Toán 8 Chuyên đề 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Chuyên đề 3
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một 
tích của những đa thức khác. 
2. Các phương pháp thường dùng : 
- Đặt nhân tử chung 
- Dùng hằng đẳng thức 
- Nhóm các hạng tử 
- Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặc 
biệt khác (xem chuyên đề nâng cao 1). 
KIẾN THỨC BỔ SUNG
1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức
a 2  - b 2  =   a - b  a + b 
a 3  - b3  =   a - b   a 2  + ab + b 2   là :
A n  - Bn  =   A - B   A n-1  + A n-2 B + ... +    ABn-2  + ... +Bn-1  .           

2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức

a 3  + b3  =   a + b   a 2  - ab + b 2   là :  


A n  + Bn  =   A + B   A n-1  - A n-2 B + A n-3 B2  - ... - ABn-2  + Bn-1  với n lẻ. 

3. Áp dụng vào tính chất chia hết
A n  - Bn  A - B  với n  N và A    B. 
A n  + Bn  A - B với n lẻ và A    -B. 
A 2k  - B2k  A 2  - B2  với k  N và A    ±B. 

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 14. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lí: 
2

A =   x - 3   -   8x + 3  3 - x   + x  x - 3   tại x = 103 
2

Giải. Ta có  A =   x - 3  -   8x + 3  3 - x   + x  x - 3  
2

                                =   x - 3   +   8x + 3 x - 3  + x  x - 3   
                                =   x - 3 x - 3 + 8x + 3 + x   = 10x  x - 3 .  
Với x = 103 thì A = 10.103.(103 - 3) = 103000. 
Nhận xét : Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng. Một trong các ứng 
dụng đó là tính giá trị của biểu thức. Phương pháp phân tích trong ví dụ này là 
phương pháp đặt nhân tử chung. 
Ví dụ 15. Phân tích đa thức thành nhân tử 
B =   x 2  + 9  2 - 36x 2  


Giải.
2

2
2
2
Ta có  B =   x  + 9  2 - 36x  =   x  + 9  2 -   6x   

2

2

=   x 2  + 9 - 6x  x 2  + 9 + 6x   =   x - 3  x + 3 .  

Ví dụ 16. Tìm các cặp số nguyên tố (x ; y) sao cho  x 2  - 1 = 2y2  
Giải.  
2
2
Ta có  x  - 1 = 2y  

2

2
Suy ra  x  - 1 là số chẵn, do đó  x  là số lẻ và x là số lẻ. 

Từ đề bài, suy ra   x - 1 x + 1  = 2y2 .  
Vì x là số lẻ nên x - 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp. Do đó tích (x - 1)(x + 1)  4, 
2
suy ra  2 y    4.  

Vậy  y 2     2 và y là số chẩn, suy ra y = 2. 
Thay y = 2 vào đề bài ta được  x 2  - 1 = 8 <=> x 2  = 9  mà x là số nguyên tố nên x = 
3. Vậy cặp số nguyên tố cần tìm là x = 3 ; y = 2. 
Nhận xét: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong ví dụ 15 và 16 là 
phương pháp dùng hằng đẳng thức. Phân tích đa thức thành nhân tử còn giúp ta 
vận dụng được các tính chất chia hết từ đó tìm được các số thoả mãn điều kiện cho 
trước. 
Ví dụ 17. Phân tích đa thức thành nhân tử 


2

C = ax - ay - bx + by +   y - x  .  

Giải.  
2

Ta có  C = ax - ay - bx + by +   y - x   
2

                   = a  x - y   - b  x - y   +   x - y   =   x - y  a - b + x - y  .  
2

2

2

2

Cảnh báo : Viết   y - x   = -  x - y   là sai vì   y - x   =   x - y  .  
Ví dụ 18. Cho x, y, z là các số hữu tỉ thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng 
minh rằng số m = (x + 1)(y + 1)(z + 1) là bình phương của một số hữu tỉ. 
Giải
Ta có  x 2  + 1 = x 2  + xy + yz + zx = x  x + y   + z  x + y   =   x + y  x + z   
             y 2  + 1 = y 2  + xy + yz + zx = y  y + x   + z  y + x   =   y + z  y + x   
             z 2  + 1 = z 2  + xy + yz + zx = y  x + z   + z  z + x   =   z + x  z + y  .  
2

Do đó  m =   x + y  x + z  y + z  y + x  z + x  z + y   =   x + y  y + z  z + x   .  
Vì x, y, z là các số hữu tỉ nên x + y, y + z và z + x là những số hữu tỉ, tích của 
chúng là số hữu tỉ. Do đó m là bình phương của một số hữu tỉ. 

Ví dụ 19. Phân tích đa thức thành nhân tử 
M =   5x - 10   x 2  - 1  -   3x - 6   x 2  - 2x + 1  


Giải.   M =   5x - 10   x 2  - 1  -   3x - 6   x 2  - 2x + 1  
2

                    = 5  x - 2  x - l  x + 1  - 3  x - 2  x - l   
                    =   x - 2  x - l  5  x + 1  - 3  x - 1   =   x - 2  x - l  2x + 8   
                    = 2  x - 2  x - l  x + 4   
Ví dụ 20. Phân tích đa thức thành nhân tử  
  N = 5x 4  + 3x 3 y - 20x 2 y 2  - 12xy 3  
Giải.    N = 5x 4  + 3x 3 y - 20x 2 y2  - 12xy3  = x 3  5x + 3y   - 4xy2  5x + 3y   
                     = x  5x + 3y   x 2  - 4y 2   = x  5x + 3y  x - 2y  x + 2y  .  
2
2 
Ví dụ 21. Phân tích đa thức thành nhân tử  P = 6x  - 150y + 60y – 6  

2
2
Giải.  P = 6x  - 150y  + 60y - 6  









2
2
2
2
              = 6 x  - 25y  + l0y - 1  = 6[x  -  25y  - l0y + 1  

2
              = 6  x 2  -   5y - l    = 6  x - 5y + l  x + 5y - 1 .  

Nhận xét: Khi phải phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân 
tử được triệt để ta thường dùng phương pháp đặt nhân tử chung trước (nếu có thể), 
các phương pháp khác sau. Mỗi phương pháp có thể dùng nhiều lần. 
C. BÀI TẬP


• Phương pháp đặt nhân tử chung
1. Phân tích đa thức thành nhân tử 

a) 8x n  + y - 12x n y5  ; 
2

b)   a - b   -   b - a  a - 3b  ;
2

 
2

c) a  a - b     a + b   -   b - a   a  - 5ab + b  .
2

2

2. Chứng minh rằng : 
a) 792 - 79.29    50 ;                    b) 2165  + 4.613  40.  

3. Tìm một số biết rằng bình phương của nó bằng 4 lần lập phương của số ấy. 
4. Phân tích đa thức thành nhân tử 
2

a)   x - 9  x - 7   + 1 ;             b) x 6  - y6 ;             c)   x 2  + x - l   + 4x 2  + 4x.  

5. Phân tích đa thức thành nhân tử 
2

3

a)   x + 2y - 3  - 4  x + 2y - 3  + 4 ;          b)   x - y   - 1 - 3  x - y  x - y - 1 .  
2
2
6. Tìm các cặp số nguyên (x ; y) sao cho  x  + 102 = y .  

7. Phân tích đa thức thành nhân tử 

a) x 3  + 2x 2  - 3x - 6 ;                          b) 2a 2 c2  - 2abc + bd - acd ;        
c) 12x 2  - 3xy - 8xz + 2yz.  
3
2
2
3
8. Cho x + y + z = 0, chứng minh rằng :  x  + x z + y z - xyz + y  = 0 . 

9. Phân tích đa thức thành nhân tử : 





2

a) x 3  x 2  + l  2 - 49x ;           b)  x 2  - 9  + 12x  x - 3            

c)   x - z  x +  z   - y  2x - y  .  

10. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
3

a)   a + b + c   - a 3  - b3  - c3
b) 4ab  a 2  - b 2   - 6  a3 + a 2 b - ab 2  - b3   + 9  a 2  - b 2  .