều kiện của x, y sao cho M(x; y)
thuộc đường tròn?

c

M(x; y)  ( )
khi nào?

M

y
R

y0
O



x0

x

x


1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

 Phương trình đường tròn khi biết tọa độ tâm I(x0; y0) và bán kính R :
Phương trình đường tròn: (x – x0)2 + (y – y0 )2 = R2

 Để viết phương trình đường tròn ta cần xác định yếu tố nào ?
Cần xác định: Tọa độ tâm và bán kính

 Đặc điểm phương trình đường tròn so sánh
với phương trình đường thẳng?
Phương trình đường tròn là phương
trình bậc 2 đối hai ẩn x và y.

y
M

y
R

y0

O



x0

x

x


1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

 Ví dụ 1:
?1

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm P(–2; 3) và Q(2; –3).
a) Hãy viết phương trình đường tròn tâm P và đi qua Q.
b) Hãy viết phương trình đường tròn đường kính PQ.
y

 Xác định tọa
độ tâm và bán
kính ?

y

 Xác định
tọa độ tâm và
bán kính ?

P

P

3

I 2

2
x

-2 O
-3

Q

3

-2 O
-3

x

x
y

y
�
P
Q

P
Q �
2
2
;
d (P, Q)  ( xP  xQ )  ( y P  yQ ) I �
�
2 �
� 2

Q

x


2. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
 Biến đổi phương trình đường tròn (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 về dạng tổng quát ?
 Ngược lại, phải chăng mỗi phương trình dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
y
với a, b, c tùy ý, đều là phương trình của một đường tròn ?
 Kết luận:

M

y

Phương trình x + y + 2ax + 2by + c = 0 (a + b >c) là
phương trình đường tròn tâm (–a; –b) bán kính
2

2

2

R

2

y0



O

x0

R = a2 + b2  c

 Chú ý: Đặc điểm dạng tổng quát của phương trình đường tròn

 Để phương trình dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 là phương
trình đường tròn cần điều kiện là a2 + b2 –c > 0
 Dạng tổng quát của phương trình đường tròn là một phương
trình bậc 2 gồm: hai số hạng bậc hai đối với từng ẩn x, y; hai
số hạng bậc nhất đối với từng ẩn x, y và một số hạng tự do
(nếu có). Đặc biệt chú ý hệ số của x2, y2 đều bằng 1.

x

2. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Ví dụ 2:Trong các phương trình sau thì phương trình nào là phương

trình đường tròn? Xác định tâm và bán kính của nó (nếu có).

Đ a) x  y  2 x  2 2 y  7  0
2

Đ b)

2

2003
17
x y 0
3x  3 y  2003 x  17 y  0 � x  y 
3
3
2

2

2
2
c)
x

y
 2 x  6 y  103  0

S

S

d) x 2  2 y 2  2 x  5 y  2  0

S

e) x 2  y 2  2 xy  3 x  5 y  1  0

2

2


2. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

(C)đi qua 3 điểm M(1; 2) , N(5; 2), P(1; -3)

 Ví dụ 3: Viết Pt đường tròn

Cách 1: Phương trình đường tròn có dạng:

y

d1

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0

Tìm hệ số

a, b, c ?

Điều kiện để 1 điểm
thuộc đường tròn ?

C

(I; R)
Nhận xét gì về độ dài
M, N, P ?

M

N
1

Cách 2: Tìm tọa độ tâm I(x, y) và bán kính R ? d2
M, N, P 

2

O
-3



5

x

P

2
2
2
2
�
x

1

y

2

x

5

y

2

 
 
 

�
IM2 = IN2
��

2
2
2
2
2
2
IM = IP
� x  1   y  2    x  1   y  3

Cách 3: Tìm giao điểm 2 đường thẳng trung trực
của MN và MP ?

 = d1  d2

R = M = N = P


CỦNG CỐ BÀI HỌC
 Phương trình đường tròn khi biết tọa độ tâm I(x0, y0) và bán kính R ?
Phương trình đường tròn (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2

 Dạng tổng quát của phương trình đường tròn ?
Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện (a2 + b2 >c) là
phương trình đường tròn tâm (–a; –b) bán kính R = a 2 + b 2  c

 Cách viết phương trình đường tròn khi biết:
 Tọa độ tâm I và bán kính R ?
 Tọa độ 3 điểm mà đường tròn đi qua ?

 Bài tập về nhà: Bài 21, 22, 23, 24 (SGK, trang 95)

 Hướng dẫn Bài 22:b) Viết phương trình đường tròn khi biết tâm I(-2; 0) và
tiếp xúc với đường thẳng : 2x + y – 1 = 0.
∆
2x  y 1  0
I
Gợi ý: Biết tọa độ tâm I, tính bán kính R = ?
Điều kiện để đường tròn tâm I tiếp xúc với
đường thẳng ∆ ?