Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mô men

PHAN THANH NAM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN THANH NAM

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT
LÊN TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI
VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

K20

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN THANH NAM

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT
LÊN TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI
CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Minh Hạnh

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS.
Phạm Thị Minh Hạnh-người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin được chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong khoa Vật lý
và các Thầy, Cô giáo của phòng sau đại học thuộc Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã giảng dạy, đóng góp ý kiến quý báu, tạo điều kiện thuận lợi nhất
cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã bên tôi và tạo
mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Tác giả:

Phan Thanh Nam


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng bản thân tôi
dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Minh Hạnh. Tất cả các số liệu

và kết quả nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và không trùng
lập với bất kỳ đề tài khoa học nào khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn
của tôi đã được cảm ơn và các thông tin được trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật.

Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Tác giả:

Phan Thanh Nam


MỤC LỤC

Trang

MỚ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………….…

1

2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………..

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………..

2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………….…..

2

5. Phương pháp nghiên cứu……………………………………….…………...

2

6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài…………………….

3

7. Cấu trúc luận văn…………………………………...……………………….

3

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG

1.1. Cấu trúc tinh thể. …………………………………………..……………..

4

1.2. Một số ứng dụng. ……………………………………………………...….

4

1.3. Một số kết quả nghiên cứu. ……………………………………………….

5

1.4. Một số phương pháp nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán
dẫn có cấu trúc kim cương.
……………………………………………………………………….…………
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN TRONG
NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI CỦA CỦA
TINH THỂ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG
2.1. Phương pháp thống kê mô men. …………………………………………

11

2.2. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. ………………..………..

14

2.3. Năng lượng tự do của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương…….

18

2.4. Các đại lượng nhiệt động. ………………………………..………………

20

2.5. Các đại lượng đàn hồi. ……………………………………….…………..

24

CHƯƠNG 3: CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI CỦA
BÁN DẪN Ge Ở ÁP SUẤT KHÁC NHAU
3.1. Thế năng tương tác giữa các hạt trong tinh thể. …………………….…..

32

3.2. Các tính chất nhiệt động của Ge ở áp suất khác nhau. …………………

33

3.3. Các tính chất đàn hồi của Ge ở áp suất khác nhau. ……………….……

37

6


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, khoa học kĩ thuật phát triển rất mạnh mẽ và nhanh chóng, đặc
biệt là lĩnh vực công nghệ chế tạo vật liệu mới đã thu hút được rất nhiều nhà
khoa học và các nhà vật lý. Một trong những đối tượng thu hút sự nghiên cứu
của nhiều ngành khoa học đó chính là vật liệu bán dẫn.
Sự phát triển của các transistor bằng Ge đã mở ra rất nhiều ứng dụng của
điện tử học trạng thái rắn. Do đó nhu cầu về sử dụng vật liệu Ge chế tạo các
linh kiện bán dẫn dùng trong các mạng liên lạc viễn thông bằng cáp quang,
các hệ thống quan sát ban đêm bằng hồng ngoại và các xúc tác polyme hóa đã
gia tăng một cách nhanh chóng.
Trong những năm gần đây, với sự phát triển của khoa học, thực nghiệm
con người đã đo được các đại lượng nhiệt động của vật liệu lên đến hàng trăm
gigapascal.
Ngày nay, có nhiều phương pháp khác nhau nghiên cứu các tính chất nhiệt

động và đàn hồi của bán dẫn. Mặc dù có những thành công nhất định nhưng
chưa có phương pháp nào thực sự tối ưu và hoàn hảo mà còn có những hạn
chế nhất định.
Trong hơn 30 năm trở lại đây, có một phương pháp thống kê đã ra đời và
được áp dụng nghiên cứu một cách có hiệu quả đối với các tính chất nhiệt
động và đàn hồi của các kim loại, hợp kim và bán dẫn. Phương pháp đó gọi là
phương pháp thống kê mô men.
Phương pháp thống kê mô men (PPTKMM) do Giáo sư Nguyễn Tăng đề
xuất và đã được Giáo sư Vũ Văn Hùng cùng các cộng sự phát triển mạnh
trong hơn 30 năm trở lại đây. PPTKMM được áp dụng để nghiên cứu các tính
chất nhiệt động, đàn hồi chuyển pha …của các loại tinh thể khác nhau như:
kim loại, hợp kim tinh thể và hợp chất bán dẫn. Các loại tinh thể đó có cấu


2

trúc lập phương tâm diện, lập phương tâm khối, kim cương trong khoảng rộng
của nhiệt độ từ 0 (K) đến nhiệt độ nóng chảy và dưới tác dụng của áp suất.
Gần đây, đã có một số công trình nghiên cứu về bán dẫn có cấu trúc kim
cương và cấu trúc sunfua kẽm đã được công bố nhưng chưa có nghiên cứu
nào về ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn
có cấu trúc kim cương.
Do vậy, việc nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và
đàn hồi của bán dẫn bằng phương pháp thống kê mômen trở nên cần thiết. Đó
là lí do tôi chọn đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt
động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống
kê mô men ”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi
của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mô men.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu một số lý thuyết quan trọng nghiên cứu về bán dẫn.
- Tìm hiểu phương pháp thống kê mômen và việc áp dụng phương pháp
thống kê mômen để nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt
động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi
của bán dẫn có cấu trúc kim cương Ge.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp thống kê mômen.


3

6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài
- Các kết quả được áp dụng tính cho Ge.
- Một số kết quả được so sánh với thực nghiệm.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có 3 chương:
- Chương 1: Tổng quan về bán dẫn có cấu trúc kim cương.
- Chương 2: Phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu tính chất
nhiệt động và đàn hồi của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương.

- Chương 3: Các tính chất nhiệt động và đàn hồi của Ge ở áp suất
khác nhau.


4

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG
1.1. Cấu trúc tinh thể
Vật liệu bán dẫn điển hình có cấu trúc kim cương là Ge, Si. Đơn tinh
thể Ge gồm hai phân mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, phân mạng
này nằm ở 1/4 đường chéo chính của phân mạng kia. Trong một ô cơ sở có 8
nguyên tử Ge, mỗi nguyên tử Ge là tâm của một hình tứ diện đều có cấu tạo
từ 4 nguyên tử lân cận gần nhất xung quanh (Hình 1.1)

Hình 1.1.Tinh thể Ge

1.2. Một số ứng dụng
Vật liệu bán dẫn hiện nay có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa
học, kỹ thuật và công nghiệp. Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng nhất và phổ
biến nhất của bán dẫn chính là dùng để chế tạo các linh kiện điện tử bán dẫn.
Photôđiốt là một loại dụng cụ không thể thiếu trong thông tin quang
học và trong các ngành kỹ thuật tự động hoá.
Điốt phát quang đã được dùng phổ biến trong các bộ hiển thị, đèn báo,
màn hình quảng cáo và các nguồn sáng.


5

Pin nhiệt điện bán dẫn đã được ứng dụng để chế tạo các thiết bị làm
lạnh gọn nhẹ, hiệu quả rất cao dùng trong khoa học, y học,...
Đối với bán dẫn Ge nó còn có nhiều ứng dụng đặc trưng khác:
- Sử dụng chế tạo kính quang phổ hồng ngoại.
- Sử dụng chế tạo các thấu kính camera góc rộng và vật kính của các
kính hiển vi.
- Tác nhân trong sản xuất hợp kim.
- Chế tạo Phosphor trong các đèn huỳnh quang.

- Các đĩa bán dẫn với nền là Ge cho các tế bào quang điện hiệu suất cao
đã kết nối trong các ứng dụng tàu vũ trụ.
- Các thiết bị phát hiện dùng một tinh thể Ge có độ tinh khiết cao có thể
nhận dạng một cách chính xác nguồn bức xạ.
1.3. Một số kết quả nghiên cứu
Các tính toán đầu tiên về tính chất nhiệt (hệ số dãn nở nhiệt của Si) đã
được tính toán bởi Fleszar và Gonze [9]. Phổ phonon và các điện tích hiệu
dụng của các chất bán dẫn có cấu trúc kim cương đã được tính toán bởi
Giannozzi và cộng sự [11] khi sử dụng lý thuyết hàm mật độ.
Sự tán sắc phonon của Sido Savrasov [27] tính toán như một thử
nghiệm, việc sử dụng phương pháp các quỹ đạo hộp mu – phin tuyến tính hoá
(LMTO) đối với lý thuyết hàm mật độ.
Trong kim cương các tính chất nhiệt đã được xác định tại các áp suất
cao đến 1000 GPa [31]. Phương trình trạng thái P - V – T đã được xác định
từ năng lượng tự do Helmholtz, hệ số dãn nở nhiệt giảm theo sự tăng áp suất.
Sự phụ thuộc nhiệt độ của sự chuyển pha cấu trúc giữa kim cương và
cấu trúc β – Sn trong Si và Ge ở áp suất khoảng 10GPa đã được tính toán bởi
Gaal – Nagy và cộng sự [12] khi sử dụng phép gần đúng chuẩn điều hoà.
Gần đây hơn Debernardi [8] đã nghiên cứu sự thay đổi phi điều hoà
của tần số Raman trong kim cương và Si khi có số hạng phi điều hoà bậc ba


6

và bậc bốn đều quan trọng như nhau. Sự phụ thuộc nhiệt độ của tần số Raman
và đóng góp của dao động điểm không đã được xem xét như bề rộng vạch
Raman.
Khi sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc cao dựa trên hình thức luận giả
thế, A.R. Jivani cùng các cộng sự đã tìm được sự phụ thuộc giữa áp suất – thể
tích của Si, Ge từ phương trình trạng thái [15],vv…

1.4. Một số phương pháp nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của
bán dẫn có cấu trúc kim cương
1.4.1. Các phương pháp ab – initio
Hiện nay, để tính toán chính xác và đầy đủ các lực nguyên tử và tìm
hiểu bản chất của liên kết hóa học trong hệ đòi hỏi ta phải xác định chính xác
đối với cấu trúc điện tử lượng tử của nó. Do đó chúng ta cần giải phương trình
Schodinger áp dụng cho hệ nhiều hạt như sau:
 
  ri , R

      

 

r
MB
i , R

    

(1.1)

với:  là một hàm sóng đối với nhiều hạt thực của hệ (có sự đối xứng chính




  

xác),  là năng lượng riêng, ri , R lần lượt là các hệ tọa độ điện tử, ion

còn các chỉ số i và  tương ứng đánh số tất cả các điện tử và ion.
Hàm Hamilton của hệ có dạng như sau:
 

2
2

 
 
 i
1
1
1


           v
2 i , j ri  rj i ,  ri  R j 2  ,v R   R v
 2 
i 2m i

(1.2)

với   ;   lần lượt là điện tích và khối lượng của ion thứ  , các ký hiệu
  , p i tương ứng là các toán tử xung lượng của ion thứ  và thứ i.

Chúng ta không thể giải chính xác phương trình (1.2) trong một chất
rắn. Để bài toán này có thể giải được phải cần nhiều phép đơn giản. Có thể kể
ra các phép gần đúng: Phép gần đúng Born- Openhimer [5], phương pháp
Kohn và Sham [17], phép gần đúng mật độ địa phương.

7

Một số ưu điểm của việc sử dụng các phương pháp ab-intio:
- Phương pháp này có thể được sử dụng để mô hình hóa các vật liệu
không có sẵn có số liệu thực nghiệm.
- Những tính chất cấu trúc, điện tử và dao động của một vật liệu mô
hình đều có thể tính được.
- Nhờ sử dụng các giả thế thích hợp ta có thể áp dụng phương pháp này
đối với nhiều loại nguyên tử khác nhau có thể được bao hàm vào trong các
phép tính toán.
Nhược điểm của các phương pháp ab-intio:
- Kết quả tính toán không hề đơn giản và đòi hỏi giới hạn khả năng ứng
dụng của các phương pháp cho các hệ tương đối nhỏ.
1.4.2. Phương pháp liên kết chặt
Một phương pháp dựa trên các kỹ thuật của phép gần đúng mật độ địa
phương từ các nguyên lý đầu tiên là phương pháp hàm Hamilton liên kết chặt
(TB). Nội dung chi tiết của phương pháp này đã được môtả bởi Harrison [14]
Có nhiều hàm Hamilton TB kinh nghiệm đối với Si. Hàm Hamilton TB
đầu tiên đối với Si do Chadi [6] đưa ra. Tuy nhiên, còn có một số hàm
Hamilton ETB nổi tiếng khác là các hàm Hamilton trực giao của Goodwin,
Skinner và Pettofor [10], Kwon và cộng sự [18].... Các hàm Hamilton TB
không trực giao khác đối với Si gần đây do Bernstein và cộng sự [4] đề xuất.
Một số ưu điểm của phương pháp liên kết chặt:
- Cho biết thông tin về cấu trúc điện tử của vật liệu mô hình.
- Hiệu quả tính toán tốt hơn nhiều so với các phương pháp ab-inntio.
Một số nhược điểm của phương pháp liên kết chặt:
- Khi áp dụng phương pháp này không thể làm khớp với số liệu thực
nghiệm hoặc các tính toán ab-inntio.
- Số hạng năng lượng đẩy chỉ có thể tính toán bằng công thức kinh

nghiệm.


8

- Hàm Hamilton TB của Kwon, Biswas và cộng sự [18] cho kết quả tốt
đối với các tính toán lực và năng lượng toàn phần nhưng lại không tốt
đối với phổ dao động hoặc các tính toán cấu trúc vùng.
- Phương pháp này không thể ứng dụng đối với hệ chứa hàng nghìn
phân tử.
1.4.3. Các thế kinh nghiệm
Một trong những phương pháp hiệu quả và đơn giản nhất để nghiên cứu
các tính chất động lực và cấu trúc của các chất rắn là dùng phương pháp thế
tương tác kinh nghiệm giữa các nguyên tử.
Phương án đưa ra để xây dựng thế kinh nghiệm đối với các tương tác
nguyên tử như sau: đối với một hệ chứa N hạt giống nhau, năng lượng toàn
phần của hệ có thể sẽ được khai triển thành các đóng góp một hạt, hai hạt, ba
hạt,...


 
 Ri  1 Ri   2 Ri , R j 

  

 

i



  





i1

iN

    R , R , R   ...     R ,..., R  (1.3)

i, j

3

i

j

k

i , j ,k

N

i1 ,...,iN

Để khai triển (1.3) áp dụng cho tính toán thực tế các hàm thành phần

 N cần phải xét đến không theo sự tăng n. Đối với các tinh thể khí trơ (Ar, Kr,

Xe), chỉ có các tương tác cặp là quan trọng và (1.3) được thu gọn hơn thành:

 Ri



       R , R 
2

i

j

(1.4)

i, j

Ở đây tương tác cặp  N sẽ được biểu diễn bằng thế Lennard-Jones rất
nổi tiếng:
 12  6 


ij Rij  4      




 Rij 

 Rij  


 

(1.5)

Một trong các thế giữa các nguyên tử nổi tiếng áp dụng sớm nhất cho
Si là thế Keating [16]. Thế giữa các nguyên tử này bao gồm các số hạng
tương tác của hai hạt và ba hạt.


9


 Ri

  

3 

Rij2  R02
2 
16 R0 ij





2

3 
   1 2 

  Rij.Rik  3 R0 
8 R02 ijk 

2

(1.6)

trong đó  và  là các hằng số lực mở rộng liên kết và được uốn cong liên
kết, R0 là chiều dài liên kết cân bằng giữa các nguyên tử trong cấu trúc kim
cương.
Hiện nay, một mô hình khác được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu các
tính chất cấu trúc và động lực của Si là thế kinh nghiệm Stillinger-Weber
(SW) [25]. Thế này lúc đầu được làm khớp với các pha silictinh thể (c-Si) và
lỏng (l-Si). Cũng giống như mô hình Keating , thế này bao gồm các đóng góp
tương tác của hai hạt và ba hạt.
Ngoài những thế trình bày ở trên còn một số thế khác như thế Biswas
và Hamann, thế tương tác giữa các nguyên tử mới phụ thuộc vào môi trường
(EDIP) đối với Si do Bazant, Kaxiras và cộng sự đưa vào....
Một số ưu điểm của các thế kinh nghiệm:
- Đạt hiệu quả về mặt tính toán.
- Thế này dễ áp dụng ở dạng mã chương trình.
Một số nhược điểm của các thế kinh nghiệm:
- Khả năng chuyển kém cho các pha mà thế kinh nghiệm không được
làm khớp.
- Khả năng chuyển rất kém giữa các pha đối với môi trường liên kết
khác nhau.

10

- Không có được các tính chất cấu trúc điện tử.
Trong những năm gần đây, xuất hiện một phương pháp thống kê mới
rất có hiệu quả trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các vật liệu.
Đó chính là phương pháp thống kê mômen (PPTKMM). PPTKMM do GS
Nguyễn Tăng đề xuất [28] và được phát triển để áp dụng nghiên cứu các tính
chất nhiệt động của tinh thể phi điều hòa [21], [22], [23].
Ở phần tiếp theo chúng tôi xin trình này nội dung chính của phương
pháp thống kê mômen và việc áp dụng (PPTKMM) trong nghiên cứu tính
chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương.

Kết luận chương 1:
Trong chương này chúng tôi đã trình bày những kiến thức tổng quan và
khái quát nhất về bán dẫn có cấu trúc kim cương. Trong đó, chúng tôi đã nêu
ra một số phương pháp để nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh
thể bán dẫn có cấu trúc kim cương như: phương pháp ab-intio, phương pháp
liên kết chặt, phương pháp sử dụng các thế kinh nghiệm.


11

CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN TRONG NGHIÊN CỨU TÍNH
CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI CỦA CỦA TINH THỂ BÁN DẪN
CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG
2.1. Phương pháp thông kê mômen
2.1.1. Mômen trong vật lý thống kê

2.1.1.1. Các công thức tổng quát về mômen
Chúng ta đã biết trong lý thuyết xác suất, cơ lượng tử và trong vật lý
thống kê, mômen được định nghĩa như sau:
Giả sử có một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên q1, q2, q3, ... qn tuân theo
quy luật thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố  (q1 , q2 ,...qn ) . Hàm này phải
thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Mômen cấp m được định nghĩa trong lý thuyết
xác suất như sau:
 q1m  

...

( q1 , q2 ,... qn )

m
1

q

 (q1 , q2 ,...qn )dq1...qn

(2.1)

và mômen này còn được gọi là mômen gốc.
Mômen trung tâm cấp m được định nghĩa trong lý thuyết xác suất như
sau:
 (q1   q1 )m  

...

( q1 , q2 ,... qn )

  (q   q
1

1

)m  (q1 , q2 ,...qn )dq1...dqn

(2.2)

Ở vật lý thống kê cũng có định nghĩa tương tự. Đối với hệ lượng tử
được mô tả bởi toán tử thống kê  các mômen xác định như sau:
m
m
)
q  Tr ( q 



q  q



m


 Tr  q  q






m

 



trong đó, toán tử  tuân theo phương trình Liouville lượng tử
i 



, 

 

t 

(2.3)


12

ở đây [...,...] là dấu ngoặc poison lượng tử.
Do vậy, nếu chúng ta biết được toán tử thống kê  thì có thể xác định
được mômen. Tuy nhiên việc tìm các mômen cũng không đơn giản.
Xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hướng
tọa độ suy rộng Qi. Hàm Hamiltonian của hệ khi đó có dạng:

 
 a Q

H
0
i i

(2.4)

i

 o là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
với 

Bằng một số phép biến đổi trong [33] tác giả và cộng sự đã thu được
 và
công thức tổng quát, chính xác biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kỳ F

 của hệ với Hamiltonian H:
tọa độ Q
k
1   
F ,Qk

2 


 F
a

a


Q
k


 F

a

  i 
   2m  
m 0 (2m )!   


a

ak

2m


F
ak

(2 m )

(2.5)
a

trong đó:   k  , k là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, 2m là hệ
số Bermoulli.
Ký hiệu ...

a

biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê với

Hamiltonian H.
Bằng một loạt các phép biến đổi, các tác giả đã thu được công thức
tổng quát về mômen:


n 1

a


 
n

a


Q
n 1

n
 


a

an 1

  i 
   2m  
m 0 (2 m)!   


a

2m

 n (2 m )

an1

(2.6)
a

2.1.1.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do
Trong vật lý thống kê và năng lượng tự do liên hệ với tổng trạng thái
như sau:
   ln 
  Tr (e







)

(2.7)


13

Tuy nhiên việc xác định  rất phức tạp nói chung chỉ có thể xác định
nó dưới dạng gần đúng. Trong [33] phương pháp mô men đã được áp dụng để
xác định công thức tổng quát tính năng lượng rơi tự do:
Đối với một hệ lượng tử đặc trưng bởi Hamiltonian sẽ có dạng:
 
 0   V


(2.8)

với  là thông số và V là toán tử tùy ý. Dựa vào biểu thức thu được bằng
phương pháp mômen đối với hệ cân bằng nhiệt động như sau:

Q
k


a



ak

Khi đó biểu thức toán tử V như sau:
V

a



 ( )


(2.9)

Biểu thức năng lượng rơi tự do của hệ là:
a

(2.10)

 ( )   0   V  d
0

 và được coi như
với  0 chính là năng lượng tự do của hệ với Hamiltonian 
0

đã biết trước. Tìm được V



bằng cách nào đó thì từ (2.10) có thể xác định

được biểu thức đối với năng lượng tự do  ( ) . Đại lượng V



có thể xác

định được nhờ công thức mômen.
Tuy nhiên, nếu Hamiltonian  mà phức tạp thì tách nó như sau:
 
 0   V

 i i

(2.11)

i

 0   V 1   V 2 ,...
sao cho 
1
2,
 của hệ, khi đó
Nếu biết năng lượng tự do  0 ứng với Hamiltonian 
0

1  
 0   V . Sau đó
sẽ tìm được năng lượng tự do Hamiltonian  1 ứng với 

1 1


14

2  
 0   V v...v... Cuối cùng chúng ta
xác định năng lượng tự do  2 ứng 
2 2

sẽ thu được biểu thức đối với năng lượng tự do  của hệ.
2.2. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng
Chúng ta sử dụng phương pháp quả cầu phối vị thì thế năng tương tác
giữa các hạt trong bán dẫn có cấu trúc kim cương được xác định [1]:
   i 
i

i 

1
1
 ij   Wijk

2 i,j
6 i,j,k

(2.12)

1
1

 ij   Wijk

2 j
6 j ,k

(2.13)

trong đó, i là thế năng tương tác đối với hạt thứ i; ij là thế năng tương tác
giữa các hạt thứ i và thứ j, Wijk là thế tương tác giữa các hạt thứ i, j, và k.
Khi chúng ta khai triển thế năng tương tác theo độ dời ui và dừng ở gần
đúng bậc 4, ta có:
1   2 i
i     
2  ,  u j u j 
0
i

+


1
 4 i

24  , , ,  u j u j u j u j



1
 3i
 u j u j   

6  ,  ,  u j u j u j
eq


 u j u j u j +
eq


 u j u j  u j u j  ...
eq

(2.14)

 ,  ,  ,  x, y , z;



1
1
i0  i a j    ij a j   Wijk a j
2 j
6 i , j ,k

 

 

 

(2.15)

ở đây a j là vị trí cân bằng của hạt thứ j.


 2 i
 u j u j 

Dạng tổng quát của số hạng 



 eq

(2.16)

và các số hạng khác được xác định theo công thức có trong [1].
Tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i theo phương  như
sau:


15

  2 i


  u j u j 


1 
 3 i

 u j   
2  ,  u j u j u j
eq


 4i
1
 
6  , ,  u j u j  u j u j


 u j u j 
eq

(2.17)


 u j u j u j  ...
eq

Đối với trường hợp hạt thứ i còn chịu tác dụng của các lực phụ thuộc
không đổi theo phương  thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phương
trình:
  2 i


  u j u j 




 u j
 eq

p



1 
 3i

2  ,  u j u j u j


 4 i
1


6  , ,  u j u j  u j u j


 u j u j u j
eq

p


 u j u j
eq

p

(2.18)

 p  0

Vì tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cương nên các số
hạng sau đều bằng không:
  2i

 u j u j 


 ;
 eq

  3 i
 2
 u j u j 


 ;
eq

  3 i
 3
 u j


 ;

 eq

  4 i
 3
 u j u j 


 ;
 eq


 4i
 2
 u j u j  u j


 (2.19)
eq

  

Do đó có thể biểu diễn mômen bậc 4 ( u j u j u j u j
( u j u j u j

p

) ; mômen bậc 2 ( u j u j

p

p

) ; mômen bậc 3

) qua mômen bậc một nhờ công thức

tổng quát về mômen (2.6)
u j u j

u ju j u j

p

p

 u j

 u j

p

u j

p

p

u j

u j

p

p



 u j

 3 u j

p

a



 u j
p

a

p




cth

2m

2 m 2


2

2 u j
a a

p



 u j
2m

p

cth

  u j p

2
m2


16

u j u j u j u j

 4 2 u j



p

 u j

 2 u j
p

2
u j
2 m 2

p

a j a j
2
p



p

u j

p

u j

p

p

 6 u j

u j

 u j
p

a j

p



2

  u j
2
 3
  a j


2
u j
m 2

u j


 3 u j p
3
 


a j a j a j


p

(2.20)

p

Từ (2.18), (2.19), (2.20) ta có:
 y3  3 y

trong đó:

dy
d 2 y 
dy 
  2 2 
(  1) y   y 2  

(  1)  ky  p  0 (2.21)
2
dp
dp m

dp m 2

  x coth x; y  u j
x

p

,


,
2

  2
k   2i
 u
 jx


2
  m ,
eq

  4  
1   4  
   4 i   6  2 i 2   ,





6  u jx 
eq



 3i
 u jx u jy u jz

 


 u jx u jy eq 



eq

(2.22)

Biểu thức (2.21) thu được khi chúng ta coi
u j

p

 u j

p

 u j

p

 uj

p

y

Thực hiện phép biến đổi sau:
y'  y 


3

(2.23)

với cách biến đổi như vậy thì phương trình (2.21) biến đổi về dạng sau:
 y '3  3 y '

2 '
dy '

2 d y


 (   1) y '  y '  p*  0
*
*2
dp
dp

k

(2.24)


17

k

2
3

trong đó: p*  p   * ;
* 


 k  2 2 1 2
  2 (   1) 

  27 k 3 3k


(2.25)

Ở vùng nhiệt độ cao sao cho   1 phương trình (2.24) trở về dạng
quen thuộc trong [2]:
 2

'
d 2 y'

' dy

3

y
  y '3  y '  p*  0
*2
*
dp
dp

(2.26)

Phương trình (2.25) là một phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta sẽ
tìm được nghiệm của nó dưới dạng gần đúng. Do ngoại lực p* là tùy ý và nhỏ
nên có thể tìm nghiệm dưới dạng đơn giản như sau:
y '  y0'  1 p*   2 p*2

(2.27)

Nghiệm của phương trình (2.26) đã được đưa ra trong [2]:
y0' 

2 2

3 3

(2.28)

ở đây:

  a1 
a1  1 

a2 

4

a2 

 3 3
6

a3 

 4 4
8

a4 

 5 5
 10

a5 

 6 6
 12

a6 ,



,
2

13 47
23
1
    2  3 ,
3
6
6
2

a3  (

a4 

 2 2

25 121
50
16
1

   2  3   4 ) ,
3
6
3
3
2

43 93
169 2 83 3 22 4 1 5
 
       ,
3
2
3
3
3
2

363 2 391 3 148 4 53 5 1 6 
 103 749
a5   


 
 
     ,
6
2
3
3
6
2 
 3


18

a6  65 

và:

1 

561
1489 2 927 3 733 4 145 5 31 6 1 7

 
 
 
     ,
2
3
2
3
2
3
2


1  2 2 2   
1
1   (1  ) 

4
k
 
2



(2.29)

Từ các biểu thức (2.23) và (2.25) chúng ta tìm được nghiệm của
phương trình (2.21) ứng với trường hợp không có ngoại lực p tác dụng là:
y0  y p 0  y '

 y0' 

p*  *




3

 1  6 2 2   1 2
2 2   k
 1 

(


1)



3  
 4   3 3k 2

27 k  

(2.30)

Sau khi tính được độ dời y0 ta có thể tìm được khoảng lân cận gần nhất
giữa hai hạt ở nhiệt độ T như sau:
(2.31)

a  a0  y0

trong đó: a0 là khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở 0( ) . Biết a0 ta xác
định được được giá trị của hằng số mạng ah .
Đối với bán dẫn có cấu trúc kim cương ta có kết quả: ah 

4
a
3

2.3. Năng lượng tự do của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương
Đối với phép gần đúng tới cấp 4 thế năng tương tác giữa các hạt có
dạng:

1   2 i

   i0   
2  ,   u j u j
i 




1
 4 i


24  ,  , ,  u j u j u j , u j



 3i
1
u
u

 j j

6  , ,  u j u j u j
eq



 u j u j  u j u j  ...

 eq


 u j u j u j
eq

(2.32)

Do đó đối với tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương thì thế năng
tương tác trung bình có dạng như sau:


19

k
  U 0  3  u 2   1 u 4   2 u 2
2

2






u jx u jy u jz 
3


(2.33)

trong đó:
U 0   i0 ;  1 
i

1   4 i


24  u 4jx


6   4
 ;  2   2 i 2
24  u jx u jy
eq



eq

(2.34)

Ở đây chúng ta sử dụng các biểu thức về mômen đối với
u 2 ; u 4 ; u jx u jy u jz

sẽ xác định được  . Để tính năng lượng tự do thì

chúng ta phải tính được các tích phân:
2

2


0

u

2

1



d 2 ;  u 4
 1 ,  0

0

d  1 và  uix uiyuiz d 
 0

(2.35)

0

Khi chúng ta thay các công thức của mômen u 2 ; u 4 ; uix uiy uiz và tiến
hành tính các tích phân thì sẽ thu được biểu thức gần đúng của năng lượng tự
do đối với tinh thể và bán dẫn có cấu trúc kim cương [1]:
3 2 
2    
  U 0   0  2  2  2  1 1   
k 
3 
2 
 3

2 3  4 2   


 
 2   1    2( 12  2 1 2 )  1   (1   ) 
4 
k 3
2
2




  3  k
   3k 
    3 k   
  1 1
3 (k   ) 
 3     1     (   1)  


3 
2 
        k 
  27  3 
 27 
1  1
1 
   2  
     2 k     k
3    2 





(


1)
   2
 

2
  6  
   3 3k 

   
 
   6
3
 2 3 k 2  
  k
   k 
3 2  3   1 




2 
4
     27 
 9   

2
2
 2  3 1
   k 
    
2 k
3  3 a1   (   1)   
     1 

   18 
    6  
  k
 
2

1

trong đó:

 2 a  2
 0  3  x  ln(1  e 2x )  ;    31 
 3 

(2.36)


20

Dựa vào công thức (2.36) chúng ta sẽ tìm được năng lượng tự do của hệ
ở nhiệt độ T nếu biết được giá trị của các thông số k ,  1 ,  2 ,  ở nhiệt độ T0.

Ở nhiệt độ T0 không xa nhiệt độ T thì có thể coi dao động của hạt xung
quanh vị trí cân bằng mới là dao động điều hòa. Khi đó năng lượng tự do của
hệ có dạng như năng lượng tự do của hệ N dao tử điều hòa như vậy:
 u0

   x  ln(1  e2x )   ,
3


 0  3 
u0  i0 



1
1
ij a j   Wijk a j

2 j
6 j ,k

 

 

(2.37)

Lưu ý các thông số k ,  ,  ,  và đại lượng u0 trong (2.37) sẽ phụ thuộc
vào nhiệt độ.
Nếu ta bỏ qua tương tác 3 hạt và áp dụng phương pháp quả cầu phối vị

thì ta có:
   i 
i

 
 

1
 ij a j  u j , i    ij a j  u j

2 j
2 j









(2.38)

Như vậy các thông số k ,  ,  được xác định theo các biểu thức sau:
k

2
 3 ij
1    ij 
1 

;





2 j  u 2jx 
2 j  u jx u jy u jz
eq

  4  
  4
1
    4 ij   6  2 ij 2
 u u
12 j  u jx 
 jx jy
eq




eq

 
 
eq 

(2.39)

2.4. Các đại lượng nhiệt động
2.4.1. Năng lượng và nhiệt dung của tinh thể
Áp dụng hệ thức nhiệt động Gibbs-Helmholtz:
  
    

  

và biểu thức (2.36) đối với năng lượng tự do chúng ta xác định được biểu thức
năng lượng của mạng tinh thể [1]: