[Toan 11]_Chu de 1. Luong giac - De bai

CHỦ ĐỀ 1.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 Bài 01: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I – ĐỊNH NGHĨA
1) Hàm số sin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x
sin x : �� �
x a y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sin x.
Tập xác định của hàm số sin là �.
2) Hàm số côsin
Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cosx
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = cos x.
Tập xác định của hàm số cô sin là �.
3) Hàm số tang

cos x : �� �
x a y = cosx

y=

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

sin x
cos x

( cosx �0) ,

kí hiệu là y = tan x.

�p
�
D = �\ �
.
� + kp, k ���
�
�2
�
�
�
Tập xác định của hàm số y = tan x là

4) Hàm số côtang
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức
D = �\ { kp, k ��} .
Tập xác định của hàm số y = cot x là

y=

cos x
sin x

( sin x �0) ,

kí hiệu là y = cot x.

II – TÍNH TUẦN HOÀN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1) Định nghĩa
y = f ( x)
Hàm số
có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T �0 sao cho với
x
�
D
mọi
ta có:
x
T �D và x +T �D.
●
f ( x +T ) = f ( x)
●
.
Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2p ; hàm số y = cos x tuần hoàn
với chu kì T = 2p ; hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = p ; hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì
T = p.

2) Chú ý
● Hàm số
● Hàm số
● Hàm số

y = sin( ax + b)

y = cos( ax + b)
y = tan( ax + b)

tuần hoàn với chu kì
tuần hoàn với chu kì
tuần hoàn với chu kì

www.LuyenThiThuKhoa.vn

T0 =

2p
a

T0 =

2p
a

p
T0 =
a

1

.
.
.

Phone: 094 757 2201


● Hàm số

y = cot( ax + b)

tuần hoàn với chu kì

T0 =

p
a

.

y = f1 ( x)
y = f2 ( x)
● Hàm số
tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số
tuần hoàn với chu kì T2 thì hàm số
y = f1 ( x) � f2 ( x)
tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 .

III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1) Hàm số y = sin x
● Tập xác định D = �, có nghĩa xác định với mọi x ��;
T = [- 1;1]
● Tập giá trị
, có nghĩa - 1�sin x �1;

sin x + k2p) = sin x
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2p, có nghĩa (
với k ��;

�p
�
p
�
- + k2p; + k2p�
�
�
�
�
�
2
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng � 2
và nghịch biến trên mỗi khoảng
�
�
p
3p
�
�
+ k2p; + k2p�
�
�
�
�2
�
2
, k ��;

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2) Hàm số y = cos x
● Tập xác định D = �, có nghĩa xác định với mọi x ��;
T = [- 1;1]
● Tập giá trị
, có nghĩa - 1�cosx �1;
cos( x + k2p) = cos x
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2p, có nghĩa
với k ��;
● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( - p + k2p; k2p) và nghịch biến trên mỗi khoảng ( k2p;p + k2p) ,
k ��;

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3) Hàm số y = tan x
●
●

�
�p
D = �\ � + kp, k ���
�;
�
�
�
�2
Tập xác định
Tập giá trị T = �;

tan( x + kp) = tan x
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa

với k ��;

●
●

�p
�
p
�
- + kp; + kp�
, k ��;
�
�
�
�
�
�
2
2
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

2

Phone: 094 757 2201


y

x


3
2





2

O




2

3
2

4) Hàm số y = cot x
● Tập xác định D = �\ { kp, k ��} ;
● Tập giá trị T = �;
tan( x + kp) = tan x
● Là hàm số tuần hoàn với chu kì p, có nghĩa
với k ��;
kp;p + kp) , k ��;

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
y

 2

www.LuyenThiThuKhoa.vn



3
2






2

3

O


2



3
2

2

x

Phone: 094 757 2201


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TẬP XÁC ĐỊNH
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số
A. D = �.

y=

B.

2017
.
sin x

D = �\ { 0} .

�
�p
D = �\ � + kp, k ���
.
�

�
�
�
�2
C.
D.
1- sin x
y=
.
cos x - 1
Câu 2. Tìm tập xác định D của hàm số
�p
�
D = �\ �
.
� + kp, k ���
�
�
�
D = �.
�
�2

D = �\ { kp, k ��} .

A.

B.

C. D = �\ { kp, k ��} .

D. D = �\ { k2p, k ��} .
y=

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số
�p
�
D = �\ �
k , k �Z�
.
�
�
2
�
�
A.
�
�
p
D = �\ �
.
( 1+ 2k) , k �Z�
�
�
�
�
2
�
�

C.

Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số
A. D = �.
�p
�
D = �\ �
.
� + k2p, k ���
�
�4
�
�
�
C.

Câu 5. Hàm số

B. D = �\ { kp, k �Z} .
D.
y=

D = �\ { ( 1+ 2k) p, k �Z} .
1
.
sin x - cos x

�p
�
D = �\ �

- + kp, k ���
�
�.
�4
�
�
�
B.
�p
�
D = �\ �
.
� + kp, k ���
�
�4
�
�
�

D.

1
1
y = tan x + cot x +
+
sin x cos x

� p
�
�

k2p; + k2p�
�
�
�
�
�
A. � 2
với k ��.
�
�
p
�
�
� + k2p;p + k2p�
�
�
�với k ��.
C. �2

1
.
� p�
�
sin�
x
�
�
�
�
� 2�

không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

�
�
3p
�
p + k2p; + k2p�
�
�
�
�
�với k ��.
2
B. �

D. ( p + k2p;2p + k2p) với k ��.

�
p�
y = cot�
2x - �
+ sin2x.
�
�
�
�
�
4�
Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số

�p
�
D = �\ �
.
� + kp, k ���
�
�4
�
�
�
A.
B. D = �.
�
p
�p
D = �\ � + k , k ���
�.
�8
�
2
�
�
C.

D. D = �.

�
x p�
y = 3tan2 �
- �

.
�
�
�
�
�
2
4�
D
Câu 7. Tìm tập xác định
của hàm số
�
�3p
�p
�
D = �\ � + k2p, k ���
D = �\ � + k2p, k ���
.
�.
�
�
�
�
�
�
�2
�2
A.
B.
�3p

�
�p
�
D = �\ �
D = �\ � + kp, k ���
.
� + kp, k ���.
�
�
�
�
�
�
�2
�2

C.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

D.

4

Phone: 094 757 2201


Câu 8. Hàm số

y=

cos2x
1+ tan x

không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?

�
�
p
3p
�
+ k2p; + k2p�
�
�
�
�
�
4
A. �2
với k ��.
�
�
3p
3p
�
+ k2p; + k2p�
�
�
�
�

�với k ��.
2
C. �4

Câu 9. Tìm tập xác định D của hàm số

�p
�
p
�
- + k2p; + k2p�
�
�
�
�
�
2
B. � 2
với k ��.
�
�
3p
�
p + k2p; + k2p�
�
�
�
�
�với k ��.
2

D. �
y=

�
�p
D = �\ � + k2p, k ���
.
�
�
�
2
�
�
A.
D = �\ { p + kp, k ��} .

C.

3tan x - 5
.
1- sin2 x

�
�p
D = �\ � + kp, k ���
.
�
�
�
2

�
�
B.

D. D = �.

Câu 10. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x + 2.
D = [- 2;+�) .
D = [ 0;2p].
A. D = �.
B.
C.

D. D = �.

Câu 11. Tìm tập xác định D của hàm số y = sin x - 2.
�\ { kp, k ��} .
D = [- 1;1.
]
A. D = �.
B.
C.

D. D = �.

y=

Câu 12. Tìm tập xác định D của hàm số
A.

D = �\ { kp, k ��} .

�
�p
D = �\ � + k2p, k ���
.
�
�
�
�
�2
C.

1
1- sin x

.

�
�p
D = �\ � + kp, k ���
.
�
�
�
�
�2
B.

D. D = �.

Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y = 1- sin2x - 1+ sin2x.
A. D = �.
B. D = �.
�
�
p
5p
D = � + k2p; + k2p�
, k ��.
�
�
6
6
�
�
C.

�
�
5p
13p
D = � + k2p;
+ k2p�
, k ��.
�
�
6
�6
�

D.
�
�
p
�
y = 5+ 2cot2 x - sin x + cot�
+ x�
.
�
�
�
�
�
2
Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số
�kp
�
�p
�
D = �\ �
.
D = �\ �
- + kp, k ���
� , k ���
�
�
�.
�
�
�

�
�
�
�2
�2
A.
B.

C. D = �.

D.

D = �\ { kp, k ��} .

�
�
p
y = tan�
.
�
� cos x�
�
�
�2
�
Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số
�p
�
�p
�

D = �\ �
D = �\ �
� + kp, k ���
�
� + k2p, k ���
�
�
�
�
�
�.
�.
�2
�2
A.
B.

C. D = �.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

D.

D = �\ { kp, k ��}

5

.

Phone: 094 757 2201

Vấn đề 2. TÍNH CHẴN LẺ
Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = sin x.
B. y = cos x.
C. y = tan x.
D. y = cot x.
Câu 17. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = - sin x.
B. y = cos x - sin x.
2

C. y = cos x + sin x.
D. y = cos x sin x.
Câu 18. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
y = sin2x.

y = x cos x.

y = sin x .

y = x2 sin x.

y = cosx.cot x.

A.
B.
C.
D.

Câu 19. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
y=

y=

tan x
.
sin x

x
.
cos x

A.
B.
C.
D. y = x + sin x.
Câu 20. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
� p�
y = sin3 x.cos�
x- �
.
�
�
�
�
�
2�
B.

A. y = sin x cos2x.
y=

tan x
.
tan2 x +1

3

C.
D. y = cos x sin x.
Câu 21. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
2

A. y = cos x + sin x.
B. y = sin x + cos x.
C. y = - cos x.
D. y = sin x.cos3x.
Câu 22. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
y=

y = cot4x.

sin x +1
.
cos x

2

A.

B.
C. y = tan x.
Câu 23. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
�
�
p
y = sin�
- x�
.
�
�
2
�
�
�
�
2
A.
B. y = sin x.

y=

D.

cot x
.
cos x

C.
Câu 24. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

2
A. y = 1- sin x.

B.

D.

y = cot x .

y=

tan x
.
sin x

y = cot x .sin2 x.

2
C. y = x tan2x - cot x.
D. y = 1+ cot x + tan x .
f x = sin2x
g x = tan2 x.
Câu 25. Cho hàm số ( )
và ( )
Chọn mệnh đề đúng
f ( x)
g( x)
A.
là hàm số chẵn,
là hàm số lẻ.

gx
là hàm số lẻ, ( ) là hàm số chẵn.
f x
gx
C. ( ) là hàm số chẵn, ( ) là hàm số chẵn.
f x
gx
D. ( ) và ( ) đều là hàm số lẻ.

B.

f ( x)

f ( x) =

Câu 26. Cho hai hàm số
f x
gx
A. ( ) lẻ và ( ) chẵn.
f ( x)

cos2x
1+ sin2 3x

g( x)

và

B.

g( x) =

f ( x)
f ( x)

và

sin2x - cos3x
2+ tan2 x

g( x)

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

chẵn.

g( x)

C.
chẵn,
lẻ.
D.
và
lẻ.
Câu 27. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
y=

1
.

sin3 x

� p�
�
y = sin�
x+ �
.
�
�
�
� 4�
B.

A.
Câu 28. Mệnh đề nào sau đây là sai?

� p�
�
y = 2cos�
x- �
.
�
�
�
� 4�D. y = sin2x.
C.

A. Đồ thị hàm số y = sin x đối xứng qua gốc tọa độ O.
B. Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy.
www.LuyenThiThuKhoa.vn

6

Phone: 094 757 2201


y = tan x

C. Đồ thị hàm số
đối xứng qua trục Oy.
y = tan x
D. Đồ thị hàm số
đối xứng qua gốc tọa độ O.
Câu 29. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
� p�
y = 2cos�
x+ �
+ sin( p - 2x) .
�
�
�
�
�
2�
A.
� p�
�
y = 2sin�
x+ �
- sin x.

�
�
�
� 4�
C.

� p�
� p�
y = sin�
x- �
+ sin�
x+ �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4
4�
B.

� p�
�

y = x4 + cos�
x- �
.
�
�
�
�
�
3
A.
2018
C. y = 2015+ cos x + sin x.

� p�
y = x2017 + cos�
x- �
.
�
�
�
�
� 2�
B.
2017
2018
D. y = tan x + sin x.

D. y = sin x + cos x.
Câu 30. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ ?

www.LuyenThiThuKhoa.vn

7

Phone: 094 757 2201


Vấn đề 3. TÍNH TUẦN HOÀN
Câu 31. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2p.
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2p.
C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2p.
D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì p.
Câu 32. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
y = sin x

y = x + sin x

y = x cos x.

y = cos x.

y = cos2x.

y = x2 cos x

y=

A.
B.

C.
D
Câu 33. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?
A.

B.

C.

.

� p�
�
y = sin�
5x - �
.
�
�
�
�
4�
Câu 34. Tìm chu kì T của hàm số
2p
5p
p
T =
.
T = .
T = .
5

2
2
A.
B.
C.
�
�
x
y = cos�
.
�
� + 2016�
�
�
�
�
2
Câu 35. Tìm chu kì T của hàm số
A. T = 4p.
B. T = 2p.
C. T =- 2p.

Câu 36. Tìm chu kì T của hàm số
A.

T =

1
.
50

B.

T =

1
.
100

Câu 37. Tìm chu kì T của hàm số
T = 4p.

T = p.

y=-

C.

T =

p
.
50

T = 2p.

A. T = 2p.
B. T = p.
C. T = 3p.
Câu 41. Tìm chu kì T của hàm số y = tan3px.

T =

2p
.
3

A.
B.
C.
y
=
tan3
x + cot x.
T
Câu 42. Tìm chu kì của hàm số
A. T = 4p.

B. T = p.

Câu 43. Tìm chu kì T của hàm số
A. T = 4p.

B. T = p.

p
T = .
8

D. T = p.

2
D. T = 200p .

x
y = cos2x + sin .
2

�
x
y = 3cos( 2x +1) - 2sin�
�
�
�
2
Câu 39. Tìm chu kì T của hàm số
A. T = 2p.
B. T = 4p
C. T = 6p
�
�
p�
y = sin�
2x + �
+ 2cos�
3x �
�
�
�
�
�

�
�
3�
Câu 40. Tìm chu kì T của hàm số

4
T = .
3

1
.
sin2x

1
sin( 100px + 50p) .
2

A.
B.
C.
y
=
cos3
x + cos5x.
Câu 38. Tìm chu kì T của hàm số
A. T = p.
B. T = 3p.
C. T = 2p.

p

T = .
3

y=

D.

D.

sin x
.
x

C. T = 3p.

D.

p
T = .
2

D. T = 5p.
�
3�
.
�
�
�

D. T = p.

�
p�
.
�
�
4�

D. T = 4p.

D.

1
T = .
3

D.

p
T = .
3

D.

p
T = .
3

x
y = cot + sin2x.
3

C. T = 3p.

�
x
p�
y = sin - tan�
2x + �
.
�
�
�
�
�
2
4�
Câu 44. Tìm chu kì T của hàm số

www.LuyenThiThuKhoa.vn

8

Phone: 094 757 2201


B. T = p.

A. T = 4p.

C. T = 3p.

D. T = 2p.

2

Câu 45. Tìm chu kì T của hàm số y = 2cos x + 2017.
A. T = 3p.
B. T = 2p.
C. T = p.
2

D. T = 4p.

2

Câu 46. Tìm chu kì T của hàm số y = 2sin x + 3cos 3x.
A. T = p.

B. T = 2p.

C. T = 3p.

D.

p
T = .
3

2

Câu 47. Tìm chu kì T của hàm số y = tan3x - cos 2x.
p
T = .
3

A. T = p.
B.
Câu 48. Hàm số nào sau đây có chu

p
T = .
2
C.
p
kì khác ?

�
�
p
y = sin�
- 2x�
.
�
�
�
�
�
�
3
A.

y = tan( - 2x +1) .

D. T = 2p.

� p�
y = cos2�
x+ �
.
�
�
�
�
�
4�
B.
D. y = cos x sin x.

C.

Câu 49. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2p ?
y = cos3 x.

x
x
y = sin cos .
2
2

y = sin2 ( x + 2) .

A.
B.
C.
Câu 50. Hai hàm số nào sau đây có chu kì khác nhau?
A.
C.

y = cos x
y = sin

x
2

�x �
�
y = cos2 �
+1�
.
�
�
�
�
�
2
D.

và

x
y = cot .

2

B. y = sin x và y = tan2x.

và

x
y = cos .
2

D. y = tan2x và y = cot2x.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

9

Phone: 094 757 2201


Vấn đề 4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Câu 51. Cho hàm số y = sin x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
�
p �
�
;p�
�
�
�
�
�

�
2
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
, nghịch biến trên khoảng
� 3p p �
�
;- �
�
�
�
�
� 2
2�

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

� 3p �
�
�
p; �
�
�
� 2�
�.

� p p�
�
- ; �
�
�

�
�
�
, nghịch biến trên khoảng 2 2�.
�p �
�
- ;0�
�
�
�
�
�2 �

� p�
�
�
0; �
�
�
�
�
�, nghịch biến trên khoảng
2
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
� p p�
�
- ; �
�
�
�

�
� 2 2�

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

�
�
p 3p �
�
; �
�
�
�
�
�.
2
2
, nghịch biến trên khoảng

�
31p 33p �
�
x ��
;
�
�
�
�

�
4
4 �
Câu 52. Với
, mệnh đề nào sau đây là đúng?
y = cot x
A. Hàm số
nghịch biến.
B. Hàm số y = tan x nghịch biến.
C. Hàm số y = sin x đồng biến.
D. Hàm số y = cosx nghịch biến.
� p�
x ��
0; �
�
�
�
�
�
4�
Câu 53. Với
, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Cả hai hàm số y = - sin2x và y = - 1+ cos2x đều nghịch biến.

B. Cả hai hàm số y = - sin2x và y = - 1+ cos2x đều đồng biến.
C. Hàm số y = - sin2x nghịch biến, hàm số y = - 1+ cos2x đồng biến.
D. Hàm số y = - sin2x đồng biến, hàm số y = - 1+ cos2x nghịch biến.
Câu 54. Hàm số y = sin2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
� p�
�

�
0; �
�
�
�
�
A. 4�.

�
�
p �
�
;p�
�
�
�
�
B. 2 �.

� 3p �
�
p; �
�
�
�
�
�
2�
C.
.

�
�
3p
�
;2p�
�
�
�
�
�
�
D. 2
.
� p p�
�
- ; �
�
�
�
�
� 3 6�

Câu 55. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng
�
p�
y = tan�
2x + �
�
�

�
�
�.
6�
A.
�
p�
y = sin�
2x + �
�
�
�
�
�
6�

C.

.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

?

�
p�
y = cot�
2x + �
�
�

�
�
�
6�
B.
.
�
�
p
y = cos�
2x + �
�
�
�
�
�.
6�
D.

10

Phone: 094 757 2201


Vấn đề 5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
� p�
y = cos�
x- �
�
�

�
�
C
�
2�
Câu 56. Đồ thị hàm số
được suy từ đồ thị ( ) của hàm số y = cosx bằng cách:
p
.
C)
(
A. Tịnh tiến
qua trái một đoạn có độ dài là 2
p

.
C
B. Tịnh tiến ( ) qua phải một đoạn có độ dài là 2
p

.
C
C. Tịnh tiến ( ) lên trên một đoạn có độ dài là 2
p

.
C
D. Tịnh tiến ( ) xuống dưới một đoạn có độ dài là 2
C
Câu 57. Đồ thị hàm số y = sin x được suy từ đồ thị ( ) của hàm số y = cos x bằng cách:

p

.
C
A. Tịnh tiến ( ) qua trái một đoạn có độ dài là 2
p

.
C
B. Tịnh tiến ( ) qua phải một đoạn có độ dài là 2
p

.
C
C. Tịnh tiến ( ) lên trên một đoạn có độ dài là 2
p

.
C
D. Tịnh tiến ( ) xuống dưới một đoạn có độ dài là 2
C
Câu 58. Đồ thị hàm số y = sin x được suy từ đồ thị ( ) của hàm số y = cos x +1 bằng cách:
p

C
A. Tịnh tiến ( ) qua trái một đoạn có độ dài là 2 và lên trên 1 đơn vị.
p

C
B. Tịnh tiến ( ) qua phải một đoạn có độ dài là 2 và lên trên 1 đơn vị.

p

C
C. Tịnh tiến ( ) qua trái một đoạn có độ dài là 2 và xuống dưới 1 đơn vị.
p

C
D. Tịnh tiến ( ) qua phải một đoạn có độ dài là 2 và xuống dưới 1 đơn vị.
Câu 59. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = 1+ sin2x. B. y = cos x.
C. y = - sin x.
D. y = - cos x.
Câu 60. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

11

Phone: 094 757 2201


Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
x
y = sin .
2

x
y = cos .
2

x
y = - cos .
4

� x�
y = sin�
- �
.
�
�
�
�
�
2�
D.

A.
B.
C.
Câu 61. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y = cos

2x

.
3

y = sin

2x
.
3

y = cos

3x
.
2

y = sin

3x
.
2

A.
B.
C.
D.
Câu 62. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
� p�

�
y = sin�
x- �
.
�
�
�
�
4�
A.
� p�
�
y = 2sin�
x+ �
.
�
�
�
�
4�
C.

� 3p �
�
y = cos�
x+ �
.
�
�
�

�
4�
B.
� p�
y = cos�
x- �
.
�
�
�
�
� 4�

D.
Câu 63. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

12

Phone: 094 757 2201


Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
� p�
�
y = sin�
x- �
.

�
�
�
� 4�
A.
� p�
�
y = 2sin�
x+ �
.
�
�
�
� 4�
C.

� p�
y = cos�
x- �
.
�
�
�
�
� 4�
B.
� p�
�
y = 2cos�
x+ �

.
�
�
�
� 4�
D.

Câu 64. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y = sin x .

y = sin x .

A. y = sin x.
B.
C.
D. y = - sin x.
Câu 65. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = cos x.

B. y = - cos x

C. y = cos x .

D. y = cos x .

Câu 66. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

13

Phone: 094 757 2201


Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y = sin x .

y = sin x .

y = cos x .

y = cos x .

y = tan x .

y = cot x .

A.
B.
C.
D.
Câu 67. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = tan x.
B. y = cot x.
C.
D.
Câu 68. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
� p�
y = sin�
x- �
- 1.
�
�
�
�
�
2�
A.
� p�
�
y =- sin�
x- �
- 1.
�
�
�
�

2�
C.

� p�
�
y = 2sin�
x- �
.
�
�
�
�
2�
B.
� p�
�
y = sin�
x+ �
+1.
�
�
�
�
2�
D.

Câu 69. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

14

Phone: 094 757 2201


Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
y = 1+ sin x .

y = sin x

y = 1+ cos x

y = 1+ sin x

A.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 70. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. y = 1+ sin x . B. y = sin x .

www.LuyenThiThuKhoa.vn

C. y = 1+ cosx .

15

D. y = 1+ sin x .

Phone: 094 757 2201


Vấn đề 6. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Câu 71. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3sin x - 2.
A. M = 1, m= - 5.
B. M = 3, m= 1.
C. M = 2, m= - 2.
D. M = 0, m= - 2.
Câu 72. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 3cos2x + 5.
T = [- 1;1.
T = [- 1;11.
T = [ 2;8].
T = [ 5;8].
]
]
A.
B.
C.
D.
Câu 73. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 5- 3sin x.
T = [- 1;1.
T = [ - 3;3].
T = [ 2;8].

]
A.
B.
C.

D.

T = [ 5;8].

� p�
y = - 2sin�
x+ �
+2
�
�
�
�
�
3�
Câu 74. Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
y
�4,
"
x
��
.
A.
B. y �4, " x ��.

C. y �0, " x ��.
D. y �2, " x ��.
Câu 75. Hàm số y = 5+ 4sin2x cos2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Câu 76. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = - 2sin( 2016x + 2017) .
A. m= - 2016 2.

B. m= - 2.

Câu 77. Tìm giá trị nhỏ nhất
1
m= .
2

m=

m

1

C. m= - 1.

của hàm số

y=

D. m= - 2017 2.

1
.
cos x +1

.

2
A.
B.
C. m= 1.
D. m= 2.
Câu 78. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x . Tính
P = M - m.

A. P = 4.
B. P = 2 2.
C. P = 2.
Câu 79. Tập giá trị T của hàm số y = sin2017x - cos2017x.
T =�
- 2; 2�
.
�
�
A. T = [- 2;2]. B. T = [- 4034;4034]. C.

D. P = 2.
D.

T =�

0; 2�
.
�
�

� p�
y = sin�
x+ �
- sin x
�
�
�
�
� 3�
Câu 80. Hàm số
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
1.
2.
A.
B.
C. 3.
D. 4.
4
4
Câu 81. Hàm số y = sin x - cos x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x0 = k2p, k ��.
B. x0 = kp, k ��.

C.

x0 = p + k2p, k ��.

D.

x0 =

p
+ kp, k ��.
2

Câu 82. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1- 2 cos3x .
A. M = 3, m= - 1.
B. M = 1, m=- 1.
C. M = 2, m= - 2.
D. M = 0, m= - 2.
�
p�
y = 4sin2 x + 2sin�
2x + �
.
�
�
�
�
�
4�
Câu 83. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
A. M = 2.
B. M = 2 - 1.
C. M = 2 +1.

D. M = 2 + 2.
6
6
Câu 84. Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin x + cos x.

A.

T = [ 0;2].

B.

Câu 85. Cho hàm số

�
1 �
T = �;1�
.
�
�
2 �
�

y = cos4 x + sin4 x

www.LuyenThiThuKhoa.vn

C.

�
1 �

T = �;1�
.
�
�
4 �
�

D.

� 1�
T =�
0; �
.
� 4�
�
�

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
16

Phone: 094 757 2201


2
y � , " x ��.
y
�
2,
"
x

��
.
2
A.
B.
C.
D.
y = 1+ 2cos2 x
x
=
x
0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 86. Hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại
p
x0 = + kp, k ��.
x
=
p
+
k
2
p
,
k
��
.
0
2
A.

B.
C. x0 = k2p, k ��.
D. x0 = kp, k ��.
y �2, " x ��.

y �1, " x ��.

2
2
Câu 87. Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số y = sin x + 2cos x.
A. M = 3, m= 0.
B. M = 2, m= 0.
C. M = 2, m= 1.

Câu 88. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số
A.

1
M= .
2

B.

2
M= .
3

y=

D. M = 3, m= 1.

2
.
1+ tan2 x

C. M = 1.

D. M = 2.

2
Câu 89. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 8sin x + 3cos2x . Tính

P = 2M - m2.
A. P = 1.

B. P = 2.

C. P = 112.

D. P = 130.

2
Câu 90. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2sin x + 3sin2x .
A. m= 2- 3. B. m=- 1.
C. m= 1.
D. m= - 3.
Câu 91. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 12sin x - 5cos x.
T = [- 1;1.
T = [- 7;7].
T = [- 13;13].

T = [- 17;17].
]
A.
B.
C.
D.
Câu 92. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4sin2x - 3cos2x.
A. M = 3.
B. M = 1.
C. M = 5.
D. M = 4.
2
Câu 93. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x- 4sin x + 5 . Tính

P = M - 2m2.
A. P = 1.

B. P = 7.

C. P = 8.

D. P = 2.

2

Câu 94. Hàm số y = cos x - cos x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

2
Câu 95. Hàm số y = cos x + 2sin x + 2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.
C.

p
+ k2p, k ��.
2
x0 = p + k2p, k ��.
x0 =

B.
D.

p
+ k2p, k ��.
2
x0 = k2p, k ��.

x0 =-

4
2
Câu 96. Tìm giá trị lớn nhất M và nhất m của hàm số y = sin x- 2cos x +1
A. M = 2, m= - 2.
B. M = 1, m= 0.
C. M = 4, m= - 1.
D. M = 2, m= - 1.
4

Câu 97. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 4sin x - cos4x .
A. m= - 3.
B. m= - 1.
C. m= 3.
D. m= - 5.

Câu 98. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
A. M = 10, m= 2.

m

2
của hàm số y = 7- 3cos x.

B. M = 7, m= 2.

C. M = 10, m= 7.
D. M = 0, m= 1.
Câu 99. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một
�p
�
y = 4sin � ( t - 60) �
+10
�
�
178
�
�
hàm số
với t �� và 0 < t �365 . Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều

giờ có ánh sáng mặt trời nhất?
A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5.
www.LuyenThiThuKhoa.vn

C. 30 tháng 5.
17

D. 31 tháng 5.
Phone: 094 757 2201


Câu 100. Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong
�
�
pt p �
h = 3cos�
+ �
+12.
�
�
�
�
8 4�
kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức
Mực nước của kênh

cao nhất khi:
A. t = 13 (giờ). B. t = 14 (giờ).

www.LuyenThiThuKhoa.vn

C. t = 15 (giờ).

18

D. t = 16 (giờ).

Phone: 094 757 2201


 Bài 02. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1) Phương trình sin x = a
Trường hợp

a > 1��
�

phương trình vô nghiệm, vì - 1�sin x �1 với mọi x .

Trường hợp

a �1��
�

phương trình có nghiệm, cụ thể:

▪

� 1

�
a ��
0;
;
�
�
� 2

� 1
�
a ϱ���
0;
;
�
�
� 2

�
3
; 1�
�
�
2
�. Khi

2
;
2

2

;
2

▪
2) Phương trình cosx = a
Trường hợp

a > 1��
�

đó

�
x = a + k2p
sin x = a � sin x = sin a � �
,�
�
k ��
�
x = p - a + k2p
�
.
�
�
3
x = arcsin a + k2p
; 1�
sin x = a � �
,�
�

k ��
�
�
�
2
x = p - arcsin a + k2p
�. Khi đó
�
.

phương trình vô nghiệm, vì - 1�cos x �1 với mọi x .

�
Trường hợp a �1��
phương trình có nghiệm, cụ thể:

▪

�
1
�
a ��
0;
;
�
� 2
�

�
3

; 1�
�
�
2
�. Khi

2
;
2

đó

�
x = a + k2p
cos x = a � cos x = cosa � �
,�
�
k ��
�
x = - a + k2p
�

.

�
1
�
a ϱ���
0;
;

�
�
� 2

2
;
2

▪
3) Phương trình tan x = a
Điều
●

�
3
; 1�
�
�
2
�

. Khi đó

�
x = arccosa + k2p
cos x = a � �
,�
�
k ��
�

x = - arccosa + k2p
�
.

p
x � + kp ( k ��) .
2
kiện:
�
�
1
�
a �
0;
; 1; 3�
�
�
�
�
3
�
�

�
k ��.
. Khi đó tan x = a � tan x = tan a � x = a + kp,�

�
1
�

a ϱ��
0;
; 1;
�
�
3
�

�
3�
�
�
�. Khi

�
k ��.
đó tan x = a � x = arctan a+ kp,�

●

�
1
�
a �
0;
; 1;
�
�
3
�

�
3�
�
�
�. Khi

�
k ��.
đó cot x = a � cot x = cot a � x = a + kp,�

●

�
1
�
a ϱ��
0;
; 1;
�
�
3
�

�
3�
�
�
�. Khi

�
k ��.
đó cot x = a � x = arccot a+ kp,�

●
4) Phương trình cot x = a
x �p + kp ( k ��) .
Điều kiện:

www.LuyenThiThuKhoa.vn

19

Phone: 094 757 2201


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
�
�
2x p �
sin�
- �
=0
�
�
�
Câu 1. Giải phương trình �3 3� .

A.
C.

x = kp ( k ��) .

B.

p
x = + kp ( k ��) .
3

D.

Câu 2. Số nghiệm của phương trình
A. 2.
B. 4.

x=

2p k3p
+
( k ��) .
3
2

x=

p k3p
+
( k ��) .
2
2

sin( 2x- 400 ) =

3
0
0
2 với - 180 �x �180 là?

C. 6.

D. 7.

�
p� 1
sin�
2x + �
�
�
�=
�
Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình � 3� 2 trên đường tròn lượng giác là?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
D. 6.
Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

A.

�

x = k2p
�
� p
( k ��) .
�
x = + k2p
�
� 4

C.

p
x = k ( k ��) .
4

Câu 5. Gọi

x0

B.

�
x = kp
�
� p
p ( k ��) .
�
x = +k
�
2

� 4

D.

p
x = k ( k ��) .
2
2cos2x
=0
1- sin2x
.

là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

� p�
�
x0 ��
0; �
.
�
�
�
� 4�
A.

�
p p�
x0 ��; �
.
�

4 2�
�
�

�
�
p 3p �
x0 ��
; �
.
�
�
�
�2 4 �
C.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

�
3p �
x0 �� ;p�
.
�
�4 �
�

B.
D.
( sin x +1) ( sin x - 2) = 0
- 2017;2017]

Câu 6. Hỏi trên đoạn [
, phương trình
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
4034.
4035.
641.
642.
A.
B.
C.
D.
Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
A.

p
9.

Câu 8. Gọi
A.
C.

-

B.
x0

p
6.

C.

p
6.

D.

là nghiệm âm lớn nhất của phương trình

x0 �( 300;00 )

.

x0 �( 60 ;- 45
0

0

B.

).

D.

�p
�
�
- ;2p�
�
�
�2

�

Câu 9. Hỏi trên đoạn
A. 2 .
B. 3 .

x0 �( 90 ;- 60

cos x =

, phương trình
C. 4 .

13
14

0

bằng:

p
9.

cos( 5x- 450 ) =

x0 �( 450;- 300 )
0

-

�
p� 3
sin�
3x - �
=
�
�
�
�
�
4�
2

3
2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

.

).

có bao nhiêu nghiệm?
D. 5 .

�
�
x
cos�
+150 �
�= sin x.
�

�
�
�
�
2
Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
0
0
0
0
A. 290 �X .
B. 20 �X .
C. 220 �X .
D. 240 �X .
0;2p].
Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin2x - cosx = 0 trên [

A.

T = 3p.

Câu 12. Trên
A. 3 .

5p
.
2
B.
C. T = 2p.

D. T = p.
�
�
�
�
p
p
�
;2p�
cos�
- 2x�
�
�
�
�
�
�= sin x
�
�
�
�
6
khoảng �2 �, phương trình
có bao nhiêu
T =

B.

4.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

C.

5.

D.

20

nghiệm?

2.

Phone: 094 757 2201


(
Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình
0
0
0
A. 0 .
B. - 30 .
C. 30 .
Câu 14. Giải phương trình cot( 3x- 1) = - 3.

tan 2x- 150 ) = 1

A.

1 5p
p
x = + + k ( k ��) .
3 18
3

C.

5p
p
x=
+ k ( k ��) .
18
3

- 900 ;900 )
trên khoảng (
bằng:
0
D. - 60 .

B.

1 p
p
x = + + k ( k ��) .
3 18
3

D.

1 p
x = - + kp ( k ��) .
3 6

�
�
p
y = tan�
- x�
�
�
�
�
�
�và y = tan2x bằng nhau?
4
Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số
p
p
p
p
x = + k ( k ��) .
x = + k ( k ��) .
12
3
4
2
A.

B.

C.

x=

p
+ kp ( k ��) .
12

Câu 16. Số nghiệm của phương trình
A. 1
B. 2.

D.

x=

tan x = tan

p
p
+k
12
3
3p
11

� 3m+1
�

�
�
k�
; k, m���
.
�
�
�
�
�
2

�
�
p
�
;2p�
�
�
�
�
trên khoảng �4 �là?

C. 3.

D. 4.

0;p
Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan5x - tan x = 0 trên nửa khoảng [ ) bằng:
3p

A. p .
B. 2 .
C. 2p .
tan3
x
.cot2
x
=
1.
Câu 18. Giải phương trình

A.
C.

x=k

p
( k ��) .
2

B.

x = kp ( k ��) .

D.

5p
2 .

p

p
+ k ( k ��) .
4
2

x =-

D. Vô nghiệm.

� p�
�
�
p�
tan�
x+ �
- 1= 0
sin�
2x - �
�
�
�
�
�
�
�
� 2�
Câu 19. Cho
. Tính � 6�.
�
�

p� 1
p� 3
sin�
2x - �
sin�
2x - �
.
�
�=
�
�
�= - 2.
�
�
�
�
�
� 2
6
6�
A.
B.
�
p�
3
sin�
2x - �
=.
�
�

�
�
�
6�
2

�
p� 1
sin�
2x - �
�
�
�= .
�
D. � 6� 2

C.
Câu 20. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x = 1?
2
2
2
A.
B.
.
C. cot x = 1 .
D. cot x = 1.
Câu 21. Giải phương trình cos2x tan x = 0.
� p
�=
x

+ kp
� 2
( k ��) .
p
�
x = k ( k ��) .
x
=
k
p
�
�
2
sin x =

2
2 .

cos x =

A.

B.

� p
p
�=
x
+k
� 4

2 ( k ��) .
�
x = kp
�
�

p
+ kp ( k ��) .
2
số m để phương trình sin x = m

x=

C.
D.
Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham
có nghiệm.
m�
1.
m�1.
1
�
m
�
1.
m�1.
A.
B.
C.
D.

m
Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số
để phương trình cos x - m= 0 vô nghiệm.
m�m�( 1;+�) .
( �;- 1) �( 1;+�) .
A.
B.
m�m�( - �;- 1) .
[ 1;1.]
C.
D.
Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x = m+1 có nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

21

Phone: 094 757 2201


�
p�
cos�
2x - �
- m= 2
�

�
�
�
�
3�
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
có
nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T = 6.

B. T = 3.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

C. T = - 2.

22

D. T = - 6.

Phone: 094 757 2201


 Bài 03. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at + b = 0
a�0)
trong đó a, b là các hằng số (

và t là một hàm số lượng giác.
Cách giải. Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho

a,

ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

2) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx
Định nghĩa. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx là phương trình có dạng
asin x + bcos x = c
2
2
2
Cách giải. Điều kiện để phương trình có nghiệm: a + b �c .
2
2
Chia hai vế phương trình cho a + b , ta đựợc

a
2

2

a +b
2

b

sin x +

2

� a
�
�
b
� �
�
�
�
�
�
�
+�
=1
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
�
� a +b �
� �
�
� a +b �

2

a +b

a

Do
nên đặt
Khi đó phương trình trở thành

2

2

2

a +b

cosa sin x + sin a cos x =

= cosa ��
�

c
2

2

a +b

c

cos x =

2

a + b2

b
2

a + b2

.

= sin a.

� sin( x + a ) =

c
2

a + b2

.

3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
at2 + bt + c = 0

a�0)
trong đó a, b, c là các hằng số (
và t là một hàm số lượng giác.
Cách giải. Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương
trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.
4) Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx
Định nghĩa. Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx là phương trình có dạng

asin2 x + bsin x cos x + ccos2 x = 0

Cách giải.
● Kiểm tra cos x = 0 có là nghiệm của phương trình.
2
● Khi cos x �0 , chia hai vế phương trình cho cos x ta thu được phương trình

atan2 x + btan x + c = 0.

Đây là phương trình bậc hai đối với tan x mà ta đã biết cách giải.
2
2
Đặc biệt. Phương trình dạng asin x + bsin x cosx + ccos x = d ta làm như sau:
2
2
Phương trình � asin x + bsin x cos x + ccos x = d.1

� asin2 x + bsin x cos x + ccos2 x = d( sin2 x + cos2 x)
� ( a- d) sin2 x + bsin x cos x +( c- d) cos2 x = 0.

5) Phương trình chứa sin x �cos x và sin x.cos x
Định nghĩa. Phương trình chứa sin x �cosx và sin x.cosx

a( sin x �cos x) + bsin x cos x + c = 0
Cách giải. Đặt t = sin x �cos x (điều kiện - 2 �t � 2 )
Biểu diễn sin x.cosx theo t ta được phương trình cơ bản.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

23

Phone: 094 757 2201


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cosx- 3 = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

5p
�S.
6

B.

11p
�S.
6

C.

13p
�S.
6

D.

-

13p
�S.
6

7p
x=
3

Câu 2. Hỏi
là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2sin x- 3 = 0.
B. 2sin x+ 3 = 0.
C. 2cos x- 3 = 0.
D. 2cos x+ 3 = 0.
Câu 3. Tìm nghiệm dương nhỏ
A.

p
x= .
4

B.

x=

7p
.
24

�
p�
2sin�
4x - �
- 1= 0.
�
�
�
�
�
3�
nhất của phương trình
p
p
x= .
x= .
8
12
C.
D.
�
p�
tan�

2x - �
+ 3= 0
�
�
�
�
�
3�

Câu 4. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là?
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1.
0;2018p]
Câu 5. Hỏi trên đoạn [
, phương trình 3cot x- 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
6339.
6340.
A.
B.
C. 2017.
D. 2018.
2
Câu 6. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 2cos x = 1?
2
.
2

sin x =

2

A.
B. 2sin x+ 2 = 0. C. tan x = 1.
D. tan x = 1.
2
Câu 7. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x = 3 ?
cos x = -

1
.
2

2

A.
B. 4cos x = 1.
2
Câu 8. Giải phương trình 4sin x = 3 .

A.

� p
�=
x
+ k2p
� 3
, ( k ��) .

�
�
p
x = - + k2p
�
3
�

C.

B.

� p kp
�
�x = +
� 3 3 ( k, l ��) .
�
�
k �3l
�

cot x =

1
3

.

D.

cot x = -

1
3

.

� p
�=
x
+ k2p
� 3
, ( k ��) .
�
� 2p
x=
+ k2p
�
� 3
� kp
�
�x =
3 ( k, l ��) .
�
�
�
k �3l
�

C.

D.
2
2
Câu 9. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình 3sin x = cos x ?
A.

1
sin x = .
2

B.

cos x =

3
.
2

C.

3
sin2 x = .
4

2
D. cot x = 3.

3

cos2 ( 6px) =

0;1)
(
4 có bao nhiêu nghiệm?
Câu 10. Với thuộc
, hỏi phương trình
A. 8.
B. 10.
C. 11.
D. 12.
Câu 11. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3cosx + m- 1= 0 có nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 2108;2018] để phương trình mcosx+1= 0
x

có nghiệm?
A. 2018.

B. 2019.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

C. 4036.

24

D. 4038.

Phone: 094 757 2201


p

Câu13. Tìm giá trị thực của tham số
A. m�2.

B.

m=

(

2

).

m

x=
12 làm nghiệm.
để phương trình ( m- 2) sin2x = m+1 nhận

3 +1
3- 2

C. m= - 4.

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số

A. m�- 1.

1
m� .
2

m

D. m= - 1.
m+1) sin x + 2- m= 0
để phương trình (
có nghiệm.

1
- 1< m� .
2

D. m>- 1.
m- 2) sin2x = m+1
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (
vô nghiệm.
A.

B.

�
1 �
m��;2�
.
�

�
2 �
�

�
1 �
m��
;2�
�( 2;+�) .
�
�
�
�
�
�
2
C.

www.LuyenThiThuKhoa.vn

C.

�
1�
m��
- �; �
�( 2;+�) .
�
�
�

�
�
2�
B.
�
�
1
m��
;+��
.
�
�
�
�
�
�
2
D.

25

Phone: 094 757 2201