phương pháp phân tích ảnh hưởng của động đất đối với công trình cầu.doc.doc

Chơng 4

Phơng pháp phân tích ảnh hởng của
động đất đối với công trình cầu
4-1. Khái quát

4-1-1. ảnh hởng và các khái niệm cơ bản về động đất
Các thông số cơ bản của động đất bao gồm:
a- Chấn tiêu: tâm điểm của địa chấn
b- Chấn tâm: Hình chiếu theo phơng thẳng đứng từ
chấn tiêu lên mặt đất

Hình 4-1: Các tham số cơ bản của động đất

c- Độ sâu chấn tiêu, khoảng cách chấn tiêu, khoảng
cách chấn tâm: thể hiện trên (hình 4-1)
d- Sóng địa chấn: Khi xảy ra động đất năng lợng đợc giải
phóng từ chấn tiêu sẽ truyền ra môi trờng xung quanh dới dạng
sóng vật lý gọi là sóng địa chấn. Sóng địa chất có thể truyền
theo phơng dọc, phơng ngang, sóng mặt và sóng khúc xạ.
169


Sóng dọc: đợc truyền đi do sự thay đổi thể tích môi trờng, gây biến dạng kéo, nén trong lòng đất. Sóng dọc truyền
đi theo phơng từ chấn tiêu đến điểm quan trắc với vận tốc lớn
nhất Vp = 7 Km/s -8 Km/s.
Sóng ngang: có phơng vuông góc với sóng dọc có vận tốc
nhỏ hơn sóng dọc chừng 4-5 Km/s. Sóng ngang không làm thay
đổi thể tích nền đất mà chỉ gây các tác động xoắn, cắt.
Các sóng ngang đến sau sóng dọc và chính nhờ sự chậm trễ
của nó mà các nhà nghiên cứu xác định đợc khoảng cách từ

chấn tiêu đến trạm quan trắc.
Sóng mặt: sóng dọc và sóng ngang khi tới mặt đất sẽ
chuyển thành sóng mặt và gây ra chuyển vị động của nền ở
độ sâu rất nhỏ. Sóng mặt về hình thức có thể mô tả nh dạng
sóng biển, gây tác động kéo, nén và cắt nền đất. Vận tốc
truyền sóng phụ thuộc vào tính chất cơ lý của nền đất mặt.
Nền đất càng cứng (vững chắc) tốc độ truyền sóng càng tăng
từ 1,5 Km/s đến 15 Km/s. Ngợc lại nền đất yếu, sình lầy tốc độ
truyền sóng nhỏ (0,5 1,5 ) Km/s.
Sóng mặt chính là nguyên nhân gây ra các dịch chuyển
lớn và gây h hỏng cho các công trình trên mặt đất.
e. Cấp động đất
Thang MSK-64 đợc đặt ra từ Medevedev Sponheuer
Karmik và đợc Hội đồng địa chấn châu Âu thông qua năm
1964.
Thang động đất này đợc áp dụng phổ biến ở Liên xô (cũ) ,
các nớc Châu Âu và Việt nam từ năm 1964.
Cấp động đất là đại lợng biểu thị cờng độ chấn
động mà trận động đất gây ra trên mặt đất và đợc

170


đánh gia thông qua mức độ tác động của nó đối với công
trình, nhà cửa, địa hình, con ngời.
Cấp 1: động đất không cảm thấy. Chỉ có thể nhận biết đợc
qua các thiết bị ghi địa chấn.
Cấp 2 : động đất ít cảm thấy. Có thể ít ngời cảm thấy ở
các vị trí cao.
Cấp 3: động đất yếu. Có thể cảm thấy nh tác động của xe

tải nhẹ chạy qua có thể gây đung đa nhẹ các đồ vật.
Cấp 4: động đất cảm thấy rõ: động đất do nhiều ngời có
thể cảm nhận đợc. Mức độ tác động đợc đánh giá về độ cảm
nhận tơng đơng tác động của một xe tải nặng chạy qua
Cấp 5: động đất thức tỉnh. Mọi ngời đều cảm thấy, đồ vật
đung đa mạnh, có thể bị xê dịch
Cấp 6 : động đất sợ hãi. Tất cả mọi ngời đều cảm thấy, đồ
đạc dịch chuyển, tạo tình trạng hoảng loạn, sợ hãi. Tác động có
thể gây h hỏng nhẹ cho kết cấu nhà cửa, gây các vết nứt nhỏ
cho nhà cửa
Cấp 7: h hại nhà của. Ngời bị tác động đứng không vững,
gây hoảng loạn, ngời trên phơng tiện vận tải đang di chuyển
cũng có thể nhận biết đợc.
Nhà cửa bị h hại lớn nứt rộng tới đơn vị cm, lún sụt
Có thể gây sụt trợt sờn giốc, h hại mối nối đờng ống dẫn
Mặt nớc nổi sóng, khuấy bùn vẩn đục
Cấp 8: động đất phá hoại nhà cửa: Cảm giác sợ hãi và khủng
khiếp , đồ đạc bị xê dịch mạnh.
Dịch chuyển một số công trình độc lập nh tợng đài, hàng
rào
Trợt sụt bờ dốc taluy đờng
Xuất hiện hoặc làm cạn hồ nớc mới
171


Cấp 9: động đất h hại hoàn toàn nhà cửa. Mọi ngời đều
cảm thấy khủng khiếp, súc vật nháo loạn.
H hỏng nhà cửa, đổ tợng đài, xê dịch đờng sắt đất nứt
rộng 10 cm, nổi cát bùn trên vùng ngập nớc.
Nhiều sờn dốc sụt trợt, đá lở tảng lớn

Hồ nớc nổi sóng
Cấp 10: động đất phá hoại hoàn toàn nhà cửa. Mọi ngời
đều cảm thấy trên khủng khiếp.
Sụp đổ nhà cửa, h hại đê điều, h hỏng nặng các công
trình cầu, cong và xê dịch đờng sắt
Mặt đờng nhựa tạo sóng
Nền đất nứt rộng có khi tới đơn vị mét. Sụt lở mạnh,
hình thành vết nứt gẫy, tạo hồ nớc mới.
Cấp 11 : động đất thảm hoạ. Phá huỷ và gây h hỏng các
loại công trình trên mặt đất. Phá hoại các công trình ngầm.
Mặt đất nứt nẻ, đứt gãy dịch chuyển theo các phơng
thẳng đứng và nằm ngang, núi sụp đổ ở nhiều nơi.
Cấp 12 : động đất thay đổi địa hình. Phá huỷ cơ bản
các loại công trình trên mặt đất trong phạm vi bị ảnh hởng.
Thay đổi hẳn địa hình mặt đất, nền đất bị nứt lớn
theo phơng thẳng đứng và nằm ngang. Núi và bờ sông sụt lở
trên diện tích lớn. Xuất hiện hồ nớc, thác nớc, thay đổi dòng
sông.
g-Magnitude của động đất ( cấp độ giải phóng năng lợng của động đất)
Magnitude là đặc trng mức độ giải phóng năng lợng trong
một trân động đất dới dạng sóng đàn hồi.

172


Đại lợng Magnitude do Richter đa ra áp dụng lần đầu tiên vào
năm 1935 và trong địa chấn học việc phân chia mức độ động
đất theo thang độ magnitude gọi là độ Richter.
Tuỳ theo dạng sóng địa chấn đợc sử dụng có các dạng
magnitude sau đây:

- Magnitude địa phơng (Local Magnitude) ML
- Magnitude theo sóng mặt (Surface wave Magnitude) MS
- Magnitude theo sóng khối (Body wave Magnitude) MB
+ Magnitude địa phơng: là thang magnitude đợc Richter đa ra lần đầu tiên vào năm 1935 theo công thức:
ML lgA L

(4-1)
trong đó:
A() - tổng véc -tơ các biên độ cực đại của thành phần
dịch chuyển nằm ngang theo 2 phơng (Đông - Tây) và (Bắc
-Nam) do địa chấn kế Wood -Anderson ghi đợc.
- Khoảng cách đến chấn tâm (Km)
L() - Đờng cong chế định là đờng tắt dần theo khoảng
cách của tổng véc -tơ các biên độ dịch chuyển cực đại theo
phơng nằm ngang do địa chấn kế ghi đợc ứng với trận động
đất có ML =0.
Thang magnitude ML dùng cho động đất gần, khoảng cách
đến chấn tâm không quá 800 Km.
+ Magnitude theo sóng mặt MS: xác định theo công thức:
MS lg

(4-2)
trong đó:

173

A()
S()
T

A() - biên độ dịch chuyển cực đại theo phơng nằm ngang
của sóng mặt (m).
T - chu kỳ dao động tơng ứng (sec)
S() - hàm chế định là đờng cong tắt dần của đại lợng
động đất với MS=0, có dạng:
S() = (1,66 lg +3,3)
(4-3)
với - là khoảng cách đến chấn tâm.
Đặc điểm của thang MS là áp dụng cho khoảng cách đến
chấn tâm = (200 1600) Km và độ sâu chấn tiêu nhỏ hơn 50
Km.
+ Magnitude theo sóng khối MB: xác định theo công thức:
MB lg

A()
b()
T

(4-4)
trong đó:
A()/T - vận tốc dịch chuyển cực đại của nền đất trong
sóng khối T.
- khoảng cách từ chấn tiêu đến điểm khảo sát
b() - hàm chế định là đờng cong tắt dần của đại lợng
động đất với MB=0, phụ thuộc vào độ sâu chấn tiêu h.
Có thể nhận xét thấy cấp độ Richter đợc phân phụ thuộc
vào khoảng cách đến điểm khảo sát.
Mối tơng quan giữa MB và MS đợc Hội Vật lý địa cầu thống
nhất nh sau:

MB = 0,5 MS + 2,9
MS = 1,79 MB -5,18
(4-5)
h- Các đặc trng dao động của động đất
174


Dao động do động đất gây ra phụ thuộc vào cơ cấu động
đất, độ sâu chấn tiêu, tính chất của nền đất, vận tốc truyền
sóng và tần số
+ Gia tốc cực đại của động đất: Gia tốc cực đại của một
trận động đất là gia tốc lớn nhất của chuyển động nền trong
trận động đất đó. Gia tốc cực đại đợc dùng trong tất cả các tiêu
chuẩn kháng chấn hiện nay.
Xác định chính xác gia tốc cực đại ở một điểm nào đó
không phải dễ dàng vì cần có băng ghi chính xác gia tốc địa
chấn.
Phơng pháp thờng dùng để xác định là:
+ Ghi lại đặc trng của các trận động đất đã xảy ra
+ Phân tích sự tơng đồng giữa gia tốc cực đại trung bình
và các đặc trng khác dễ ghi nhận hơn của các trận động đất.
+ Thời gian kéo dài của động đất (tính bằng sec):
tính từ thời điểm bắt đầu ghi nhận đợc động đất tới thời
điểm kết thúc.
+ Cấp động đất (tuỳ theo nớc sử dụng). Nếu dùng thang
độ MKS gồm 12 cấp nh trên.
+ Pha của dao động động đất: biểu thị trên hình 4-2
(điểm đầu A, đoạn giữa B và đoạn tắt dần C ).
Đặc trứng tắt dần của dao động do động đất biểu thị bởi
hệ thức:

ln

yn1
yn

(4-6)
trong đó: yn1 và yn là các biên độ dao động kề nhau.
+ Chu kỳ (tần số) dao động của động đất: đợc ghi lại
bởi các địa chấn kế.
175


+ Phổ của gia tốc, vận tốc và chuyển vị của động
đất: là đại lợng thể hiện sự phân bố gia tốc, vận tốc và chuyển
vị theo độ lớn.
Do tính chất phức tạp của các trận động đất, khó có thể
thiết lập chính xác biểu thức toán học phản ánh các đặc tính
của động đất nên phải sử dụng các phơng pháp mô tả gần
đúng.
Mỗi trận động đất đều mang tính ngẫu nhiên, trận động
đất sau có các đặc tính khác với trận động đất trớc đó. Tuy
nhiên đặc trng dao động do động đất gây ra lại có qui luật
nhờ vậy mà có thể sử dụng các phơng pháp mô phỏng để thể
hiện đặc trng dao động của động đất.
B
C
A

176

Hình 4-2: Phổ gia tốc, vận tốc và chuyển vị của động đất
i - ảnh hởng của động đất với công trình
ảnh hởng của động đất với công trình

rất phức tạp phụ

thuộc vào độ mạnh của địa chấn, khoảng cách từ công trình
đến chấn tâm, tính chất của nền đất, cấu tạo nền móng, cấu
tạo kháng chất của công trình
ảnh hởng của động đất với công trình cầu gồm 2 tác động
chính:
+ Tác động trực tiếp lên công trình hay bộ phận công
trình. Lực quán tính do động đất gây ra chủ yếu sinh ra các
tác động ngang, tăng nội lực và biến dạng gây h hỏng một phần
hoặc toàn bộ công trình.
Tuỳ theo mức độ tác động tác dụng động đất có thể gây
ra các ảnh hỏng nhỏ, gây h hỏng lớn hay phá hoại toàn bộ công
trình.
Mức độ ảnh hởng của động đất phụ thuộc vào 2 yếu tố:
- Độ mạnh của biến độ địa chấn
- Khoảng cách từ công trình đến tâm chấn động (chấn
tiêu)
Các công trình cầu khung hay cầu dầm liên tục có độ cứng
lớn và nhiều điểm liên kết trên trụ và mố sẽ chụi ảnh hởng của
động

đất

lớn

hơn

Các dạng cầu treo, cầu dây văng có độ cứng nhỏ, chiều dài

177


nhịp lớn, ít điểm liên kết với mố trụ nên ảnh hởng của động đất
nhỏ hơn.
+ Tác động làm thay đổi trạng thái nền đất, có thể
khiến cho nền đất dới công trình "hoá lỏng" gây lún sụt và phá
hủy công trình.

4-1-2. Nguyên lý và các phơng pháp tính toán ảnh hởng
do động đất đối với công trình cầu
Các phơng pháp tính toán công trình chịu tải trọng
động đất hiện nay
đợc chia thành hai nhóm [14]:
Nhóm phơng pháp tĩnh.
Nhóm phơng pháp động lực bao gồm:
+ Phơng pháp giải tích
+ Phơng pháp động lực dựa trên các đờng cong phổ
+ Phơng pháp động lực dựa trên các biểu đồ gia tốc của các
trận động đất đã xảy ra.
+ Phơng pháp ngẫu nhiên.
Việc nghiên cứu và xây dựng các tiêu chuẩn tính toán công
trình xét đến ảnh hởng của động đất đợc nhiều nớc trên
thế giới quan tâm đặc biệt là sau trận động đất ở Kanto (Nhật
Bản) năm 1923.

Theo phơng pháp tĩnh, lực động đất tác dụng lên các bộ
phận của công trình đợc xem nh các lực ngang tĩnh, tỷ lệ với
khối lợng của kết cấu. Tác dụng động lực đợc xét đến bằng

178


việc đa thêm hệ số động đất Kc vào các lực ngang tĩnh. Hệ số
động đất Kc đợc xác định trên cơ sở thực nghiệm.
Trong các tiêu chuẩn, qui trình tính toán động đất chủ yếu
dựa vào phơng pháp tĩnh, các phơng pháp động đợc dùng để
chính xác hóa kết quả khi cần thiết nhằm mục đích nâng cao
mức độ an toàn đối với các công trình lớn [14].
ở Việt Nam trong tiêu chuẩn thiết kế TCN-221-95 của nghành
GTVT qui định về cách tính toán các công trình cầu dới tác
dụng của tải trọng động đất cũng chủ yếu dựa trên nguyên lý
của phơng pháp tĩnh [32].
4-2. Phơng pháp tĩnh.

Giả thiết cơ bản của phơng pháp tĩnh là toàn bộ công trình
đợc coi là vật rắn tuyệt đối trên nền đất. Khi động đất xảy ra,
(t) .
công trình cũng chuyển động cùng với nền đất với gia tốc Y

Nh vậy biến dạng và dao động ở mọi điểm trên công trình là
nh nhau, sự phân bố lực quán tính do tác dụng của động đất
gây ra cho các bộ phận của kết cấu sẽ phụ thuộc vào phân bố
khối lợng của các bộ phận trên kết cấu.
Các lực động đất tác dụng trên kết cấu đợc xem nh là các
lực ngang tĩnh, tỷ lệ với khối lợng của kết cấu:

(t) G Y
(t)
H mY
g

(4-7)
trong đó:
G - trọng lợng bản thân của bộ phận kết cấu.
m - khối lợng bản thân của bộ phận kết cấu.
(t) - gia tốc động đất của nền.
Y

g- gia tốc trọng trờng.
179


Nếu đặt Kc

(t)
Y
gọi là gia tốc động đất thì công thức (1g

9) trở thành:
H KcG

(4-8)
Nh vậy khi lập mô hình bài toán công trình chịu tác dụng
của tải trọng động đất, lực ngang do động đất gây ra tác
dụng lên một bộ phận thứ i nào đó trên công trình đợc xác
định theo công thức:

Hi KcGi

(4-9)
Hệ số động đất Kc trong các công thức nêu trên đợc xác
định trên cơ sở thực nghiệm, phụ thuộc vào nhiều yếu tố nh cờng độ, gia tốc địa chấn, đặc điểm địa chất nơi đặt công
trình, chu kỳ dao động địa chấn, độ cứng của nền móng, loại
kết cấu, vật liệu xây dựng kết cấu, độ lớn và cách phân bố
khối lợng trên công trình, độ cứng kết cấu, đặc trng tần số dao
động tự do của công trình, cấu tạo giảm chấn của kết cấu, tác
dụng tơng hỗ của nền đất đối với công trình...
u điểm của phơng pháp tĩnh là đơn giản và có thể xác
định lực động đất cho các bộ phận công trình có hình dạng
bất kỳ.
Tuy nhiên nhợc điểm của phơng pháp này là không phản ánh
đúng trạng thái chịu lực của công trình nên thờng dẫn đến sai
số, đặc biệt là đối với các động đất cấp cao.
Đối với các công trình quan trọng cần nghiên cứu thêm các
phơng pháp động lực.
4-3. Phơng pháp động

180


Phơng pháp dao động dựa trên cơ sở lập và giải các phơng
trình vi phân chuyển động. Bài toán phản ánh tình hình làm
việc thực tế của công trình khi chịu động đất. Tuy nhiên độ
phức tạp của bài toán sẽ tăng nhanh theo độ chính xác mong
muốn của công trình khi tăng số bậc tự do của hệ và xét đến
yếu tố của công trình, môi trờng, sự tơng tác giữa đất nền và
kết cấu... Dới đây chỉ tiêu bài toán cơ bản nhất làm cơ sở cho

việc nghiên cứu tính toán động kết cấu cầu chịu động đất.
Phơng pháp động có thể phân thành nhiều nhóm khác
nhau nhng đều dựa trên nguyên tắc phân tích quá trình biến
(t) của các
thiên của các hàm chuyển vị V(t) và các hàm gia tốc V

trận động đất đã hoặc có thể xảy ra.
4-3-1. Phơng pháp giải tích:
Lập và giải các phơng trình vi phân dao động của kết cấu
do động đất, trong đó đã đa vào các yếu tố thời gian.
Kết quả thu đợc các trị số về chuyển vị, vận tốc và gia tốc.
Các lực động đất đợc xác định bằng tích số giữa khối lợng
của hệ với gia tốc tơng ứng (5).
4-3-2. Phơng pháp phổ
a- Khái niệm
Phơng pháp tính toán động đất theo đờng cong phổ đợc
M.A Biot nêu ra từ 1933 , sau đó đợc Colrinski nghiên cứu và
hoàn thiện.
Mô hình nghiên cứu dao động của hệ đợc xem là cong-xon
có 1 bậc tự do nh trên hình 4-3. Sự chuyển vị của nền đất khi
có động đất xảy ra đợc mô phỏng bằng chuyển vị của nền A
(t) .
của mô hình với gia tốc Y

181


Hình 4-3. Mô
hình dao động
của hệ 1 bậc tự

do

Khi đó nếu trên nền có gắn các mô hình hệ 1 bậc tự do
đối với các chu kỳ dao động riêng khác nhau T 1, T2, ...Ti thì phản
ứng của các hệ do sự dịch chuyển của nền sẽ khác nhau.
Nếu đo đợc các chuyển vị, vận tốc và gia tốc cực đại của
các khối lợng m1, m2,..., mi rồi dựng đồ thị liên hệ giữa các đại
lợng đó theo thu kỳ T ta sẽ đợc phổ phản ứng tơng ứng của
chuyển vị, vận tốc và gia tốc của hệ 1 bậc tự do khi nền
(t) [5] hình 4-4.
chuyển vị với gia tốc Y

182


Hình 4-4. Phổ động đất
Tìm mối qua hệ của phổ phản ứng trên với các hiệu ứng
phát sinh do nguyên nhân động đất sẽ đợc phổ phản ứng của
động đất gồm:
- Phổ các chuyển vị tơng đối Sđ= X (t ) max
..

- Phổ các vận tốc tơng đối Sv= X (t ) max
..

- Phổ các gia tốc tuyệt đối Sa= X 0 (t ) max
Sau khi có phổ động đất, lực động đất tác dụng lên công
trình sẽ bằng tích số giữa khối lợng công trình với gia tốc [5],
[6].

Fmax
(4-10)
183

2
m.S.v
T


trong đó:
T - chu kỳ dao động riêng
m - khối lợng của bộ phận kết cấu
Sv- phổ của động đất
Mô hình dao động của hệ có 1 bậc tự do phù hợp với mô
hình thực tế của các công trình cầu. Các trụ đợc coi nh các
công-xon ngàm tại bệ móng, kết cấu nhịp cầu thu về nh khối lợng tập trung đặt trên đỉnh trụ (đầu các công -xon).
Đối với các công trình nhà cao tầng cần xây dựng mô hình
vói số bậc tự do lớn hơn.
b - Phơng pháp phổ sử dụng mô hình có một bậc tự do
Nhiều công trình có khối lợng tập trung chủ yếu chỉ vào
một điểm, ví dụ kết cấu nhịp đặt trên trụ cầu, các mố trụ dẻo
trong đó trọng lợng của cột trụ thờng nhỏ hơn nhiều so với trọng
lợng dầm mặt cầu nên có thể bỏ qua.
Các công trình nh trên đều có
thể đa về một thanh thẳng đứng
không trọng lợng chịu uốn mang một
khối lợng tập trung trên đỉnh, nh vậy
có thể biểu diễn một công trình
băng sơ đồ một bậc tự do mang khối
lợng m (hình 4.3).

Chuyển vị của đầu ngàm do
động đất đợc biểu thị bằng hàm
(t). Khối lợng chỉ chuyển vị
gia tốc V

ngang và thanh đàn hồi chỉ chịu
uốn.

184

Hình 4-3


Khi động đất, nền đất có chuyển vị V0(t), khối lợng m
có chuyển vị V(t) thể hiện trên hình 4-4. Phơng trình dao
động sẽ là:

(4-11)
trong đó:





(t) V
(t) - lực quán tính của khối lợng m
mV
0

C - hệ số cản nhớt của thanh đàn hồi

k- hệ số độ cứng của thanh đàn hồi đặc trng cho phần
tiêu hao và phân tán năng lợng.
CV (t) - lực cản nhớt.
kV(t) - lực đàn hồi

Các đại lợng m, C, k là các đặc trng của công trình và đợc
coi là các hằng số trong thời gian dao động. Khi có động đất,
khối lợng m tích luỹ động năng, thanh đàn hồi có độ cứng k,
tích lũy thế năng còn m (t) là lực kích thích cung cấp năng lợng cho công trình.
Nếu đặt :

2 k/ m

và

2 C/ m

(4-12)
phơng trình (4. 11) có dạng:
(t) 2 V (t) 2V(t) V
(t)
V
0

(4-13)
Nghiệm của phơng trình 4-13 bằng tổng nghiệm riêng và
nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất tơng ứng;
(t) 2 V
(t) 2V(t) 0
V

(4-14)

185


Nghiệm tổng quát của phơng trình 4.14 phụ thuộc vào
nghiệm của phơng trình đặc trng 2 2 2 0 . Nghiệm của
phơng trình này là:
1,2 2 2

Nếu 2 2 0

hay thì hệ số cản C đợc gọi là hệ số

cản tới hạn và đợc ký hiệu là C0 .
C0 2 m 2m

(4-15)
Tỷ số

C 2 m


gọi là yếu tố cản tới hạn, phụ thuộc vào
C0 2 m

dạng kết cấu và vật liệu xây dựng, đợc xác định theo thực
nghiệm
V(t)

V(t)

m
m

c

k

c,k
(t)
V

(t)
V

Hình 4 - 4
Nh đã biết trong lý thuyết dao động khi:


C = C0( =1) và C > C0( 1) hệ sẽ chuyển động tắt
dần không dao động.

186




C < C0( <1) nghiệm tổng quát của phơng trình 4-7
biểu diễn dao động tắt dần và dao động sẽ triệt tiêu sau

thời gian ngắn.

Phơng trình động đất đợc giả thiết có dạng điều hoà
hình sin, nghiệm riêng của phơng trình (4.6) dới dạng tích
phân Duhamel:
1 1
V(t * V0 (t)e t sin * t d
0

(4-16)
Đây chính là chuyển vị cỡng bức tơng đối của khối lợng m so với
nền đất.
đạo hàm liên tiếp biểu thức(4.9) theo thời gian sẽ đợc vận tốc và
gia tốc tuyệt đối của m.
1





t
(t) V
V
cos * t * sin * t d
0 (t)e
0

(4-17)
1

t
(t) V
(t) * V
V
1 * 2 sin * t 2 * cos * t d
0
0 (t)e

(4-

0

18)
Các biểu thức (4.16),(4.17),(4.18) đặc trng cho phản ứng
của công trình một bậc tự do chịu tác dụng động đất thông
qua của nền đất.
Các giá trị tuyệt đối lớn nhất của chuyển vị tơng đối và
gia tốc tuyệt đối biểu diễn bằng giá trị cực đại của (4.16),
(4.17),(4.18) đợc gọi là phổ phản ứng của công trình một bậc
tự do ứng với một trận động đất đã cho. Phổ dộng đất bao
gồm:
Phổ các chuyển vị tơng đối
Phổ các vận tốc tơng đối
Phổ các gia tốc tuyệt đối
187

Sd x(t) max
(t) max
Sv x
0 (t) x
(t) max
Sa x


Các phổ phản ứng của công trình là hàm của chu kỳ dao
động riêng T, hệ số cản tới hạn V của công trình và cờng độ
động đất. Các tham số này độc lập với chuyển vị theo thời gian
của công trình.
Nếu giả thiết yếu tố cản tới hạn v< 2, điều này phù hợp với đại
bộ phận các công trình trong thực tế, các biểu thức(4.16),
(4.17),(4.18) đợc viết với * = ,v* = v, có dạng :
1
V(t


1

t

V0 (t)e

sin * t d

0

(4-19)

1





t
(t) V
V
cos t sin t d
0 (t)e
0

(4-20)
1





t
(t) V
(t) V
V
1 2 sin t 2 cos t d
0
0 (t)e
0

(4-21)

Giá trị tuyệt đối lớn nhất của (4.19), (4.20), (4.21) gọi là các á
phổ phản ứng của công trình chịu động đất đợc ký hiệu là
Spd,Spv,Spa. Các á phổ phản ứng này cũng là hàm số của chu kỳ
dao động riêng, hệ số cản tới hạn và cờng độ động đất.
D.E.Hudson đã chứng minh rằng phổ vận tốc bằng á phổ vận
tốc .
t

t
(t) V
Sv Spv V
cos t d
0 (t)e
0


max

t

t
(t) V
V
sin t d
0 (t)e
0

max

(4-22)

Trong trờng hợp này, giữa các phổ phản ứng tồn tại các quan
hệ sau đây thông qua tần số dao động riêng :
188


V(t) max Sd Sv / Sa / 2
(t)
V

max

Sv Sa / Sd

(t) V
(t)
V
0

max

Sa 2 Sd Sv

(4-23)
Do có sự tơng đơng giữa các phổ phản ứng và á phổ phản
ứng nên đây chúng ta gọi chung là phổ phản ứng . Tuy nhiên á
phổ phản ứng có biểu thức đơn giản hơn nên đợc ứng dụng
nghiên cứu lý thuyết kháng chấn .
Sau khi xác định các phổ phản ứng, lực động đất tác dụng
lên công trình bằng tích số giữa khối lợng công trình với gia tốc:
Fmax = mSa = m..Sv

(4-24)
Fmax

2
mSv
T

(4-25)
trong đó T

2


chu kỳ dao động riêng của công trình.

Phơng trình (4.24) cho thấy lực động đất tỉ lệ với phổ gia
tốc Sa, nên phổ gia tốc biểu hiện lực động đất tác dụng lên
công trình có bậc tự do có khối lợng bằng đơn vị. Tuy nhiên khi
nghiên cứu lý thuyết kháng chấn ngời ta lại thờng dùng phổ vận
tốc Sv .
Trên hình 4.3 trình bày biểu đồ gia tốc điển hình theo hớngs B N của trận động đất ở California xảy ra tháng 5/1940 .
Phổ vận tốc Sv biểu diễn trên hình 4.4 theo sự biến thiên của
chu kỳ dao động riêng T và các yếu tố cản tới hạn khác nhau v.

189


Hình 4-3: Biểu đồ gia tốc của trận động đất xảy ra tháng
5/1940 ở California
Để nâng cao độ tin cậy khi thiết kế kháng chấn, phải lập

nhiều đờng cong phổ khác nhau trong điều kiện địa chất tơng tự với các trận động đất có cờng độ khác nhau. Các đờng
cong này gọi là phổ chuẩn hay phổ thiết kế .

Hình 4-4: Phổ vận tốc
Dựa trên quan hệ (4.23) có thể biểu diễn quan hệ giữa các
phổ phản ứng trên một biểu đồ đơn giản nh trên hình 4.5
c - Phơng pháp phổ sử dụng mô hình có nhiều bậc tự do
Để xác định phản ứng động của công trình có khối lợng
phân bố theo chiều cao ta có thể mô phỏng chúng theo mô
190


hình có hữu hạn bậc tự do, khi khối lợng có thể tập trung tại một
số điểm nhất định mà không ảnh hởng lớn đến tính chất
làm việc so với hệ thực . Căn cứ theo nguyên tắc trên có thể
biểu diễn cách tính trụ cầu theo sơ đồ hình 4.6

Hình 4-5: Quan hệ giữa các phổ phản ứng
Nh vậy chúng ta có hệ n bậc tự do dao động theo phơng
ngang hoặc dọc cầu. Nếu bỏ qua biến dạng dọc của trụ cột, độ
cứng của công trình đợc xác định qua độ cứng chống uốn của
cột. Cơ chế tiêu hao và phân tán năng lợng đợc thể hiện qua hệ
191


số cản nhớt của trụ, các đặc điểm liên kết đàn hồi và giảm
chấn dới móng.

Hình 4-6: Ví dụ mô hình hoá trụ cầu và nền móng chịu
động đất

d - Phơng pháp phổ sử dụng mô hình có liên tục ( vô số
bậc tự do )
Cũng nh đối với bài toán dao động công trình dới các tác
nhân động lực khác, mô hình liên tục (vô số bậc tự do) cho độ
chính xác cao hơn tuy nhiên cũng gặp không ít khó khăn trong
việc xây dựng mô hình và đòi hỏi khối lợng tính toán rất lớn.
4.3.3. Phơng pháp phân tích theo lịch sử thời gian.
a- Mô hình tính toán
Đối với một số công trình nh cột trụ, tháp cầutrọng lợng bản
thân của chúng có thể bỏ qua vì nhỏ hơn rất nhiều so với trọng
lợng của kết cấu nhịp phía trên nên để đơn giản có thể sử
dụng mô hình công -xon một bậc tự do nh trên hình 4-4. Phơng
trình vi phân mô tả dao động sử dụng phơng trình (4-13).
(t) 2 V (t) 2V(t) V
(t)
V
0

(4-13)
192


Nội dung cơ bản của phơng pháp phân tích theo lịch sử
thời gian là dựa trên kết quả đo và lập hàm quan hệ biên thiên
(t) theo thời gian sau đó sử dụng phơng pháp sai
của gia tốc V

phân hữu hạn để giải phơng trình 4-13 nêu trên.
Trình tự giải nh sau:
- Xét các chuyển vị tơng đối x(n-1), xn và x(n+1) tơng ứng với

các thời điểm t(n-1),, tn và t(n+1) nh trên hình 4-7.

x(n-1)

xn

t(n-1)

x(n+1)

tn
t

t(n+1)
t

Hình 4-7
Các chuyển vị tơng đối này đợc xác định theo phơng pháp
truy hoàn:
x n1

1
2 2 t2 xn 1 t x n 1 t2 x0n


1 t

Để xác định đợc ứng xử dao động của công trình theo phơng pháp phân tích theo lịch sử thời gian cần có đầy đủ các
số liệu quan trắc địa chấn, đặc biệt là phải có biểu đồ gia
tốc của các một số trận động đất điển hình để xác định trị

số x0(n) tại thời điểm tn .
Độ chính xác của phơng pháp phân tích theo lịch sử thời
gian tùy thuộc vào giả thiết của mô hình tính toán. Trong thời
193