Đề thi HSG cấp huyện môn toán lớp 9 (25 đề kèm đáp án)

n 2 MCD
 sin 2 MDC

b. Chứng minh:  OK 2  AH (2 R  AH )  
c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. 
-----------------------Hết--------------------

/>
121 


“Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (25 đề + đáp án chi tiết)”

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ SỐ: 25 
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Đề thi HSG Toán 9 –Phòng GD&ĐT Thanh Chương - Năm học 2010 – 2011)
.
Điểm 
Nội dung cần đạt
Câu Ý
Q  x  5 x  2 2 x  2 10  x

a
1
(2,0đ) 



x 5



x 2 2





x  5 2 2





0,5 

x 5 



 

x  13  4 10    x  8  2.2 2. 5  5  (2 2  5) 2  2 2  5  

b Vậy:  Q   2 2  5  5  2 2  5  2 2   2 2.( 5)  2 10  
y  x  2m  1 ; với  m  tham số 

Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 
a

0,5 
0,5 
 
0,25 

1
2 m  1  0  m    
2

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: 
A  2m  1;0   
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B  0; 2m  1  
b
Ta có:   AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: 

2
(2,0đ)

0,5 

 
0,5 
 
 
0,5 

m  0
1
1
2

1
1
1
 Hay  2  2  2  2 
 



2
2
2
2
OH
OA OB
x A yB
(2m  1)
 m  1

Hoành độ trung điểm I của AB:  xI 

c

Tung độ trung điểm I của AB:  yI 

x A  xB 2 m  1
 

2
2

y A  yB (2m  1)
 

2
2

Ta có:  yI   xI   Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là 

 
0,5 
 
 
0,25 

đường thẳng  y   x   
Điều kiện:  x  2  
3
(2,5đ)

0,2 
 
x 1  2 x  2  x  1  5 x  2  x  2  2 x  2  1  x  1  5 x  2
0,2 

a







2

x  2 1  x 1 5 x  2  0  x  2 1 x 1 5 x  2  0

 x  2  4 x  2  4  0  ( x  2  2)2  0  x  6  2

 
/>
0,3 
 
0,3 
122 


“Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (25 đề + đáp án chi tiết)”

Vậy nghiệm của pt là:  x  6  
Với  a; b là hai số dương ta có: 
2

 a  b
b

2

1



1 
  2.a.
 b.1   2a 2  b2    1  (Theo 
2
2 



Bunhiacopski) 
3
2
  a  b    a 2  6   (Vì  a 2  b 2  6 )  Hay  3(a 2  6)  (a  b) 2  
2

x 2  xy  2008 x  2009 y  2010  0
2

 x  xy  x  2009 x  2009 y  2009  1

 

 x( x  y  1)  2009( x  y  1)  1  ( x  2009)( x  y  1)  1  

c

  x  2009  1
  x  2010


  x  y  1  1    y  2010  

  x  2009  1   x  2008


  x  y  1  1
  y  2010

K

O

D

4
(3,5đ)

 
0,25 
 
0,5 
 
 
0,25 

0,25 

C

B

 

 
0,25 
 
0,25 
 

M

H

A

 

Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M 
nên: 
a
·
·
·
·
= 
sin 2 MBA
 sin 2 MAB
 sin 2 MCD
 sin 2 MDC
2 ·
2·
2 ·
2·

(sin MBA  cos MBA)  (sin MCD  cos MCD) = 1  + 1 = 2 
Chứng minh:  OK 2  AH (2 R  AH )  
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH 
b Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB 
có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH 
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 
P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH  
c
(Vì MK = OH) 

/>
 
0,75 

 
 
0,5 
 
0,5 
0,25 
0,25 
123 


“Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 9 (25 đề + đáp án chi tiết)”

Mà OH.MH 
Vậy  P  4 R 2 .
 OH =

OH 2  MH 2 OM 2 R 2
(Pitago) 


2
2
2

R2
 2 R 4 . đẳng thức xẩy ra   MH = OH  
2

R 2
 
2

 
 
0,25 
 
0,25 
 

-----------------------Hết--------------------

/>
124