Tăng cường năng lực liên hệ thực tiễn cho học sinh THPT qua dạy học bài toán lãi suất ngân hàng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NAM ĐỊNH
THÔNG TIN CHUNG VỀ TRƯỜNG
SÁNG KIẾN
THPT …………….
1. Tên sáng kiến:
“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10
QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH”
2. Lĩnh vực áp dụng:
Sáng kiến đượcSÁNG
áp dụngKIẾN
trong lĩnh
vực giảng
dạy nội dung
“Phương
KINH
NGHIỆM
DỰ
THI trình” cho đối
tượng là học sinh đại trà lớp 12, đồng thời cũng là một phần nội dung ôn thi Đại học.
3. Thời gian áp dụng:
Từ năm học 2009-2010.

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

4. Tác giả:
Họ và tên: NGUYỄN TRUNG HIẾU

TĂNG CƯỜNG NĂNG LỰC LIÊN HỆ THỰC TIỄN
CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY HỌC
Nơi thường trú: Xã Xuân Hòa – huyện Xuân Trường , tỉnh Nam Định.
BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ khoa học, ngành Lí luận và Phương pháp dạy học
Năm sinh: 1979.

(bộ môn Toán).
Chức vụ công tác: Giáo viên.
Nơi làm việc: Trường THPT A Hải Hậu.
Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Trung Hiếu, Trường THPT – A Hải Hậu, Nam Định.
Điện thoại: 0915.139.375
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tác
giả: ……………………..
Tên đơn vị: Trường THPT A Hải
Hậu.

Trình độ chuyên môn: ……………….
Chức vụ: Giáo viên Toán
Đơn vị: Trường THPT …………

Địa chỉ: Khu 6-Thị trấn Yên Định-Hải Hậu-Nam Định.
Điện thoại: 03503877089.

……………. – 2017

1


TĂNG CƯỜNG NĂNG LỰC LIÊN HỆ THỰC TIỄN CHO HỌC SINH
LỚP 12 THPT QUA DẠY HỌC BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
I. HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Theo mục tiêu đổi mới GDPT…Mục tiêu đổi mới được Nghị quyết
88/2014/QH13 của Quốc hội quy định: “Đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo
dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả
giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp
phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển
toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất
tiềm năng của mỗi học sinh.”
Thực hiện các Nghị quyết của Đảng và Quốc hội, chương trình giáo dục phổ
thông mới được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực, tạo môi
trường học tập và rèn luyện giúp người học tích lũy được kiến thức phổ thông vững
chắc; biết vận dụng hiệu quả kiến thức vào đời sống và tự học suốt đời; có định hướng
lựa chọn nghề nghiệp phù hợp; biết xây dựng và phát triển hài hòa các mối quan hệ
xã hội; có cá tính, nhân cách và đời sống tâm hồn phong phú; nhờ đó có được cuộc
sống có ý nghĩa và đóng góp tích cực vào sự phát triển của đất nước và nhân
loại….”
Để đáp ứng các mục tiêu đổi mới chương trình GDPT, trong những năm học vừa
qua, việc dạy học trong các nhà trường đã chú trọng chuyển từ dạy học theo hướng tiếp
cận nội dung sang tiếp cận năng lực. Trong các năng lực của học sinh cần phát triển qua
dạy học, dự thảo CT GDPT nhấn mạnh “….Giáo dục toán học hình thành và phát triển
cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các
thành tố cốt lõi là: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hóa toán
học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử
dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và
tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn.
Giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với
các môn học khác và giữa Toán học với đời sống thực tiễn. ……Chương trình môn
Toán ở giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp giúp cho học sinh có cái nhìn
tương đối tổng quát về toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của toán học
trong đời sống thực tế, những ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có
cơ sở định hướng nghề nghiệp sau này, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự mình

tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời…..”. Như vậy,
2


trong các năng lực cần hình thành và phát triển cho học sinh thì năng lực vận dụng
kiến thức toán học vào thực tế là một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu.
Trong dạy học toán có ứng dụng thực tế, toán học mang một số chức năng:
- Phát triển năng lực tư duy, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học qua
các thao tác trí tuệ như là: quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa
- Bài tập có nhiều ứng dụng thực tế, mang lại niềm vui, hứng thú trong học tập,
tạo thế giới quan khoa học
- Bài tập về ứng dụng thực tế cũng là phương tiện để đánh giá mức độ, khả
năng độc lập trong giải toán và trình độ phát triển của HS
II. THỰC TRẠNG
Về thời lượng dành cho nội dung Toán có ứng dụng thực tiễn nói chung và nội
dung về lãi suất ngân hàng nói riêng là rất ít, có thể là một ví dụ hoặc một mục nhỏ để
minh họa ở một vài bài và số lượng bài tập rất nhỏ.
Khi chưa triển khai thi TNKQ môn Toán thì nội dung này gần như không được
giáo viên đề cập trong các giờ học hoặc chỉ đề cập như là bài đọc thêm, trong các đề
thi cũng rất ít hoặc chỉ đưa ra nhưng không mang nặng tính vận dụng vào thực tiễn.
Khi triển khai thi THPTQG bằng đề TNKQ, nội dung Toán Ứng dụng được đưa
vào nhiều hơn và ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Ví dụ đề minh họa của Bộ:
Câu 21. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông
muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt
đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở
mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách
đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ?
Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
Hướng dẫn bài toán tổng quát:
Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi

suất cho số tiền chưa trả là r một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm
dần nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng
vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay, người này bắt đầu hoàn nợ, hai
lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như
nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x ?Biết rằng
lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay.
Gọi Pn là số tiền còn lại sau tháng thứ n .
Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a+ ar = a( 1+ r ) = ad với d = 1+ r
d− 1
d− 1
Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad − x + ( ad − x) r = ( ad − x) ( 1+ r ) = ( ad − x) d

Trả

x đồng

thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là: P1 = ad − x = ad − x

Trả

x đồng

thì số tiền còn lại sau tháng thứ 2 là:
3


d2 − 1
P2 = ( ad − x) d − x = ad − xd − x = ad − x( d + 1) = ad − x
d− 1
2

2

2

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

ad2 − x( d + 1) +  ad2 − x( d + 1)  r =  ad2 − x ( d + 1)  ( 1+ r ) = ad2 − x ( d + 1)  d







Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là:
d3 − 1
P3 =  ad2 − x( d + 1)  d − x = ad3 − xd2 − xd − x = ad3 − x d2 + d + 1 = ad3 − x


d− 1

(

)

……………………………………….

n
1+ r ) − 1

Số tiền còn lại sau tháng thứ n là: Pn = adn − x d − 1 ⇔ Pn = a( 1 + r ) n − x (
(5a)
n

d− 1

với d = 1+ r
Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có

r

adn ( d − 1)
dn − 1
Pn = 0 ⇔ ad − x
= 0⇔ x =
d− 1
dn − 1
n

a ( 1 + r ) .r
n

⇔x=

(1+ r)

n

−1

Với thời lượng và nội dung như vậy, trong quá trình lên lớp, ngoài việc truyền
đạt các kiến thức, kỹ năng cơ bản, GV cần rèn luyện cho HS biết hệ thống hóa về các
dạng, loại và các phương pháp giải phương trình. Mỗi dạng bài có một cách giải riêng,
cũng có khi một bài có nhiều cách giải do đó GV phải hệ thống và giúp HS chỉ ra cách
giải tối ưu. Đồng thời cung cấp cho HS một hệ thống bài tập có chọn lọc để vận dụng
những kiến thức đã được học tự mình giải quyết. Đây là cách dạy cho HS cách tự học,
tự phát hiện và giải quyết vấn đề, bước đầu rèn luyện tư duy sáng tạo vận dụng toán
học vào thực tế. HS có cái nhìn tổng thể về kiến thức trong chương trình, các dạng bài
tập thường gặp. Ở mỗi dạng bài tập biết hình thành và hệ thống các phương pháp giải,
đồng thời qua cách giải bài tập này mở rộng ra các bài tập mới hình thành kỹ năng
giải toán và phương pháp tự học mang màu sắc cá nhân.
III. GIẢI PHÁP
A. HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trong bài viết này tôi sẽ trình bày về các kiến thức cơ bản theo sách giáo khoa
và phần mở rộng các dạng toán về tiền gửi ngân hàng và ví dụ minh họa, hệ thống bài
tập theo các cấp độ nhận thức, các bài toán có cùng bản chất toán học trong thực tế
như bài toán tăng trưởng của sinh vật, bài toán dân số…. ., có phần chú ý để học sinh
có thể sử dụng máy tính cầm tay
1. Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do
số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi
cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra.
a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r % /kì
hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * )
4


là:
Sn = A + nAr % = A ( 1 + nr % )
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ
r

r % là
.
100
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Ông A gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi đơn 5%/năm thì sau 5
năm số tiền ông A nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Số tiền cả gốc lẫn lãi ông A nhận được sau 5 năm là: S5 = 1.( 1 + 5.0,05 ) = 1,25
(triệu đồng)
Ví dụ 2: Khi gửi 1 000 000đ vào ngân hàng với lãi suất là 5%/năm thì sau một
năm ta nhận số tiền lãi là : 1 000 000 xđ5% = 50 000 Số tiền lãi này như nhau
được cộng vào hàng năm. Như vậy sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi là:
1 000 000 + 2 x 50 000 = 1 100 000đ
Nếu gửi sau n năm thì sẽ nhận số tiền cả gốc lẫn lãi là :1000000 + 50000n đ.
Kiểu tính lãi này không khuyến khích người gửi, bởi vì khi ta cần rút tiền ra. Ví
dụ ta gửi 1 000 000 đ với lãi suất 5%/năm, sau 18 tháng ta vẫn chỉ được tính lãi một
năm đầu và tổng số tiền rút ra chỉ là1000 000 + 50000 = 1050000đ . Vì vậy các
ngân hàng thường tính chu kỳ lãi suất ngắn hơn, có thể tính theo tháng, quý, 6 tháng,
9 tháng....
2. Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào
vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /kì
hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ¥ * ) là:
Sn = A ( 1 + r % )

n

Chú ý: Từ công thức ta có thể tính được:
S 
n = log ( 1+ r % )  n ÷

 A
r% =
A=

n

Sn
−1
A
Sn

( 1 + r%)

n

b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Ông A gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.
a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi ông A nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.
5
% /tháng thì sau 10
b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu ông A gửi ngân hàng với lãi kép
12
5


năm ông A nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn so với số tiền ở mục
a)?
Hướng dẫn giải
a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là
10

5 

S10 = 10.1 +
÷ ≈ 16,28894627 triệu đồng.
 100 
5
b) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép % /tháng là
12
120
5 

S120 = 10.1 +
÷ ≈ 16,47009498 triệu đồng.
12
×
100


5
Vậy số tiền nhận được với lãi suất % /tháng nhiều hơn.
12
Ví dụ 2:
a)Ông A gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng
(không kỳ hạn). Hỏi ông A phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc
vượt quá 1300000 đồng ?
b)Với cùng số tiền ban đầu và cùng số tháng đó, nếu ông A gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3
tháng với lãi suất 0,68%/tháng, thì ông A sẽ nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao
nhiêu? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn
và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau. Hết một kỳ hạn, lãi sẽ được cộng vào vốn để
tính lãi trong kỳ hạn tiếp theo (nếu còn gửi tiếp), nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì

số tháng dư so với kỳ hạn sẽ được tính theo lãi suất không kỳ hạn.
Hướng dẫn giải
 1300000 
Ta có n = log1,0058 
÷ ≈ 45,3662737 nên để nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi
 1000000 
bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng thì ông A phải gửi ít nhất là 46 tháng.
Ta thấy 46 tháng là 15 kỳ hạn và thêm 1 tháng nên số tiền nhận được là
S = 106.1,006815.1,0058 ≈ 1361659,061 .
Ví dụ 3: Ông A gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3
tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm, ông A rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo
kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kỳ hạn 6 tháng
do gia đình có việc nên ông gửi thêm một số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn
cả gốc lẫn lãi được số tiền là 23263844,9 đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền
trước thời hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng.
Trong một số tháng ông gửi thêm lãi suất là:
A. 0,4%
B. 0,3%
C. 0,5%
D. 0,6%
Hướng dẫn giải
Gửi được 1 năm coi như gửi được 4 kỳ hạn 3 tháng; thêm một kỳ hạn 6 tháng số tiền
khi đó là:

4

20000000.( 1+ 0,72.3:100) ( 1+ 0,78.6:100)

6

. Giả sử lãi suất không kỳ hạn là A%; gửi thêm B tháng khi đó số tiền là:
4

B

20000000.( 1+ 0,72.3:100) ( 1+ 0,78.6:100)( 1+ A :100) = 23263844,9

ý: 1£ B £ 5

Lưu

và

B

nguyên

4

dương,
B

nhập

20000000.( 1+ 0,72.3:100) ( 1+ 0,78.6:100) ( 1+ A :100) - 23263844,9

máy
thử

tính:
với

rồi thử B từ 1 đến 5, sau đó lại thử A = 0,5 rồi thử B từ 1 đến 5, ... cứ như vậy
đến bao giờ kết quả đúng bằng 0 hoặc xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Kết quả: A = 0,5; B = 4 chọn C
Ví dụ 4: Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất là
12% năm. Biết rằng cứ sau mỗi một quý ( 3 tháng ) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn
gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền, bao gồm cả
vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu.
A. 8
B. 9
C. 10
D.11
Hướng dẫn giải
Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,03
n
Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là: A ( 1 + 0, 03)
A = 0,3

. ycbt ⇔ A ( 1 + 0, 03 ) = 3A ⇔ n = log1,03 3 ≈ 37,16
n

Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm. Vậy đáp án là C.
Ví dụ 5: (CHUYÊN BIÊN HÒA) Đầu năm 2016, anh Hùng có xe công nông trị giá
100 triệu đồng. Biết mỗi tháng thì xe công nông hao mòn mất 0,4% giá trị, đồng thời
làm ra được 6 triệu đồng ( số tiền làm ra mỗi tháng là không đổi). Hỏi sau một năm,
tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông và tổng số tiền anh Hùng làm ra ) anh
Hùng có là bao nhiêu?
A. 172 triệu.

B. 72 triệu.
C. 167,3042 triệu.
D. 104,907 triệu.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Sau một năm số tiền anh Hùng làm ra là 6.12 = 72 triệu đồng
Sau một năm giá trị xe công nông còn 100(1 − 0,4%)12 ≈ 95,3042 triệu đồng
Vậy sau một năm số tiền anh Hùng có là 167,3042 triệu đồng
Ví dụ 6: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên
tục thay đổi, ông A gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa
đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và ông A tiếp
tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, ông A tiếp tục gửi thêm
một số tháng tròn nữa, khi rút tiền ông A được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng
(chưa làm tròn). Hỏi ông A đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng?
Hướng dẫn giải

7


Gọi X , Y

( X ,Y ∈ ¢

+

: X , Y ≤ 12 ) lần lượt là số tháng ông A đã gửi với lãi

suất 0,7%/tháng và 0,9%/tháng thì ta có
5.106.1,007 X .1,01156.1,009Y = 5747478,359
5747478,359

⇔ 1,009Y =
5.106.1,007 X .1,01156
5747478,359
⇔ Y = log1,009
5.106.1,007 X .1,01156
f (X) =
vào
máy
tính
Mode 7
nhập
hàm
số
5747478,359
log1,009
, cho giá trị X chạy từ 1 đến 10 với STEP 1.
5.106.1,007 X .1,01156
Nhìn vào bảng kết quả ta được cặp số nguyên là X = 5;Y = 4 .
Vậy ông A đã gửi tiền tiết kiệm trong 5 + 6 + 4 = 15 tháng.
Ví dụ 7: Ông A gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức
lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian
15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73% một tháng trong thời
gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là 27507768,13 (chưa làm tròn).
Hỏi số tiền ông A lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?
A.140 triệu và 180 triệu. B.180 triệu và 140 triệu.
C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu.
Hướng dẫn giải
Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông A nhận được từ cả hai ngân hàng là
347,50776813triệu đồng. Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó
320 - x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.

5
9
Theo giả thiết ta có: x(1+ 0,021) + (320 - x)(1+ 0,0073) = 347,50776813
Ta được x = 140. Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X và 180 triệu ở ngân hàng
Y.
Đáp án: A.
Nhập

3. Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố
định và lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi.
a) Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A
đồng với lãi kép r % /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n
tháng ( n ∈ ¥ * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là Sn .
Ý tưởng hình thành công thức:
+ Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
A 
1
S1 = A ( 1 + r % ) =
( 1 + r % ) − 1 ( 1 + r % )
r%
+ Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là

8


( 1 + r % ) 2 − 1
 = A ( 1 + r % ) 2 − 1
T1 = A ( 1 + r % ) + A = A ( 1 + r % ) + 1 = A 

( 1 + r%) − 1 r% 

+ Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
A 
2
S2 =
( 1 + r % ) − 1 ( 1 + r % )
r%
+ Từ đó ta có công thức tổng quát
Sn =

A 
n
( 1 + r % ) − 1 ( 1 + r % )
r%

Chú ý: Từ công thức trên ta có thể tính được:
 Sn .r %

n = log ( 1+ r % ) 
+ 1÷
 A( 1 + r%)

A=

Sn .r %
n
( 1 + r % ) ( 1 + r % ) − 1

b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Đầu mỗi tháng ông A gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất
0,7%/tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông A nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân

hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
580000 
10
S10 =
( 1,007 ) − 1 .1,007 ≈ 6028005,598 đồng
0,007
Ví dụ 2: Ông A muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi ngân
hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông A phải gửi số tiền ít nhất bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
100.0,007
≈ 9,621676353 đồng
10


1,007 ( 1,007 ) − 1


Ví dụ 3: Đầu mỗi tháng ông A gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với lãi
suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ( khi ngân hàng đã tính lãi) ông A
được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?
A=

Hướng dẫn giải
 100.0,006 
n = log1,006 
+ 1÷ ≈ 30,31174423
 3.1,006

Vậy ông A phải gửi ít nhất là 31 tháng mới được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở

lên.
Ví dụ 4: Đầu mỗi tháng ông A gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng sau 1
năm ông A nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 40 triệu. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao
9


nhiêu phần trăm mỗi tháng?
Hướng dẫn giải
Gọi r là lãi suất mỗi tháng
3
12
Ta có 40 = ( 1 + r ) − 1 ( 1 + r ) nên nhập vào máy tính phương trình
r
3
12
( 1 + X ) − 1 ( 1 + X ) − 40 nhấn SHIFT CALC với X = 0 ta được
X
X = 0,016103725
Vậy lãi suất hàng tháng vào khoảng 1,61 %/tháng
Ví dụ 5: (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Một người muốn có 2 tỉ tiền tiết
kiệm sau 6 năm gửi ngân hàng bằng cách mỗi năm gửi vào ngân hàng số tiền bằng
nhau với lãi suất ngân hàng là 8% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi
số tiền mà người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền hàng năm là bao nhiêu (với giả
thiết lãi suất không thay đổi), số tiền được làm tròn đến đơn vị nghìn đồng?
A. 252.436.000 .B. 272.631.000 .C. 252.435.000 .D. 272.630.000 .
Hướng dẫn giải
Gọi Tn là số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, a là số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng
và r ( % ) là lãi suất kép. Ta có
T6
2.109

a= =
= 252435900,4
S6 1,08 ( 1 − 1,086 )
Theo đề ra
. Quy tròn đến phần nghìn
1 − 1,08

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng. Bài toán trả góp.
a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r % /tháng. Mỗi
tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n
tháng là bao nhiêu?
Ý tưởng hình thành công thức:
Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
T1 = A ( 1 + r % ) và sau khi rút số tiền còn lại là
( 1 + r%) − 1
S1 = A ( 1 + r % ) − X = A ( 1 + r % ) − X
r%
• Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là
T2 =  A ( 1 + r % ) − X  ( 1 + r % ) = A ( 1 + r % ) − X ( 1 + r % )
và sau khi rút số tiền còn lại là
2

S2 = A ( 1 + r % ) − X ( 1 + r % ) − X = A ( 1 + r % ) − X ( 1 + r % ) + 1 = A ( 1 + r % )
• Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau n tháng là
2

2

2

( 1 + r%)
−X
r%

10

2

−1


Sn = A ( 1 + r % )

n

( 1 + r%)
−X

n

−1

r%

Chú ý: Từ công thức trên ta có thể tính được:
r%
n
X =  A ( 1 + r % ) − Sn 

 ( 1 + r%) n −1

b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Ông A gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng. Mỗi tháng vào
ngày ngân hàng tính lãi, ông A đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng để chi tiêu. Hỏi sau
2 năm số tiền ông A còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
S24 = 2.10 .( 1,0075 )
7

24

( 1,0075)
− 3.10 .

24

5

−1

0,0075

≈ 16071729,41 đồng.

Ví dụ 2: (QUỐC HỌC HUẾ) Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn
vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi
năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất là 4% . Tính số tiền
mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng không thay đổi
lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng).
A. 46794000 đồng.B. 44163000 đồng.C. 42465000 đồng.D. 41600000 đồng.
Hướng dẫn giải

Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc và lãi) sau 4 năm là:
1 − (1 + 0,04) 4
A = 106 (1 + 0,04).
= 44163256
1 − (1 + 0,04)
Nên A = 44163000 đồng
Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r % /tháng. Sau đúng
một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một
tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.
a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn
công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
Sn = A ( 1 + r % )

n

( 1 + r%)
−X

n

−1

r%
Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì Sn = 0 nên
A( 1 + r%)

n

( 1 + r%)
−X

r%

n

−1

=0

và do đó

11


A( 1 + r% ) r %
n

X=

( 1 + r%)

n

−1

b) Một số ví dụ:
Ví dụ 1: (SỞ NAM ĐỊNH) Anh Nam vay tiền ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức
trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0,5 0 0 / tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt
đầu từ tháng thứ nhất anh Nam trả 30 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Nam
trả hết nợ?
A. 35 tháng.

B. 36 tháng.
C. 37 tháng.
D. 38 tháng.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi a là số tiền vay, r là lãi, m là số tiền hàng tháng trả.
Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: N1 = a ( 1 + r ) − m .
N 2 =  a ( 1 + r ) − m  +  a ( 1 − r ) − m  r − m
Số tiền nợ sau tháng thứ hai là:
2
= a ( 1 + r ) − m ( 1 + r ) + 1
….
n
1+ r ) −1
(
n
n
Số tiền nợ sau tháng là: N n = a ( 1 + r ) − m
.
r
n
1+ r ) −1
(
n
n
Sau tháng anh Nam trả hết nợ: N n = a ( 1 + r ) − m
= 0.
r
n
1 + 0,005 ) − 1

(
n
⇔ 1000 ( 1 + 0,005 ) − 30
=0
0,0005
⇔ t = 36,55
Vậy 37 tháng thì anh Nam trả hết nợ.
Ví dụ 2: Ông A vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng,
mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì ông A trả hết nợ?
Hướng dẫn giải
a) Ta có 500.( 1,009 )

n

( 1,009 )
− 15.

n

−1

0,009

= 0 giải được X = 39,80862049 nên phải trả

nợ trong vòng 40 tháng.
Ví dụ 3: (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Ông A vay ngân hàng 220 triệu đồng và trả
góp trong vòng 1 năm với lãi suất 1,15% mỗi tháng. Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay,
ông sẽ hoàn nợ cho ngân hàng với số tiền hoàn nợ mỗi tháng là như nhau, hỏi mỗi
tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng, biết lãi suất ngân hàng không

thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
220.( 1,0115 ) .0,0115
12

A.

( 1,0115)

12

−1

(triệu đồng).

B.

220.( 1,0115 )

( 1,0115)

12

12

−1

(triệu đồng).
12

55.( 1,0115 ) .0,0115
C.
(triệu đồng).
3

220.( 1,0115 )
D.
(triệu đồng).
3

12

12

Hướng dẫn giải
Mỗi tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng
a ( 1 + r ) .r
n

x=

(1+ r) −1
n

220 ( 1 + 1,15% ) .1,15%
12

=

( 1 + 1,15% ) − 1

12

220.( 1,0115 ) .0,0115
12

=

( 1,0115 )

12

−1

với a = 200, r = 1,15%, n = 12
5. Bài toán tính tổng số tiền lương: Một người được lĩnh lương khởi điểm
là A đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r % /tháng. Hỏi
sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?
Công thức tính: Bản chất của bài toán là sử dụng công thức của cấp số nhân
Skn

( 1 + r%)
= An

k

−1

r%
Ví dụ 1: Một người được lĩnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3
năm thì lương người đó được tăng thêm 7% /tháng. Hỏi sau 36 năm người đó lĩnh

được tất cả số tiền là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
S36

( 1,07 )
= 3.10 .12.

12

6

0,07

−1

≈ 2.575.937.000 đồng

Ví dụ 2: Một kỹ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ
sau hai năm lương mỗi tháng của kỹ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương
hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc.
A. 633.600.000 .B. 635.520.000 .C. 696.960.000 . D. 766.656.000 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
B. HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI
Câu 1.

(CHUYÊN BIÊN HÒA) Đầu năm 2016, anh Hùng có xe công nông trị giá
100 triệu đồng. Biết mỗi tháng thì xe công nông hao mòn mất 0,4% giá trị,
đồng thời làm ra được 6 triệu đồng ( số tiền làm ra mỗi tháng là không đổi).
Hỏi sau một năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông và tổng số

tiền anh Hùng làm ra ) anh Hùng có là bao nhiêu?
A. 172 triệu.
B. 72 triệu.
C. 167,3042 triệu.
D. 104,907 triệu.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Sau một năm số tiền anh Hùng làm ra là 6.12 = 72 triệu đồng
13


Sau một năm giá trị xe công nông còn 100(1 − 0,4%)12 ≈ 95,3042 triệu đồng
Vậy sau một năm số tiền anh Hùng có là 167,3042 triệu đồng
Câu 2.

(CHUYÊN LAM SƠN) Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán
bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn
2015 − 2021 ( 6 năm) là 10,6% so với số lượng hiện có năm 2015 theo
phương thức “ra 2 vào 1” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân
sách nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người). Giả sử tỉ lệ giảm và
tuyển dụng mới hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển
dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01% ).
A. 1,13% .
B. 1,72% .
C. 2,02% .
D. 1,85% .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

*
Gọi x ( x ∈ N ) là số cán bộ công chức tỉnh A năm 2015.
Gọi r là tỉ lệ giảm hàng năm.
Số người mất việc năm thứ nhất là: x ×r .
Số người còn lại sau năm thứ nhất là: x − x ×r = x ( 1 − r ) .
Tương tự, số người mất việc sau năm thứ hai là: x ( 1 − r ) r .
Số người còn lại sau năm thứ hai là: x ( 1 − r ) − x ( 1 − r ) ×r = x ( 1 − r ) .
2

⇒ Số người mất việc sau năm thứ sáu là: x ( 1 − r ) 5 ×r .
Tổng
số
người
mất
việc
2
5
x ×r + x ×( 1 − r ) ×r + x ×( 1 − r ) ×r + ... + x ×( 1 − r ) ×r = 10,6% x

là:

⇔ r + ( 1 − r ) r + ( 1 − r ) r + ... + ( 1 − r ) r = 0,106
2

5

r 1 − ( 1 − r ) 
 = 0,106 ⇒ r ≈ 0,0185 .
⇔ 
1− (1− r)

Vì tỉ lệ giảm hàng năm bằng với tỉ lệ tuyển dụng mới nên tỉ lệ tuyển dụng
mới hàng năm là 1,85% .
6

Câu 3.

(CHUYÊN LÊ KHIẾT) Bác B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu là 50 triệu
đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72% tháng. Sau một năm bác B rút
cả vốn lẫn lãi và gởi theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78% tháng. Sau khi
gởi đúng một kỳ hạn 6 tháng do gia đình có việc bác gởi thêm 3 tháng nữa
thì phải rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 57.694.945,55 đồng
(chưa làm tròn ). Biết rằng khi rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi
suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong số 3 tháng bác gởi thêm
lãi suất là
A. 0,55% .
B. 0,3% .
C. 0,4% .
D. 0,5% .

Hướng dẫn giải
Chọn C
14


Số tiền bác B rút ra sau năm đầu: T1 = 50.000.000 * ( 1 + 0,0072 *3)
Số tiền bác B rút ra sau sáu tháng tiếp theo: T2 = T1 * ( 1 + 0,0078* 6 )
Số tiền bác B rút ra sau ba tháng tiếp theo:
57.694.945, 55
3
− 1 ≈ 0,004 = 0, 4% .

T3 = T2 * ( 1 + r ) = 57.694.945,55 ⇒ r = 3
T2
4

Câu 4.

(CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Một người muốn có 2 tỉ tiền tiết kiệm sau 6
năm gửi ngân hàng bằng cách mỗi năm gửi vào ngân hàng số tiền bằng nhau
với lãi suất ngân hàng là 8% một năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
Hỏi số tiền mà người đó phải gửi vào ngân hàng số tiền hàng năm là bao
nhiêu (với giả thiết lãi suất không thay đổi), số tiền được làm tròn đến đơn vị
nghìn đồng?
A. 252.436.000 .
B. 272.631.000 . C. 252.435.000 . D.
272.630.000 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi Tn là số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, a là số tiền hàng tháng gửi vào
ngân hàng và r ( % ) là lãi suất kép. Ta có
T1 = a.( 1 + r ) ,
T2 = ( a + T1 ) ( 1 + r ) = ( a + a ( r + 1) ) ( 1 + r ) = a ( 1 + r ) + a ( 1 + r )

T3 = ( a + T2 ) ( 1 + r ) = a ( 1 + r ) + a ( 1 + r ) + a ( 1 + r )
2

2

3

….

(

T6 = a ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ...( 1 + r )
2

6

) = a.S

6

S6 là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với dãy ( un ) = 1 + r = 1,08; q = 1,08.
S6 =

u1 ( 1 − q 6 )
1− q

=

1,08 ( 1 − 1,086 )
1 − 1,08

T6
2.109
a= =
= 252435900,4
S6 1,08 ( 1 − 1,086 )
Theo đề ra

. Quy tròn đến phần
1 − 1,08

nghìn
Ông A vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong
vòng 2 năm thì mỗi tháng ông A phải trả số tiền bao nhiêu?
15


Hướng dẫn giải

5.107.( 1,0115 ) .0,0115
48

Số tiền ông A phải trả mỗi năm là: X =
Câu 5.

( 1,0115)

48

−1

≈ 1361312,807 đồng

(QUỐC HỌC HUẾ) Bạn Nam là sinh viên của một trường Đại học, muốn
vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm.
Đầu mỗi năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất là
4% . Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó,
ngân hàng không thay đổi lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng).

A. 46794000 đồng. B. 44163000 đồng. C. 42465000 đồng.D. 41600000
đồng.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc và lãi) sau 4 năm là:
A = 106 (1 + 0,04) 4 + 106 (1 + 0,04)3 + 106 (1 + 0,04) 2 + 106 (1 + 0,04)
= 106 (1 + 0,04)[1 + (1 + 0,04) + (1 + 0,04) 2 + (1 + 0,04)3 ]
1 − (1 + 0,04) 4
= 10 (1 + 0,04).
= 44163256
1 − (1 + 0,04)
Nên A = 44163000 đồng
6

Câu 6.

(SỞ QUẢNG NAM) Một kỹ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000
đồng/tháng. Cứ sau hai năm lương mỗi tháng của kỹ sư đó được tăng thêm
10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận
được sau 6 năm làm việc.
A. 633.600.000 .
B. 635.520.000 . C. 696.960.000 . D.
766.656.000 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Lương 2 năm đầu tiên của công nhân đó nhận được là T1 = 8.106.24 = 192.106
(đồng)
Theo công thức tính lãi kép, lương 2 năm tiếp theo công nhân đó nhận được :

1
T2 = 24.8.106.( 1 + 10% ) = 212,2.106 (đồng)
Lương 2 năm cuối cùng công nhân đó nhận được :
2
T3 = 24.8.106.( 1 + 10% ) = 232,32.106 (đồng)
Tổng số tiền T (đồng) kỹ sư đó nhận được sau 6 năm làm việc:
T = T1 + T2 + T3 = 635,520,000 (đồng).
Câu 7.

(VÕ NGUYÊN GIÁP) Anh Hưng đi làm được lĩnh lương khởi điểm
4.000.000 đồng/tháng. Cứ 3 năm, lương của anh Hưng lại được tăng thêm
7% /1 tháng. Hỏi sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được tất cả bao nhiêu
tiền? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).
16


A. 1.287.968.000 đồng
C. 2.575.937.000 đồng.

B. 1.931.953.000 đồng.
D. 3.219.921.000 đồng.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi a là số tiền lương khởi điểm, r là lương được tăng thêm.
+ Số tiền lương trong ba năm đầu tiên: 36a
1
+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp: 36 [ a + a.r ] = 36a ( 1 + r )
+ Số tiền lương trong ba năm kế tiếp: 36a ( 1 + r )
…

11
+ Số tiền lương trong ba năm cuối: 36a ( 1 + r ) .
Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được:
1 + ( 1 + r ) 1 + ( 1 + r ) 2 + ( 1 + r ) 3 + ... + ( 1 + r ) 11  .a.36 = 2.575.936983 ; 2.575.937.000


đồng.
2

Câu 8.

(TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một người vay ngân hàng 200.000.000
đồng theo hình thức trả góp hàng tháng trong 48 tháng. Lãi suất ngân hàng
cố định 0,8% / tháng. Mỗi tháng người đó phải trả (lần đầu tiên phải trả là 1
tháng sau khi vay) số tiền gốc là số tiền vay ban đầu chia cho 48 và số tiền
lãi sinh ra từ số tiền gốc còn nợ ngân hàng. Tổng số tiền lãi người đó đã trả
trong toàn bộ quá trình nợ là bao nhiêu?
A. 38.400.000 đồng. B. 10.451.777 đồng.
C. 76.800.000
đồng.
D. 39.200.000 đồng.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Để thuận tiện trong trình bày, tất cả các số tiền dưới đây được tính theo đơn
vị triệu đồng.
200
+ 200.0,8% .
Số tiền phải trả tháng thứ 1:
48

Số tiền phải trả tháng thứ 2:
200 
200 
200
200
+  200 −
+ 47.
.0,8% .
÷.0,8% =
48 
48 
48
48
Số tiền phải trả tháng thứ 3:
200 
200 
200
200
+  200 − 2.
+ 46.
.0,8% .
÷.0,8% =
48 
48 
48
48
Số tiền phải trả tháng thứ 48
200 
200 
200

200
+  200 − 47.
+ 1.
.0,8% .
÷.0,8% =
48 
48 
48
48
Suy ra tổng số tiền lãi phải trả là:

17


200
200
200
.0,8% + 2.
.0,8% + ... + 47.
.0,8% + 200.0,8%
48
48
48
48 ( 1 + 48 )
200
200
=
.0,8% ( 1 + 2 + ... + 48 ) =
.0,8%.
= 39,2

48
48
2

1.

Câu 9.

(PHÚ XUYÊN ) Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với
lãi suất 1% một tháng. Biết rằng cứ sau mỗi quý ( 3 tháng) thì lãi sẽ được
cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại
được số tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu
A. 8 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 11.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi a là số tiền người đó gửi ban đầu
N

Số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi sau N năm là T = a(1 + 0,03) 4
T
ln 3
= 3 ⇔ (1 + 0,03) 4 N = 3 ⇔ 4 N .ln1,03 = ln 3 ⇒ N =
≈ 9,29
a
4ln1,03
Câu 10. (SỞ HẢI PHÒNG) Một người vay ngân hàng một tỷ đồng theo phương thức

trả góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó
trả 40 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,65% mỗi tháng (biết lãi
suất không thay đổi) thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên?
A. 29 tháng.
B. 27 tháng.
C. 26 tháng.
D. 28 tháng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi A là số tiền vay, a là số tiền gửi hàng tháng r là lãi suất mỗi tháng.
Đến cuối tháng thứ n thì số tiền còn nợ là:
n
a ( 1 + r ) − 1
n
n −1
n −2
n

T = A ( 1 + r ) − a ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ... + 1 = A ( 1 + r ) − 


r
n
a ( 1 + r ) − 1
 =0
Hết nợ đồng nghĩa T = 0 ⇔ A ( 1 + r ) n − 
r
a − Ar
a

a
n
⇔
( 1 + r ) = ⇔ n = log1+r
r
r
a − Ar
a
=
0,04
Áp dụng với A = 1 (tỷ),
(tỷ), r = 0,0065 ta được n ≈ 27,37 .
Vậy cần trả 28 tháng.
Câu 11. (TT DIỆU HIỀN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép,

lãi suất 0,5% một tháng. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn
125 triệu?
A. 46 tháng.
B. 45 tháng.
C. 44 tháng.
D. 47 tháng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
18


Sau 1 tháng, người đó nhận được 100 + 100.0,5% (triệu đồng) = 100.1,0051
triệu đồng.
Sau 2 tháng, người đó nhận được:
2

100.1,005 + 100.1,005.0,005 = 100.1,005 ( 1 + 0,005 ) = 100.( 1,005 )
triệu
đồng
n
Sau n tháng, người đó nhận được: 100.( 1,005 ) triệu đồng.
Theo đề: 100.( 1,005 ) > 125 ⇔ n > log1,005 1,25 = 44,7 tháng.
Vậy sau 45 tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng.
n

Câu 12. (TT DIỆU HIỀN) Năm 2014, một người đã tiết kiệm được x triệu đồng và

dùng số tiền đó để mua nhà nhưng trên thực tế người đó phải cần 1,55x triệu
đồng. Người đó quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% /
năm theo hình thức lãi kép và không rút trước kỳ hạn. Hỏi năm nào người đó
mua được căn nhà đó (giả sử rằng giá bán căn nhà đó không thay đổi).
A. Năm 2019.
B. Năm 2020.
C. Năm 2021.
D. Năm 2022.
Hướng dẫn giải
Chọn C
n
Số tiền người gửi tiết kiệm sau n năm là x ( 1 + 6,9% )
Ta cần tìm n để x ( 1 + 6,9% ) = 1,55 x ⇔ ( 1 + 6,9% ) = 1,55 ⇔ n ≈ 6,56...
Do đó, người gửi tiết kiệm cần gửi trọn 7 kỳ hạn, tức là 7 năm.
Vậy đến năm 2021 người đó sẽ có đủ tiền cần thiết.
n

n

Câu 13. (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Ông A vay ngân hàng 220 triệu đồng và trả

góp trong vòng 1 năm với lãi suất 1,15% mỗi tháng. Sau đúng 1 tháng kể từ
ngày vay, ông sẽ hoàn nợ cho ngân hàng với số tiền hoàn nợ mỗi tháng là
như nhau, hỏi mỗi tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng, biết
lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
220.( 1,0115 ) .0,0115
12

A.
C.

(triệu đồng).

( 1,0115) − 1
12
55.( 1,0115 ) .0,0115
(triệu đồng).
12

3

B.
D.

220.( 1,0115 )

12

(triệu đồng).

( 1,0115) − 1
12
220.( 1,0115 )
(triệu đồng).
12

3

Hướng dẫn giải
Chọn A.

a ( 1 + r ) .r
n

Mỗi tháng ông A sẽ phải trả bao nhiêu tiền cho ngân hàng x =
220 ( 1 + 1,15% ) .1,15%
12

=

( 1 + 1,15% )

12

−1
a = 200, r = 1,15%, n = 12

220.( 1,0115 ) .0,0115

(1+ r)

n

−1

12

=

( 1,0115 )

12

−1

với

19


Câu 14.

(QUỐC HỌC QUY NHƠN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo
hình thức lãi kép, lãi suất 0,5% một tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được
tính theo phần trăm tổng tiền có được của tháng trước đó và tiền lãi của tháng
sau đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu
đồng?
A. 47 tháng.
B. 46 tháng.

C. 45 tháng.
D. 44 tháng.

Hướng dẫn giải
Chọn C.
- Số tiền cả vốn lẫn lãi người gởi có sau n tháng là
S = 100(1 + 0,005) n = 100.1,005n
(triệu
đồng)
S
S
⇒ 1,005n =
⇒ n = log1,005
.
100
100
- Để có số tiền S = 125 (triệu đồng) thì phải sau thời gian
S
125
n = log1,005
= log1,005
≈ 44,74 (tháng)
100
100
- Vậy: sau ít nhất 45 tháng người đó có nhiều hơn 125 triệu đồng.
Câu 15. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Ông Nam gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng

theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất là 12% một năm. Sau n năm
ông Nam rút toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm số nguyên dương n nhỏ
nhất để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm

không thay đổi)
A. 4 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi Tn là tiền vốn lẫn lãi sau t tháng, a là số tiền ban đầu
Tháng 1 ( t = 1) : T1 = a ( 1 + r )

Tháng 2 ( t = 2 ) : T2 = a ( 1 + r )
……………….
t
Tháng n ( t = n ) : Tn = a ( 1 + r )
T
140
ln n
ln
t
a =
100 ≈ 33,815 (tháng)
Tn = a ( 1 + r ) ⇒ t =
ln ( 1 + r ) ln ( 1 + 1% )
t
Để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu thì n > ≈ 2,818
12
Vậy n = 3.
2

Ông An gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền a đồng, với lãi suất r% một

tháng, theo phương thức lãi đơn. Hỏi sau n tháng ông An nhận được số tiền cả
gốc và lãi được tính theo công thức nào?

Câu 16.

20


A. a + nar .
Hướng dẫn giải

B. nar .

C. a(1 + r )n .

D. na(1 + r ) .

Đây là bài toán lãi đơn nên từ giả thiết ta có số tiền lãi là nar . Do đó, số tiền
cả gốc và lãi là a + nar .
Đáp án: A.
Câu 17. Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng Vietcombank số tiền 50 triệu đồng với
lãi suất 0, 79% một tháng, theo phương thức lãi kép. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi
bà Mai nhận được sau 2 năm? (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 60393000 .
B. 50 793000 .
C. 50 790 000 .
D. 59 480 000 .

Hướng dẫn giải
Đây là bài toán lãi kép với chu kỳ là một tháng, ta áp dụng công thức A(1 + r )n

với A = 50 triệu đồng, r% = 0, 79% và n = 2.12 = 24 tháng.
Đáp án: A.
Câu 18. Chị Hà gửi ngân hàng 3350 000 đồng, theo phương thức lãi đơn, với lãi
suất 0, 4% trên nửa năm. Hỏi ít nhất bao lâu chị rút được cả vốn lẫn lãi là
4 020 000 đồng?
A. 5 năm.

B. 30 tháng.

C. 3 năm.

D. 24 tháng.

Hướng dẫn giải
Gọi n là số chu kỳ gửi ngân hàng, áp dụng công thức lãi đơn ta có:
4 020 000 = 3350 000(1 + n.0, 04 ) ⇒ n = 5 (chu kỳ) . Vậy thời gian là 30 tháng.
Đáp án: B.
Câu 19. Tính theo phương thức lãi đơn, để sau 2,5 năm rút được cả vốn lẫn lãi số

tiền là 10892 000 đồng với lãi suất
tiền bao nhiêu?
A. 9336 000 .
Hướng dẫn giải

5
% một quý thì bạn phải gửi tiết kiệm số
3

B.10 456 000 .

C. 617 000 .

D. 2108000 .

Đây là bài toán lãi đơn với chu kỳ là một quý. Vậy 2,5 năm ứng với 10 chu
x
kỳ.
Với
là
số
tiền
gửi
tiết
kiệm,
ta
có:
5 

10892000 = x  1 + 10.
÷ ⇒ x = 9336000 .
3.100 


Đáp án: A.
Câu 20. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là A đồng, với lãi
suất m% một tháng. Nếu người này không rút tiền lãi ra thì cuối N tháng số

tiền nhận được cả gốc và lãi được tính theo công thức nào?
21

A. A(1 + m) N .
C.

A
(1 + m) N +1 − (1 + m)  .
m

B.

A
(1 + m) N − 1
m
.

D. A + 2 Am + ... + NAm .

Hướng dẫn giải
Đầu tháng thứ nhất gửi A (đồng) thì cuối tháng thứ N nhận được số tiền cả
vốn lẫn lãi là A(1 + m) N (đồng).
Đầu tháng thứ hai gửi A (đồng) thì cuối tháng thứ N nhận được số tiền cả
vốn lẫn lãi là A(1 + m) N −1 (đồng).
Đầu tháng thứ N gửi A (đồng) thì cuối tháng thứ N nhận được số tiền cả
vốn lẫn lãi là A(1 + m) (đồng).
Hàng tháng gửi A đồng thì cuối N tháng nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là
A(1 + m) N + A(1 + m) N −1 + ... + A(1 + m)
= A  (1 + m) N + (1 + m) N −1 + ... + (1 + m) 
(1 + m) N +1 − (1 + m)
=A
.

m

Đáp án: C.
Câu 21. Bạn Lan gửi 1500 USD với lãi suất đơn cố định theo quý. Sau 3 năm, số
tiền bạn ấy nhận được cả gốc lẫn lãi là 2320 USD. Hỏi lãi suất tiết kiệm là bao

nhiêu một quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn)
A. 0,182 .
B. 0, 046 .
C. 0, 015 .
Hướng dẫn giải

D. 0, 037 .

Đây là bài toán lãi đơn, chu kỳ là một quý. Áp dụng công thức, ta có:
2320 = 1500(1 + 12r %) , bấm máy tính ta được lãi suất là r% ≈ 0, 046 một quý.
Đáp án: B.
Câu 22. Chị Thanh gửi ngân hàng 155 triệu đồng, với lãi suất 1, 02% một quý. Hỏi

sau một năm số tiền lãi chị nhận được là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)
A. 161421000 .
B. 6324 000 .
C.1581000 .
D. 6 421000 .
Hướng dẫn giải
Số tiền lãi chính là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trừ đi số tiền gốc, nên ta có:
tiền lại là 155.(1 + 0, 0102) 4 − 155 ≈ 6 421000 (đồng).
Đáp án: D.
Câu 23. Hãy cho biết lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu một năm nếu bạn gửi 15, 625
triệu đồng sau 3 năm rút được cả vốn lẫn lãi số tiền là 19, 683 triệu đồng theo

phương thức lãi kép?
22


A. 9% .

B. 8% .

C. 0, 75% .

D.

2
%.
3

Hướng dẫn giải
Gọi d

là lãi suất cần tìm. Áp dụng công thức lãi kép, ta có:
19, 683 = 15, 625(1 + d )3 ⇒ d = 0, 08 = 8% .

Đáp án: B.
Câu 24. Một khách hàng gửi tiết kiệm 64 triệu đồng, với lãi suất 0,85% một

tháng. Hỏi người đó phải mất ít nhất mấy tháng để được số tiền cả gốc lẫn lãi
không dưới 72 triệu đồng?
A.13 .
B. 14 .

C. 15 .
D. 18 .
Hướng dẫn giải
Gọi n là số tháng cần tìm, từ giả thiết ta có n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa
64(1 + 0, 0085) n > 72 ⇔ n > log1,0085

72
≈ 13,9 .
64

Đáp án: B.
Câu 25. Anh Thành trúng vé số giải thưởng 125 triệu đồng, sau khi trích ra 20%

số tiền để chiêu đãi bạn bè và làm từ thiện, anh gửi số tiền còn lại vào ngân
hàng với lãi suất 0,31% một tháng. Dự kiến 10 năm sau, anh rút tiền cả vốn lẫn
lãi cho con gái vào đại học. Hỏi khi đó anh Thành rút được bao nhiêu tiền?
(làm tròn đến hàng nghìn)
A. 144980 000 .
B. 103144 000 .
C. 181225000 . D. 137 200 000 .
Hướng dẫn giải
Số tiền anh Thành gửi vào ngân hàng là 125.80% = 100 (triệu đồng).
Sau 10 năm là 120 tháng, số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là:
100(1 + 0, 0031)120 ≈ 144980 000 (đồng).
Đáp án: A.
Câu 26. Bà An gửi tiết kiệm 53 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng. Sau 2 năm, bà ấy
nhận được số tiền cả gốc và lãi là 61 triệu đồng. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao

nhiêu một tháng (làm tròn đến hàng phần nghìn)? Biết rằng trong các tháng của
kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi

tháng sau; hết một kỳ hạn lãi sẽ được cộng vào vốn để tính lãi trong đủ một kỳ
hạn tiếp theo.
A. 0, 018 .
B. 0, 073 .
C. 0, 006 .
D. 0, 019 .
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức: 61 = 53(1 + r )8 ta được lãi suất một quý là r% . Do đó, lãi
suất một tháng là r% : 3 ≈ 0, 006 .
23


Đáp án: C.
Câu 27. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1000 000 đồng, với lãi
suất 0,8% một tháng. Sau một năm người ấy rút cả vốn và lãi để mua vàng thì

số chỉ vàng mua được là bao nhiêu? Biết giá vàng là 3575000 / chỉ.
A. 5 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Đây là bài toán gửi tiết kiệm hàng tháng một số tiền như nhau.
Sau một năm số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là B = 106.

1, 00813 − 1, 008
(đồng).
0, 008

Ta có: B : 3575000 ≈ 3,5 nên số chỉ vàng có thể mua được là 3.

Đáp án: D.
Câu 28. Anh Bảo gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn
là một quý, với lãi suất 1,85% một quý. Hỏi thời gian nhanh nhất là bao lâu để

anh Bảo có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vốn lẫn lãi?
A.19 quý.
B.15 quý.
C. 4 năm.
Hướng dẫn giải

D. 5 năm .

Gọi n là số quý cần tìm, từ giả thiết ta có n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa
27(1 + 0, 0185) n > 36 .
Ta có: n = 16 quý, tức là 4 năm.
Đáp án: C.
Câu 29. Bà Tư gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng Agribank theo kỳ hạn 3
tháng và lãi suất 0,59% một tháng. Nếu bà không rút lãi ở tất cả các định kỳ thì

sau 3 năm bà ấy nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (làm tròn tới
hàng nghìn)? Biết rằng trong các tháng của kỳ hạn, chỉ cộng thêm lãi chứ
không cộng vốn và lãi tháng trước để tính lãi tháng sau; hết một kỳ hạn lãi sẽ
được cộng vào vốn để tính lãi trong đủ một kỳ hạn tiếp theo.
A. 92576 000 .
B. 80 486 000 .
C. 92 690 000 .
D. 90930 000 .
Hướng dẫn giải
Đây là bài toán lãi kép, chu kỳ một quý, với lãi suất 3.0,59% = 1, 77% một quý.
Sau

quý, số tiền thu được cả gốc và lãi là
75(1 + 0, 0177) ≈ 92576 000 (đồng).
3

năm là 12
12

Đáp án: A.
Câu 30. Bạn muốn có 3000 USD để đi du lịch châu Âu. Để sau 4 năm thực hiện

được ý định thì hàng tháng bạn phải gửi tiết kiệm bao nhiêu (làm tròn đến hàng
đơn vị)? Biết lãi suất 0,83% một tháng.
24


A. 62 USD.
Hướng dẫn giải

B. 61 USD.

D. 51 USD .

D. 42 USD.

Gọi X (USD) là số tiền hàng tháng gửi tiết kiệm. Áp dụng công thức ta có:
3000 = X

1, 008349 − 1, 0083
, bấm máy tính ta được X ≈ 50, 7 (USD). Do đó, mỗi

0, 0083

tháng phải gửi 51 USD.
Đáp án: D.
Câu 31. Chị Vân muốn mua một chiếc xe máy Sirius giá 25 triệu đồng. Nếu sau 3

năm trả hết nợ thì mỗi tháng chị phải gửi vào ngân hàng số tiền như nhau là
bao nhiêu (làm tròn tới hàng nghìn)? Biết lãi suất 0,39% một tháng.
A. 603000 .
B. 645000 .
C. 604 000 .
D. 646 000 .
Hướng dẫn giải
Gọi X (đồng) là số tiền hàng tháng gửi ngân hàng. Áp dụng công thức ta có:
25.106 = X

1, 003937 − 1, 0039
, bấm máy tính ta được X ≈ 646 000 (đồng).
0, 0039

Đáp án: D.
Câu 32. Một sinh viên muốn có 12 triệu đồng để mua laptop nên mỗi tháng gửi
vào ngân hàng 250 000 đồng với lãi suất 0, 72% một tháng. Hỏi sau bao nhiêu

tháng anh ta đủ tiền mua laptop?
A. 41 .
B. 36 .
Hướng dẫn giải

C. 42 .

D. 37 .

Gọi n là số tháng cần tìm. Áp dụng công thức ta có: 12 = 0, 25

1, 0072n+1 − 1, 0072
0, 0072

, bấm máy tính ta được n ≈ 41,1 . Do đó, thời gian gửi tiết kiệm là 42 tháng.
Đáp án: C.
Câu 33. Ông Minh gửi vào ngân hàng G đồng, lãi suất d % một tháng theo
phương thức lãi kép. Mỗi tháng ông rút ra X đồng vào ngày ngân hàng tính
lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn lại được tính theo công thức nào sau đây:

A. G (1 + nd ) − X

(1 + d ) n − 1
.
d

C. G (1 + d )n − nX .
Hướng dẫn giải

B. G (1 + d )n − X
D. (G − nX )d .

(1 + d ) n − 1
.
d

Số tiền còn lại của ông M sau mỗi tháng định kỳ là như sau:
Sau tháng thứ nhất là G (1 + d ) − X .
2
Sau tháng thứ hai là ( G (1 + d ) − X ) (1 + d ) − X = G (1 + d ) − X [ (1 + d ) + 1] .

25