Một số bài toán hình học phẳng ôn tập olympiad

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

6 Chuyên đề
Hình học phẳng

1


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Dạng 1. Chứng minh các bài toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng
1. 1 Phương pháp
1.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt
nhau tại M. Đường phân giác của góc ACD cắt tia BA ở K. Nếu
MA.MC  MA.CD  MB.MD thì BKC  CDB .

Bài 2. (Đề thi Olympic Belarus) Cho tam giác ABC vuông tại C, gọi M là trung điểm
của cạnh huyền AB, H là chân đường cao hạ từ C và P là điểm trong tam giác sao
cho AP  AC . Hãy chứng minh rằng PM là phân giác góc BPH khi và chỉ khi A 


3

2


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

3

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Bài

3.

(Đề

thi

Olympic

Italia)

  DAB,   ADB,   ACB,   DBC ,   DBA .


Cho

tứ
Giả

giác

lồi
thiết

ABCD

với
rằng



2
,     ,   2   . Chứng minh rằng  DB  BC   AD 2  AC 2
2
2

Bài 4. (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác
ABC cắt các cạnh của tam giác tại A1, B1, C1 sao cho tứ giác BA1B1C1 nội tiếp. Chứng
minh rằng

BC
AC
AB


AC  AB BA  BC CA  CB

4


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Bài 5. (Đề thi Olympic Rumani) Cho tam giác nhọn ABC và điểm M là trung điểm của
BC. Tồn tại duy nhất 1 điểm N nằm ở miền trong tam giác ABC sao cho
ABN  BAM , ACN  CAM . Chứng minh rằng BAN  CAM

5


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Bài 6. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm cận xuất
phát từ điểm S nằm bên ngoài đường tròn có tiếp điểm là P, Q. Đường thẳng SO giao
với đường tròn tại A, B với B gần S hơn A. Cho X là một điểm nằm trong cung nhỏ
PB và đường SO giao với các đường QX và PX lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng
1
1
2


AC AD AB

6


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Bài 7. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong và
ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D và E. Cho F là giao điểm thứ hai
(khác A) của AC với đường tròn w có đường kính DE. Vẽ tiếp tuyến tại A với đường
tròn ngoại tiếp của tam giác ABF và giao với đường tròn w tại A và G. Chứng minh
rằng AF  AG .

Bài 8. (Đề thi Olympic Canada) Cho O là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD
sao cho AOB  COD   . Chứng minh rằng OBC  ODC .

7


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Bài 9. (Đề thi Olympic Đức) Một hình vuông Sa nội tiếp một tam giác nhọn ABC với 2
đỉnh nằm trên cạnh BC và 1 đỉnh nằm trên cạnh AB, 1 đỉnh nằm trên cạnh AC. Các
hình vuông Sb, Sc được xây dựng tương tự. Với những trường hợp nào của tam giác
ABC thì các hình vuông Sa, Sb, Sc là bằng nhau.

1.3 Bài tập áp dụng
8


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Bài 10. (China – 1988) (p 48) ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính
R. Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R lần lượt tại A’, B’, C’,
D’. Chứng minh rằng A ' B ' B ' C ' C ' D ' D ' A '  2  AB  BC  CD  DA . Khi nào đẳng
thức được nghiệm đúng?
Bài 11. (China – 1995) (p 78) Cho 2 tia OA, OB trong mặt phẳng và P là điểm nằm
giữa 2 tia này. Hãy xác định điểm X nằm trên tia OA sao cho nếu XP kéo dài cắt OB
tại Y thì tích XP.PY có giá trị nhỏ nhất.
Bài 12. (China – 1996) (p 84) Trong tam giác ABC có C  900 , A  300 , BC  1. Tìm giá
trị bé nhất của độ dài cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp trong ABC (tức là tam giác
có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh khác nhau của tam giác ABC.
Bài 13. (China – 2001) (p 91) ABCD là tứ giác nội tiếp. Tâm đường tròn ngoại tiếp
nằm trong ABCD. Cạnh ngắn nhất có độ dài bằng

4  t 2 và cạnh dài nhất có độ dài

bằng t với 2  t  2 . Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại A’, các tiếp tuyến tại B và
C cắt nhau tại B’, các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại C’ và các tiếp tuyến tại D và A
cắt nhau tại D’. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của

S A ' B 'C ' D '
.
S ABCD

Bài 14. (Bắc Kinh – 1964)(p105) Trong tam giác ABC có góc A không nhọn, người ta
dựng hình vuông nội tiếp B1C1DE (cạnh DE nằm trên đoạn BC, còn các đỉnh B1, C1
lần lượt nằm trên đoạn AB và AC). Tiếp theo, từ tam giác AB1C1, lại dựng hình vuông
B2C2D1E1 nội tiếp tam giác đó (dựng như hình vuông ban đầu). Quá trình dựng như
trên được thực hiện một vài lần. Chứng minh rằng, tổng diện tích tất cả các hình vuông
nội tiếp trong tam giác bé hơn nửa diện tích tam giác ABC.
Bài 15. (Bắc Kinh – 1966) (P109) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B
sao cho 2 điểm O và O’ tương ứng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB. Cát tuyến PQ đi
qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q.
a. Trong trường hợp nào thì A nằm giữa P và Q?
b. Giả sử A nằm giữa P và Q, hãy xác định vị trí cát tuyến PQ để độ dài PQ lớn
nhất.
c. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để PA = QA.
Bài 16. (IMO Hong Kong – 2000) (p180) Tam giác ABC vuông có BC  CA  AB . Gọi
D là 1 điểm trên cạnh BC, E là 1 điểm trên cạnh BA kéo dài về phía điểm A, sao cho
BD  BE  CA . Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho E, P, D, P nằm trên 1 đường

9


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

tròn, Q là giao điểm thứ 2 của BP với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh
rằng AQ  CQ  BP .
Bài 17. (Malaysia – 2000) Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
2

AB  c, BC  a, AC  b và 3ABC  BAC . Chứng minh rằng  a  b  a  b   bc 2

Bài 18. (IMO 1960) (40 – p24) Cho tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC có độ
dài a. Chia BC thành n phần bằng nhau, với n là một số nguyên dương lẻ. Khi đó, tam
giác ABC được chia thành n tam giác nhỏ và tam giác nhỏ ở chính giữa có góc tại đỉnh
a bằng α. Gọi H là khoảng cách từ A đến BC. Chứng minh rằng

tan  

4 nh
an 2  a

Bài 19. (IMO 1961) (40 – p29) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có diện
tích là S. Chứng minh rằng a 2  b 2  c 2  4 3S . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 20. (IMO 1961) (40 – p30) Gọi P là điểm tuỳ ý nằm trong tam giác ABC. PA cắt
BC ở D, PB cắt AC ở E, PC cắt AB ở F. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các tỉ
số sau đây không lớn hơn 2:

AP BP CP
;
;
PD PE PF

Bài 21. (IMO 1964) (40 – p43) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Ta lần

lượt vẽ các tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp của tam giác này song song với 3 cạnh
tam giác. Mỗi tiếp tuyến hợp với hai cạnh kia của tam giác để tạo thành một tam giác
mới, như thế ta được 3 tam giác mới tạo thành. Lại vẽ 3 đường tròn nội tiếp ở 3 tam
giác mới đó. Hãy tính tổng diện tích 4 hình tròn nội tiếp nói trên.
Bài 22. (IMO 1966) (40 – p47) Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu
BC  AC  tan

C
 BC tan A  AC tan B 
2

Bài 23. (IMO 1966) (40 – p48) Gọi K, L, M lần lượt là các điểm tuỳ ý nằm trên các
cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng trong các tam giác AML,
BKM, CLK có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng ¼ diện tích tam
giác ABC.
Bài 24. (IMO 1975) (40 – p66) Cho tam giác ABC bất kỳ. Ta dựng bên ngoài tam giác
đó
các
tam
giác
BCP,
CAQ,
ABR
sao
cho:
PBC  CAQ  450 ; BCP  QCA  300 ; ABR  BAR  150 .

Chứng

minh

rằng

QRP  900 , QR  RP

10