Tiêt 30: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Giáo viên thực hiện: nguyễn quang tánh

Trường tHPT NGUYEN HệếU THAÄN


Bài c ũ:
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
có phương trình tham số
 x = 2 + 3t
 x = −2 + 8t
∆1 : 
vaø ∆ 2 : 
 y = 1 + 4t
 y = 3 − 6t
Vectô chỉ phương của ∆1và ∆ 2 lần lượt là:
ur
uu
r
u1 = (3; 4) và u2 = (8; − 6)

ur uu
r
Chứng tỏ raèng u1 ⊥ u2
ur uu
r
Do 3.8 + 4(-6) = 0 neân u1 ⊥ u2


Tiãút
30

Gv: Nguyễn Quang
Trường THPT Tá n h Hữu Thận
Nguyễn


3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

* Định nghóa:

r r
Vectơ n ≠ 0 được gọi làr
vectơ pháp tuyến
r r
n≠0

n

của đường thẳng ∆ nếu n vuông góc với
vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
r
n
r
n

r
u

∆

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

* Định nghóa:
Trong mỈt
* Nhận xét:phẳng Oxy cho đường thẳng
r
r
- Nếu n là VTPT thì x = −5 + 2t )cịng lµ VTPT
 kn ( k 0
:
=
- Một đường thẳng hoàn toàn + 3tđịnh khi biết một
yr 4 xác
điểm chỉ phương : nó
Vectơvà một VTPT củau = ( 2; 3 )
r
Chứng minh rằng vectơ: n = ( 3; 2 ) vuông gãc víi
r
u
vect¬


4. Phương trỡnh tổng quát của đường thẳng:
Trong maởt phaỳng Oxy cho đường thẳng ∆
đi qua điểm M 0 ( x0 ; y 0 ) và nhận n( a; b)
làm vectơ pháp tuyến
M (x ; y )
r
uuuuuu
r

∀M ( x; y ) ∈ ∆ ⇔ n ⊥∈ M 0 M
r uuuuuu
r
⇔ n.M 0 M = 0
⇔ a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 (*)
∆

∆

0

0

0

⇔ ax + by + ( − ax0 − by0 ) = 0
⇔ ax + by + c = 0 (* *) (c = − ax0 − by0 )

Ph­¬ng trình (* *) được gọi là phương trỡnh
tổng quát của đường thẳng


4. Phương trỡnh tổng quát của đường thẳng
r
Vớ duù: Cho đường thẳng A(2;3) cã VTPT n = ( = 0.
VÝ dơ: ViÕt PTTQ cđa d qua d có PTTQ x-3y+52;1 )
Hãy xád định2( x độ vectơ pháp tuyến của
c:
toạ − 2 ) + 1( y − 3 ) = 0
đường thaúng d?

⇔
r 2x + y −7 = 0
n = (1; −3)

Hãy chỉ r một vectơ chỉ phương của d?
ra

u = (3;1)

Nhận xét: Nếu đường thẳng : ax + by + c = 0
thì ∆

r
cã VTPT n = ( a;b )

vµ cã VTCP

r
u = ( − b;a )


4. Phương trỡnh tổng quát của đường thẳng
Ví dụ: Lập PTTQ của đường thẳng d qua 2 điểm
A(2;7) và B(3;5) ?
Đường thẳuuud đi qua hai điểm A và B nên có
ngr
VTCP là: AB = (1; −2)
r
Suy ra d có VTPT laø: n =( 2 ; 1 )

PTTQ: 2(

x − 2 ) + ( y − 7 ) = 0 ⇔ 2 x + y − 11 = 0


4. Phương trỡnh tổng quát của đường thẳng
Các trường hợp ®Ỉc biƯt : ∆ : ax + by + c = 0
c
 a=0 ∆ : by + c = 0 ⇔ y = −
b
c
 b=0 ∆ : ax + c = 0 ⇔ x = −
a
∆ : ax + by = 0
 c=0

Đặc biệt khi ∆ đi qua hai điểm A(a0;0) và B(0;b0)
thì có phương trình:

x
y
∆:
+ =1
a0 b0


Bài tập củng cố:

Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3;-1), C(6; 2).
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH.
A
Baứ
uuu i laứm:
r
uuu
r
BC
b) Ta AH BC nên BC là VTPT cđa
a) Vì có: uuu = (3;3) là VTCP của AH
r
BC = (3;3) r
đương thẳng BC uuu
VËy ra: BC có VTPT
Suy PTTQ Cđa AH lµ: nBC = (3; − 3)
C
3(BC1) + 3( x − 3) −= 0 +B = 0
x − là: 3( y − 4) 3( y 1)
PTTQ của
⇔ x+ y−5= − y−4 = 0
⇔ x0


Bài tập củng cố:

Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3;-1), C(6; 2).
c) Lập phương trình tổng quát của đường trung
tuyến AM.

Bài làm:

Gọi M là trung điểm của BC, khi ñoù:
xB + xc 3 + 6 9

=
=
 xM = 2

2
2

 y = yB + yC = −1 + 2 = 1
 M

2
2
2 B
uuuu
r

7 7
Ta coù:AM = ( ; − ) nên
r
uuuu 2 2
r

A

M

trung tuyến AM có VTCP

r
2
u = AM = (1; −1) . Suy ra VTPT n AB = (1;1)
7

C

Vaäy PTTQ của AM là: ( x − 1) + ( y − 4) = 0 ⇔ x + y − 5 = 0


Trân trọng kính chào quý Thầy cô
đồng nghiệp !
Chào các em học sinh !

Chúc quý đồng nghiệp dồi dào sức khỏe !

Chúc các em học sinh luôn học tốt !