pt quy về pt bậc hai

A. Đặt vấn đề.
Để hình thành cho học sinh thói quen độc lập suy nghĩ , sáng tạo thông qua
phơng pháp học giải bài tập toán , giúp học sinh tự tìm đợc lời giải của bài toán dựa
trên hệ thống những kiến thức đã học là việc làm thờng xuyên ,liên tục và không đơn
giản đối với một ngời giáo viên dậy toán .Học toán là học sự sáng tạo dựa trên nền
tảng là những kiến thức cơ bản phổ thông của toán học, đây là vấn đề không phải dễ
dàng đối với học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhng lại là điều hết sức cần thiết đối
với mỗi học sinh.
Qua thực tế giảng dậy tôi thấy các em học sinh phần lớn nắm đợc các kiến
thức , kỹ năng cơ bản nhng thờng khó khăn trong việc phân loại bài tập , hệ thống
hoá kiến thức . Các em còn lúng túng khi tìm phơng pháp giải đối với mỗi dạng bài
tập sao cho có hiệu quả nhất . Chính vì vậy tôi đã cố gắng dành nhiều thời gian
nghiên cứu sách vở , học hỏi các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm giảng dậy để từ
đó đúc rút hình thành cho bản thân mình một phơng pháp giảng dậy với mong muốn
giúp học sinh phát huy đợc tốt nhất tiềm năng trong học toán , giúp các em có đợc
cái nhìn tổng quát hơn về phơng pháp giải một số dạng toán thờng gặp.
Trong bài viết nhỏ này tôi xin trao đổi một số kinh nghiêm về :
Hớng dẫn học sinh giải một số dạng phơng trình đa đợc về phơng trình
bậc hai một ẩn số sau khi học sinh đợc học về phơng trình bậc hai một ẩn số và
bài: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai Trong chơng trình Đại số 9, ch-
ơng III.
B. Giải quyết vấn đề.
I. Ph ơng pháp nghiên cứu :
1. Với thầy:
Thờng xuyên tìm tòi tài liệu , sách tham khảo , các đề thi học sinh giỏi , các
chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi ... Từ đó chọn lọc các bài tập phù hợp .
Soạn viết các chuyên đề và đa vào giảng dậy , đặc biệt là trong quá trình dậy
bồi dỡng học sinh.Trong giảng dậy tôi luôn chú trọng phơng pháp lấy học sinh làm
trung tâm của hoạt động dậy học, giúp học sinh tích cực, tự giác tìm tòi tiếp thu
kiến thức . Tiến hành khảo sát , đúc rút kinh nghiệm thờng xuyên ở các lớp học ,các
đội tuyển học sinh giỏi , qua đó hình thành phơng pháp giải một số dạng phơng

trình quy về phơng trình bậc hai cho học sinh.
2.Với trò.
Học sinh đợc học nội dung của kinh nghiệm từ đó hình thành kỹ năng và ph-
ơng pháp giải đối với từng dạng bài tập , có đợc khả năng tự nghiên cứu , tìm tòi
trong các tài liệu tham khảo về các dạng phơng trình có thể đa đợc về phơng trình
bậc hai một ẩn số .
Các em đợc làm các bài kiểm tra , giải các bài tập về phơng trình có thể quy về
phơng trình bậc hai.
II.Các biện pháp đã thực hiện.
1
1.Kiến thức trọng tâm:
Để thực hiện tốt việc hớng dẫn cho học sinh nhận dạng và giải một số phơng
trình có thể biến đổi về dạng phơng trình bậc hai một ẩn số , đòi hỏi học sinh phải
nắm vững các kiến thức , kỹ năng có liên quan, đặc biệt là một số kiến thức của các
phơng trình dạng sau:
1.1-Định nghĩa ph ơng trình bậc hai một ẩn số:
Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng
a.x
2
+bx +c =0 trong đó x là ẩn số a,b,c là các hệ số đã cho ,a

0.
1.2-Công thức nghiệm của ph ơng trình bậc hai :


= b
2
-4ac.
*Nếu

= 0 Phơng trình có nghiệm kép: x
1
=x
2
=-b/2a.
* Nếu

> 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x
1
=
a
b
2
+
;x
2
=
a
b
2

* Nếu

< 0 Phơng trình vô nghiệm.
1.3- Công thức nghiệm thu gọn.
Cho phơng trình a.x
2
+bx +c =0 (a

0) a,b,c:hằng số.

Giả sử hệ số : b =2b
,
ta có


= b
, 2
ac.
Nếu

,
= 0: Phơng trình có nghiệm kép x
1
=x
2
=-b
,
/a.
Nếu

,
> 0: Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt : x
1
=
a
b
+
;x
2
=

a
b

Nếu

,
< 0: Phơng trình vô nghiệm.
1.4-Hệ thức Viét:
- Nếu phơng trình bậc hai : a.x
2
+bx +c =0 (a

0) a,b,c: hằng số có 2 nghiệm
x
1
, x
2
thì :
Tổng hai nghiệm đó là: S = x
1
+x
2
=-b/a
Tích của hai nghiệm là: P = x
1
x
2
= c/a.
á p dụng :
- Nếu phơng trình bậc hai : a.x

2
+bx +c =0 (a

0) có một nghiệm x
1
=1 thì
a+b+c = 0 và ngợc lại nếu : a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm
x
1
=1 và x
2
=

c/a
- Nếu phơng trình bậc hai : a.x
2
+bx +c =0 (a

0) có một nghiệm x
1
=-1 thì a-
b+c = 0
và ngợc lại nếu : a-b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm x
1
=-1 và x
2
=-

c/a.
1.5 Ph ơng trình tích:

Phơng trình tích( một ẩn) là phơng trình có dạng:
A(x).B(x)...M(x)= 0 (1)
Trong đó : A(x),B(x),...,M(x) là các đa thức của ẩn x.

(x+3)(x+2)-(x+1)(x-2)= x
2
-4x+24
2

x
2
+5x+6- x
2
+x+2 = x
2
-4x+24

x
2
-10x+16 = 0
Giải phơng trình trên có nghiệm : x
1
= 8 ; x
2
= 2

TXĐ.
Vậy phơng trình (2) có nghiệm : x= 8.
c.
1

+
x
x
+
x
x 1
+
+2 = 0 (3) TXĐ: x

0; x

-1.

)1(
2
+
xx
x
+
)1(
)1(
2
+
+
xx
x
+
)1(
)1(2
+

+
xx
xx
= 0

x
2
+(x+1)
2
+2x(x+1) = 0

x
2
+ x
2
+2x+1+2x
2
+2x = 0

4 x
2
+4x +1 = 0

(2x+1)
2
= 0

2x+1 = 0

x = -1/2.

Vậy phơng trình có nghiệm : x = -1/2.
3. Khai thác bài toán
Phơng trình (3) ta có thể giải theo cách sau:
1
+
x
x
+
x
x 1
+
+2 = 0 (3) TXĐ: x

0; x

-1.
Đặt
1
+
x
x
= y (y

0) .Khi đó phơng trình (3) có dạng:
y+
y
1
+2 = 0

y
2
+2y+1 = 0


(y+1)
2
= 0


y+1 = 0


y =- 1

TXĐ.
Với y=-1

1
+
x
x
= -1


x=-x-1


-2x=1

x=-1/2

TXĐ.
Vậy phơng trình có nghiệm : x=-1/2
Dạng 2: Ph ơng trình trùng ph ơng .
Ví dụ:
Giải các phơng trình sau:
a. x
4
13x
2
+36 = 0 (1)
b. x
4
5x
2
+6 = 0
1.H ớng dẫn cách tìm lời giải.
Với phơng trình trùng phơng dạng : a x
4
+bx
2
+c = 0 (1) (a

0)
Ta có phơng pháp giải nh sau:
Phơng trình (1) tơng đơng với :
A(x) =0
B(x) =0

3
...
C(x)= 0
Lấy các nghiệm của phơng trình trên ta đợc nghiệm của phơng trình (1).
1.6- Ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu số:
Yêu cầu học sinh nắm vững quá trình giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu số nh
sau:
- Tìm tập xác định.
- Quy đồng mẫu rồi khử mẫu .
- Giải phơng trình vừa tìm đợc.
- Nghiệm của phơng trình là các giá trị tìm đợc của ẩn thuộc tập xác định.
1.7- Ph ơng trình trùng ph ơng :
a x
4
+bx+c=0 (a

0) (1)
Ph ơng pháp giải :
Đặt x
2
=X; X

0. Phơng trình (1) có dạng:
a X
2
+bX+c = 0 (a

0) (2)
Ta có

= b
2
-4ac.
*Nếu

= 0 . Phơng trình (2) có nghiệm kép: X
1
=X
2
=-b/2a, ta phải tìm
nghiệm X thoả mãn X

0.
* Nếu

> 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: X
1
=
a
b
2
+
;X
2
=
a
b
2

Ta tìm nghiệm X

0.
* Nếu

< 0 Phơng trình (2) vô nghiệm nên phơng trình (1) vô nghiệm.
Với X

0 ta có x
2
=X

x =


X
là nghiệm của phơng trình (1).
1.8 Ph ơng trình vô tỷ.
- Đối với biểu thức chứa căn bậc hai cần đặc biệt lu ý tới điều kiện tồn tại
của căn thức bậc hai.
- Yêu cầu học sinh nắm đợc phơng pháp giải một số dạng phơng trình vô tỷ
sau:
Dạng 1 :
)(xf
= g(x)
Dạng 2:
)(xf
+
)(xh
= g(x)
Dạng 3.

)(xf
+
)(xh
=
)(xg
1.9 Ph ơng trình có giá trị tuyệt đối
A = B

B

0
A
2
= B
2
Học sinh cần nắm vững và vận dụng thành thạo định nghĩa của giá trị tuyệt đối:
A khi A

0
A =
- A khi A<0
1.10 Phơng trình giải bằng phơng pháp dùng ẩn số phụ.
2. Hệ thống bài tập
4
Với mục đích các bài tập áp dụng sau mỗi phần lý thuyết phải phù hợp với trình độ
của học sinh và không làm mất tính tổng quát và tính liên tục , giúp học sinh có
hứng thú say mê trong học toán tôi đã chọn một số bài tập đợc phân chia theo một số
dạng sau:
Dạng 1: Ph ơng trình chứa ẩn ở mẫu.
Ví dụ . Giải các phơng trình sau:

a.
x
x 1

-
1
1

+
x
x
=2
b.
2
3

+
x
x
-
2
1
+
+
x
x
=
4
244
2

2

+
x
xx
c.
1
+
x
x
+
x
x 1
+
+2 = 0
1. H ớng dẫn học sinh cách tìm lời giải
Để giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu ta chú ý quá trình giải nh sau :
- Tìm tập xác định.
- Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.
- Giải phơng trình vừa tìm đợc.
- Nghiệm của phơng trình là các giá trị tìm đợc của ẩn thuộc tập xác định .
Các phơng trình trên đều đa đợc về phơng trình bậc hai một ẩn số .
Phơng trình b ta chú ý : x
2
- 4 = (x-2)(x+2) nên là mẫu chung.
2. Cách giải.
a.
x
x 1

-
1
1

+
x
x
=2 (1) TXĐ : x

0, x

1 .


)1(
)1(


xx
x
-
)1(
)1(

+
xx
xx
=
)1(
)1(2

xx
xx


(x-1)
2
x(x+1) = 2x(x-1)


x
2
-2x+1- x
2
-x = 2x
2
-2x


2x
2
+x-1 = 0
Giải phơng trình trên ta đợc nghiệm : x
1
= -1; x
2
= 1/2 thuộc tập xác định.
Vậy phơng trình có nghiệm : x
1

= -1; x
2
= 1/2.
b.
2
3

+
x
x
-
2
1
+
+
x
x
=
4
244
2
2

+
x
xx
(2) TXĐ: x


2 .

)2)(2(
)2)(3(
+
++
xx
xx
-
)2)(2(
)2)(1(
+
+
xx
xx
=
)2)(2(
244
2
+
+
xx
xx


(x+3)(x+2)-(x+1)(x-2) = x
2
-4x +24

(x+3)(x+2)-(x+1)(x-2)= x

2
-4x+24

x
2
+5x+6- x
2
+x+2 = x
2
-4x+24

x
2
-10x+16 = 0
Giải phơng trình trên có nghiệm : x
1
= 8 ; x
2
= 2

TXĐ.
Vậy phơng trình (2) có nghiệm : x= 8.
c.
1
+
x
x
+
x
x 1

+
+2 = 0 (3) TXĐ: x

0; x

-1.
5

)1(
2
+
xx
x
+
)1(
)1(
2
+
+
xx
x
+
)1(
)1(2
+
+
xx
xx
= 0

x
2
+(x+1)
2
+2x(x+1) = 0

x
2
+ x
2
+2x+1+2x
2
+2x = 0

4 x
2
+4x +1 = 0

(2x+1)
2
= 0

2x+1 = 0

x = -1/2.
Vậy phơng trình có nghiệm : x = -1/2.
3. Khai thác bài toán
Phơng trình (3) ta có thể giải theo cách sau:
1
+

x
x
+
x
x 1
+
+2 = 0 (3) TXĐ: x

0; x

-1.
Đặt
1
+
x
x
= y (y

0) .Khi đó phơng trình (3) có dạng:
y+
y
1
+2 = 0


y
2
+2y+1 = 0

(y+1)
2
= 0


y+1 = 0


y =- 1

TXĐ.
Với y=-1

1
+
x
x
= -1


x=-x-1


-2x=1


x=-1/2

TXĐ.
Vậy phơng trình có nghiệm : x=-1/2

Dạng 2: Ph ơng trình trùng ph ơng .
Ví dụ:
Giải các phơng trình sau:
a. x
4
13x
2
+36 = 0 (1)
c. x
4
5x
2
+6 = 0
1.H ớng dẫn cách tìm lời giải.
Với phơng trình trùng phơng dạng : a x
4
+bx
2
+c = 0 (1) (a

0)
Ta có phơng pháp giải nh sau:
Đặt y = x
2


y

0 .
Phơng trình (1) có dạng : ay

2
+by +c = 0 (2)
giải phơng trình (2) chọn y

0 , giải phơng trình y= x
2
từ đó suy ra nghiệm của ph-
ơng trình (1) .
2.Cách giải
a. Đặt y = x
2


y

0 phơng trình (1) có dạng :
y
2
-13y +36 = 0
Giải phơng trình này ta có 2 nghiệm : y
1
= 9; y
2
= 4.
6
Với y = 4


x
2

=4


(x-2)(x+2) = 0
x-2 = 0


x+2 = 0
x=2


x=-2
Với y = 9


x
2
= 9


(x-3)(x+3) = 0
x-3 = 0


x+3 = 0
x=3


x=-3
Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm : x

1
=-2 ; x
2
=-3; x
3
=2; x
4
=3.
b. x
4
5x
2
+6 = 0 (2)
Đặt y = x
2


y

0 phơng trình (2) có dạng : y
2
-5y +6 = 0
Giải phơng trình này ta đợc 2 nghiệm : y
1
= 3; y
2
= 2.
Với y =3

x
2
=3
Phơng trình này có 2 nghiệm : x
1
=
3
; x
2
= -
3
Với y = 2


x
2
=2
Phơng trình này có 2 nghiệm : x
1
=
2
; x
2
= -
2
Vậy phơng trình có 4 nghiệm: x
1
=
3
; x

2
= -
3
; x
3
=
2
; x
4
= -
2
.
3. Khai thác bài toán.
3.1. Phơng trình : x
4
13x
2
+36 = 0 có các cách giải khác nh sau:
x
4
13x
2
+36 = 0 (1)

( x
4
12x
2
+36) x
2

= 0

(x
2
6)
2
x
2
= 0

(x
2
6 x)( x
2
6 +x) = 0

x
2
6 x = 0
x
2
6 +x = 0
Giải phơng trình : x
2
6 x = 0 ta đợc 2 nghiệm: x=-2; x= 3.
Giải phơng trình : x
2
6 +x = 0 ta đợc 2 nghiệm x= 2; x= -3.
Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm : x
1

=-3; x
2
= -2; x
3
=2; x
4
= 3.
3.2 Ph ơng trình phần b có thể giải nh sau:
x
4
5x
2
+6 = 0

x
4
2x
2
3x
2
+6 = 0

( x
4
2x
2
)-( 3x
2
-6 ) =0
7

x
2
(x
2
2)-3(x
2
2) = 0

(x
2
2) (x
2
3) = 0
x
2
2 = 0

x
2
3 = 0
Giải phơng trình : x
2
2= 0 ta đợc 2 nghiệm: x=
2
; x=-
2
.
Giải phơng trình : x
2

3= 0 ta đợc 2 nghiệm x=
3
; x= -
3
.
Vậy phơng trình (2) có 4 nghiệm: x
1
=
2
; x
2
=-
2
; x
3
=
3
; x
4
= -
3
.
3.3- Với phơng trình trùng phơng : a x
4
+bx
2
+c = 0 (1) (a

0)
ta cần chú ý :

1. Nếu phơng trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các
nghiệm luôn bằng c/a.
Thật vậy : Đặt y = x
2


y

0 .
Phơng trình (1) có dạng : ay
2
+by +c = 0 (2)
Nếu phơng trình (1) có 4 nghiệm thì phơng trình (2) có 2 nghiệm dơng
y
1
,y
2
khi đó các nghiệm của phơng trình (1) là:
x
1
=
1
y
; x
2
=-
1
y
; x
3

=
2
y
; x
4
= -
2
y
Suy ra : x
1
+ x
2
+x
3
+ x
4
= (-
1
y
) +
2
y
+(-
2
y
) +
1
y
=0
x

1
. x
2
.x
3
. x
4
= (-
1
y
) .
2
y
.(-
2
y
) .
1
y
= y
1
.y
2
= c/a.
2. Nếu ac< 0 thì phơng trình (1) chỉ có 2 nghiệm trái dấu :
Thật vậy : ac <0 phơng trình ay
2
+by +c = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt
trái dấu .
Giả sử : y

1
> 0;

y
2
<0 (loại)
Suy ra :
1
y
= x
1
, x
2
= -
1
y
là nghiệm của phơng trình (1)
Vậy với ac< 0 phơng trình : a x
4
+bx
2
+c = 0 (1) (a

0) có 2 nghiệm trái dấu.
Dạng 3: Ph ơng trình tích.
Ví dụ: Giải phơng trình:
a. (2x
2
-x-1)
2

- (x
2
-7x+6)
2
= 0
b. (x
2
-5x+4) (2x
2
-7x+3 ) = 0
c. x
4
+12x
3
+32x
2
8x-4 = 0
1.H ớng dẫn cách tìm lời giải:
Các phơng trình trên đều đa đợc về phơng trình tích dạng:
A(x).B(x)=0. Trong đó A(x),B(x) là những tam thức bậc hai từ đó ta đa việc
giải phơng trình đã cho về việc giải các phơng trình bậc hai .
-áp dụng tính chất : một tích nhiều thừa số bằng 0 khi và chỉ khi một trong
các thừa số bằng 0.
Ta có A(x).B(x)=0

A(x)=0
B(x)=0
8