GIẢI TÍCH LỒI ( Giáo trình đại học) HUỲNH THẾ PHÙNG

GIẢI TÍCH LỒI
(Giáo trình Đại học)
Huỳnh Thế Phùng
Ngày 3 tháng 4 năm 2009


Mục lục
Chương 1
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Tập lồi

4

Tập lồi - Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian vectơ (Rn , +, ·). . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Tích vô hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Độ dài vectơ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Metric trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Biểu diễn của đa tạp affine. . . . . . . . . . . . . . . .

8

Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Định lý Carathéodory. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3

Nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Đại số các tập lồi và tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1

Các phép toán đại số trên tập lồi và nón lồi. . . . . . . 11

1.4.2

Các tính chất tôpô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Nón lùi xa của tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1

Định nghĩa và ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.2

Cấu trúc của nón lùi xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Định lý tách tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1

Khái niệm.

1.6.2

Các định lý tách cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.3

Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Hàm lồi

16

1


2
2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

Định nghĩa và các tính chất đặc trưng. . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1

Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2

Đặc trưng của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3

Hàm thuần nhất dương lồi.

Các phép toán trên hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1

Hàm hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2

Tổng chập Infimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3

Cận trên, cận dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4

Bao lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Hàm lồi khả vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1

Trường hợp hàm một biến. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2

Trường hợp hàm nhiều biến. . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3

Một số bất đẳng thức quen thuộc. . . . . . . . . . . . . 20

Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1

Hàm nửa liên tục dưới. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2

Bao đóng, bao lồi đóng của một hàm. . . . . . . . . . . 21

2.4.3

Sự liên tục của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1

Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine. . . . . . . . . . . . 22

2.5.2

Hàm liên hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Hàm tựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.2

Đặc trưng của hàm tựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Chương 3
3.1

3.2

. . . . . . . . . . . . . . . 17

Dưới vi phân và Bài toán cực trị

26

Đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1

Sự tồn tại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2

Tính chất của đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . 27

Dưới vi phân của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


3

3.3

3.2.2

Quan hệ với đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . 29

3.2.3

Các khái niệm khả vi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.4

Các phép toán trên dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . 31

Khảo sát bài toán Quy hoạch lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1

Bài toán cực trị không ràng buộc. . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2

Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc đẳng thức. . . . . 32

3.3.3

Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức. . . . . . . . . . 34

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


Chương 1
Tập lồi
1.1

Tập lồi - Đa tạp affine.

1.1.1

Không gian vectơ (Rn , +, ·).

Trong không gian Rn mỗi phần tử là một bộ được sắp x = (x1 , · · · , xn )
trong đó xi ∈ R, với mọi i, và được gọi là một vectơ thực n chiều.
Với λ là một số thực, x = (x1 , x2 , · · · , xn ) và y = (y1 , y2 , · · · , yn ) là hai
vectơ, ta ký hiệu x + y là vectơ tổng của x và y, còn λx là tích của vectơ x
với số vô hướng λ, được xác định bởi
x + y := (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ); λx = (λx1 , λx2 , · · · , λxn ).
Đặc biệt, ta ký hiệu −x := (−1)x = (−x1 , −x2 , · · · , −xn ) và 0 là phần tử
có tất cả các toạ độ bằng 0. Lúc đó, Rn cùng với hai phép toán trên lập
thành một không gian vectơ trên trường số thực R. Tức là, với mọi λ, µ ∈ R,
x, y ∈ Rn ta có
a)

x + y = y + x;

b)

(x + y) + z = x + (y + z);

c)

0 + x = x + 0 = x;

d)

x + (−x) = 0;

e)

λ(x + y) = λx + λy;

f)

(λ + µ)x = λx + µx;

g)

(λµ)x = λ(µx);

h)

1x = x.


5

Bây giờ phép trừ của hai vectơ được định nghĩa bởi x − y := x + (−y).
Ngoài ra, nếu A, B là các tập con của Rn và λ là một số thực và x0 là một
vectơ thì các tập A ± B, A ± x0 và λA được định nghĩa bởi
A ± B := {a ± b | a ∈ A; b ∈ B};
A ± x0 := {a ± x0 | a ∈ A};
λA := {λa | a ∈ A}.

1.1.2

Tích vô hướng.

Với mỗi cặp vectơ x, y tích vô hướng của x và y là số thực
x, y := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .
Như vậy, tích vô hướng ., . là một ánh xạ từ Rn × Rn vào R. Các tính chất
của tích vô hướng được thể hiện trong mệnh đề sau
Mệnh đề 1.1. Với mọi x, y, z ∈ Rn và λ ∈ Rn ta có
a) x, x ≥ 0 ;
b) x, x = 0 ⇔ x = 0;
c) x, y = y, x ;
d) λx, y = x, λy = λ x, y ;
e) x, y + z = x, y + x, z .
Hai vectơ x và y sẽ được gọi là trực giao (hay vuông góc) với nhau và
được ký hiệu là x⊥y nếu x, y = 0.
Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz). Cho x và y là hai vectơ, ta có
x, y

1.1.3

2

≤ x, x . y, y .

Độ dài vectơ.

Với mỗi vectơ x, ta gọi độ dài (hay chuẩn) của x là số thực x được
định nghĩa bởi:
x :=

x, x =

x21 + x22 + · · · + x2n .

Từ Mệnh đề 1.1 và Bổ đề 1.1 ta dễ dàng chứng minh được


6
Mệnh đề 1.2. Với mọi x, y ∈ Rn và λ ∈ R ta có
a) x ≥ 0;
b) x = 0 ⇔ x = 0;
c) λx = |λ|. x ;
d) x + y ≤ x + y .
Mệnh đề 1.3 (Pythagore). Cho x, y ∈ Rn . Lúc đó,
x⊥y ⇐⇒ x + y

2

= x

2

+ y

2

= x − y 2.

Mệnh đề 1.4 (Đẳng thức hình bình hành). Cho x, y ∈ Rn . Lúc đó,
x+y

1.1.4

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

.

Metric trong Rn .

Dựa trên định nghĩa độ dài của các vectơ người ta đưa vào khái niệm
khoảng cách giữa hai vectơ trong Rn . Cụ thể, ta định nghĩa ánh xạ d :
Rn × Rn → R, xác định bởi
d(x, y) := x − y ;

∀x, y ∈ Rn .

Ánh xạ này thoả mãn các tính chất sau, mà dễ dàng suy ra từ Mệnh đề 1.3
Mệnh đề 1.5. Với mọi x, y, z ∈ Rn ta có
a) d(x, y) ≥ 0;
b) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
c) d(x, y) = d(y, x);
d) d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).
Như vậy, (Rn , d) là một không gian metric và d thực sự là một hàm
khoảng cách trên Rn (và được gọi là hàm khoảng cách Euclide). Thực ra
trên Rn người ta còn sử dụng hai hàm khoảng cách quen thuộc khác, đó là
n

d∞ (x, y) := max{|xi − yi | | 1 ≤ i ≤ n};

|xi − yi |.

d1 (x, y) :=
1

Bổ đề 1.2. Với mọi x, y, z ∈ Rn ta có
a) d(x + z, y + z) = d(x, y);
b) nd∞ (x, y) ≥ d1 (x, y) ≥ d(x, y) ≥ d∞ (x, y).

7
Bổ đề này cho thấy các metric d, d∞ và d1 là tương đương; Nghĩa là
chúng sinh ra cùng một tôpô trên Rn . Dễ kiểm chứng được rằng, trên tôpô
này mọi hàm có dạng fa (x) = a, x , gλ (x) = λx, ha (x) = a + x, với a ∈ Rn ,
λ ∈ R cố định, đều liên tục.
Vì Rn là một không gian metric, trên Rn ta có các khái niệm dãy hội
tụ, hình cầu, tập bị chặn, tập mở, tập đóng, tập compact, tập liên thông...
Ta có các tính chất quan trọng sau
Định lý 1.6 (Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy bị chặn trong Rn đều tồn tại
dãy con hội tụ.
Mệnh đề 1.7. Cho A, B ⊂ Rn , x0 ∈ Rn , λ ∈ R \ {0}. Ta có
a) A đóng (mở) khi và chỉ khi A + x0 đóng (mở),
b) A đóng (mở) khi và chỉ khi λA đóng (mở),
c) Nếu A mở, thì A + B mở.

1.2
1.2.1

Đa tạp affine.
Định nghĩa.

Cho x, y ∈ Rn . Ta gọi đường thẳng L(x, y), đoạn thẳng [x, y], nửa khoảng
[x, y) là các tập hợp:
L(x, y):={λx + (1 − λ)y | λ ∈ R},
[x, y] :={λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}
[x, y) :={λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1]}.
Tương tự, các bạn có thể đưa ra định nghĩa cho các tập (x, y], (x, y). Một
tập hợp M ⊂ Rn được gọi là một đa tạp affine nếu với mọi x, y ∈ M ta có
L(x, y) ⊂ M . Dễ kiểm chứng được rằng một không gian con là một đa tạp

affine chứa gốc (tức là vectơ 0). Một tổ hợp affine của các vectơ a1 , a2 , · · · , am
m
i
là một vectơ có dạng x = m
1 λi a ; với λi là các số thực sao cho
1 λi = 1.
Mệnh đề 1.8. M là một đa tạp affine khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp
affine của các phần tử của nó.
Mệnh đề 1.9. Giao của một họ tuỳ ý các đa tạp affine là một đa tạp affine.
Bây giờ cho B là một tập con của Rn , ta gọi bao affine của B là giao
của họ tất cả các đa tạp affine chứa B và ký hiệu là Aff(B). Rõ ràng, Aff(B)
là đa tạp affine bé nhất chứa B. Đặc biệt Aff({x, y}) = L(x, y).


8
Mệnh đề 1.10. Cho B ⊂ Rn . Ta có
m

Aff(B) =

m

λi a

i

i

a ∈ B; λi ∈ R;

1

1.2.2

λi = 1 .
1

Biểu diễn của đa tạp affine.

Mệnh đề 1.11. Giả sử V là một không gian con của Rn và x0 là một vectơ,
lúc đó M := V + x0 là một đa tạp affine. Ngược lại, cho M là một đa tạp
affine bất kỳ ta luôn tìm được một không gian con V và một vectơ x0 sao cho
M = V + x0 . Không gian V như vậy là duy nhất và được gọi là không gian
con song song với M .
Giả sử M là một đa tạp affine và V là không gian con song song với nó.
Ta định nghĩa chiều và đối chiều của M chính là chiều và đối chiều của V .
Cụ thế, dim M = dim V , codim M = codim V . Nếu codim M = 1 ta nói M
là một siêu phẳng.
Định lý 1.12. Cho M ⊂ Rn . Lúc đó, M là một siêu phẳng khi và chỉ khi
tồn tại vectơ x∗ = 0, số thực α sao cho
M = H(x∗ ; α) := {x ∈ Rn | x∗ , x = α}.
Lúc đó, không gian con V , song song với M được xác định bởi
V = H(x∗ ; 0) = {x ∈ Rn | x∗ , x = 0}.
Định lý 1.13. M là đa tạp affine khi và chỉ khi M là giao của một số hữu
hạn các siêu phẳng. Hơn nữa, nếu codim M = k thì tồn tại họ độc lập tuyến
tính {a1 , a2 , · · · , ak } ⊂ Rn và các số α1 , α2 , · · · , αk sao cho
k

H(ai ; αi ).

M=
1

Hệ quả 1.1. Mọi đa tạp affine và không gian con trong Rn đều là các tập
đóng.

1.3
1.3.1

Tập lồi.
Định nghĩa.

Một tập C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C ta có [x, y] ⊂ C.
Vì [x, y] ⊂ L(x, y) nên mọi đa tạp affine đều là tập lồi. Một tổ hợp lồi của


9
các vectơ a1 , a2 , · · · , am là một vectơ có dạng x =
thực không âm sao cho m
1 λi = 1.

m
1

λi ai ; với λi là các số

Mệnh đề 1.14. C là một tập lồi khi và chỉ khi C chứa mọi tổ hợp lồi của
các phần tử của nó.
Mệnh đề 1.15. Giao của một họ tuỳ ý các tập lồi là lồi.
Bây giờ cho B là một tập con của Rn , ta gọi bao lồi (bao lồi đóng) của

B là giao của họ tất cả các tập lồi (tập lồi đóng) chứa B và ký hiệu là co B
(coB). Rõ ràng, co B (coB) là tập lồi (tập lồi đóng) bé nhất chứa B. Đặc
biệt co{x, y} = co{x, y} = [x, y]. Thật ra, có thể kiểm chứng được rằng
¯
coB = co B ⊃ co B.
Mệnh đề 1.16. Cho B ⊂ Rn . Ta có
m

co B =

m

λi a

i

i

a ∈ B; λi ≥ 0;

1

1.3.2

λi = 1 .
1

Định lý Carathéodory.

Giả sử C là tập lồi trong Rn , ta định nghĩa chiều của C chính là

chiều của đa tạp affine sinh bởi C. Cụ thể, dim C = dim Aff(C). Họ các
vectơ {a0 , a1 , · · · , am } được gọi là độc lập affine nếu hệ {a1 − a0 , · · · , am −
a0 } độc lập tuyến tính. Lúc đó, ta gọi tập hợp ∆ = S(a0 , a1 , · · · , am ) :=
co{a0 , a1 , · · · , am } là đơn hình m chiều (hay m−đơn hình) với m + 1 đỉnh
a0 , a1 , · · · , am . Như vậy, 1−đơn hình là đoạn thẳng, 2−đơn hình là tam giác,
3−đơn hình là tứ diện...
Định lý 1.17. Cho B ⊂ Rn với dim Aff(B) = k. Lúc đó, với mọi z ∈ co B
tồn tại các vectơ b0 , b1 , · · · , bk ∈ B sao cho z ∈ co{b0 , b1 , · · · , bk }.
Hệ quả 1.2 (Định lý Carathéodory). Cho B ⊂ Rn . Lúc đó, với mọi z ∈ co B
tồn tại các vectơ b0 , b1 , · · · , bn ∈ B sao cho z ∈ co{b0 , b1 , · · · , bn }.

1.3.3

Nón.

Một tập K ⊂ Rn được gọi là nón nếu với mọi k ∈ K và mọi λ > 0 ta có
λk ∈ K. Nếu hơn nữa, K là lồi (lồi đóng) thì nó được gọi là nón lồi (nón lồi


10
đóng). Có thể kiểm chứng được rằng mọi nón lồi đóng khác rỗng đều chứa
gốc. Để dễ hình dung ta xét các tập sau trong R2 :
K1 = {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 0};
K2 = {(x, y) ∈ R2 | x > 0; y > 0};
K3 = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0; y ≥ 0}.
Lúc đó, K1 là nón không lồi, K2 là nón lồi nhưng không đóng còn K3 là nón
lồi đóng.
Mệnh đề 1.18. K là nón lồi khi và chỉ khi λx + µy ∈ K, với mọi λ, µ ≥ 0
và x, y ∈ K.
Mệnh đề 1.19. Giao của một họ tuỳ ý các nón (nón lồi; nón lồi đóng) cũng

là nón (nón lồi; nón lồi đóng).
Hệ quả 1.3. Cho a1 , · · · , am ∈ Rn . Lúc đó, tập hợp
K := {x ∈ Rn | ai , x ≤ 0; 1 ≤ i ≤ m}
là nón lồi đóng.
Cho B ⊂ Rn , ta cũng có các định nghĩa về bao nón (con B), bao nón lồi
(con co B) và bao nón lồi đóng (con coB) của B như sau
con B :=

K;

con co B := con(co B);

con coB := con co B.

K⊃B;K nón

Mệnh đề 1.20. Cho B ⊂ Rn . Lúc đó,
a) con B = {λx | λ > 0; x ∈ B}
b) con co B = {

m
1

λi xi | λi > 0, xi ∈ B; 1 ≤ i ≤ m}

Mệnh đề 1.21. Cho K là nón lồi chứa gốc. Lúc đó,
a) K − K là không gian con bé nhất chứa K.
b) K ∩ (−K) là không gian con lớn nhất được chứa trong K.
Mệnh đề 1.22. Nếu C ⊂ Rn là tập lồi thì tập hợp
K := {(λ, λx) | λ > 0; x ∈ C}

là nón lồi trong Rn+1 .


11

1.4
1.4.1

Đại số các tập lồi và tính chất tôpô.
Các phép toán đại số trên tập lồi và nón lồi.

Mệnh đề 1.23. Cho C1 , C2 ⊂ Rn là các tập lồi, a ∈ Rn và λ ∈ R. Lúc đó,
C1 ± C2 , λC1 , C1 ± a cũng là các tập lồi.
Mệnh đề 1.24. Nếu C lồi và λ1 , λ2 ≥ 0, thì (λ1 + λ2 )C = λ1 C + λ2 C.
Mệnh đề 1.25. Cho {Ci ; i ∈ I} là họ các tập lồi khác rỗng. Lúc đó hai
điều sau tương đương
a) x ∈ co

i∈I

Ci ,

b) ∃i1 , · · · , im ∈ I, ∃xij ∈ Cij , ∃λij ≥ 0 :

m
j=1

λij = 1;

m

j=1

λij xij = x.

Mệnh đề 1.26. Cho K1 , K2 là các nón lồi chứa gốc. Lúc đó,
K1 + K2 = co(K1 ∪ K2 ).

1.4.2

Các tính chất tôpô.

Cho C là tập lồi trong Rn . Ta vẫn ký hiệu Int C là phần trong của C,
tức là
Int C = {x ∈ C | ∃ > 0 : B(x; ) ⊂ C}.
Ngoài ra, ta gọi phần trong tương đối của C là phần trong của tập này trong
không gian cảm sinh Aff(C). Cụ thể,
ri C := {x ∈ C | ∃ > 0 : B(x; ) ∩ Aff(C) ⊂ C}.
Định lý 1.27. Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong Rn và x0 ∈ Rn . Lúc
đó, tồn tại duy nhất c ∈ C sao cho x0 − c ≤ x0 − x , với mọi x ∈ C.
Định lý 1.28. Nếu C là tập lồi trong Rn có dim C = n thì Int C = ∅.
Định lý 1.29. Cho C là tập lồi khác rỗng trong Rn . Lúc đó,
a) x ∈ Int C ∧ y ∈ C¯ ⇒ [x, y) ⊂ Int C.
b) Int C, C¯ là các tập lồi.
c) Int C = ∅ ⇒ (C¯ = Int C) ∧ (Int C¯ = Int C).
d) ri C luôn khác rỗng, lồi và C¯ = ri C; ri C¯ = ri C.


12
Định lý 1.30. Cho A, B lồi. Nếu ri A ∩ ri B = ∅ thì
Aff(A ∩ B) = Aff(A) ∩ Aff(B);

ri(A ∩ B) = ri A ∩ ri B.

Mệnh đề 1.31. Nếu A ⊂ Rn là tập compact thì co A compact và lúc đó
co A = coA.

1.5
1.5.1

Nón lùi xa của tập lồi.
Định nghĩa và ví dụ.

Cho tập lồi khác rỗng C ⊂ Rn . Ta nói vectơ d là một phương lùi xa của
C nếu
x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0.
Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được
ký hiệu là o+ (C). Vậy,
o+ (C) = {d ∈ Rn | x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.
Mệnh đề 1.32. o+ (C) là nón lồi chứa gốc. Hơn nữa,
o+ (C) = {d ∈ Rn | C + d ⊂ C}.
Ví dụ 1.1. Trong R2 cho các tập
C1 = {(x, y) | x > 0; y ≥

1
};
x

C2 = {(x, y) | y ≥ x2 };
C3 = {(x, y) | x2 + y 2 ≤ 1};
√

C4 = {(x, y) | y ≥ 1 + x2 };
C5 = {(x, y) | (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x = y = 0)}.
Lúc đó,
o+ (C1 ) = {(u, v) | u ≥ 0; v ≥ 0};
o+ (C2 ) = {(0, v) | v ≥ 0};
o+ (C3 ) = {(0, 0)};
o+ (C4 ) = {(u, v) | v ≥ |u|};
o+ (C5 ) = C5 .


13
Ví dụ 1.2. Cho ai ∈ Rn , αi ∈ R; 1 ≤ i ≤ m. Xét tập hợp
C6 = {x ∈ Rn | ai , x ≤ αi ; 1 ≤ i ≤ m} = ∅.
Ta có
o+ (C6 ) = {x ∈ Rn | ai , x ≤ 0; 1 ≤ i ≤ m}.

1.5.2

Cấu trúc của nón lùi xa.

Mệnh đề 1.33. Cho C lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, o+ (C) là nón lồi đóng
và
v ∈ o+ (C) ⇔ ∃(xk ) ⊂ C, ∃λk > 0 : λk → 0; λk xk → v.
Mệnh đề 1.34. Cho C lồi đóng khác rỗng và vectơ v = 0. Nếu tồn tại
x0 ∈ C sao cho x0 + λv ∈ C với mọi λ > 0 thì v ∈ o+ (C).
Hệ quả 1.4. Cho C lồi đóng và x0 ∈ C. Lúc đó,
(C − x0 ).

o+ (C) =
>0

Đặc biệt, nếu 0 ∈ C thì
o+ (C) =

C.
>0

Định lý 1.35. Cho C lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, C bị chặn khi và chỉ khi
o+ (C) = {0}.

1.6
1.6.1

Định lý tách tập lồi.
Khái niệm.

Cho A và B là hai tập con khác rỗng của Rn . Ta nói A và B là tách
được nếu tồn tại vectơ khác không x∗ ∈ Rn và số thực α sao cho
x∗ , a ≤ α ≤ x∗ , b ; ∀a ∈ A, b ∈ B.

(1.1)

Lúc đó, ta nói x∗ là vectơ tách còn H(x∗ ; α) là siêu phẳng tách A và B. x∗
được gọi là tách thực sự A và B nếu (1.1) thoả mãn và A ∪ B ⊂ H(x∗ ; α).
Nếu (1.1) được thay bằng dấu bất đẳng thức chặt:
x∗ , a < α < x∗ , b ; ∀a ∈ A, b ∈ B


14
thì A và B được gọi là tách chặt. Còn nếu

sup x∗ , a < inf x∗ , b ,
a∈A

hay tồn tại số dương

b∈B

sao cho
x∗ , a + ≤ x∗ , b ; ∀a ∈ A, b ∈ B,

thì A và B được gọi là tách mạnh. Rõ ràng, hai tập tách chặt (hay tách
mạnh) được là rời nhau. Tuy vậy, hai tập rời nhau chưa hẳn tách được. Mặt
khác, hai tập tách được cũng chưa hẳn rời nhau.
Ví dụ 1.3. Trong R2 cho 3 tập
A := {(x, y) | y = 3 − x2 };
B := {(x, y) | x2 + (y − 1)2 ≤ 1};
C := {(x, y) | y ≤ 0}.
Lúc đó, A và B rời nhau nhưng không tách được. Trong khi đó, B và C tách
được nhưng không rời nhau.
Một cách hình học, A và B được tách bởi siêu phẳng H(x∗ ; α) có nghĩa
là chúng lần lượt được chứa trong hai nửa không gian đóng H − (x∗ ; α) và
H + (x∗ ; α), được định nghĩa như sau
H − (x∗ ; α) = {x ∈ Rn | x∗ , x ≤ α}, H + (x∗ ; α) = {x ∈ Rn | x∗ , x ≥ α}.

1.6.2

Các định lý tách cơ bản.

Mệnh đề 1.36. Nếu C là tập lồi, đóng, khác rỗng và không chứa gốc, thì
tồn tại vectơ x∗ và số dương sao cho

x∗ , c ≥ ; ∀c ∈ C.
Định lý 1.37 (Định lý tách mạnh). Cho A và B là hai tập lồi, khác rỗng
rời nhau, A đóng, B compact. Lúc đó A và B tách mạnh được.
Định lý 1.38 (Định lý tách). Hai tập lồi, khác rỗng rời nhau bất kỳ là tách
đươc.
Định lý 1.39. Cho A và B là hai tập lồi, khác rỗng sao cho ri A ∩ ri B = ∅.
Lúc đó, tồn tại x∗ tách thực sự A và B.


15
Định lý 1.40. Cho A và B là hai tập lồi, khác rỗng. Ba điều sau tương
đương:
a) A và B tách mạnh được,
b) d(A, B) > 0,
c) 0 ∈ A − B.
Bổ đề 1.3. Cho A và B là hai tập lồi, đóng, khác rỗng sao cho o+ (A) ∩
o+ (B) = {0}. Lúc đó, A − B là tập đóng.
Định lý 1.41. Cho A và B là hai tập lồi, đóng, khác rỗng rời nhau và
o+ (A) ∩ o+ (B) = {0}. Lúc đó, A và B tách mạnh được.

1.6.3

Ứng dụng.

Mệnh đề 1.42. Mọi tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn đều là giao của một
họ các nửa không gian đóng.
Hệ quả 1.5. Cho A ⊂ Rn . Lúc đó,
coA =

{B | B là nửa không gian đóng chứa A}.

Hệ quả 1.6. Cho C ⊂ Rn lồi và C = Rn . Lúc đó, tồn tại x∗ = 0 sao cho
sup x∗ , c < +∞.
c∈C

Cho C là một tập lồi. Siêu phẳng H(x∗ ; α) được gọi là siêu phẳng tựa
của C nếu C ∩ H(x∗ ; α) = ∅ và C ⊂ H − (x∗ ; α) (hoặc C ⊂ H + (x∗ ; α)). Nếu
hơn nữa, C ⊂ H(x∗ ; α), thì ta nói đó là siêu phẳng tựa không tầm thường.
Mệnh đề 1.43. Cho C và D là hai tập lồi, C ⊃ D = ∅. Lúc đó, để tồn
tại siêu phẳng tựa không tầm thường của C chứa D điều kiện cần và đủ là
D ∩ ri C = ∅.
Mệnh đề 1.44. Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, trong đó có một tập
là nón. Nếu có một siêu phẳng tách A và B, thì cũng có một siêu phẳng đi
qua gốc tách chúng.


Chương 2
Hàm lồi
2.1
2.1.1

Định nghĩa và các tính chất đặc trưng.
Các định nghĩa.

Cho hàm nhiều biến f : Rn → [−∞, +∞] =: R, ta ký hiệu epi f và
dom f lần lượt là trên đồ thị và miền hữu hiệu của hàm f ; Tức là
epi f := {(x, λ) ∈ Rn × R | λ ≥ f (x)};
dom f := {x ∈ Rn | f (x) < +∞}.
f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ Rn . f
được gọi là lồi nếu epi f là tập lồi trong Rn × R và được gọi là lõm nếu −f

lồi.
Ví dụ 2.1. Cho các hàm f, g : R → R, xác định bởi:

f (x) :=

x2 ;
x ∈ (−1, 1);
+∞; x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞),



−∞; x ∈ (−∞, 0);
g(x) := 0;
x = 0;


+∞; x ∈ (0, +∞).

Có thể kiểm chứng được f và g đều là các hàm lồi, f chính thường còn g thì
không. Việc xác định dom f , dom g, epi f và epi g xem như bài tập dành cho
các bạn.
Với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức của hàm f tương ứng với
mức α:
C(f ; α) := {x ∈ Rn | f (x) ≤ α}.
16


17

2.1.2

Đặc trưng của hàm lồi.

Mệnh đề 2.1. Nếu f lồi thì dom f lồi.
Mệnh đề 2.2. Nếu f lồi thì C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R.
Mệnh đề 2.3. Cho f : Rn → (−∞, +∞]. Lúc đó,
f lồi ⇔ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y); ∀x, y ∈ Rn ; ∀λ ∈ (0, 1).
Mệnh đề 2.4. Cho f : Rn → R. Lúc đó,
f lồi ⇔ f (λx+(1−λ)y) < λα+(1−λ)β; ∀α > f (x); ∀β > f (y); ∀λ ∈ (0, 1).
Mệnh đề 2.5 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f : Rn → (−∞, +∞]. Lúc đó,
f lồi ⇔ f

m

m

m

λi x

i

i

≤

λi f (x );

i

n

∀x ∈ R ; ∀λi ≥ 0,
1

1

1

λi = 1.

Các bạn có thể phát biểu các kết quả tương tự cho hàm lõm.

2.1.3

Hàm thuần nhất dương lồi.

Hàm f : Rn → R được gọi là thuần nhất dương nếu
f (λx) = λf (x);

∀x ∈ Rn , ∀λ > 0.

Mệnh đề 2.6. Cho hàm thuần nhất dương f : Rn → (−∞, +∞]. Ba phát
biểu sau là tương đương
a) f lồi,
b) f (x + y) ≤ f (x) + f (y); ∀x, y ∈ Rn .
c) epi f là một nón lồi.
Hệ quả 2.1. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì
m

f

m

λi x
1

i

λi f (xi );

≤

∀xi ∈ Rn ; ∀λi > 0.

1

Hệ quả 2.2. Nếu f là hàm lồi, chính thường, thuần nhất dương thì
f (x) + f (−x) ≥ 0;

∀x ∈ Rn .


18

2.2
2.2.1

Các phép toán trên hàm lồi.
Hàm hợp.

Mệnh đề 2.7. Cho hàm lồi f : Rn → R và hàm lồi không giảm ϕ : R →
(−∞, +∞]. Lúc đó, ϕ ◦ f là hàm lồi.
Mệnh đề 2.8. Nếu f1 , f2 là những hàm lồi chính thường thì f1 + f2 cũng
lồi.
Hệ quả 2.3. Nếu f1 , f2 , · · · , fm lồi chính thường và λi > 0, 1 ≤ i ≤ m, thì
hàm λ1 f1 + λ2 f2 + · · · + λm fm lồi.

2.2.2

Tổng chập Infimal.

Bổ đề 2.1. Cho F ⊂ Rn+1 là tập lồi. Lúc đó,
f (x) := inf{λ ∈ R | (x, λ) ∈ F };

x ∈ Rn

là hàm lồi trên Rn .
Cho f1 , f2 , · · · , fm là những hàm lồi chính thường trên Rn . Ta gọi tổng
chập infimal của họ các hàm (fi )1≤i≤m là hàm f được xác định bởi:
m

m
i

i

xi = x ;

n

fi (x ) x ∈ R ,

f (x) := inf

x ∈ Rn

1

1

và ký hiệu
m

fi .

f=
1

Định lý 2.9. Tổng chập infimal của họ các hàm lồi, chính thường cũng là
hàm lồi.

2.2.3

Cận trên, cận dưới.

Cho họ hàm fα : Rn → R, α ∈ I. Ta gọi cận trên và cận dưới của họ
hàm này lần lượt là các hàm
fα =

fα := sup fα ;
α∈I

fα =

fα := inf fα .
α∈I

Mệnh đề 2.10. Nếu fα lồi (lõm) với mọi α ∈ I, thì ∨fα (∧fα ) cũng lồi
(lõm).


19

2.2.4

Bao lồi.

Cho f : Rn → R. Đặt F := co(epi f ) và định nghĩa bao lồi của f là hàm
x ∈ Rn .

co f (x) := inf{λ ∈ R | (x, λ) ∈ F };

Mệnh đề 2.11. co f là hàm lồi lớn nhất trong số các hàm lồi bé hơn hoặc
bằng f .
Chú ý rằng, nói chung epi(co f ) = co(epi f ).
Mệnh đề 2.12. Với mọi x ∈ Rn , ta có
m

m

i

λi f (x ) λi ≥ 0,

co f (x) = inf
1

2.3
2.3.1

m
i

n

λi x i = x .

λi = 1; x ∈ R ,
1

1

Hàm lồi khả vi.
Trường hợp hàm một biến.

Định lý 2.13. Cho f : (a, b) → R, khả vi đến cấp hai. Lúc đó,
f lồi trên (a, b) ⇔ f (x) ≥ 0;

∀x ∈ (a, b).

Ví dụ 2.2. Dựa vào tiêu chuẩn trên ta dễ kiểm tra được hàm các hàm sau
f1 (x) := eαx ;

xp ;
x ≥ 0,
+∞; x < 0.

f2 (x) :=

f3 (x) :=

f4 (x) :=

với α là tham số tuỳ ý,

−xp ; x ≥ 0,
+∞; x < 0.
xp ;
x > 0,
+∞; x ≤ 0.

với p ∈ [1, +∞),

với p ∈ [0, 1],

với p ∈ (−∞, 0]

là lồi và hàm
f5 (x) :=
là lõm trên R.

ln x; x > 0,
−∞; x ≤ 0


20

2.3.2

Trường hợp hàm nhiều biến.

Định lý 2.14. Cho C ⊂ Rn là tập lồi, mở, khác rỗng và f : C → R khả vi
liên tục đến cấp hai. Lúc đó,
f lồi ⇔ ∇2 f (x) nửa xác định dương, với mọi x ∈ C.
Ở đây,
∇2 f (x) :=

∂2f
(x1 , x2 , · · · , xn )
∂xi ∂xj

i,j

là ma trận Hessian của f tại x.
Ví dụ 2.3. Các hàm sau lồi trên Rn
√
− n x1 x2 · · · xn ; x ≥ o;
f1 (x) :=
+∞;
nếu ngược lại,

n

x2i = x ,

f2 (x) :=
1
n

ai x2i ;

f3 (x) :=

với ai ≥ 0.

1

2.3.3

Một số bất đẳng thức quen thuộc.

Bất đẳng thức Cauchy. Với mọi bộ n số không âm x1 , x2 , · · · , xn ta có
√
x1 + x2 + · · · + xn
≥ n x1 x2 · · · xn .
n
Bất đẳng thức Minkowski. Cho 2n số dương x1 , x2 , · · · , xn ; y1 , y2 , · · · , yn ,
ta có
√
√
n

x1 x2 · · · xn + n y1 y2 · · · yn ≤ n (x1 + y1 )(x2 + y2 ) · · · (xn + yn ).
Bất đẳng thức H¨
older. Cho các số dương x1 , x2 , · · · , xn ; y1 , y2 , · · · , yn ; p,
1
1
q sao cho p + q = 1. Ta có
n

xpi

xi yi ≤
1

1
p

n

1

1
q

n

yiq

.
1

.


21

2.4
2.4.1

Sự liên tục của hàm lồi.
Hàm nửa liên tục dưới.

Cho f : Rn → R. f được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại x0 nếu
lim inf
f (x) ≥ f (x0 ).
0

(2.1)

x→x

Nếu f (x0 ) hữu hạn thì (2.1) có thể viết lại một cách tương đương:
∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ B(x0 ; δ) : f (x) > f (x0 ) − .
Nếu f l.s.c. tại mọi điểm trên một tập con E ta nói f l.s.c. trên E.
Định lý 2.15. Cho f : Rn → R, ba phát biểu sau là tương đương
a) f l.s.c. trên Rn ,
b) C(f ; α) đóng, với mọi α ∈ R,
c) epi f là tập đóng trong Rn+1 .
Từ kết quả này mà một hàm l.s.c. trên Rn còn được gọi là hàm đóng.

2.4.2

Bao đóng, bao lồi đóng của một hàm.

Cho f : Rn → R. Ta đặt F = epi f và định nghĩa bao đóng của f là
hàm f¯:
f¯(x) := inf{λ ∈ R | (x, λ) ∈ F }; x ∈ Rn
và bao lồi đóng của f là hàm cof := co f .
Mệnh đề 2.16. f¯ (cof ) là hàm đóng (lồi đóng) lớn nhất trong số các hàm
đóng (lồi đóng) bé hơn hoặc bằng f . Hơn nửa,
epi f¯ = epi f ; epi(cof ) = co(epi f ).
Chú ý: co f¯ không nhất thiết là hàm đóng và do đó, nói chung co f¯ = cof .
Mệnh đề 2.17. a) f đóng khi và chỉ khi f = f¯.
b) Nếu f lồi thì f¯ lồi và do đó cof = f¯.
c) Nếu f1 , f2 đóng thì f1 + f2 đóng.
d) Nếu fα đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα đóng.
e) Nếu fα lồi, đóng với mọi α ∈ I, thì ∨fα lồi, đóng.
Mệnh đề 2.18. Một hàm lồi, đóng, không chính thường thì không nhận giá
trị hữu hạn nào.


22

2.4.3

Sự liên tục của hàm lồi.

Định lý 2.19. Cho f : Rn → R lồi chính thường, các phát biểu sau là tương
đương:
a) f liên tục tại một điểm x¯ ∈ Rn .
b) f bị chặn trên trong một hình cầu mở khác rỗng B(x0 ; r) nào đó.

c) Int(epi f ) = ∅.
d) Int(dom f ) = ∅.
Hệ quả 2.4.
a) Nếu f : Rn → R lồi chính thường thì f liên tục trên Int(dom f ).
b) Nếu f : Rn → R lồi thì f liên tục trên Rn .
Một hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x¯ với hằng số K > 0
nếu
∃δ > 0, ∀x, x ∈ B(¯
x; δ) ∩ dom f : |f (x) − f (x )| ≤ K x − x .
f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập E ⊂ Rn nếu nó Lipschitz địa
phương tại mọi điểm thuộc E. Cuối cùng, f được gọi là Lipschitz trên E với
hàng số K nếu
∀x, x ∈ E : |f (x) − f (x )| ≤ K x − x .
Định lý 2.20. Cho tập lồi, mở E ⊂ Rn và hàm f : E → R. Lúc đó, f
Lipschitz địa phương trên E
Hệ quả 2.5. Cho f : Rn → R lồi, chính thường. Lúc đó, f Lipschitz địa
phương trên ri(dom f ).

2.5
2.5.1

Hàm liên hợp.
Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine.

Ta nhắc lại rằng, một hàm ϕ : Rn → R được gọi là hàm tuyến tính nếu
nó có dạng:
ϕ(x) = u, x ;

∀x ∈ Rn

(với vectơ cố định u ∈ Rn )

và được gọi là hàm affine nếu
ϕ(x) = u, x + α;

∀x ∈ Rn

(với u ∈ Rn và α ∈ R).


23
Định lý 2.21. Cho f : Rn → (−∞, +∞]. Lúc đó, f lồi đóng khi và chỉ khi
f là cận trên của một họ hàm affine.
Hệ quả 2.6. Cho f : Rn → R. Lúc đó,
cof =

ϕ.
ϕ affine và ϕ≤f

Hệ quả 2.7. Cho f là hàm lồi, đóng, chính thường trên Rn . Lúc đó, tồn tại
vectơ u ∈ Rn và số thực α sao cho f (x) ≥ u, x − α, với mọi x ∈ Rn . Nói
cách khác, tồn tại u ∈ Rn sao cho hàm g(x) := u, x − f (x) bị chặn trên .

2.5.2

Hàm liên hợp.

Cho hàm f : Rn → R. Ta gọi hàm f ∗ được xác định như sau là hàm liên
hợp của f :
f ∗ (u) := sup{ u, x − f (x) | x ∈ Rn } = sup{ u, x − f (x) | x ∈ dom f }.

Ví dụ 2.4. Với
f1 (x) = a, x + α; x ∈ Rn , f2 (x) = ex ; x ∈ R,
1
f3 (x) = |x|p ; x ∈ R (1 < p < ∞),
p
ta có
f1∗ (u) =

−α; u = a,
+∞; u = a.

1
f3∗ (u) = |u|q
q



u ln u − u; u > 0,
∗
f2 (u) = 0;
u = 0,


+∞;
u < 0.
(1 < q < ∞,

1 1
+ = 1).
p q

Mệnh đề 2.22. f ∗ là hàm lồi đóng.
Ta ký hiệu f ∗∗ := (f ∗ )∗ và gọi là hàm liên hợp bậc hai của f . Từ định
nghĩa ta có ngay các kết quả sau
Mệnh đề 2.23.
a) f ∗ (u) + f (x) ≥ u, x với mọi u, x ∈ Rn .
b) f ∗∗ ≤ f .


24
Hệ quả 2.8. f ∗∗ ≤ cof.
Mệnh đề 2.24. Nếu f lồi, đóng, chính thường thì f ∗ cũng vậy.
Định lý 2.25 (Fenchel-Moreau). Cho f : Rn → (−∞, +∞]. Lúc đó,
f = f ∗∗ ⇔ f lồi, đóng.
Hệ quả 2.9. Giả sử cof chính thường. Lúc đó,
cof = f ∗∗ ;

2.6
2.6.1

(cof )∗ = f ∗ .

Hàm tựa.
Định nghĩa.

Cho C ⊂ Rn . Hàm tựa của C là hàm được định nghĩa bởi
σC (u) := sup{ u, c | c ∈ C}.
Mệnh đề 2.26. σC là lồi, đóng, thuần nhất dương.
Từ đây suy ra σC (u) + σC (−u) ≥ 0 với mọi u ∈ Rn . Ta đặt
C ⊥ := {u ∈ Rn | σC (u) + σC (−u) = 0}.

Dễ kiểm chứng được C ⊥ là một không gian con. Các mệnh đề sau cho ta
những hiểu biết sâu sắc hơn về hàm tựa
Mệnh đề 2.27. Với C là tập con tuỳ ý ta có
σC = σC = σco C = σcoC .
Mệnh đề 2.28. Cho C là tập lồi. Lúc đó,
a) x ∈ C ⇔ u, x ≤ σC (u); ∀u ∈ Rn .
b) x ∈ riC ⇔ u, x < σC (u); ∀u ∈ Rn \ C ⊥ .
c) x ∈ Int C ⇔ u, x < σC (u); ∀u = 0.
d) x ∈ Af f (C) ⇔ u, x = σC (u); ∀u ∈ C ⊥ .