Bài toán điều khiển đảm bảo gái trị cho lớp hệ 2-D rời rạc trong mô hình Roessr_2

Header Page 1 of 54.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

VŨ ANH TOÀN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ CHO LỚP HỆ 2-D
RỜI RẠC TRONG MÔ HÌNH ROESSER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2018

Footer Page 1 of 54.


Header Page 2 of 54.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

VŨ ANH TOÀN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ CHO LỚP HỆ 2-D
RỜI RẠC TRONG MÔ HÌNH ROESSER
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. LÊ VĂN HIỆN

HÀ NỘI - 2018

Footer Page 2 of 54.


Header Page 3 of 54.

MỤC LỤC

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1. Một số kết quả sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Ví dụ về mô hình hệ 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Một số mô hình hệ 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Tính ổn định và ổn định hóa của hệ Roesser rời rạc . . . . . . 14
2.1. Tính ổn định của một số lớp hệ 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 3. Bài toán điều khiển đảm bảo giá trị đối với hệ 2-D rời rạc
dạng Roesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Ước lượng hàm giá của hệ đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3. Thiết kế điều khiển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4. Vấn đề dưới tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1

Footer Page 3 of 54.


Header Page 4 of 54.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hệ hai chiều (Two-dimensional systems) nảy sinh trong nhiều mô hình vật
lí và kỹ thuật, ở đó sự lan truyền thông tin trạng thái xảy ra theo hai hướng
độc lập. Các hệ hai chiều đã được ứng dụng trong mô tả và phân tích tính
chất của nhiều mô hình hệ động lực trong thực tiễn kỹ thuật như các hệ viễn
thông, xử lí ảnh, xử lí và truyền tín hiệu hay trong các bộ lọc tín hiệu số đa
chiều [2,10]. Trong việc mô tả các mô hình thực tiễn đó, các hệ hai chiều thường
được biễu diễn thông qua các phương trình trạng thái (state-space model). Một
số lớp mô hình trạng thái thường được sử dụng như mô hình Roesser, mô hình
Fornasini-Marchesini (FM) thứ nhất và thứ hai, mô hình Attasi hay mô hình
Kurek [10]. Do cấu trúc đặc biệt, mô hình Roesser được sử dụng nhiều trong
việc mô tả động lực các hệ trong thực tiễn kĩ thuật [1, 7–9].
Mặt khác, trong lí thuyết điều khiển, bài toán điều khiển đảm bảo giá trị
(guaranteed cost control, viết tắt là GCC) là một bài toán quan trọng. Mục
tiêu chính của bài toán điều khiển GCC là thiết kế một điều khiển phản hồi
theo trạng thái (state feedback controller) sao cho hệ đóng (tích hợp điều khiển)
tương ứng là ổn định tiệm cận và hàm giá của hệ đóng không vượt quá một

ngưỡng xác định nào đó [3]. Gần đây, bài toán này nhận được nhiều sự quan tâm
nghiên cứu của tác giả đối với các hệ 2-D rời rạc. Nói riêng, trong bài báo [4]
các tác giả nghiên cứu bài toán điều khiển GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc trong
mô hình Roesser chứa tham số không chắc chắn với điều kiện chặn chuẩn. Dựa
trên lược đồ của phương pháp hàm Lyapunov đối với các hệ 2-D, các điều kiện
thiết kế điều khiển được thiết lập dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến
tính (linear matrix inequalities LMIs). Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn
về chủ đề này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Bài toán điều khiển đảm bảo
2

Footer Page 4 of 54.


Header Page 5 of 54.

giá trị cho lớp hệ 2-D rời rạc trong mô hình Roesser” dựa trên bài báo [4].

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu về tính ổn
định, ổn định hóa và bài toán điều khiển GCC cho một lớp hệ 2-D rời rạc trong
mô hình Roesser dựa trên tài liệu [4].

3. Nội dung nghiên cứu
Các nội dung được nghiên cứu trong luận văn bao gồm:
a) Giới thiệu một số mô hình hệ 2-D rời rạc, đặc biệt là các hệ trong các mô
hình thực tiễn.
b) Bài toán ổn định hóa và điều khiển GCC đối với hệ 2-D rời rạc dạng Roesser.
c) Nghiên cứu và trình bày các kết quả trong [4] về bài toán điều khiển GCC
đối với lớp 2-D dạng Roesser chứa tham số không chắc chắn.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser sau đây



xh (i + 1, j)



xv (i, j

+ 1)

xh (i, j)

 = (A + ∆A) 

xv (i, j)


 + (B + ∆B)u(i, j),

(0.1)

ở đó xh ∈ Rnh , xv ∈ Rnv và u ∈ Rnu tương ứng là vectơ trạng thái ngang, vectơ
trạng thái dọc và điều khiển đầu vào của hệ, A ∈ Rn×n (n = nh + nv ), B ∈ Rn×nu
là các ma trận thực cho trước, ∆A, ∆B biểu thị các tham số không chắc chắn của
hệ với cấu trúc ∆A ∆B = LF (i, j) M1 M2 , ở đó L, M1 , M2 là các ma trận
biết trước và F (i, j) là ma trận không biết với điều kiện chặn chuẩn F (i, j) ≤ 1.
Cùng với hệ (0.1), ta xét hàm giá của điều khiển

∞

∞

J=

u (i, j)Ru(i, j) + x (i, j)W1 x(i, j) ,
i=0 j=0

3

Footer Page 5 of 54.

(0.2)


Header Page 6 of 54.

+
ở đó x (i, j) = xh (i, j) xv (i, j) , R ∈ S+
nu và W1 ∈ Sn là các ma trận cho

trước.
a) Đối tượng nghiên cứu là lớp hệ 2-D dạng (0.1) và các dạng đặc biệt của nó,
chẳng hạn lớp hệ 2-D dạng Roesser không có nhiễu.
b) Phạm vi nghiên cứu bao gồm:
• Phân tích tính ổn định và ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp

hệ dương dạng (0.1).
• Tìm điều kiện để thiết kế điều khiển phản hồi sao cho hệ đóng tương

ứng là ổn định và đảm bảo hàm giá không vượt quá một ngưỡng J∗ nào
đó, tức là J ≤ J∗ .

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, giải tích ma trận và phương
pháp thiết kế điều khiển phản hồi tuyến tính để tìm các điều kiện ổn định và ổn
định hóa với giá trị hàm giá được đảm bảo bởi một ngưỡng nào đó thông quan
nghiệm của các bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận
văn được chia thành ba chương.
Chương 1 giới thiệu sơ bộ về mô hình Roesser và một số kiến bổ trợ.
Chương 2 phân tích tính ổn định và ổn định hóa theo điều khiển phản hồi
cho lớp hệ 2-D dạng Roesser không chứa đại lượng không chắc chắc.
Chương 3 trình bày về bài toán điều khiển đảm bảo giá trị GCC cho lớp
hệ 2-D rời rạc dạng Roesser chứa tham số dạng nhiễu có cấu trúc.

4

Footer Page 6 of 54.


Header Page 7 of 54.

MỘT SỐ KÝ HIỆU
R+

Tập tất cả các số thực không âm

Rn

Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng
x, y = x y và chuẩn vectơ x =

n
2
i=1 xi

Rm×n

Tập các ma trận cỡ m × n

A

Ma trận chuyển vị của ma trận A

In

Ma trận đơn vị trong Rn×n

λ(A)

Tập hợp các giá trị riêng của A

λmax (A)

= max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}

λmin (A)

= min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}

A>0

Ma trận A đối xứng xác định dương, tức là

1
2

A = A , x Ax > 0 với mọi x ∈ Rn , x = 0
A≥0

Ma trận A đối xứng nửa xác định dương, tức là
A = A , x Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn

A>B

Ma trận A − B đối xứng xác định dương

S+
n

Tập các ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều

LMIs

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

5

Footer Page 7 of 54.


Header Page 8 of 54.

Chương 1
MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về lớp hệ 2-D trong mô hình
Roesser và một số kết quả bổ trợ cho việc trình bày nội dung các chương sau.

1.1.

Ví dụ về mô hình hệ 2-D
Xét hệ điều khiển mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng cấp 1 sau đây:


 ∂T (x,t) = − ∂T (x,t) − aT (x, t) + bu(x, t),
∂x
∂t
(1.1)

y(x, t) = cT (x, t),

ở đó T (x, t) là hàm ẩn (chẳng hạn hàm nhiệt độ) tại tọa độ x ∈ [0, xf ] và thời
t ∈ [0, ∞), u(x, t) là hàm điều khiển và y(x, t) là tín hiệu đầu ra và a, b, c là các

hằng số.

Pipe
‫ݔ(ݑ‬, ‫)ݐ‬

ܶ(‫ݔ‬, ‫)ݐ‬

‫ݔ(ݕ‬, ‫)ݐ‬

‫ݔ‬

Steam (or water)

Hình 1.1: Hệ điều khiển quá trình nhiệt

Mô hình (1.1) được sử dụng trong một số quá trình nhiệt trong các phản
ứng hóa học hay trong các ống nhiệt của lò hấp [10]. Trong thực tế, các tín hiệu

6

Footer Page 8 of 54.