Sáng kiến kinh nghiêm Phân loại các dạng toán tính Tích Phân

SỞ GD&ĐT TUYÊN QUANG

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHIÊM HOÁ

Độc lập - tự do - hạnh phúc

Chiêm Hoá, ngày 20 tháng 5 năm 2016

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CHIẾN SĨ THI ĐUA CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC 2015 – 2016

Họ và tên người thực hiện: Đoàn Ngọc Hải
Môn dạy: Toán
Tổ chuyên môn: Toán
Đơn vị công tác: Trường THPT Chiêm Hóa
Nhiệm vụ được giao năm học 2015- 2016:
+ Dạy toán các lớp : 12C3 , 12C4 , 12C7, 10A7.
1. Tên sáng kiến kinh nghiệm:
“Phân loại các dạng toán tính Tích Phân giúp học sinh các lớp 12C3, 12C4,
12C7 trong năm học 2015-2016 giải tốt các bài tập”
2. Mô tả sáng kiến kinh nghiệm:
a) Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng
Năm học 2015- 2016 là năm thứ hai đổi mới về phương thức thi cử và xét
tuyển đối với học sinh THPT điều này gây không ít khó khăn và làm cho học
sinh lo lắng, trước sự đổi mới này tôi nhận thấy trách nhiệm của người thầy vô
cùng lớn lao, là người góp phần vào kết quả cuối cùng của học sinh, bản thân tôi
là một giáo viên dạy bộ môn Toán trường THPT Chiêm Hóa đã nhiều năm giảng
dạy qua nhiều thế hệ, thường xuyên tham gia ôn luyện thi tốt nghệp và luyện thi
đại học, cao đẳng, từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy kiến thức, nâng cao

chuyên môn tôi thấy bài toán tính tích phân, thường xuyên xuất hiện trong các
đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học trước đây và đề thi THPT Quốc Gia năm
2015, theo nhận định của bản thân tôi nhiều học sinh làm bài toán này chưa thật
tốt, còn có những sai lầm đáng tiết chỉ vì còn thụ động và chưa nắm vững được
các dạng toán này chính vì vậy trong bản sáng kiến, kinh nghiệm năm nay tôi
chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các dạng phức tạp, đưa ra
phương pháp giải với từng dạng và chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường
mắc phải, với nội dung này rất mong được sự góp ý của các đồng chí đồng
nghiệp để đề tài này ngày càng được hoàn thiện hơn.

1


b) Ý tưởng:
Trong thực tế khi giảng dạy học sinh về bài toán tính tích phân, tôi thấy
học sinh giải bài toán này một cách thụ động và còn gặp khó khăn, từ thực tế đó
tôi đã có một ý tưởng giúp cho các em học tốt hơn về dạng bài toán này, bằng
cách hướng dẫn cụ thể cho học sinh cách giải:
Khi giải bài toán tính tích phân thì học sinh phải nhận biết được tích phân
cần tính ở loại nào, khi đó mới có phương pháp phù hợp để tính.
Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra
phương pháp chia thành ba dạng toán về tích phân để mọi đối tượng học sinh dễ
tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập...
3. Nội dung công việc:
+ Công việc đầu tiên tôi làm là cho học sinh lớp 12C3, 12C4, 12C7 làm
bài kiểm tra về nguyên hàm và kết quả đạt được:
Lớp

Sĩ số

12C3
12C4
12C7

36
32
35

Xếp loại
Khá
Trung bình
2,8%
47,2%
15,6%
40,65%
2,8%
14,28%

Giỏi

Yếu
50%
43,75%
82,92%

+ Công việc tiếp là nhắc lại bảng nguyên hàm cơ bản và định nghĩa của
tích phân
+ Công việc tiếp theo là phân tích cho học sinh muốn tính được tích phân
của một hàm số thì ta phải tìm được nguyên hàm của hàm số đó.
+ Tiếp theo nữa tôi đưa ra cho học sinh các dạng toán sau đây:

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất
- Sử dụng tính chất và bảng nguyên hàm
- Sử dụng vi phân
- Tích phân của hàm hữu tỷ:
- Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Tích phân của hàm lượng giác
Dạng 2: Đổi biến số
- Đổi biến số loại I
- Đổi biến số loại II
+ Tích phân hàm vô tỷ
+ Tích phân hàm lượng giác
+ Tích phân một số hàm đặc biệt

2


Dạng 3: Từng phần
- Tích phân từng phần của các dạng toán cơ bản
- Tích phân từng phần của một số hàm khác
+ Đưa ra các dạng bài toán trên đồng thời lấy các ví dụ minh họa cho từng
dạng, cuối cùng đưa ra các bài tập liên quan để học sinh về nhà làm thêm, cuối
cùng kiểm tra đánh giá kết quả.
4. Triển khai thực hiện:
a) Thời gian thực hiện:
- Thời gian thực hiện bắt đầu từ tháng 02/2015 đến tháng 4/2016.
- Sáng kiến này được thực hiện trong phạm vi lớp 12C3, 12C4, 12C7 Là
những buổi ôn tập bồi dưỡng nâng cao sau khi học song chương “ Nguyên hàm
và Tích phân” và các buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2015 -2016.
b) Qui trình, cách thức:
- Lần lượt đưa ra các dạng bài toán tích phân từ dễ đến khó.

- Sau mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải.
- Lấy ví dụ minh họa cho từng dạng.
- Ra một số bài tập có liên quan cho học sinh về nhà làm thêm.
- Kiểm tra đánh giá sau khi học xong mỗi dạng để nắm bắt được sự tiến
bộ của học sinh.
c) Nội dung thực hiện:
Sau đây là một số bài toán về “Phân loại các dạng toán tính Tích Phân”
và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy và đã sử
dụng để hướng dẫn học sinh thực hiện trong thời gian qua. Các bài tập này được
tôi phân ra thành 3 dạng. Các dạng toán tôi đưa ra cho học sinh như sau:
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất
Loại 1: Sử dụng tính chất và bảng nguyên hàm
Tính chất 1:
Tính chất 2:
Tính chất 3:

b

b

a
b

a

kf  x  dx  k �
f  x  dx (k là hằng số)
�
b

b

f  x  �g  x  �
dx  �
f  x  dx ��
g  x  dx
�
�
�
�
a
b

c

a

b

a

a

a

c

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx với a  c  b

�

3


Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp.
x  dx 
�

x 1
C
 1

(ax  b) dx 
�

1
dx  ln x  C
�
x
e dx  e
�
x

x

C

ax
a dx 

C
�
ln a
x

cos x.dx  sin x  C
�
sin x.dx   cos x  C
�
1

�
cos

2

x

.dx  �
(1  tan 2 x)dx  tan x  C

1
.dx  �
(1  cot 2 x)dx   cot x  C
2
�
sin x

1 (ax  b)1
C

a  1

1
1
dx

ln ax  b  C
�
ax  b
a
1 ax b
ax  b
e
dx

e
C
�
a
1 a mx  n
mx  n
a
dx 
C
�
m ln a
1
cos(ax

b)dx


sin(ax  b)  C
�
a
1
sin(ax

b)dx


cos(ax  b)  C
�
a
1
1
dx

tan(ax  b)  C
�
cos 2 (ax  b)
a
1
1
dx   cot x  C
2
�
sin (ax  b)
a

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

3

a)


4

1

(x 3  1)dx
�

(6x 2  4x)dx
b) �

1

c)

0

4
(
 3sin x)dx
2
�
 cos x

4

Giải
3

3

3

3

x4
81
1
(x

1)dx
x dx  �
1dx  (  x)  (  3)  (  1)  24
a) Ta có �
= �
4
4
4
1
1
1
1
3

1

3

1

1

1

1

1

1

(6x  4x)dx  �
6x dx  �
4xdx  6 �
x dx  4 �
xdx  2x 3  2x 2  4
b) �
0
0
2

2

0

2

0


4

0

0


4

0


4


4
1
( 2  3sin x)dx  4 � 2 dx  3 �
sin xdx  (4 tan x  3cos x) 4 
c) �

cos x
cos x



4

4

4

= (4 tan

4

  3cos  )  [4 tan(   )  3cos(   )] =8
4
4
4
4

BTVN 1: Tính các tích phân sau:

2

1

(e x  2)dx
2) J= �

1) I= (3  cos 2x).dx
�

0

0

Loại 2: Sử dụng phương pháp vi phân
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa vi phân: Hàm số y  f (x) có vi
phân là dy  y'dx  f ' (x)dx
4


Ví dụ 2: Tính các tích phân sau
1

1

2x  1
dx
a) I  �2
x

x

1
0

2
b) J  �x  3.x.dx
0


2

c) esin x .cos x.dx
�

0

Giải
1

1

1
2x  1
1
dx  �2
d(x 2  x  1)  ln(x 2  x  1)  ln 3  ln1  ln 3
a) I  �2
0
x  x 1
x  x 1
0
0
1

1

1

1
d(x 2  3) 1
2
(x  3)
 �
(x  3) 2 d(x 2  3)

b) J  �x  3.x.dx  �
2
20
0
0
2

2

1
2

=

(x  3)
3
2

3 1
2



3
2

3
2

4

3
1
  (8  3 3)
3
3 3

0

2


2



c) esin x .cos x.dx  esin x d(sin x)  esin x 2  e
�
�
0

0

0

sin


2

 esin 0  e  1

BTVN 2: Tính các tích phân sau
1





2
4
x 2 (1  2e x )  e x
1  sin 2x
sin x
.dx
1) I= �
2)
J=
3)
K
=
x
2�
(e  cos x)cos x.dx
dx
2
�
1

2e
0

cos
x
0
0
Chú ý: Đối với ví dụ 2 và BTVN 2 ta có thể làm theo cách đổi biến số loại 2.
b
p(x)
Loại 3: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp � dx :
Q(x)
a
+Trường hợp1: p(x) bậc1, Q(x) bậc 2:
p(x)
Phương pháp giải: Phân tích
thành tổng các phân thức đơn giản
Q(x)
A
A
;
(bằng phương pháp hệ số bất định) như
x  a (x  a) 2
2
5  x  1 dx
Ví dụ3: Tính các tích phân : �2
x x 6
1
Giải


5x  5
A

B
5 x 1


Ta có 2
=
x  x  6 (x  2)(x  3) x  2 x  3
A(x  3)  B(x  2) x(A  B)  3A  2B


(x  2)(x  3)
(x  2)(x  3)
AB5
B2
�
�
��
Đồng nhất hệ số ta được: �
3A  2B  5 �
A3
�
2
2
5  x  1 dx
3
2
16
2
(


)dx  (3ln x  2  2ln x  3 ) 1  ln
Vậy: �2
=�
x x 6 1 x 2 x 3
27
1

5


1

Ví dụ4: Tính các tích phân :

(2x  1)dx

�
x  4x  4
2

0

Giải
Ta có:
2x  1
2x  1
A
B
A(x  2)  B Ax  2A  B






2
2
2
x  4x  4 (x  2)
x  2 (x  2)
(x  2) 2
(x  2) 2
A2
A2
�
�
��
Đồng nhất hệ số ta được: �
2A  B  1 �
B5
�
A2
A2
�
�
� Ax -2A+B= 0 � �
��
2A  B  1 �
B5
�
1

1

1

2x  1dx
2
5
5
5
�
[

]dx = (2ln x-2 )   ln 4
Vậy �2
2
x  4x  4 0 x  2 (x  2)
x-2 0 2
0
BTVN 3: Tính các tích phân sau
1
5
3
x 1
1
1  2x
dx
dx
dx
1) I= �2

2) J= �2
3) k  �
2
x

5x

6
x

6x

9
x(x

1)
0
4
2
Chú ý: Ví dụ 3 là trường hợp mẫu có 2 nghiệm phân biệt, ví dụ 4 là
trường hợp mẫu có nghiệm kép.
+Trường hợp2: Bậc p(x) �bậc Q(x) :
Phương pháp giải: Ta chia tử cho mẫu tách
đó

p(x)
p (x)
 p1 (x)  2
, Trong
Q(x)

Q(x)

p 2 (x)
là phân thức thực sự, sau đó ta giải như trường hợp 1
Q(x)
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
2
0
5
2x
x 3  3x  1
x3  1
dx
dx
dx
a) �
b) �
c) �2
2x

1
x

1
x

5x

6
1

1
4
Giải
2
2
2
2x
1
1
1
dx  �
(1 
)dx [x  ln 2x  1]  1  ln 3
a) ta có �
2x  1
2x  1
2
2
1
1
1
0

0

x 3  3x  1
5
dx  �
(x 2  x  4 
)dx

b) Ta có �
x

1
x

1
1
1
0

x3 x 2
23
= [   4x  ln x  1] 
 ln 2
3
2
6
1
x3  1
19x  29
9
28
c) Ta có 2
 x 5 2
 x 5

x  5x  6
x  5x  6
x 2 x 3

6


5

5

x3  1
9
28
dx  �
(x  5 

)dx
Vậy �2
x

5x

6
x

2
x

3
4
4
5

x2
19
= (  5x  9ln x  2  28ln x  3 )   9ln 3  37ln 2
2
2
4
BTVN 4: Tính các tích phân sau
2 3
4
2 3
x  2x 2  3x
2x 2  5x  3
x  2x 2  3x
dx 2) J= �
dx 3) k  � 2
dx
1) I= �
2
x
x

1
x

6x

9
1
3

1
Chú ý: Khi tính các tích phân số mũ của tử cao hơn số mũ của mẫu, ta
phải chia tử cho mẫu
Loại 4: Tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
b

Phương pháp giải: Để tính

f (x) dx Ta làm theo các bước sau
�
a

B1: Xét dấu của biểu thức f (x) trên đoạn  a;b  , từ đó phân được đoạn
 a;b thành các đoạn nhỏ. Giả sử :  a;b   a;c1  U  c1;c2  U ... U  ck ;b  mà trên
mỗi đoạn đó f (x) không đổi.
B2: Khi đó

b

c1

c2

b

a

a

c1

ck

f (x) dx  �
f (x) dx  �
f (x) dx  ...  �
f (x) dx
�

Ví dụ 6: Tính tích phân sau
2

4

�x  1 dx

a)

b)

2

x  3x  2dx
�
2

1

Giải

�x  1,neu x �1
a) Ta có x  1  �
 x  1,neu x<1
�
Vậy

2

1

2

2

2

1

2

1
2

2

1

x  1 dx  �
x  1 dx  �
(1  x)dx + �

(x  1)dx
�x  1 dx  �
2

x 1
x
2
) 2  (  x ) 1 =5
2
2
2
�x  3x  2,neu x �1;x �2
2
b) Ta có x  3x  2  � 2
 x  3x  2,neu 1�
=(x-

4

Vậy

1

2

4

x  3x  2dx  �
x  3x  2dx  �

x  3x  2dx  �
x  3x  2dx
�
2

1

2

2

1

1

7

2

2


1

2

4

�
(x  3x  2)dx  �

( x  3x  2)dx  �
(x 2  3x  2)dx
2

2

1

1

2

1

2

4

x 3 3x 2
x 3 3x 2
x 3 3x 2
19
( 
 2x)  ( 
 2x)  ( 
 2x) 
3
2
3
2

3
2
2
1
1
2
BTVN 5: Tính các tích phân sau
5

4

x  2 dx
�

1)

x  5x  6dx
2) �
2

3

0

3

2 x  4 dx
3) �
0

Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng định nghĩa về dấu giá
A,neu A �0
�
trị tuyệt đối là: A  �
A,neu A<0
�
Loại 5: Tích phân của hàm số lượng giác thường gặp












sin ax.cos bxdx, �
sin ax.sin bxdx, �
cosax.cos bxdx
Trường hợp 1: �
Phương pháp giải : Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách
thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải




sin xdx; �

cos n xdx ; (n là chẵn)
Trường hợp 2: �
n





Phương pháp giải : Sử dụng công thức hạ bậc
Ví dụ 7: Tính các tích phân sau

4


2

a) sin 3x.cos x.dx
�

b) sin 2 xdx
�

0

0

Giải
a)



4


4


= 1 (sin 4x  sin2x)dx   1 ( cos 4x  cos 2x ) 2  1
sin
3x.cos
x.dx
�
�
0
2
2
4
2
2
0
0

2


2


b) sin 2 xdx  1  cos 2x dx  1 (x  sin 2x ) 2  
�
�

0
2
2
2
4
0
0
BTVN 6: Tính các tích phân sau:


cos 4 x.dx
a) �
0


2

b) sin 4x.cos 4x.dx
�
0

Dạng 2: Phương pháp đổi biến số
8


Loại 1: Đổi biến số loại I
b

f (x)dx ta làm theo các bước sau:
Phương pháp giải: Để tính tích phân �

a

B1: Chọn x  (t) , trong đó (t) là hàm số ma ta chọn thích hợp
B2: Lấy vi phân dx  ' (t)dt
B3: Tính các cận ,  tương ứng theo 2 cận a,b
B4: Biểu thị f (x)dx theo t và dt . Giả sử f (x)dx  g(t)dt
b



a



f (x)dx  �
f (x)dx
B5: Khi đó �
1

�1  x dx
2

Ví dụ 8: Tính tích phân sau :

0

Giải

Đặt x = sint � dx = cost.dt
Với x  0 � sin t  0 � t  0


x  1 � sin t  1 � t 
2
Vậy


2

1

�1  x dx  �1  sin
2

0

2

2

0


2


2

t cos tdt  �
cos 2 tdt
0


2


= 1  cos 2t dt  1 ( dt  cos 2t d(2t) )  1 (t  sin2t ) 2  
�
�
2
2 �
2
2
2 0 4
0
0
0
Ví dụ 9: (ĐHTCKT-97) Tính tích Phân sau

I

2
2

x2

�1  x
0

2

dx

Giải
Đặt x = sint � dx = cost.dt
Với

x  0 � sin t  0 � t  0
x

Vậy I 

2
2

� sin t 
�t
2
2
4

2
2


4


4



4

sin t
1  cos 2t
2
dx

cos
tdt

sin
tdt

dt
�
�
�
�
2
2
2
1 x
0
0 1  sin t
0
0
x


4

2

2


4

1
d(2t) 1
sin2t 4  1
 (�
dt  �
cos 2t
)  (t 
)  
2 0
2
2
2 0 8 4
0
9


BTVN 7: Tính các tích phân sau
1) I 

2
3

�x
2

dx

2) J 

x2 1

3
2

1

dx

�(1  x



1
2

2 3

)

1
dx
3) K  �2

x  x 1
0

Chú ý: Thường lấy đoạn  ;  nhỏ nhất sao cho (t) � a;b  , t � ; 
Cần nhớ các dấu hiệu dẫn đến việc chọn ẩn phụ thông
thường như sau:
Dấu Hiệu

Cách Đặt


�
x

a
sin
t,

�
t
�
�
2
2
�
x  a cos t,0 �t �
�
a
�
�  � � �

x
, t ��
 ;0 �U �
0; �
�
sin
t
2
2�
�
�
�
�
�
a
�  � � �
x

, t ��
0; �U � ;  �
�
� 2 � �2 �
� cos t


�
x  a tan t,   t 
�
2
2

�
x  a cot t,0  t  
�

a2  x2

x2  a2

a2  x2
ax
ax
Hoặc
ax
ax
(x  a)(b  x)
Loại 2: Đổi biến số loại II

x  a cos 2t
x  a  (b  a)sin 2 t
b

f (x)dx ta làm theo các bước sau:
Phương pháp chung: Để tính tích phân �
a

B1: Đặt u  u(x)
B2: Biểu thị f (x)dx theo u  u(x) và du sao cho f (x)dx  g(u)du
B3: Tìm một nguyên hàm G(u) của g(u)
u(b)

B4: Tính

�g(u)du  G(u(b))  G(u(a))

u (a )

b

f (x)dx  G(u(b))  G(u(a))
B5: Kết luận �
a

Ví dụ 10: Tính các tích phân sau
3
e
1
ln x
dx
a) I  �x dx
b) J  �
2
e

1
x(2

ln
x)
1
1

Giải

10


x
x
x
a) Đặt u  e  1 � e  u  1 � e dx  du � dx 

Với

x  1� u  e 1
x  3 � u  e3  1
3

1
Vậy I  �x dx 
e 1
1
3

e 1

e3 1

1 1
du 
�
u

u

1
e 1

e3 1

1

1
du
u 1

1

�( u  u  1)du

e 1

e3 1

3

e 1

1
u
e2  e  1
d(u  1)  ln
 ln

�
u

1
u

1
e2
e 1
e 1
1
b) Đặt u  2  ln x � ln x  u  2 � dx  du
x
Với x  1 � u  2
x e�u 3
1
 �du 
u
e 1

e

3

3

3

ln x
u2

1 2
2
4
3
dx  � 2 du  �
(  2 )du  ln u 1 
 ln 3 
Vậy J  �
2
x(2  ln x)
u
u u
u1
3
1
1
1
BTVN 8: Tính các tích phân sau
1
ln 5
dx
5
3 6
x (1  x ) dx
a) �
b) K  �x
e  2e  x  3
0
ln 3
A> Tích phân hàm số vô tỷ

b

R(x, n ax  b)dx
Trường hợp 1: �
a

1 n b
Phương pháp: Đặt u  n ax+b � x  u   (u)
a
a
u(b)

b

R(x, ax  b)dx 
Khi đó �
n

a

�R((u),u) (u)du
'

u (a )

1

Ví dụ 11: Tính tích phân sau:

3

I�
1  xdx
0

Giải
Đặt t = 1  x � t = 1-x � x= 1-t3 � dx= -3t2dt.
Đổi cận:
x=0 � t=1;
x=1 � t=0.
3

3

0

1

1

t4
3
Vậy I= �
t.(3t )dt  3�
t dt  3

40 4
1
0
2

3



Trường hợp 2:

R(x, n
�


ax+b
)dx ; với ad  bc �0 và R là hàm số hữu
cx  d

tỷ của hai biến.
11


ax  b
b  du n
�x n
 (u) là hàm số hữu tỷ của
Phương pháp: Đặt u 
cx  d
cu  a
n

u
u(  )



ax+b
R(x,
)dx  �
R((u),u).' (u)du
Khi đó �
cx  d

u ()
n

2

Ví dụ 12: Tính tích phân sau :

x 1

�x  1dx
1

Giải
x 1
u 1
4u
�x
� dx 
du
2
x 1

1 u
(1  u 2 ) 2
x  1� u  0
1
x 2�u 
3
2

Đặt u 
Với

Vậy:

1
3

2

1
3

x 1
4u
u2
dx  �
u. 2
du 4 �2
du
�
x 1

(u  1) 2
(u  1) 2
1
0
0
1
3

= 4 ( 1  1  1  1 )du
�
u  1 u  1 (u  1) 2 (u  1) 2
0
1

1 u
2u 3
1 3
 (ln
 2 )  ln 
1 u u 1 0
2 4


R(x, ax 2  bx  c)dx,(a �0) , R là hàm số hữu tỷ
Trường hợp 3: �


au 2  c
ax  bx  c  (u  x) a � x 
 (u)

2au  b
b  2u c
+ Nếu c  0 , ta đặt ax 2  bx  c  ux  c � x 
 (u)
u2  a
1
dx
Ví dụ 13: Tính tích phân sau : I  � 2
x 1
0
Giải
2
u 1
u2  1
2
� dx 
du
Đặt x  1  u  x � x 
2u
2u 2
Với x  0 � u  1
x  0 � u 1 2
+ Nếu a  0 , ta đặt

2

12


1

1 2

dx

1 2
du
 �  ln u 1  ln(1  2)
Vậy I  � 2
u
x 1
0
1
B> Tích phân của hàm số lượng giác thường gặp




sin xdx; �
cos n xdx
Trường hợp 1: �
n





Phương pháp giải: Đặt u  sin x Hoặc ( u  cos x )




R(sin x).cos xdx
Trường hợp 2: �

sin 2n x.cos2k 1 xdx
Đặc biệt: �





Phương pháp giải: Đặt t  sinx




R(cos x).sin xdx
Trường hợp 3: �

sin 2n 1 x.cos 2k xdx
Đặc biệt: �





Phương pháp giải: Đặt t  cosx

Trường hợp 4: Các trường hợp còn lại đặt t  tan

Ví dụ 14: Tính các tích phân sau:

2

x
2


2

a) cos3 xdx
�

b) cos3 x sin 2 xdx
�

0

0

Giải

2


2


2

0

0

0

a) I= cos3 xdx = cos 2 x.cos x.dx  (1  sin 2 x).cos x.dx
�
�
�
Đặt  u  sinx � du  cosxdx.
x  0 � u  0
Với

x  � u 1
2
1
u3 1 2
2
(1

u
).du

(u

)0 
Vậy: I= �
3
3

0

2


2


2

0

0

0

b) J= cos3 x sin 2 xdx = cos 2 x sin 2 x.cos x.dx  (1  sin 2 x)sin 2 x.cos x.dx
�
�
�
Đặt  u  sinx � du  cosxdx.
x  0 � u  0
Với

x  � u 1
2
1

1

u3 u5 1 2
(1  u )u .du  �
(u  u ).du  (  ) 0 
Vậy: J= �
3 5
15
0
0
2

2

2

4

BTVN 9: Tính các tích phân sau:
13



2


2


2

a) sin 3 x.cos3 x.dx

�

b) sin 4 x.cos 4 x.dx
�

0

c)

0

1
dx .
�
sin
x

6

C> Một số phương pháp đổi biến đặc biệt
Trường hợp 1: Đổi biến x   t
Phép đổi biến này khi:
a

+ Tích phân cần tính có dạng

f (x)dx , trong đó f (x)
�

là hàm chẵn hoặc

a

lẻ trên  a;a 
a

+ Tích phân cần tính có dạng

f (x)dx

�1  k

x

, trong đó f (x) là hàm chẵn  a;a  ,

a

và k  0 . Khi đó ta tách tích phân thành 2 phần: Từ a đến 0 và từ 0 đến a .
1

ln(x  x 2  1)dx
Ví dụ 15: Tính tích phân I  �
1

Giải
1

0

1

ln(x  x  1)dx  �
ln(x  x  1)dx  �
ln(x  x 2  1)dx
Ta có I  �
2

2

1

1

0

0

ln(x  x 2  1)dx
Xét J  �
1

Đặt x   t � dx  dt
Với x  0 � t  0
x  1 � u  1
0

0

ln(x  1  x )dx   �

ln(  t  1  t 2 )dt
Vậy : J  �
2

1
1

1

1

1
�
ln
dt   �
ln(t  1  t 2 )dt
2
t  1 t
0
0
1

1

1

ln(x  x  1)dx   �
ln(x  x  1)dx  �
ln(x  x 2  1)dx  0
Suy ra I  �

2

1

2

0

0

Chú ý: Hàm dưới dấu tích phân f (x)  ln(x  1  x 2 ) là hàm lẻ trên đoạn  1;1
2

x 6dx
Ví dụ 16: Tính tích phân sau: I  � x
1 e
2
Giải
2
0
2
6
6
6
x dx
x dx
x dx
Ta có I  � x  � x  � x
1 e
1 e

1 e
2
2
0
0

x 6dx
Xét J  � x
1 e
2
14

(1)


Đặt x   t � dx  dt
Với x  0 � t  0
x  2 � u  2
0
0 t 6
2 t 6
x 6dx
e t dt
e t dt
Vậy J  � x   � t  � t
1 e
1 e
1 e
2
2

0
Suy ra
2
0
2
2
2
2
2
x 6dx
x 6dx
x 6dx e x x 6dx
x 6dx x 6 (1  e x )dx
1
I  � x  � x  � x =� x  � x =�
=�
x 6dx=
x
1  e 2 1  e
1 e 0 1 e
1 e 0
1 e
128
2
0
0
0
Trường hợp 2: Đổi biến x  a  t
Phép biến đổi này thường dùng để tính tích phân có cận trên là a, hàm
dưới dấu tích phân chứa biểu thức lượng giác và các biểu thức này liên quan đến


cận trên a (Tích phân này thường có cận trên là ;2; ;... )
2
Ví dụ 17: (CĐSP HN-2004) Tính tích phân sau

2

sin 2004 x
I  � 2004
dx
2004
sin
x

cos
x
0
Giải


 t � dx  dt
2

x 0�t 
2

x �t 0
2

Đặt x 

Với


2

0

2004

2004


2

sin x
cos t
cos 2004 t
I

dx


dt

dt
Vậy:
2004
2004
2004
2004

2004
2004
�
�
�
sin
x

cos
x
sin
t

cos
t
sin
t

cos
t

0
0
2

2


2

Suy ra 2I  sin x  cos x dx  dx  
�
�
sin 2004 x  cos 2004 x
2
0
0

Do đó I 
4
Ví dụ 18: Tính tích phân
2004

2004

2

x cos
�

3

xdx

0

Đặt x  2  t � dx  dt
Với x  0 � t  2
x  2 � t  0

Giải

15


Vậy : I 

2

x cos
�

2

0

3

0

2

xdx   �
(2  t)cos tdt  �
(2  1)cos tdt  2 �
cos 3 tdt  I
3

3

2

0

0

2

� I  �
cos3 tdt
0

Đặt u  sin t � du  cos tdt
Với t  0 � u  0
t  2 � u  0
2

0

cos tdt   �
(1  u 2 )du  0
Vậy � I   �
3

0

0

ux
�

Chú ý: Có thể giải bài toán này bằng PP từng phần. Đặt �
dv  cos3 xdx
�
Dạng 3: Từng Phần
Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần
còn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
b

B3: Tích phân

vdu
�

suy ra kết quả.

a

Chú ý:
b

Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho

vdu
�

dễ tính hơn

a

b

udv nếu khó hơn phải tìm cách đặt khác.
�
a

Loại 1: Các dạng toán cơ bản của phép lấy tích phân từng phần


p(x)e
�
u
dv

ax  b

dx















p(x)sin(ax  b)dx �
p(x)cos(ax  b)dx �
p(x)ln(ax  b)dx
�

p(x)

p(x)
sin(ax+b)dx
eax+b dx
Với p(x) là một đa thức
Ví dụ19: Tính các tích phân sau

p(x)
cos(ax+b)dx


2

e

x.ln x.dx
b)J= �

a) I= x.cos x.dx
�

1

0

ux
du  dx
�
�
��
a) Đặt : �
dv  cos x.dx �v  sin x
�
Vậy I=x cosx


2
0

Giải


2

- sin x.dx = cosx
�
0

16



2
0

= -1

ln(ax+b)
p(x)dx


1
�
du

.dx
�
u  ln x
�
�
x
��
b) Đặt : �
2
dv

x.dx
�
�v  x
� 2
e
e

x2 1
e2 1
e2 1 2 e e2  1
x2 e
xdx   x 
Vậy J= lnx.
- � . dx   �
2 21
2 4 1
4
2 1 1 2 x
Ví dụ 20: (ĐH D-2006) Tính tích phân sau
1

I�
(x  2)e 2x dx
0

Giải
du  dx
�
u x2
�
�
�� 1
Đặt �
dv  e 2x dx �v  e 2x
�
� 2
1

1

1

1

1 2x
1 2x
1
1 2x
5  3e 2
2
(x  2)e dx  (x  2) e
 �
e dx  (e  2)  e

Vậy I  �
2
20
2
4
4
0
0
0
Ví dụ 21: (ĐH D-2004) Tính tích phân sau
2x

3

I�
ln(x 2  x)dx
2

Giải
2x  1
�
�
du  2
dx
u  ln(x 2  x) �
��
x x
Đặt �
dv  dx
�
�
�v  x
Vậy
3

3

3

x(2x  1)
2x  2  1
I�
ln(x  x)dx  x ln(x  x) 2  �

dx  3ln 6  2ln 2  �
dx
x(x

1)
x

1
2
2
2
2

3

2

3

3

3

d(x  1)
 ln 54  2 �
dx  �
 ln 54  2  ln(x  1)  3ln 3  2
x

1

2
2
2
Ví dụ 22: Tính tích phân sau:
1

2

I�
x 3e x dx
0

Giải
du  2xdx
�
�
u  x2
�
�
� � 1 x2
Đặt �
2
dv  e x xdx �v  e
�
� 2
1

1

1

1

2
1 2
1
1 x2
x e dx  x e x  �
xe x dx  e  �
e d(x 2 )
Vậy I  �
2 0 0
2
20
0

3 x2

2

17


1

1
1 2
1
1
1

= e  e x  e  (e  1) 
2
2
2
2
2
0


cos(cx  d)eax  bdx
* Đặc Biệt: a) Nếu �


u  cos(cx  d)
�
�
u  eax  b
Phương pháp: Đặt �
Hoặc �
dv  e ax bdx
dv  cos(cx  d)dx
�
�


sin(cx  d)eax  bdx
b) Nếu �


u  sin(cx  d)

�
�
u  eax  b
Phương pháp: Đặt �
Hoặc �
ax  b
dv

e
dx
dv  sin(cx  d)dx
�
�
Ví dụ 23: Tính tích phân sau

2

I�
e 2x cos3xdx
0

Giải
du  3sin 3xdx
�
u  cos3x
�
�
� � 1 2x
Đặt �
2x

v e
dv

e
dx
�
�
� 2

2


2


2

Vậy : I  e 2x cos3xdx  1 cos3x.e2x  3 e2x sin 3xdx  1  3 J
�
2
2�
2 2
0
0
0

2

Tính J  e 2x sin 3xdx
�

0

du  3cos3xdx
�
u  sin 3x
�
�
� � 1 2x
Đặt �
2x
v e
dv

e
dx
�
�
� 2

2


2


2


Vậy : J  e 2x sin 3xdx  1 sin 3x.e 2x  3 e2x cos3xdx   e  3 I
�

2
2�
2 2
0
0
0
Suy ra
1 3 e 3
9
2  3e 
13
2  3e 
2  3e 
I   (  I) � I  I 
� I
�I
2 2 2 2
4
4
4
4
13
Chú ý: Khi tính các tích phân có dạng trên từ bước hai trở lên , nếu không
cẩn thận sẽ gặp " hiện tượng xoay vòng" và cần phải tránh nó

BTVN 10: Tính các tích phân sau

18

e

0

x2  1
a) I  � ln xdx
x
1

x(e 2x  3 x  1)dx
b) I  �
1

2



x 3 sin xdx
c) I  �

d) I  e x sin 2xdx
�

0

0

Loại 2: Phương pháp tích phân từng phần với các dạng tích phân khác
Lưu ý: Chọn hàm u một cách thích hợp. Phép chọn u phải đảm bảo hai điều
sau:

vdu
+ Dễ dàng tính được �

+ Hàm u cần chọn sao cho trong các bước tiếp theo sử dụng công thức
vdu phải ngày càng đơn giản đi.
tích phân, thì việc tính �
Ví dụ 24: (CĐ GT- 2004) Tính tích phân sau
2

x 2e x dx
I�
(x  2)2
0
Giải
2 x
�
ux e
�
du  xe x (x  2)dx
�
�
��
Đặt �
1
1
dv 
dx �v  
2
�
(x  2)

�
x2
�
2

2

2

2

x 2e x dx
x 2e x

�
xe x dx  e 2  �
xe x dx  e 2  J
Vậy : I  �
2
(x  2)
x20 0
0
0
2

xe x dx
Tính J  �
0

ux

du  dx
�
�
�
Đặt �
� x
dv  e x dx �
ve
�
2

xe dx  xe
Vậy : J  �
x

0

x 2
0

2

2

�
e x dx  2e 2  e x  e 2  1
0

0

Suy ra I  I  e 2  e2  1  1
Ví dụ 25: (CĐ spA-2004) Tính các tích phân sau

4

I�
x tan 2 xdx
0

Giải
ux
�
du  dx
�
�
Đặt � 1  cos 2 x � �
dv 
dx �v  tan x-x
�
2
cos x
�
19



4


4

0


4


4

0

0

Vậy : I  x tan 2 xdx  x(tan x-x)  tan xdx  xdx
�
�
�
0


4






d(cos x) x 2 4  2
 2 1
4
 (1  )  �


   ln cos x 0    ln 2
4
4 0 cos x
2 0 4 32
4 32 2
Chú ý: Chọn hàm u một cách khéo léo
BTVN 11: Tính các tích phân sau:
1
3
x 7 dx
3  ln x
dx
a) I  � 4 2
b) J  �
2
(1

x
)
(x

1)
0
1

5. Kết quả đạt được
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng toán
tích phân. Trước kết quả thực tế của học sinh, bản thân tôi rất trăn trở suy nghĩ:
làm thế nào để học sinh đạt kết quả tốt khi giải loại toán này? Tôi bắt đầu hướng

dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích
phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp từ đó hướng các em
đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề
thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm
trước thì các em đã nhận biết được các dạng, từ đó đưa ra được lời giải đúng.
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015 – 2016. Đựơc phân tích kỹ,
chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập, tự chọn, tăng tiết. Kết quả
bài kiểm tra 1 tiết chương III (nguyên hàm, tích phân, ứng dụng) trên các đối
tượng lớp 12C3; 12C4; 12C7 như sau
Lớp

Sĩ số

12C3
12C4
12C7

36
32
35

Xếp loại
Khá
Trung bình
5%
70%
15,6%
53,4%

2,8%
31,5%

Giỏi
3%

Yếu
25%
28%
65,7%

Nhận thấy kết quả số học sinh khá, trung bình tăng lên nhiều và số học
sinh đạt điểm yếu, kém giảm đi rỏ rệt. Hy vọng các em sẽ có nhiều thành công
hơn trong các kỳ thi sắp tới.
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc
biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu
bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó
là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.

20


6. Khả năng tiếp tục phát huy, mở rộng nội dung sáng kiến kinh
nghiệm đã được thực hiện:
Năm học 2015 – 2016 về sáng kiến kinh nghiệm tôi đã lựa chọn nội
dung: “Phân loại các dạng toán tính Tích Phân giúp học sinh các lớp 12C3,
12C4, 12C7 trong năm học 2015-2016 giải tốt các bài tập” chất lượng học
tập của học sinh đã được nâng cao và chuyển biến rõ rệt .Trong quá trình giảng
dạy, nghiên cứu. Bản thân tôi đã đúc rút và tích lũy được một số kinh nghiệm.
Thông qua đề tài này rất mong hội đồng khoa học và các đồng chí, đồng nghiệp

kiểm định, xây dựng và góp ý để đề tài này được hoàn thiện hơn, có ứng dụng
rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, phục vụ tốt cho ôn
luyện trong kỳ thi học kỳ II và THPT Quốc Gia một cách vững vàng, tự tin và
thành công.
Tôi xin trân trọng cảm ơn.
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN

Đoàn Ngọc Hải

21