Chuyen de 01 tinh don dieu va cuc tri
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (328.86 KB, 35 trang )
CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Định lý Lagrange: Cho f là một hàm liên tục trên
để:
a; b , có đạo hàm trên a; b . Lúc đó tồn tại c � a; b
f b f a
f ' c
f b f a b a f ' c
ba
hay
a; b , có đạo hàm trên a; b
Định lý Rolle: Cho f là một hàm liên tục trên
tại
c � a; b
để
f ' c 0
f a f b
. Lúc đó tồn
.
a; b , có đạo hàm trên a; b
Định lý Cauchy: Cho f và g là hai hàm liên tục trên
x � a; b
và
và
g ' x �0
tại mỗi
.
Lúc đó tồn tại
c � a; b
để
f b f a
f ' c
g b g a g ' c
.
Tính đơn điệu
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng
- Nếu f đồng biến trên
a; b
- Nếu f nghịch biến trên
- Nếu
f ' x �0
biến trên khoảng
- Nếu
f ' x �0
thì
a; b
với mọi
f ' x �0
thì
và
x � a; b
với mọi
f ' x �0
x � a; b
khi đó:
với mọi
f ' x 0
.
x � a; b
.
chỉ tại một số hữu hạn điểm của
a; b
thì hàm số đồng
a; b .
với mọi
nghịch biến trên khoảng
x � a; b
và
f ' x 0
chỉ tại một số hữu hạn điểm của
a; b
thì hàm số
a; b .
- Nếu f đồng biến trên khoảng
thì đồng biến trên
a; b
a; b
và liên tục trên
a; b ; liên tục trên a; b
www.LuyenThiThuKhoa.vn
a; b
thì đồng biến trên
thì đồng biến trên
1
a; b ; và liên tục trên a; b
a; b .
Phone: 094 757 2201
- Nếu f nghịch biến trên
nghịch biến trên
- Nếu
f ' x 0
a; b
a; b
và liên tục trên
a; b ; liên tục trên a; b
thì nghịch biến trên
thì nghịch biến trên
a; b ; liên tục trên a; b
thì
a; b .
với mọi x �D thì hàm số f không đổi trên D.
Cực trị của hàm số
Cho hàm số f xác định trên tập hợp D và x0 �D .
x0 được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm x0 sao cho a; b �D và
f x f x0 x � a; b \ x0
,
.
x0 được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa điểm x0 sao cho a; b �D và
f x f x0 , x � a; b \ x0
.
Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên
- Cho
y f x
liên tục trên khoảng
a; b
a; b . Nếu f đạt cực trị tại điểm
f ' x
đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0
Nếu
f ' x
đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0
y f x
thì
f ' x0 0
.
a; x0 và x0 ; b :
chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng
Nếu
- Cho
x0 � a; b
có đạo hàm cấp hai trên khoảng
a; b
chứa x0
Nếu
f ' x0 0
và
f '' x0 0
thì f đạt cực tiểu tại x0
Nếu
f ' x0 0
và
f '' x0 0
thì f đạt cực đại tại x0
Ứng dụng vào phương trình
- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình
f x 0
có tối đa 1 nghiệm. Nếu
f a 0
, a thuộc K
f x 0
thì x a là nghiệm duy nhất của phương trình
.
f x 0
- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình
có tối đa
2 nghiệm trên K. Nếu
f a 0
và
f b 0
f x 0
với a �b thì phương trình
chỉ có 2 nghiệm là
x a và x b .
www.LuyenThiThuKhoa.vn
2
Phone: 094 757 2201
- Nếu f là một hàm liên tục trên
c � a; b
nhất một nghiệm
Đặc biệt, nếu
a; b , có đạo hàm trên a; b
thì phương trình
f ' x
f b f a
ba
có ít
.
f a f b 0
thì phương trình
f ' x 0
có ít nhất một nghiệm
c � a; b
hay giữa
hai nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f ' .
Chú ý:
1) Tung độ cực trị
Hàm đa thức:
y f x
tại x x0 :
y q x . y ' r x � y0 r x0
y f x
Hàm hữu tỉ:
u x0 u ' x0
u x
� y0
v x
v x0 v ' x0
Đặc biệt: Với hàm
y f x
thẳng qua CĐ, CT là
y r x
bậc 3 có CĐ, CT và nếu
y q x . y ' r x
thì phương trình đường
.
3
2
2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax bx cx d 0, a �0 .
Nếu
f ' x �0, x
Nếu
f ' x 0
hay
f ' x �0, x
thì
f x 0
chỉ có 1 nghiệm.
có 2 nghiệm phân biệt và:
f x 0
Với yC Ð . yCT 0 : phương trình
chỉ có 1 nghiệm
f x 0
Với yC Ð . yCT 0 : phương trình
có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)
f x 0
Với yC Ð . yCT 0 : phương trình
có 3 nghiệm phân biệt
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 1.1: Chứng minh các hàm số sau là hàm không đổi
� �
� �
f x cos 2 x cos 2 �x � cos x cos �x �
� 3�
� 3�
a)
b)
f x 2 sin 2 x sin 2 a x 2cos a.cos x.cos a x
Hướng dẫn giải
� � � �
� �
� �
f ' x 2cos x sin x 2cos �x �
sin �x � sin x cos �x � cos x.sin �x �
� 3� � 3�
� 3�
� 3�
a)
2
�
sin 2 x sin �
2x
3
�
�
� �
2x �
� sin �
3�
�
�
www.LuyenThiThuKhoa.vn
3
Phone: 094 757 2201
� �
sin 2 x 2cos �
2x �
.sin
2� 6
�
� �
sin 2 x cos �
2 x � 0
2 � , với mọi x.
�
Do đó f hằng trên R nên
f x f 0 1
1 1 3
4 2 4.
b) Đạo hàm theo biến x (a là hằng số).
f ' x 2sin x cos x 2 cos a x sin a x 2cos a �
sin x cos a x cos x sin a x �
�
�
2sin 2 x sin 2 x 2a 2cos a.sin 2 x a 0
Do đó f hằng trên R nên
Bài toán 1.2: Cho 2 đa thức
minh:
P x �Q x
.
f x f 0 2 sin 2 a 2cos 2 a sin 2 a
P x
và
Q x
thỏa mãn:
P ' x Q ' x
.
với mọi x và
P 0 Q 0
. Chứng
.
Hướng dẫn giải
f x P x Q x , D �
Xét hàm số
Ta
có
f ' x P ' x Q ' x 0
f x f 0 P 0 Q 0 0
f x
P x
0
Q x
theo
giả
thiết,
do
đó
f x
là
hàm
hằng
nên
với mọi x.
.
Bài toán 1.3: Chứng minh rằng:
a)
b)
arcsin x arccos x
2arctan x arcsin
, x �1
2
2x
, x �1
1 x2
Hướng dẫn giải
a) Nếu x 1, x 1 thì đúng.
f x arcsin x arccos x
Nếu 1 x 1 thì xét hàm số
� f ' x
1
1 x2
b) Với x �1 , xét
�1 �
0 � f x C f � �
�2 � 2
1 x2
1
f x 2arctan x arcsin
www.LuyenThiThuKhoa.vn
2x
1 x2
4
Phone: 094 757 2201
2 2 x2
1 x2
2
2
2
f ' x
0
2
2
2
1 x
1
x
1
x
2 2
�
1 x �
� 2�
1 x �
�
2
Ta có
Suy ra
f x C f 1
Bài toán 1.4: Tính gọn
(vì x �1 )
2 4
4.
arctan x arctan
1
x với x �0 .
Hướng dẫn giải
Xét
Với
f x arctan x arctan
x � 0; �
1
x . D �;0 � 0; �
thì f liên tục và có đạo hàm
1
1
x2 1 1 0
f ' x
1 x2 1 x2 1 x2 1 x2
0; �
x2
nên f hằng trên
Do đó
Với
f x f 1
x � �;0
Do đó
4 4 2.
thì f liên tục và có đạo hàm
f x f 1
f ' x 0
nên f hằng trên
�;0 .
4 4
2
�
khi x 0
1 �
�2
arctan x arctan �
x �
khi x 0
�
2
Vậy
Bài toán 1.5: Tìm số c trong định lý Lagrange:
a)
y f x 2x2 x 4
b)
y f x arcsin x
trên
trên
1;2
0;1
Hướng dẫn giải
a) Hàm số
y f x 2x2 x 4
Lagrange thì tồn tại số
c � 1;2
www.LuyenThiThuKhoa.vn
liên tục trên
1;2
và có đạo hàm
f ' x 4x 1
, theo định lý
sao cho:
5
Phone: 094 757 2201
f 2 f 1
63
1
f ' c �
4c 1 � 4c 2 � c
2 1
3
2
b) Hàm số
y f x arcsin x
Lagrange thì tồn tại số
liên tục trên
c � 0;1
0;1
.
f ' x
và có đạo hàm
1
1 x 2 , theo định lý
sao cho:
0
f 1 f 0
1
2
f ' c �
1 0
1
1 c2
� 1 c2
4
c 1 2
� c2 1 2
2
.
. Chọn
Bài toán 1.6: Xét chiều biến thiên của hàm số:
y
4
2
a) y x 2 x 5
b)
1
x 4
2
Hướng dẫn giải
a) D �. Ta có
Cho
y ' 4 x3 4 x 4 x x 2 1
y ' 0 � 4 x x 2 1 0 � x 0
1.
hoặc x �
BBT
x
�
y'
−1
−
0
0
+
�
1
0
−
0
+
y
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
�; 1
và
0;1 , đồng biến trên mỗi khoảng 1;0
1; � .
b)
D �\ 4
y'
. Ta có
2
x 4
3
y ' 0 trên khoảng 4;� nên y nghịch biến trên khoảng 4;�
y ' 0 trên khoảng �;4 nên y đồng biến trên khoảng �;4
Bài toán 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
y
a)
x3
y
x 6
2
www.LuyenThiThuKhoa.vn
b)
6
x 1
1 x
Phone: 094 757 2201
và
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định
y'
Ta có:
D �; 6 � 6; �
2x2 x2 9
x2 6 x2 6
, y ' 0 � x �3
.
BBT:
x
�
6
−3
y'
+
0
�
3
6
−
−
0
+
y
�; 3 , 3; � ,
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng
3; 6 ;
b)
D �;1
6;3
nghịch biến trên các khoảng
.
y'
. Ta có
3 x
2 1 x
0, x 1
3
.
0; 2
b) y x sin x trên
2
a) y x cos x
Hướng dẫn giải
a) D �. Ta có y ' 1 2cos x sin x 1 sin 2 x
y ' 0 � sin 2 x 1 � x
k , k ��
4
Hàm số liên tục trên mỗi đoạn
�
�
k
,
k
1
�
�
4
�4
� và
y' 0
trên mỗi khoảng
�
�
�
�
k ; k 1 �
, k ��
� k ; k 1 �
�
4
4
�4
�nên đồng biến trên mỗi đoạn �4
�
.
Vậy hàm số đồng biến trên �.
x 0;2
b) y ' 1 cos x . Ta có
Vì hàm số liên tục trên đoạn
y' 0
0;2
và y ' 0 � x 0 hoặc x 2 .
nên hàm số đồng biến trên đoạn
0; 2 .
Bài toán 1.9: Chứng minh các hàm số
a) y cos 2 x 2 x 5 nghịch biến trên �
y
b)
sin x a
sin x b
a �b k ; k ��
www.LuyenThiThuKhoa.vn
đơn điệu trên mỗi khoảng xác định.
7
Phone: 094 757 2201
Hướng dẫn giải
a) x1 , x2 ��, x1 x2 . Lấy hai số a, b sao cho a x1 x2 b .
Ta có:
Vì
f ' x 2 sin 2 x 1 �0
f ' x 0
a; b
.
chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng
a; b
nên hàm số f nghịch biến trên khoảng
� đpcm.
b) Điều kiện
y'
x � a; b
với mọi
x �b k k ��
.
sin x b cos x a sin x a cos x b sin b a
sin 2 x b
sin 2 x b
Vì y ' liên tục tại mọi điểm x �b k , và a b �k nên y ' giữ nguyên một dấu trong mỗi khoảng
xác định � đpcm.
Bài toán 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:
a)
y m 3 x 2m 1 cos x
nghịch biến trên �.
3
2
b) y x 3x mx m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.
Hướng dẫn giải
a)
y ' m 3 2m 3 sin x
Hàm số y không là hàm hằng nên y nghịch biến trên �:
y ' �0, x � m 3 2m 1 sin x �0, x
m 3 2m 1 sin x m 3 2m 1 t f t
Đặt t sin x, 1 �t �1 thì
Điều kiện tương đương:
f t �0, t � 1;1
�
m 4 �0
�
2
�f 1 �0
��
��
� 4 �m �
3m 2 �0
3
�
�f 1 �0
.
2
b) D �, y ' 3 x 6 x m, ' 9 3m
Xét ' �0 thì y ' �0, x : Hàm luôn đồng biến (loại)
Xét ' 0 � m 0 thì y ' 0 có 2 nghiệm x1 , x2 nên
www.LuyenThiThuKhoa.vn
8
x1 x2 2, x1 x2
m
3
Phone: 094 757 2201
BBT:
�
x
x1
y'
+
�
x2
0
−
0
+
y
x2 x1 3 � x2 x1 9 � x12 x22 2 x1 x2 9
2
Theo đề bài:
4
15
2
� x2 x1 4 x1 x2 9 � 4 m 9 � m
3
4 (thỏa)
Bài toán 1.11: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
y x 2
2
x 3
3
b)
y x x 2
Hướng dẫn giải
y ' 2 x 2 x 3 3 x 2
3
a)
2
x 3
2
5 x x 2 x 3
2
Ta có y ' 0 � x 2 hoặc x 0 hoặc x 3
BBT
�
x
−2
y'
+
y
0
0
−
0
b) Hàm số
y f x
+
0
0
�
Vậy điểm cực đại
0
�
3
+
�
−108
2;0
và cực tiểu
0; 108
liên tục trên �. Ta có:
� x x 2
�
f x �
�x x 2
khi x 0
khi x �0
Với
x 0, f ' x 2 x 2; f ' x 0 � x 1
Với
x 0, f ' x 2 x 2 0
www.LuyenThiThuKhoa.vn
9
Phone: 094 757 2201
BBT
x
�
−1
y'
+
0
y
�
0
−
+
1
0
Vậy điểm CĐ
1;1 , CT 0;0 .
Bài toán 1.12: Tìm cực trị của hàm số
x 1
y 2
x 8
a)
x3
y
x2 6
b)
Hướng dẫn giải
y'
a) D �. Ta có
x 2 8 2 x x 1
x2 8
2
x2 2x 8
x
2
8
2
y ' 0 � x 4 hoặc x 2 .
BBT
�
x
y'
−4
−
y
0
0
+
0
b) Tập xác định
3x
y'
2
yC Ð
0
1
1
x 4; yCT
8.
4 , đạt CT tại
D �; 6 � 6; �
x 6
2
−
1/4
−1/8
Hàm số đạt CĐ tại x 2 ,
�
2
x4
2
2
4
2
2
x 2 6 3x x 6 x 2 x x 9
3
3
x2 6
x2 6
x2 6
y ' 0 � x 0 hoặc x �3 .
www.LuyenThiThuKhoa.vn
10
Phone: 094 757 2201
BBT
x
�
y'
6
−3
+
y
0
−
−
�
0
�
9 3
�
3
6
+
�
�
9 3
Hàm số đạt CĐ tại x 3; yC Ð 9 3 , đạt CT tại x 3; yCT 9 3 .
Bài toán 1.13: Tìm cực trị của hàm số
a) y x sin 2 x 2
b) y 3 2cos x cos 2 x
Hướng dẫn giải
a) D �, y ' 1 2cos 2 x
y ' 0 � cos 2 x
1
� x � k , k ��, y '' 4sin 2 x
2
6
.
�
�
� �
y '' �
k � 4sin �
� 2 3 0
6
3�
�
�
�
Ta có
nên hàm số đạt cực đại tại điểm
x
3
k , k ��, yC Рk
2
6
6
2
.
�
�
y '' � k � 4sin 2 3 0
3
�6
�
Ta có
nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm:
x
b)
3
k , k ��, yCT k
2
6
6
2
y ' 2sin x 2sin 2 x 2sin x 1 2cos x
:
sin x 0
�
�
y' 0 �
1 � x k
2
�
cos x
x � 2k , k ��
2
�
3
hoặc
.
y '' 2cos x 4cos 2 x
Ta có
y '' k 2cos k 4cos 2k 2cos k 4 0
, với mọi k ��, nên hàm số đã cho đạt cực
tiểu tại các điểm x k , yCT 2 2cos k bằng 0 khi k chẵn và bằng 4 khi k lẻ.
2
4
2
� 2
�
y '' �
� 2k � 2cos
4cos
6 cos
3 0
3
3
3
3
�
�
Ta có
nên hàm số đạt cực đại tại điểm:
2
9
x � 2k , k �� yC Ð
3
2.
,
www.LuyenThiThuKhoa.vn
11
Phone: 094 757 2201
Bài toán 1.14: Chứng minh hàm số
2 x khi x 0
�
�
f x � x
sin
khi x �0
�
� 2
a)
không có đạo hàm tại x 0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó.
b)
y f x x a x b x c , a �c
luôn có cực đại và cực tiểu.
Hướng dẫn giải
a) Hàm số f xác định và liên tục trên �. Ta có
2 x khi x 0
�
�
f ' x �1
x
1
cos khi x 0
lim f ' x 2 �lim f ' x
�
x �0
2
�2
2 , do đó f không có đạo hàm tại
nên x�0
x 0 và BBT trên khoảng ; .
x
0
y'
+
y
−
0
y y 0 0
Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0 và C Ð
.
y ' x b x c x a x c x a x b
b) D �.
.
3 x 2 2 a b c ab bc ca
.
' a b c 3 ab bc ca a 2 b 2 c 2 ab bc ca
2
1�
2
2
2
0
a b b c c a �
�
� với a �c .
2
Do đó y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu 2 lần khi qua 2 nghiệm nên luôn luôn có một cực đại và
một cực tiểu.
Bài toán 1.15: Tìm tham số thực sao cho hàm số
a)
b)
f x x p
f x
q
x 1 đạt cực đại tại điểm 2; 2 .
a sin x cos x 1
a cos x
đạt cực trị tại 3 điểm thuộc
� 9 �
0;
�
�
� 4 �
Hướng dẫn giải
a) Ta có
f ' x 1
q
x 1 , với mọi x �1 .
www.LuyenThiThuKhoa.vn
12
Phone: 094 757 2201
f ' x 0
Nếu q �0 thì
với mọi x �1 : loại.
Nếu q 0 thì phương trình:
f ' x
x2 2 x 1 q
x 1
2
0
có hai nghiệm phân biệt x1 1 q và
x2 1 q .
BBT:
�
x
1 q
y'
+
0
−
�
1 q
−1
−
0
+
y
Hàm số đạt cực đại tại điểm
2; 2
khi và chỉ khi
�
� q 1 �
1 q 2
q 1
�
�
��
��
�
�p 1
�p 1
�f 2 2
a sin x
x � k
y'
, y ' 0 � sin x a
a cos 2 x
2
b) Điều kiện
. Ta có
.
y ''
sin 2 x 2a sin x 1
a cos3 x
Với sin x a thì
y ''
� 9 �
1
0; �
�0
�
sin x cos x
, do đó hàm số đạt cực trị tại 3 điểm thuộc khoảng � 4 �
2
� 9 �� 3 �
0; �\ � ; �� 0 a
�
4
2 2
2
� sin x a có 3 nghiệm thuộc khoảng ���
Bài toán 1.16: Tìm m để hàm số:
a)
y
mx 2 2 4m x 4m 1
x 1
có 2 cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu.
x 2 2mx 2
y
x 1
b)
có hai điểm cực trị A và B. Chứng minh đường thẳng AB song song với đường thẳng
2 x y 10 0 .
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: x �1 .
y'
Ta có
mx 2 2mx 3
x 1
2
www.LuyenThiThuKhoa.vn
, đặt
g x mx 2 2mx 3
13
.
Phone: 094 757 2201
Đồ thị có 2 cực trị
Ta có
۹m��
0,' 0, g 1
x1 x2 2, x1 x2
0
m
3
hoặc m 0
3
m nên yC Ð . yCT 0
� 2mx1 2 4m 2mx2 2 4m 0
� 4m 2 x1 x2 2m 2 4m x1 x2 2 4m 0
2
� 12m 2m 2 4m 2 4m 0 � 4 20m 0 � m
2
b) ĐK: x �1 . Ta có
y'
1
5.
x 2 2 x 2m 2
x 1
2
g 1 �0
Điều kiện có 2 cực trị A, B là ' 0 và
.
� 3 2m 0 và
3 2m �0 � m
A 1 3 2m ;2 2m 2 3 2m
và B 1
k
Hệ số góc của đường thẳng AB là:
3
2 . Ta có
3 2m ;2 2m 2 3 2m
.
y x2 y x1 4 3 2m
2
x2 x1
2 3 2m
.
Và 2 x y 10 0 � y 2 x 10 nên hệ số góc bằng nhau � đpcm.
Bài toán 1.17: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đai, cực tiểu của đồ thị.
a)
y x3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 3m
x 2 2mx 5m 4 m 2
y
x2
b)
Hướng dẫn giải
a)
y ' 3x 2 6mx 3 m2 1 , ' 1 0, x
nên đồ thị luôn luôn có CĐ và CT với hoành độ x1 , x2 .
m�
�1
y x � x �y ' x 2 x m
3�
�3
Ta có:
m�
�1
y1 y x1 � x1 �y ' x1 2 x1 m 2 x1 m
3�
�3
Do đó:
m�
�1
y2 y x2 � x2 �y ' x2 2 x2 m 2 x2 m
3�
�3
và
nên đường thẳng qua CĐ, CT là
www.LuyenThiThuKhoa.vn
y 2 x m
14
Phone: 094 757 2201
b) ĐK: x �2 . Ta có
y x 2 m 1
x 2 m m2
y ' 1
2
2
x
2
x 2
2
m m2
nên
m m2
x2
2
Điều kiện có CĐ và CT là m m 0 � 0 m 1 .
Gọi x1 , x2 là hoành độ CĐ, CT thì x1 2 x2 . Ta có
y x1 x1 2 m 1
m m2
x 2 m 1 x1 2 2 x1 2m
x1 2 1
m m2
y x2 x2 2 m 1
x 2 m 1 x2 2 2 x2 2m
x2 2 2
Vậy phương trình đường thẳng qua CĐ và CT là y 2 x 2m
Bài toán 1.18:
a) Cho đồ thị của hàm số:
y 3a 2 1 x3 b3 1 x 2 3c 2 x 4d
có hai điểm cực trị là
1; 7 ; 2; 8 .
2
2
2
2
Hãy tính tổng M a b c d .
b) Tìm a để đồ thị hàm số
cố định.
x 1
y
3
a 1
x
có 3 cực trị và chứng minh 3 cực trị này thuộc một parabol
Hướng dẫn giải
a) Đặt
A 3a 2 1, B b3 1 , C 3c 2 , D 4d
, thì hàm số đã cho là:
y Ax 3 Bx 2 Cx D
2
Ta có: y ' 3 Ax 2 Bx C
�y ' 1 0
3A 2B C 0
�
�A 2
�
�
�B 9
12 A 4B C 0
�y ' 2 0
�
�
��
��
�
C 12
�y 1 7
�A B C D 7
�
�y 2 8
�
�D 12
8 A 4 B 2C D 8
�
�
Ta có: �
1, b 2, c �2, d 3 .
Nên được a �
2
2
2
2
2
2
2
2
Vậy M a b c d 1 2 2 3 18 .
2 x3 3x 2 a
y'
, x �0
x2
b) Ta có
.
y ' 0 � 2 x 3 3 x 2 a 0 � a 2 x 3 3 x 2 , x �0
www.LuyenThiThuKhoa.vn
15
Phone: 094 757 2201
g x 2 x 3 3x 2 , x �0
Bằng cách xét hàm số
trị khi
g x 0
và lập bảng biến thiên thì điều kiện hàm số cho có 3 cực
có 3 nghiệm phân biệt khác 0 là 1 a 0 .
Từ tọa độ các điểm cực trị suy ra các điểm cực trị này nằm trên
P :
y 3x 2 6 x 3 cố định.
Bài toán 1.19: Giải các phương trình:
a)
x2 2 x 4 x2 2 x 4 2
3 1
3
2
3
3
3 2
b) 2 x x 2 x 3 x 1 3 x 1 x 2
Hướng dẫn giải
f x x2 2x 4 x2 2x 4
a) Xét hàm số
f ' x
x 1
x2 2x 4
Xét hàm số
nên hàm số
g t
g t
x 1 x 1 �
nên hàm số
f x
x 1
x2 2x 4
t
t 3 trên �,
2
trên �.
x 1
x 1
g ' t
t
2
3
x 1
x 1
3
2
3 t 2 3
2
3
0
đồng biến trên �, do đó:
x 1
x 1
2
3
x 1
x 1
2
3
� f ' x 0
đồng biến trên �, do đó:
x2 2x 4 x2 2x 4 2
3 1 � f x f 2 � x 2
.
Vậy nghiệm duy nhất x 2 .
3
3
3
2
b) PT � 2 x 3 x 2 x 3 x 1 x 1
Xét hàm số:
do đó:
PT:
f t t t 1
3
3
x2 2
�, f ' t 1
trên
1
3 3 t 1
2
0
nên hàm số
f t
đồng biến trên �,
f 2 x 3 3x f x 2 1 � 2 x 3 3x x 2 1
� 1� 2
� 2 x 3 x 2 3 x 1 0 � �x �
2x 2 x 2 0
� 2�
www.LuyenThiThuKhoa.vn
16
Phone: 094 757 2201
� x
1� 5
1
x
2 hay
2 .
Bài toán 1.20: Giải các phương trình:
9 x 2 54 x 72
a)
b)
1
1
2x 5 x 1
4 2 x 1 x 2 x 1 x3 6 x 2 15 x 14
Hướng dẫn giải
a) ĐK:
Xét
5
1
1
2
2
x �1; , PT : 3 2 x 5
3 x 1
2
2x 5
x 1
f t 3t 2
f ' t 6t
1
t với t 0 . Ta có:
1
0
0; �
t2
nên f đồng biến trên
Phương trình:
f 2x 5 f x 1 � 2x 5 x 1
� 4 x 2 20 x 25 x 2 2 x 1 � 3 x 2 18 x 24 0
� x 2 6 x 8 0 � x 2 hoặc x 4 (chọn)
Vậy nghiệm x 2 hoặc x 4
2
3
2x 1 .�
x 2 3x 6
�2 x 1 3�
�
b) PT:
� 2x 1 3 2x 1 x 2 3 x 2
3
Xét hàm số
Ta có
PT:
3
f t t 3 3t , D �
f ' t 3t 2 2 0
nên f đồng biến trên �.
f 2x 1 f x 2 � 2x 1 x 2
�
�x �2
�x 2 �0
��
(VN )
2
2 � � 2
3
x
3
2
x
1
x
2
�
�
. Vậy S �.
Bài toán 1.21: Giải các hệ phương trình:
�
5 x 7 7 x5 5 y 7 7 y 5
�
� 3
3
8
x
1
27 162 y
�
a) �
www.LuyenThiThuKhoa.vn
17
Phone: 094 757 2201
�
x 2 y 2 5; y �1
�
�
2
y 1 �
x y 1� x y y 2 2 y
�
�
�
b) �
(1)
(2)
Hướng dẫn giải
a) Xét
f t 5t 7 7t 5 , t ��
Do đó
f ' t 35t 6 35t 4 �0, t
thì
nên f đồng biến trên �.
5 x 7 7 x5 5 x7 7 x 2 � f x f y x y
8x
Nên
3
1 27 162 y � 8 x 3 1 162 x 27
3
3
u
Đặt u 2 x , phương trình:
3
1 27 3u 1 � u 3 1 3 3 3u 1
3
3
3
Lại đặt v 3u 1 � v 1 3u
�
�
u 3 1 3v
u 3 1 3v
�
�
� �3 3
�3
u v 3 v u
v
1
3
u
�
Ta có hệ: �
�
u 3 1 3v
�
u 3 1 3v
�
��
�
�
u v u 2 vu v 2 3 0 �u v 0
�
3
3
Do đó u 1 3u hay 8 x 6 x 1 0
Xét
PT:
x � 1;1
nên đặt x cos t
2 4cos 3 t 3cos t 1 � cos t
1
2 k 2
�t�
, k ��
2
9
3
Từ đó có 3 giá trị của x và cũng chính là 3 nghiệm của phương trình bậc 3:
x cos
2
8
14
, x cos , x cos
9
9
9 .
Vậy nghiệm hệ
b)
x y cos
2 � y 1 �
x y
�
2
2
8
14
;cos ;cos
9
8
9 .
2
1� x y �
y 1 1�
�
�
�
Với
y 1: 3 � x 1
Với
x y 0 3 � y 1 � x 1
x y �0, y 1: 3
: không thỏa (1)
x y
�
Với
www.LuyenThiThuKhoa.vn
; không thỏa (1)
2
x y
1
y 1
2
1
y 1
18
Phone: 094 757 2201
� x y
1
1
y 1
x y
y 1
1
f t t , D 0; �
t
Xét hàm số
f ' t 1
1
0, t �D �
t2
hàm số đồng biến trên D
� f x y f y 1 � x y y 1
PT
�y 1
��
�x 1 hay x 1 2 y
� 1 2 24
�x
�
5
x 1 2y : �
�x 1
�y 2 24
x 1: �
�
�y 2 . Khi
5
�
Khi
Bài toán 1.22: Giải các hệ phương trình
a)
�x 2 2 x 1 2 y
�2
�y 2 y 1 2 z
�z 2 2 z 1 2 x
�
b)
�
36 x 2 y 60 x 2 25 y 0
� 2
36 y z 60 y 2 25 z 0
�
�
36 z 2 x 60 z 2 25 x 0
�
Hướng dẫn giải
a) Ta có
Đặt
2
2 y �
x
2x 1
x 1
f t t 2 2t 1, t �0
thì
2
0
y
0
. Tương tự z, x �0 .
f ' t 2 t 1
nên f đồng biến trên
1;�
và nghịch biến trên
0;1
�f x g y
�
�f y g z
�
f z g x
g t 2t , t �0
g ' t 2 0
0; �
. Đặt
thì
nên g đồng biến trên
. Ta có hệ �
Giả sử
x min x; y; z
. Xét x �y �z .
f x
1 ��
x �
y z
- Nếu x 1 thì
��
g y
g z
g x
y
z
x
f y
f z
nên x y z .
2
Ta có PT: t 4t 1 0 chọn nghiệm: x y z 2 3
f 0 ��
f x�
f 1
- Nếu 0 �x �1 thì
nên
0 ��
g y�
�
1 0
y 1
www.LuyenThiThuKhoa.vn
f 0
0
f y
19
f x
1
f 1
Phone: 094 757 2201
��
0 �
f y
Do đó
1
0
g z
x ��
y �
z �f x
�y
z
1
0
f y
z 1
f z
g y
g z
g x
x nên x y z .
2
Ta có PT t 4t 1 0 chọn nghiệm: x y z 2 2 .
Xét x �z �y thì cùng nhận được kết quả trên.
Vậy hệ có 2 nghiệm x y z 2 3, x y z 2 3 .
�
60 x 2
�y 36 x 2 25
�
60 y 2
�
�z
2
� 36 y 25
�
60 z 2
�x
2
b) Hệ phương trình tương đương � 36 z 25
0;0;0 là nghiệm của hệ phương trình.
Từ hệ suy ra x, y, z không âm. Nếu x 0 thì y z 0 suy ra
Nếu x 0 thì y 0, z 0 . Xét hàm số
f ' t 0, t 0
nên f đồng biến trên
f t
60t 2
,t 0
36t 2 25
.
0; � .
�
60 x 2
y
� 36 x 2 25
�
60 y 2
�
z
�
2
� 36 y 25
�
60 z 2
�x
2
Hệ phương trình được viết lại � 36 z 25
Từ tính đồng biến của
x 36 x 2 60 x 25 0
f x
. Chọn
suy ra
x 0;
x y z . Thay vào hệ phương trình ta được
5
6.
�
5 5 5�
�
0;0;0 ; �
�
�
�; ; �
6
6
6
�
�
�
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là
.
Bài toán 1.23: Giải các bất phương trình
a)
2 x 3 3 x 2 6 x 16 2 3 4 x
b)
x 2 2 x 3 x 2 6 x 11 3 x x 1
Hướng dẫn giải
www.LuyenThiThuKhoa.vn
20
Phone: 094 757 2201
�2 x 3 3x 2 6 x 16 �0
� 2 �x �4
�
4
x
�
0
�
a) ĐK
f x 2 x 3 3 x 2 6 x 16 4 x
Xét:
6 x 2 x 1
f ' x
2 2 x3 3x 2 6 x 1
f x
Suy ra
Do đó BPT:
1
0
2 4x
là hàm số đồng biến
f x f 1 � x 1
. Vậy
S 1; 4
�x 1 �0
�1 x 3
ۣ
�
3 x �0
�
b) Điều kiện:
x 2 2 x 3 x 1 x 2 6 x 11 3 x
BPT:
�
x 1
Xét hàm số
Đạo hàm:
2
2
2 3 x
y f t t 2 2 t , D 0; �
t
f ' x
Do đó BPT
x 3
2 x 1
t2 2
1
2 t
0
nên f đồng biến trên
1;3 .
� f x 1 f 3 x � x 1 3 x � x 2
Vậy nghiệm của bất phương trình
S 2;3
.
.
Bài toán 1.24: Giải các bất phương trình
3 x x2 2 x x2 1
a)
4
b)
x
4
2
�5
�
� 2 x 2 � 2 3 4 x 7
�2
�
Hướng dẫn giải
2
a) Đặt t x x , BPT:
Xét hàm số
f t 3 t 2 t , 3 �t �2
Với 3 t 2 thì
Ta có
3 t 2 t 1, 3 �t �2 .
f ' t
f 1 2 1 1
.
1
1
0
3;2 .
2 3t 2 2t
nên f đồng biến trên
nên bất phương trình:
f t f 1 � t 1 � x 2 x 1 0 �
www.LuyenThiThuKhoa.vn
1 5
1 5
x
2
2 .
21
Phone: 094 757 2201
2
�5
�
3
� 4 x 2 � 2 x � 2 3 4 x 7
0 �x �
�2
�
4 . PT
b) ĐK:
Với x 0 thì BPT không thỏa mãn. Với
3
4 thì BPT thỏa mãn.
x
2
�5
�
3
g x 4 x 2 � 2 x 2 � 2 3 4 x
0 x
�2
�
4 . Xét hàm số
Với
thì
4
4
�5
�
g ' x 8 x 8 x � 2 x 2 �
4 x 4 x 2 3
0
3 4x
�2
� 3 4x
1
� 3�
�1 �
�1 �
0; �
g � � 7
g x g � �� x
�
g x
2 . Vậy
�2 �
nên
nghịch biến trên � 4 �
, mà �2 � nên bất phương trình
�1 3 �
S �; �
�2 4 �.
tập nghiệm
Bài toán 1.25: Chứng minh phương trình:
x13 x 6 3x 4 3x 2 1 0 có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải
Đặt
f x x13 x 6 3x 4 3 x 2 1, D �
f x x 6 x 7 1 3 x 2 x 2 1 1 0
x
�
1
Xét
thì
: vô nghiệm
f x x13 1 x 2 0
Xét 0 �x 1 thì
: vô nghiệm
3
f ' x 13 x12 6 x 5 12 x 3 6 x
Xét x 0 thì
13 x12 6 x x 1 0
2
www.LuyenThiThuKhoa.vn
nên f đồng biến
22
Phone: 094 757 2201
Bảng biến thiên:
�
x
0
y'
+
y
1
�
f x 0
Nên
có nghiệm duy nhất x 0
Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất.
Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
�x 2 y 3 y 2 y a
�2
3
2
�y z z z a
�z 2 x 3 x 2 x a
�
Hướng dẫn giải
Xét hàm
f t t3 t2 t a
f ' t 3t 2 2t 1 0
có
do đó
f t
là hàm đồng biến. Hệ PT:
�x 2 f y
�
�2
�y f z
�2
�z f x
Không giảm tổng quát giả sử x lớn nhất trong 3 số.
f x
x ��
y �
z
- Xét
�z 2
x2
f y
f z
y 2 . Nếu z �0 thì x �y �z �0
y2
z2
f x
x y z
Nếu x 0�0����
x2
y2
�
x 2�
y 2��
z 2 x2
f y
z2
x
f z
y
x
y
z
z
y2 f z f 0 a � a 0
Nếu x 0 z . Khi đó
Lại có
z 2 f x f 0 a � z a
� y2 f z f a a
z �
y
- Xét x ��
z2
y2
2
a 1 �0
: vô lí.
x2
Tương tự như trên nếu y �0 hay x �0 ta suy ra x y z
Nếu
x 0 y � x2 f y f 0 a
z 2 f x f 0 a
www.LuyenThiThuKhoa.vn
. Nếu z a
23
Phone: 094 757 2201
�
thì x z� a
x2
z2
z2
y2
z2
� x y z trái với x 0 y
Nếu z a lí luận như trên ta dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y z t0 ở đó t0 là nghiệm duy nhất của phương trình:
t3 t2 t a 0 .
�x 2 y 3 1
�
�2
y x 3 1 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Bài toán 1.27: Chứng minh hệ �
Hướng dẫn giải
Trừ 2 phương trình vế theo vế và thay thế ta được:
x2 1 x y 2 1 y 0 � 1 y 3 1 x 1 x3 1 y 0
� 1 x 1 y �
1 y y 2 1 x x2 �
�
� 0
� 1 x 1 y y x 1 x y 0
1;0 . Xét y 1 thì hệ có nghiệm 0;1
Xét x 1 thì hệ có nghiệm
2
3
3
2
Xét x y thì x y 1 � x x 1 0
f x x3 x 2 1, D �
Đặt
. Ta có
f 1 1 �0
f ' x 3 x 2 2 x, f ' x 0 � x
.
2
3 hoặc x 0 .
BBT
x
�
−2/3
y'
+
y
0
−
f x 0
0
+
�
−23/27
�
Do đó
�
0
−1
x ;y
có 1 nghiệm duy nhất x0 0 , x0 �1 nên hệ có nghiệm 0 0 .
2
3
3
2
Xét 1 x y 0 � y x 1 nên y x 1 � x x 2 x 0
� x x2 x 2 0 � x 0
. Do đó hệ có nghiệm
0;1 .
Vậy hệ có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Bài toán 1.28: Tìm tham số để phương trình
a)
3
1 x 3 1 x a có nghiệm
www.LuyenThiThuKhoa.vn
24
Phone: 094 757 2201
x 2 mx 2 2 x 1 có 2 nghiệm phân biệt
b)
Hướng dẫn giải
a) Xét
f x 3 1 x 3 1 x , D �
f ' x
1
3 1 x
3
1
2
3 1 x
3
1 x 3 1 x
2
2
33 1 x .3 1 x
2
3
lim f x lim
x ��
x ��
Tương tự
3
x ��1
2
x ��
lim
2
3
, f ' x 0 � x 0
1 x 3 1 x lim
1 x
2
2
lim f x 0
x ��
3
x
2
1
3
x ��
3
1 x 3 1 x
x 1
2
0
. Lập BBT thì PT có nghiệm � 0 a �2 .
�
1
�2 x 1 �0
2
� �2
2 � 3 x 4 x 1 mx, x �
2
�x mx 2 2 x 1
b) PT
3x 2 4 x 1
1
m, x �
x
2
Vì x 0 không thỏa mãn nên:
Xét
f x
3x 2 4 x 1
1
3x 2 1
, x � , x �0
f ' x
x
2
x2
thì
BBT:
x
1
2
f'
�
0
+
+
�
f
9
2
�
�
Điều kiện phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
1
x
�
�۳
,x
� f x m
2
có 2 nghiệm phân biệt
0
m
9
2
Bài toán 1.29: Tìm m để phương trình
a)
2
�2
x x2 �
m x
34 x x 2
x
2
�
www.LuyenThiThuKhoa.vn
25
�
� 2
� có nghiệm
Phone: 094 757 2201
