Nghiên cứu một số thuật toán hệ mật mã khoá công khai elgamal và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THỊ TUYẾT

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN HỆ MẬT MÃ
KHOÁ CÔNG KHAI ELGAMAL VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2015



ĐẠ I HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PHẠM THỊ TUYẾT

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN HỆ MẬT MÃ
KHOÁ CÔNG KHAI ELGAMAL VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN NGỌC CƯƠNG

THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bở t Trung âm Học liệu – ĐHTN

i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn “ Nghiên cứu một số thuật toán hệ mật mã
khoá công khai ElGamal và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi
tìm hiểu, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Ngọc Cương. Các kết quả
là hoàn toàn trung thực, toàn bộ nội dung nghiên cứu của luận văn, các vấn đề
được trình bày đều là những tìm hiểu và nghiên cứu của chính cá nhân tôi hoặc là
được trích dẫn từ các nguồn tài liệu được trích dẫn và chú thích đầy đủ.
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Phạm Thị Tuyết


ii

LỜI CẢM ƠN
Học viên xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới tập thể các thầy cô giáo Viện
công nghệ thông tin, các thầy cô giáo Trường Đại học Công nghệ thông tin và
truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã mang lại cho học viên kiến thức vô cùng
quý giá và bổ ích trong suốt quá trình học tập chương trình cao học tại trường. Đặc
biệt học viên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Ngọc
Cương - Học viện an ninh đã định hướng khoa học và đưa ra những góp ý, gợi ý,
chỉnh sửa quý báu, quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu
hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, học viên xin chân thành cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp, gia

đình và người thân đã quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ với học viên trong suốt quá
trình học tập.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn chắc không tránh khỏi
những thiếu sót nhất định. Học viên rất mong nhận được những sự góp ý quý báu
của thầy cô và các bạn.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015
HỌC VIÊN
Phạm Thị Tuyết


3

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN........................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ................................................................................ vi
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 ............................................................................................................... 3
TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT MÃ ..................................................................... 3
1.1. Lý thuyết toán học............................................................................................... 3
1.1.1. Số nguyên tố, UCLN, BCNN .......................................................................3
1.1.2. Nhóm, vành, trường, trường hữu hạn ...........................................................3
1.1.3 Số học Modulo (phép tính đồng dư) ..............................................................5
1.1.4. Không gian rời rạc của phép lấy Logarit ......................................................6
1.1.5. Định lí Fermat và định lí Euler......................................................................6
1.1.6. Hàm một phía và hàm một phía có cửa sập ..................................................6
1.1.7. Định lí Trung Quốc về phần dư: ...................................................................7
1.2. Mật mã ................................................................................................................ 7
1.2.1. Khái niệm ......................................................................................................7
1.2.2. Những yêu cầu đối với hệ mật mã ................................................................8

1.2.3. Hệ mã hóa RSA ............................................................................................8
1.2.4. Hệ mã hóa Paillier.........................................................................................9
1.2.5. Hệ mã hóa ElGamal ....................................................................................10
1.2.6 Hệ mật đường cong Eliptic ...........................................................................10
1.3. Chữ ký điện tử ................................................................................................... 11
1.3.1. Sơ đồ chữ ký điện tử ...................................................................................11
1.3.2. Chữ ký mù RSA ..........................................................................................12
1.3.3. Chữ ký nhóm (Group Signature) ................................................................13
1.4. Khái niệm xác thực điện tử ............................................................................... 15


4

1.5. Hàm băm (Hash Function) ................................................................................ 16
CHƯƠNG :HỆ MẬT MÃ ELGAMAL CẢI TIẾN VÀ MÃ HÓA ĐỒNG CẤU ... 17
2.1. Hệ mã hóa ElGamal cải tiến.............................................................................. 17
2.1.1. Thuật toán mật mã ElGamal cổ điển ..........................................................17
2.1.2. Một số thuật toán ElGamal cải tiến [3] .......................................................18
2.1.2.1 Thuật toán thứ nhất .............................................................................18
2.1.2.2 Thuật toán thứ hai ...............................................................................21
2.1.2.3 Thuật toán thứ ba .................................................................................23
2.2. Hệ mã hóa đồng cấu .......................................................................................... 26
2.2.1. Khái niệm mã hóa đồng cấu........................................................................26
2.2.2. Hệ mã hoá Elgamal có tính chất đồng cấu..................................................26
2.2.3. Mô hình hệ mã hóa đồng cấu ElGamal cho mô hình bỏ phiếu có/không....27
2.3. Sơ đồ chia sẻ bí mật .......................................................................................... 29
2.3.1. Khái niệm chia sẻ bí mật.............................................................................29
2.3.2. Giao thức “Chia sẻ bí mật” Shamir.............................................................31
2.3.2.1. Khái niệm sơ đồ ngưỡng A(t, m) ........................................................31
2.3.2.2. Chia sẻ khoá bí mật K .........................................................................32

2.3.2.3. Khôi phục khóa bí mật K từ t thành viên...........................................33
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG HỆ MẬT MÃ ELGAMAL TRONG BÀI TOÁN BỎ
PHIẾU THĂM DÒ TÍN NHIỆM............................................................................. 37
3.1. Hệ thống bỏ phiếu điện tử [5] ........................................................................... 37
3.1.1. Khái niệm bỏ phiếu điện tử.........................................................................37
3.1.2. Yêu cầu của hệ thống bỏ phiếu điện tử.......................................................38
3.1.3. Những vấn đề cần giải quyết ......................................................................38
3.1.4.Các thành phần trong hệ thống bỏ phiếu điện tử .........................................39
3.1.5. Quy trình bài toán bỏ phiếu điện tử ............................................................39
3.2. Ứng dụng hệ mật ElGamal trong quá trình bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm.......... 41
3.2.1. Thiết lập ......................................................................................................41
3.2.3. Mở phiếu bầu ..............................................................................................43
3.3. Xây dựng chương trình thử nghiệm mô hình bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm ...... 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5

3.3.1. Môi trường cài đặt và thử nghiệm ..............................................................44
3.3.2. Phát biểu bài toán ........................................................................................44
3.3.3 Các đối tượng của hệ thống ........................................................................45
3.3.4. Phân tích và thiết kế chương trình bỏ phiếu: ..............................................45
3.3.5 Các chức năng chính ....................................................................................45
3.3.6. Thứ tự thực hiện chương trình ....................................................................46
3.3.7. Kết quả thực nghiệm ...................................................................................47
3.4. Phân tích vấn đề bảo mật cần đạt được ............................................................. 56
3.5. Các tính chất đạt được....................................................................................... 56
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ................................................. 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 58

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




6

MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Sơ đồ mã hóa và giải mã ............................................................................ 7
Hình 2.1. Sơ đồ bỏ phiếu đồng ý/ không đồng ý .......................................................
28
Hình 2.2. Sơ đồ ngưỡng Shamir.............................................................................. 32
Hình 3.1. Sơ đồ Quy trình bỏ phiếu điện tử ............................................................. 40
Hình 3.2. Sơ đồ mô tả bỏ phiếu thăm dò tín nhiệm ................................................. 41
Hình 3.3. Sơ đồ giai đoạn bỏ phiếu tín nhiệm ......................................................... 42
Hình 3.4. Giao diện chính của chương trình ............................................................ 47
Hình 3.5. Ban tổ chức đăng nhập vào hệ thống ...................................................... 48
Hình 3.6. Thông báo tạo cơ sở dữ liệu cán bộ thành công....................................... 48
Hình 3.7. Bảng danh sách cán bộ sau khi được ban tổ chức tạo cơ sở dữ liệu ....... 49
Hình 3.8. Thông báo tạo cơ sở dữ liệu ban kiểm phiếu thành công. ....................... 49
Hình 3.9. Cán bộ đăng nhập vào hệ thống ............................................................... 49
Hình 3.10. Quá trình bỏ phiếu.................................................................................. 50
Hình 3.11. Cán bộ cập nhật thông tin ...................................................................... 50
Hình 3.12. Thông báo nhắc nhở lựa chọn của cán bộ .............................................. 51
Hình 3.13. Thông báo xác nhận lựa chọn của cán bộ .............................................. 51
Hình 3.14. Ban kiểm phiếu đăng nhập vào hệ thống ............................................... 52
Hình 3.14. Mảnh khóa của ban kiểm phiếu ............................................................. 52

Hình 3.15. Ban kiểm phiếu cập nhật thông tin......................................................... 53
Hình 3.16. Thông báo xác nhận quá trình gửi mảnh khóa ....................................... 53
Hình 3.17. Xác nhận tổng hợp đủ các mảnh khóa ................................................... 54
Hình 3.18. Thông báo ghép mảnh khóa thành công ................................................ 54
Hình 3.19. Kết quả bỏ phiếu .................................................................................... 55
Hình 3.20. Cơ sở dữ liệu trong mô hình bỏ phiếu tín nhiệm ................................... 56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

MỞ ĐẦU
1. Tính khoa học và cấp thiết của đề tài
Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, hiện nay vấn đề an toàn thông
tin trở nên hết sức cần thiết trên qui mô toàn cầu. Đảm bảo tính bảo mật, khả năng
xác thực nguồn gốc gói tin trong quá trình truyền tải thông tin qua môi trường
không an toàn như Internet là một vấn đề nóng trong nghiên cứu và thực tiễn. Để
đảm bảo tính bảo mật và xác thực người ta cần phải mã hoá, có một số thuật toán
mã hoá công khai rất nổi tiếng: RSA, ElGamal, ... Tuy nhiên, các hệ mật mã này có
nhược điểm là không có cơ chế xác thực thông tin được bảo mật (nguồn gốc, tính
toàn vẹn) do đó chúng không có khả năng chống lại một số dạng tấn công giả mạo
trong thực tế. Chính vì vậy hiện nay, người ta [3] đã đề xuất một số cải tiến hệ mật
mã ElGamal. Ưu điểm của các thuật toán mới đề xuất này là ở chỗ cho phép bảo
mật và xác thực thông tin một cách đồng thời mà mức độ an toàn của các thuật toán
mới đề xuất không nhỏ hơn mức độ an toàn của thuật toán ElGamal xét theo khả
năng chống thám mã khi tấn công trực tiếp vào các thủ tục mã hóa và giải mã.
Để góp phần nâng cao hiệu năng của phương pháp mã hóa ElGamal. Trong

luận văn này, học viên đặt mục tiêu nghiên cứu, thử nghiệm thuật toán mã hóa
Elgamal và các cải tiến mới của các tác giả đã đưa ra, so sánh hiệu quả của chúng
và kiểm định thuật toán này bằng một ứng dụng trong thực tiễn. Đây là bài toán lựa
chọn các khả năng trong các giải pháp đã có bằng việc mã hóa và xác thực như bài
toán bỏ phiếu điện tử do các cán bộ tiến hành hoặc bài toán thăm dò tín nhiệm lãnh
đạo tại một đơn vị. Những bài toán này luôn đòi hỏi tính bí mật, ví dụ trong bỏ
phiếu điện tử (e-voting), việc đảm bảo tính đúng đắn bảo mật ở đây có thể bao gồm
cả việc không để lộ danh tính cử tri (ai bỏ phiếu cho ứng viên nào?), tính duy nhất
(mỗi cử tri đảm bảo chỉ tối đa 1 lần bỏ phiếu)...
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ mật khóa công khai ElGamal và các cải tiến của
hệ mật mã.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




2

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu cải tiến dựa trên thuật toán đã có và xây
dựng chương trình ứng dụng trong bài toán thăm dò dư luận về mức độ tín nhiệm
đối với một đơn vị (ở đây là tổng công ty xăng dầu Việt Nam).
3. Hướng nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu các đề xuất một số thuật toán mật mã khóa công khai được phát
triển từ hệ mật ElGamal của các tác giả đã công bố để xây dựng chương trình ứng
dụng trong bài toán bỏ phiếu thăm dò dư luận về mức độ tín nhiệm.
- Đánh giá ưu điểm của các thuật toán mới do các tác giả đã đề xuất về mức độ
bảo mật và xác thực thông tin một cách đồng thời.
4. Những nội dung nghiên cứu chính

Luận văn được trình bày trong 3 chương, có phần mở đầu, phần kết luận,
phần mục lục, phần tài liệu tham khảo. Các nội dung cơ bản của luận văn được trình
bày theo cấu trúc sau:
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT MÃ
Trong chương này tổng trình bày một số khái niệm cơ bản trong toán học mà
các hệ mã hoá thường sử dụng như: mod, số nguyên tố, vành Zn, các phép toán
cộng, nhân, bài toán logarrit rời rạc trên không gian Zn.... Sau đó đưa ra các khái
niệm mật mã, các thuật toán mã hoá, chữ ký số phục vụ cho việc mã hoá thông tin.
Chương 2: HỆ MẬT MÃ ELGAMAL CẢI TIẾN VÀ MÃ HÓA ĐỒNG CẤU
Tập trung nghiên cứu một số thuật toán mật mã ElGamal cải tiến, tính chất
đồng cấu của hệ mật ElGamal và sơ đồ chia sẻ bí mật theo ngưỡng Shamir.
Chương 3: ỨNG DỤNG HỆ MẬT MÃ ELGAMAL TRONG BÀI TOÁN BỎ PHIẾU
THĂM DÒ TÍN NHIỆM

Cài đặt thử nghiệm thuật toán hệ mật ElGamal cải tiến và kỹ thuật chia sẻ
khóa bí mật Shamir.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ CÁC HỆ MẬT MÃ
1.1. Lý thuyết toán học
1.1.1. Số nguyên tố, UCLN, BCNN
a), Số nguyên tố: là số nguyên dương lớn hơn 1và chỉ có duy nhất 2 ước là 1và
chính nó.

b), Ước chung lớn nhất (ƯCLN):
Cho hai số nguyên a và b, b  0. Nếu có một số nguyên q sao cho a =
b*q, thì ta nói rằng a chia hết cho b(b\a). Khi đó b là ước của a và a là bội của b.
Số nguyên d được gọi là ước chung của các số nguyên a1, a2, .., an nếu nó là
ước của tất cả các số đó.
d được gọi là ước chung lớn nhất của a1, a2, .., an nếu d > 0 và là số lớn nhất
trong tập hợp các ước chung của các số đó. Ký hiệu d = gcd ( a1, a2, .., an ) hay d
= UCLN (a1, a2, .., an ).
a) Bội chung nhỏ nhất (BCNN):
Số nguyên m được gọi là bội chung của các số nguyên a1, a2, .., an nếu nó là
bội của tất cả các số đó.
m được gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2, .., an nếu m > 0 và là số nhỏ nhất
trong tập hợp các bội chung của các số đó. Kí hiệu m = lcm(a1, a2, .., an ) hay m
= BCNN(a1, a2, .., an ).
Hai số nguyên tố p và q được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn
nhất của chúng bằng 1. Kí hiệu: UCLN (m, n) = 1
1.1.2. Nhóm, vành, trường, trường hữu hạn
a) Phép toán hai ngôi
Cho G là một tập hơp. Phép toán hai ngôi (*) là một ánh xạ:
(*): G  G  G
(x, y)  z  x * y G,  x, y G

Ví dụ: G = Z. Phép toán (*) là phép (+)
b) Nhóm
Nhóm là bộ các phần tử (G, *) thỏa mãn các tính chất sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

4

- Tính chất kết hợp: ( x * y ) * z = x * ( y * z ), x, y, z  G
- Tồn tại phần tử trung lập e  G: e * x = x * e = x, x  G
- Tồn tại phần tử nghịch đảo x’  G: x’ * x = x * x’ = e
Nhóm Cyclic: Nhóm (G, *) được gọi là nhóm Cyclic nếu nó được sinh ra bởi
một trong các phần tử của nó. Tức là có phần tử g  G mà với mỗi a  G, đều
n
tồn tại số n  N để g = a. Khi đó g là phần tử sinh hay phần tử nguyên thủy của
nhóm G.
+
Ví dụ: (Z ,*) gồm các số nguyên dương là nhóm Cyclic có phần tử sinh là 1.
Cấp của nhóm Cyclic: Cho (G,*) là nhóm Cyclic với phần tử sinh là g, và
n

phần tử trung lập e. Nếu tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất n mà g = e thì G sẽ chỉ gồm
1

2

có n phần tử khác nhau: e, g, g , g ,…,

n-1

g

. Khi đó G được gọi là nhóm Cyclic hữu
n

hạn cấp n. Nếu không tồn tại số tự nhiên n để g = e thì G có cấp vô hạn.
c, Vành
Vành là một tập R với 2 toán tử + (cộng) và * (nhân) thỏa mãn các điều kiện
sau:
<R,+> là nhóm Abel
<R,*> là nửa nhóm
Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z



X ta

có:
x(y + z) = xy + z và
(y + z) x = yx + zx
Nếu phép nhân là giao hoán thì R được gọi là vành giao hoán
d, Trường
Giả sử F là tập hợp khác rỗng, trên đó có hai phép toán đóng hai ngôi bất
kỳ, chẳng hạn ký hiệu là + (cộng) và * (nhân). F là một trường nếu và chỉ nếu:
(F,+) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "0" (F\
{0},*) là nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là "1"
Các phép toán cộng và nhân có tính chất phân phối: a(b+c) = ab + ac
Số phần tử của một trường được gọi là bậc của một trường. Một trường có số
phần tử hữu hạn được gọi là trường hữu hạn, một trường có số phần tử vô hạn được
gọi là trường vô hạn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

Trường hữu hạn là trường chứa hữu hạn các phần tử. Mọi trường hữu hạn có một
số nguyên tố là đặc số của trường. Một trường F có đặc số thì với mọi a  F,
p

pa  a  ...  a  0
e. Trường hữu hạn Fp:
Cho p là số nguyên tố. Trường hữu hạn Fp bao gồm tập các số nguyên {0, 1, 2,
.., p-1} cùng với các phép toán:
Phép cộng: Nếu a, b



p

, ta có a + b = r, với r là phần dư khi chia a + b cho p

F
và 0  r  p 1 . Đây gọi là phép cộng modulo p.
Phép nhân: Nếu a, b  Fp , ta có a.b = s, với s là phần dư khi chia a.b cho p
và 0  s  p 1 . Đây gọi là phép nhân modulo p.
Phép nghịch đảo: Nếu a



p

(a  0), phép nghịch đảo của a modulo p, ký

F
hiệu là a-1, nếu tồn tại duy nhất số nguyên c  Fp sao cho a.c = 1.

Trường hữu hạn F2m:
Trường F2m, kí hiệu F2m = {0,1, a1, a2, ..., a2m-2}, được gọi là trường hữu
hạn nhị phân. Khi đó tồn tại m phần từ  0,  1, ..., 

m-1

trong F2m sao cho

mỗi
phẩn tử 



A = a0 

F2m có thể viết duy nhất dưới dạng:
0

+ a1 

1

+ ... + am-1 

Một bộ {  0,  1, ..., 

m-1

m-1

với ai  0,1

} được gọi là cơ sở của F2m trên F2. Với mỗi cơ sở

như vậy thì một phần tử  của trường có thể biểu diễn dưới dạng xâu bit ( a0a1 am-1).
1.1.3 Số học Modulo (phép tính đồng dư)
Cho mỗi số nguyên dương n và một số nguyên a bất kì nếu chúng ta chia a cho
n được thương là q và phần dư là r: a = q*n
+ r với 0 = < r < n và q = [a/n]
Kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x.
+

Như vậy, nếu a  Z và n  Z thì chúng ta định nghĩa a mod n phần
dư của phép chia a cho n. Với ví dụ trên ta có: r = a mod n.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




Hai số nguyên a và b được gọi là đồng dư với nhau theo modul n nếu và chỉ
nếu: a mod n = b mod n và kí hiệu là a  b mod (n)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




Chú ý: nếu a  0 mod (n) thì n|a
Từ việc tính đồng dư theo mod n ta tách được số nguyên thành n lớp mỗi lớp

chứa các số nguyên đồng dư với nhau theo (mod n) và tập các lớp này được kí hiệu
là: Z/nZ và chứa đúng n phần tử thuộc đoạn [0, n-1].
1.1.4. Không gian rời rạc của phép lấy Logarit
Ta kí hiệu Fp là tập các lớp đồng dư theo Modul p hay Fp = Z/pZ = (0, 1,
2,…, p-1)
Zp/Z* là những tập gồm các số nguyên tố cùng nhau với p hay tập các phần tử
có nghịch đảo trong Z/pZ. Ta kí hiệu Fp* = Z/pZ*
Với p là số nguyên tố thì Z/pZ = Z/pZ * = Fp = Fp* = (0, 1, 2, …, p-1).
1.1.5. Định lí Fermat và định lí Euler
* Định lí Fermat:
Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap 
p). Nếu a không chia hết cho p tức là (a(mod p) ≠ 0) thì ap-1 

a (mod
1

(mod p).
* Định lí Euler: Nếu gcd(a,m) = 1 thì aФ(m) = 1 mod m. Trong trường hợp m là số
nguyên tố thì Ф(m) = m-1 và ta có định lí Fermat.
1.1.6. Hàm một phía và hàm một phía có cửa sập
a, Hàm một phía:
Một hàm một phía là hàm mà dễ dàng tính toán ra quan hệ một chiều nhưng
rất khó để tính ngược lại.
Ví dụ: Biết giả thiết x thì có thể dễ dàng tính ra f(x), nhưng nếu biết f(x) thì
khó tính ra được x. Trong trường hợp này “khó” có nghĩa là để tính ra được kết quả
thì phải mất nhiều thời gian để tính toán.
b, Hàm một phía có cửa sập:
F(x) được gọi là hàm một phía có cửa sập nếu tính xuôi y = f(x) thì dễ tính
-1

ngược x = f (y ) thì khó tuy nhiên nếu có “ cửa sập” thì vấn đề tính ngược trở nên
dễ dàng. Cửa sập ở đây là một điều kiện nào đó giúp chúng ta dễ dàng tính ngược.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




Ví dụ: Hộp thư là một ví dụ khác về hàm một phía có cửa sập. Bất kỳ ai cũng
có thể bỏ thư vào thùng. Bỏ thư vào thùng là một hành động công cộng. Mở thùng
thư không phải hành động công cộng. Nó là khó khăn, bạn sẽ cần đến mỏ hàn để

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




phá hoặc những công cụ khác. Tuy nhiên, nếu bạn có “ cửa sập” ( trong trường hợp
này là chìa khóa của hòm thư) thì công việc mở hòm thư thật dễ dàng.
1.1.7. Định lí Trung Quốc về phần dư:
Giả sử m1, m2,…,mr là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau từng đôi
một và cho a1, a2,…,ar là các số nguyên. Khi đó, hệ r đồng dư thức: x= ai mod mi
(1 ≤ i ≤ r) sẽ có một nghiệm duy nhất theo modul M= m1, m2,…, mr đư ợ c t í n
h
t h e o c ôn g t h ứ c s a u :
r

x   a M y (mod M )
i
i

i
i 1

Trong đó Mi = M / mi và yi = Mi-1 mod mi với 1 ≤ i ≤ r
1.2. Mật mã
1.2.1. Khái niệm
- Bản rõ (plaintext or cleartext): Chứa các xâu ký tự gốc, thông tin trong bản
rõ là thông tin cần mã hoá để giữ bí mật.
- Bản mã (ciphertext): Chứa các ký tự sau khi đã được mã hoá, mà nội dung
được giữ bí mật.
- Mật mã học (Crytography): Là khoa học để giữ thông tin được an toàn.
- Sự mã hoá (Encryption): Quá trình che dấu thông tin bằng phương pháp nào
đó để làm ẩn nội dung bên trong gọi là sự mã hoá.
- Sự giải mã (Decryption): Quá trình biến đổi trả lại bản mã thành bản rõ.
Quá trình mã hoá và giải mã được thể hiện trong sơ đồ sau:
Bản rõ

Bản mã
Mã hóa

Bản rõ gốc
Giải mã

Hình 1.1. Sơ đồ mã hóa và giải mã
- Hệ mật mã: Là một hệ bao gồm 5 thành phần (P, C, K, E, D) thoả mãn các
tính chất sau:
P (Plaintext): Là tập hợp hữu hạn các bản rõ có thể.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

C (Ciphertext): Là tập hợp hữu hạn các bản mã có thể.
K (Key): Là tập hợp các bản khoá có thể.
E (Encrytion): Là tập hợp các qui tắc mã hoá có thể.
D (Decrytion): Là tập hợp các qui tắc giải mã có thể.
Với mỗi k có một hàm lập mã ek, ek:P, và một hàm giải mã dk, dk:C sao cho: dk
(ek(x)) =x, với  x € P.
.
- Một thông báo thường được tổ chức dưới dạng bản rõ. Người gửi sẽ làm
nhiệm vụ mã hoá bản rõ, kết quả thu được gọi là bản mã. Bản mã này được gửi đi
trên một đường truyền tới người nhận sau khi nhận được bản mã người nhận giải
mã nó để tìm hiểu nội dung.
Ek(P) = C và Dk (C) = P
1.2.2. Những yêu cầu đối với hệ mật mã
Cung cấp một mức cao về tính bảo mật, tính toàn vẹn, tính chống chối bỏ và
tính xác thực:
 Tính bảo mật: Bảo đảm bí mật cho các thông báo và dữ liệu bằng việc
che
dấu thông tin nhờ các kỹ thuật mã hóa.
 Tính toàn vẹn (integrity): Bảo đảm với các bên rằng bản tin không bị
thay đổi trên đường truyền tin.
 Tính không thể chối bỏ (Non-repudiation): Có thể xác nhận rằng tài liệu
đã đến từ ai đó, ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó.
 Tính xác thực (Authentication): Cung cấp hai dịch vụ:
o Nhận dạng nguồn gốc của một thông báo và cung cấp một vài bảo
đảm rằng nó là đúng sự thực.
o

Kiểm tra định danh của người đang đăng nhập một hệ thống, tiếp tục

kiểm tra đặc điểm của họ trong trường hợp ai đó cố gắng kết nối và giả danh là
người sử dụng hợp pháp.
1.2.3. Hệ mã hóa RSA
Sinh khóa:
Giả sử A và B cần trao đổi thông tin bí mật thông qua một kênh không an
toàn (ví dụ như Internet). Với thuật toán RSA, A đầu tiên cần tạo ra cho mình


cặp khóa gồm khóa công khai và khóa bí mật theo các bước sau:
- Chọn 2 số nguyên tố lớn p và q với p  q
- Tính: n = p.q
- Tính giá trị hàm số Ơle  (n) (p - 1).(q - 1)



- Chọn một số tự nhiên e sao cho 1 < e < 

và là số nguyên tố cùng

(n)
nhau với  (n)
.
- Tính d sao cho e.d

1 (mod( (n))

.



Khóa công khai (n,e)
Khóa bí mật (n, d)
Mã hóa:
Giả sử B muốn gửi đoạn thông tin M cho A. Đầu tiên B chuyển M thành
một số m < n theo một hàm có thể đảo ngược (từ m có thể xác định lại M) được
thỏa thuận trước. Lúc này B có m và biết n cũng như e do A gửi. B sẽ tính c là bản
mã hóa của m theo công thức:
e

c = m mod n
Giải mã: A nhận c từ B và biết khóa bí mật d. A có thể tìm được m từ c theo công
thức sau:
d

m = c mod n
1.2.4. Hệ mã hóa Paillier
Hệ mã hóa Paillier được đặt theo tên và phát minh của Pascal Paillier năm
1999. Đây là thuật toán bất đối xứng cho hệ mật mã khóa công khai.
Sinh khóa:
- Chọn hai số nguyên tố lớn p và q
- Tính n = p * q sao cho gcd(n, (p-1)(q-1)) = 1
- Chọn ngẫu nhiên

Z thỏa mãn gcd(L(g mod n 2 ), n) 
g 

*
1
n
2

với


L(u) =
1

u  và  = lcm(p-1, q-1)
n

Khóa công khai là (n, g);
Khóa bí mật là: (p, q,

 )


Mã hóa:
Mã hóa thông điệp m
Z*
m n

2

c = g r mod n
Giải mã:
Sử dụng khóa bí mật để giải mã như sau:

L(c



mod
n )
m=
mod n

L( g 2 mod
n )
2

1.2.5. Hệ mã hóa ElGamal
Hệ mật mã ElGamal được T. ElGamal đề xuất năm 1985, dựa vào bài toán tính
logarit rời rạc và sau đó đã nhanh chóng được sử dụng rộng rãi không những trong
vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký điện tử.
* Tạo cặp khóa (bí mật, công khai( (a, b):
Chọn số nguyên tố p sao cho bài toán logarit rời rạc trong Zp là “khó” giải.
a

Chọn phần tử nguyên thủy g  pZ * . Tính khóa công khai h ≡ g mod p.
a

Định nghĩa tập khóa: K = {(p, g, a, h): h ≡ g mod p}. Các giá trị p, g, h được
công khai, phải giữ bí mật a. Với bản rõ x  P và bản mã y  C , với khóa k

 K.
* Lập mã : Chọn ngẫu nhiên bí mật r 
Zp-1,
Bản mã là y = ek(x, r) = (y1, y2).
r

r

Trong đó : y1 = g mod p và y2 = x * h mod p
a -1

* Giải mã : dk (y1, y2) = y2( y1 ) mod p.
1.2.6 Hệ mật đường cong Eliptic
2

3

- Định nghĩa: Cho p > 3 là số nguyên tố. Đường cong Eliptic y = x + ax + b trên Zp
2

3

là tập các nghiệm (x,y)  Zp x Zp của đồng dư thức y = x + ax + b(mod
p)
Trong đó a, b Zp là các hằng số thỏa mãn 4a3 + 27b2  0(mod p) (để đa
thức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

x + ax + b không có nghiệm bội) cùng với điểm đặc biệt 0 được gọi là điểm vô

hạn.
- Định lý Hasse: Việc xây dựng các hệ mật mã trên dường cong Eliptic bao gồm việc
lựa chọn đường cong E thích hợp và một điểm G trên E gọi là điểm cơ sở. Xét trường
K là Fq.
N là số điểm của E trên Fq (trường hữu hạn q phần tử). Khi đó:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




N  (q   2 q . Từ định lý Hasse suy ra E(Fq) = q +1 – t trong dó t  2 q .
1)
- Hệ mật trên đường cong Eliptic
Hệ ElGamal làm việc với nhóm Cyclic hữu hạn. Năm 1978, Kobliz đã đưa
một hệ trên ECC dựa trên hệ ElGamal.
Để xây dựng hệ mã hóa dựa trên đường cong Eliptic ta chọn đường cong
E(a,b) và một điểm G trên đường cong làm điểm cơ sở. Mỗi người dùng A một
khóa bí mật nA là một số nguyên và sinh khóa công khai PA = nA *G.
Khi đó hệ mã hóa đường cong Eliptic được xây dựng tương tự hệ mã hóa
ElGamal, trong đó thuật toán mã hóa và giải mã được xác định như sau:
Thuật toán mã hóa: Giả sử người dùng A muốn gửi thông điệp cần mã hóa Pm
tới người dùng B, chọn một số ngẫu nhiên k và gửi thông điệp mã hóa Cm được tính
như sau: Cm  k * G, Pm + k * PB  (PB là khóa công khai của B).
Thuật toán giả mã: Để giải thông điệp Cm  k * G, Pm + k * PB  , người dùng
B thực hiện tính như sau:

Pm + k *
PB

- n B * k * G = Pm + k * PB - k * n B * G = Pm + k * - k * PB  Pm
PB

Chỉ B mới có thể giải mã vì B có nB (là khóa bí mật).
1.3. Chữ ký điện tử
1.3.1. Sơ đồ chữ ký điện tử
Một sơ đồ chữ ký điện tử S là một bộ năm: S = (P, A, K, S, V) thỏa mãn các
điều kiện dưới đây:
P: tập hữu hạn các thông báo có thể có.
A: tập hữu hạn các chữ ký số có thể có.
K: tập hữu hạn các khóa có thể.
S: tập các thuật toán ký.
V: tập các thuật toán kiểm thử.
Mỗi khóa K’  K có hai thành phần K’ = (K1, K2), K1 là khóa bí mật
dùng
để ký, còn K2 là khóa công khai để xác thực chữ ký.
Với mỗi K’ = (K1, K2), trong S có thuật toán kí:


SigK : P 
A
1

x  P  y=
Sigk(x) Và trong V có thuật toán kiểm thử: Nếu

VerK : P  A


Đúng, Sai;

2

Hai thuật toán thỏa mãn điều kiện sau với mọi x  P, y  A:
Verk(x, y) = Đúng Nếu y = Sigk(x)
Sai

Nếu y  Sigk(x)

1.3.2. Chữ ký mù RSA
a) Khái niệm
Chữ ký mù được David Chaum đưa ra vào năm 1983. Trong hệ chữ ký
thông thường, người ký phải được nắm rõ nội dung văn bản cần kỹ, có thể lưu bản
sao. Trong hệ chữ ký mù (blind signature), người ký sẽ không được thấy rõ nội
dung mà mình ký, các thông điệp cần được kí bị “che” đi. Tuy nhiên hệ chữ ký
cũng đảm bảo cho người ký có thể kiểm tra tính hợp lệ của thông tin cần ký. Chữ ký
mù thường được dùng trong các vấn đề đòi hỏi sự ẩn danh, nó dược ứng dụng phổ
biến trong tiền điện tử, bỏ phiếu điện tử…
Nội dung M trước khi người A đưa cho người kí B sẽ bị làm mù thành M’.
Người kí lúc này sẽ kí trên M’ chứ không phải trên M. Sau khi có được chữ kí trên
M’, A xóa mù để có được chữ kí trên M. Như vậy người A vẫn có chữ kí hợp lệ của
người B trên M mà B không biết thông tin gì về M.
Ví dụ: A chuẩn bị một văn bản M, cho vào một phòng bì A4, có kèm một tờ
giấy than, rồi dán lại và đưa cho B. B chỉ có thể ký lên phía ngoài phong bì, nhưng
chữ ký sẽ được tạo ra trong văn bản bên trong thông qua tờ giấy than. Mặc dù B
không thể biết được nội dung thật của văn bản này, nhưng có thể đánh giá được tính
trung thực của A (không tạo ra gì xấu cho B) mà một phép kiểm tra theo phương
pháp thách thức - đáp ứng.
b) Sơ đồ chữ ký RSA