TOÁN 8 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Chuyên đề 1
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Kiến thức cơ bản
1.1 Mở đầu về phương trình
Phương trình một ẩn là phương trình có dạng P( x)  Q( x) ( x là ẩn), trong đó vế trái P(x)
và vế phải Q(x) là hai biểu thức của cùng biến x.
- Số x0 gọi là nghiệm của phương trình P ( x0 )  Q ( x0 ) là một đẳng thức đúng.
- Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…, nhưng cũng có thể không có
nghiệm nào ( vô nghiệm ). Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm ( hoặc tìm tập
nghiệm ) của phương trình đó.
- Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau ( kể cả bằng
tập rỗng ). Quy tắc biến một phương trình thành một phương trình tương đương với nó
được gọi là quy tắc biến đổi tương đương.
1.2 Phương trình bậc nhất một ẩn
a) Định nghĩa : Phương trình dạng ax  b  0 ,với a,b là hai số đã cho và a  0 , được gọi
là phương trình bậc nhất một ẩn.
b) Hai quy tắc biến đổi tương đương :
- Quy tắc chuyển vế : Trong một phương trình, ta có thể chyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc nhân với một số : Ta có thể nhân ( hoặc chia ) cả hai vế của một phương trình
với (cho) cùng một số khác 0.
c) Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn :
Ta có : ax  b  0  ax  b ( quy tắc chuyển vế )
b
 x   ( chia hai vế cho a≠0)
a
Vậy phương trình bậc nhất một ẩn ax  b  0 luôn có một nghiệm duy nhất là
b
 x
a

2. Kiến thức nâng cao
a) Phương trình có dạng bậc nhất một ẩn ax  b  0 luôn có một nghiệm duy nhất là
b
 x
a


- với a ≠0, phương trình có một nghiệm duy nhất là  x  

b
a

- với a = 0, phương trình có dạng 0x  b
 Nếu b = 0 thì phương trình có vô số nghệm.
 Nếu b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
b) Với phương trình chứa tham số m, giải và biện luận phương trình là giải phương trình đó
tùy theo các trường hợp về giá trị m.


B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng 1.Xét xem một số có là nghiệm của phương trình hay không.
Ví dụ 1. Hãy xét xem x  3 có phải là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ?
2
a )2 x  5  14  x
b) x  7  3 x
3
6
c)  5  2 x  1
d ) x 2  4  2 x  11
x

Giải
a) Thay x  3 vào phương trình ta được : 2  3   5  4   3   11  11 là một
đẳng thức đúng.
Vậy x  3 là nghiệm của phương trình.
b) Thay x  3 vào phương trình ta được.
2
 3  7  3  3  9  9 là một đẳng thức sai.
3
Vậy x  3 không là nghiệm của phương trình.
c) Thay x  3 vào phương trình ta được.
6
 5  2  3  1  7  5 là một đẳng thức sai.
3
Vậy x  3 không là nghiệm của phương trình.
d) Thay x  3 vào phương trình ta được.
2
 3  4  2  3  11  5  5 là một đẳng thức đúng.
Vậy x  3 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2. Tìm giá trị của m, biết rằng x = 5 là nghiệm của phương trình 2 x  m 2  x  1  19
Giải
Vì x = 5 là nghiệm của phương trình 2 x  m 2  x  1  19 , nên:


2.5  m2  5    19
 10  4m2  19
 m2 

9
4

9
3

4
2
 3 3
 m   ; 
 2 2
m

Dạng 2. Giải phương trình đưa được về dạng ax  b  0
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
3x  2 4  7 x
a)

b)2 x  x  5   21  x  2 x  1  12
5
3
Giải
3x  2 4  7 x
a)

 3  3x  2   5  4  7 x 
5
3
 9 x  6  20  35 x
 9 x  35 x  20  6
 44 x  26
13
x

22
13
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 
22
b)2 x  x  5   21  x  2 x  1  12
 2 x 2  10 x  21  2 x 2  x  12
 2 x 2  10 x  2 x 2  x  12  21
 11x  33
 x3
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  3
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:


x  98 x  96 x  65 x  3 x  5 x  49





2
4
35
97
95
51
x  91 x  86 x  78 x  49
b)




4
37
42
50
79
Giải
a) Phương trình đã cho tương đương với.
 x  98   x  96   x  65   x  3   x  5   x  49 
 1  
 1  
 1  
 1  
 1  
 1

 2
  4
  35
  97
  95
  51

x  100 x  100 x  100 x  100 x  100 x  100






2

4
35
97
95
51
1
1 1
1 1 1
  x  100        
 2 4 35 97 95 51 
 x  100  0
a)

 x  100
Vậy phương trình có tập nghiệm là S  100

b) Phương trình đã cho tương đương với.
 x  91   x  86   x  78   x  49 
 1  
 1  
 1  
 1  0

 37
  42
  50
  79

x  128 x  128 x  128 x  128





0
37
24
50
79
1
1
1 
 1
  x  128        0
 37 42 50 79 
 x  128  0

 x  128
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 128.


Dạng 3. Xét xem hai phương trình có tương đương không.
Ví dụ 5. Hai phương trình sau có tương đương không ? vì sao ?
a)2 x  6 và  x  3 x 2  1  0





b) x 2  4  0 và  2  0
Giải

a) Phương trình 2 x  6 có tập nghiệm là S1  3

x  3  0
2
 x  3 nên có tập nghiệm S 2  3
Phương trình  x  3 x  1  0   2
x 1
Vì S1  S 2 nên hai phương trình đã cho là tương đương.





x  2  0
x  2

b) Ta có x 2  4  0   x  2  x  2   0 
 x  2  0  x  2
Suy ra tập nghiệm là S3  2; 2
Phương trình x  2  0  x  2 có tập nghiệm S 4  2
Vì S3  S4 nên hai phương trình đã cho không tương đương.
Ví dụ 6. Tìm m để hai phương trình sau tương đương. x  m  0 1 và mx  9  0  2 
Giải
Phương trình (1) x  m  0 có nghiệm duy nhất là x = m. Vì hai phương trình tương đương
nên
x = m cũng là nghiệm của phương trình (2), tức là m.m  9  m 2  9  m  3
Thử lại :
- Với m  3 , ta có phương trình (1) : x  3  0 và phương trình  2  : 3 x  9  0 có cùng
-

tập nghiệm là {3}. Vậy m = 3 thỏa mãn.
Với m  3 , ta có phương trình 1 : x  3  0 và phương trình  2  :  3  x  9  0 có

cùng tập nghiệm là { - 3 }. Vậy m = -3 thỏa mãn.
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn là 3 và – 3 .


Dạng 4. Giải và biện luận phương trình ax+b=0
Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình :  m  3  x  m 2  3m
Giải
Ta có:

 m  3  x  m 2  3m   m  3 x  m  m  3

+ Nếu m  3  0  m  3 , thì phương trình có nghiệm duy nhất là: x 

m  m  3

m3
+ Nếu m  3  0  m  3 , thì ta có phương trình 0.x  0 , đúng với mọi x.
Vậy nếu, m ≠ 3 thì phương trình có tập nghiệm là m
Nếu m = 3 thì phương trình có tập nghiệm là R
Ví dụ 8. Cho phương trình m  m  1 x  m 2  3m  2  x  1
(1)
Tìm m để (1) :
a) Có nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
Giải
Ta có (1)   m 2  m  x  2 x  m 2  3m  2





 m 2  m  2 x  m 2  3m  2
  m  1 m  2  x   m  1 m  2 
a) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :
 m  1 m  2   0  m  1và m  2
a) Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi :
 m  1 m  2   0
m2

m

1
m

2

0





m


C.BÀI TẬP
3.1 Xét xem x = 4 có là nghiệm của mỗi phương trình sau hay không ?

a )2  3x  1  7  15   x  4 

b) x  3  4 x   5  1  x 3
3.2 Tìm m để x = 1,5 là nghiệm của phương trình m2  2 x  3  4 x  m  5
3.3 Chứng minh rằng phương trình : 2mx  5   x  6m  2 luôn có một nghiệm x không phụ
thuộc vào m.
3.4 Giải các phương trình sau :
a )5   x  6   4  3  2 x 

b)3  4 x  25  2 x   8 x 2  x  300
3.5 Giải các phương trình sau :
3x  2 3 x  1
5
a)

 2x 
2
6
3
2x  5 x  8
x 1
b) x 

7
5
6
3
5x  2 8x  1 4 x  2
c)



5
6
3
5
3.6 Giải các phương trình sau :
x  1 x  2 4x  2
a)


6  0
15
7
5
x  14 x  27 x  105 x  200 x  187 x  109
b)





200
187
109
14
27
105
x  342 x  323 x  300 x  273
c)




 10
15
17
19
21
3.7 Giải các phương trình sau :
x  97 x  63 x  7 x  77



125
35
21
49
x  2 2 x  45 3 x  8 4 x  69
b)



13
15
37
9
3.8 Giải các phương trình sau :
x
x2 x4
x  12



 ... 
7
2000 2002 2004
2012
a)


3.9 Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 x  3  0 và  2 x  3 mx  1  0
3.10 Giải và biện luận các phương trình sau :
a) 1  m  x  m 2  1

m

2



 5m  6 x  m 2  9

3.11 Cho phương trình  4m 2  25  x  5  2m
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
3.12. Cho phương trình  4m 2  9  x  2m 2  m  3 . Tìm m để phương trình :
a) Có nghiệm duy nhất
b) Có vô số nghiệm.
3.13. Giải phương trình ẩn x sau :
4x
ab x bc x ca x




1
c
a
b
abc
3.14 . Giải phương trình ẩn x sau :
x a x b x c 2 2 2


  
bc
ca
ab
a b c