ĐỀ THI CHỌN đội TUYỂN HSG cấp TRƯỜNG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (3,5đ)
a. Giải phương trình sau: .
b.Chứng minh rằng chia hết cho 15 với mọi số tự nhiên x.
Câu 2: (3,5đ)
a.Cho có ba đường cao AA1, BB1,CC1 đồng quy tại H. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P=
b.Cho vuông tại có BC= a. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC theo a. Tìm điều
kiện của a để diện tích lớn nhất của là một số chính phương (một số được gọi là số chính
phương nếu nó là bình phương của một số nguyên)
Câu 3: (3đ) Cho hai đường tròn (O 1;R1) và (O2;R2) tiếp xúc ngoài với nhau, gọi MN là tiếp tuyến
chung ngoài của hai đường tròn.Biết rằng R1>R2 và MN =2R1. Tính tỉ số diện tích của hai hình
tròn (O1) và (O2).
Câu 4: (3,5đ)
a.Cho đa thức P(x) = . Biết rằng P(0)=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(a).
b.Cho các số thực x,y thỏa mãn x,y1 và . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F=
Câu 5: (3,5đ) Cho biểu thức: A=…
a.Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng là số chính phương với mọi
Câu 6: (3đ)
Cho 3 số nguyên dương đôi một khác nhau. Hai bạn A và B chơi một trò chơi như sau:
i)Mỗi lượt chơi mỗi bạn sẽ viết ngẫu nhiên ít nhất 1 số trong 3 số trên sao cho có 4 số
được viết ra.
ii)Không có lượt chơi nào mà hai bạn viết ra các bộ số hoàn toàn giống nhau và mỗi bạn
sẽ viết ra các số đôi một khác nhau.
iii)Không có 3 lượt chơi liên tiếp nào mà các số chung nhau là giống nhau.
a.Chứng minh rằng sau 3k lượt chơi (với k nguyên dương) thì tổng các số viết ra là bội của 4.
b.Chứng minh rằng nếu 3 số đã cho là 3 số lẻ thì không tồn tại số nguyên dương m sao cho tổng

các số được viết ra là 4m(
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2018 – 2019
MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút


Câu I: 4đ
1 Giải hệ phương trình:
2 Giải phương trình
Câu II.4đ
1
2

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = .
Tìm x để P = nhận giá trị nguyên.

Câu III.6đ Cho parabol (P): và đường thẳng d:
1
2

Tìm m để đường thẳng d cắt P tại hai điểm phân biệt.
Giả sử P cắt d tại hai điểm có hoành độ , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu IV.4đ
1
2

Cho phương trình: (m là tham số). Tìm m để phương trình trên có hay nghiệm thỏa mãn:
= 2m+1.

Cho số tự nhiên A có dạng với B là một số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng A là số
chính phương khi và chỉ khi B=n(n+1) (n

Câu V:2đ Cho đường tròn tâm O, từ một đường kính AB bất kì lây một điểm M trên đường kính
đó và chia đường kính thành hai phần có tỉ số độ dài là 1:2. Vẽ về hai phía của đường kính đó
các nửa đường tròn đường kính AM, BM .Tính tỉ số diện tích của của hai hình được tạo thành.

ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8
Đề 1:
Câu 1: (4,5đ) Cho biểu thức sau: A = +
a
b

Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức trên.
Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của A là lập phương của một số tự nhiên.

Câu 2: (4,0đ)
1
2

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

Câu 3: (3,5đ)
1 Giải phương trình sau: 0
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:A=
Câu 4: (5,0đ)


1

2
3

Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho nếu ta chuyển vị trí chữ số hàng đơn vị về bên
trái của số đó thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị.
Cho một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 1080 . Tìm tỉ số giữa canh bên và cạnh đáy.
Cho hình lập phương có cạnh là a và hình hộp chữ nhật có ba cạnh là a, b, c có cùng thể
tích với nhau thỏa mãn: b2 + c2 + 2 = 5a. Tìm thể tích nhỏ nhất và thể tích lớn nhất của
hình lập phương.

Câu 5: (3,0đ) Trên bảng cho n điểm phân biệt, mỗi điểm được đánh số thứ tự từ 1 đến n. Người
ta tiến hành xóa đi những điểm mang số thứ tự chẵn. Chứng minh rằng sau khi xóa đi thì tổng
các số còn lại trên bảng là bình phương của một số tự nhiên. Từ đó, hãy tìm các số tự nhiên n sao
cho khi ta thực hiện việc xóa đi như trên thì tổng các số còn lại trên bảng là 100.
--Hết—

Đề 2
Câu 1: (4,5đ) Cho biểu thức sau: A =
a Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức trên nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (4,0đ)
1
2

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

Câu 3: (4,5đ)
1
2

Giải phương trình sau:
Tìm gái trị lớn nhất của biểu thức sau: B =

Câu 4: (3,5đ) Cho hình vuông ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC; O
là giao điểm của AJ và DI. Biết rằng = (đvdt). Tìm diện tích của tứ giác ADJI.
Câu 5: (4,0đ)


1. Tìm các số thực x, y thỏa mãn:
2. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
sau:
M=
Dấu “=’’ xảy ra khi nào?