Bài học về tìm nguyên hàm tích phân số hữu tỉ

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ
MÔN TOÁN: LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN CAO CƯỜNG
I. Một số tích phân cơ bản
1) Dạng 1
b

I
a

b
dx
1
 ln Ax  B
a
Ax  B A
2

dx
0 2x  1

VD: Tính I  
2

2 1
dx
1
1
 ln 2x  1   ln 5  ln1  ln 5
0 2

2
2
0 2x  1

I

2) Dạng 2
b
Px
I
dx (Lấy P(x) chia cho Ax + B)
Ax

B
a
3x 2  4x  5
dx
x

2
0

1

VD: Tính I  



3x 2  4x  5

x2

3x  6x
10x  5

3x  10

2

10x  20
25
3x 2  4x  5
25 

dx    3x  10 
 dx
x

2
x

2


0
0

1

1

I

 3x 2
1
I
 10x  25ln x  2 
 2
0
3
17
3
 I   10  25ln 3  25ln 2 
 25ln
2
2
2
3) Dạng 3
b

I
a

1

dx
Ax  Bx  C
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –

Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


- Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt  Tách:

1
1

Ax  Bx  C  x   2

- Nếu mẫu có nghiệm kép:
- Nếu mẫu vô nghiệm:

1
m
n


Ax  Bx  C x   x  
2

2

1
1

Ax  Bx  C  x   2  2
2

VD: Tính

0

a) I 

x

2

1

dx
 5x  6

0

I

dx

  x  2  x  3

1

 x  2    x  3 dx

0

I

  x  2  x  3

1

1 
 1
 I  

 dx
x

3
x

2


1
0

 I   ln x  3  ln x  2 

0
1

 I   ln 3  ln 2    ln 4  ln 3   2ln 3  ln 2  2ln 2  2ln 3  3ln 2
1

dx
0 4x  4x  1

b) I  

2

1

I
0

dx

 2x  1

1

2

 I    2x  1 dx
2

0

1  2x  1
I .
2
2  1

2 1

1 1 1

1  1  1 2 1
 .
  .  1  . 
0 2 2x  1 0
2 3  2 3 3

1

2

dx
1 x  2x  2

c) I  

2

2

2

dx
dx

2

2
2
1  x  2x  1  1
1  x  1  1

I

Đặt: x  1  1.tan t  dx 

1
dt
cos2 t

Đổi cận:

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!



4



1

dt 4
2
4
2
1  tan t


cos
t
I

dt   dt  t 4 
2
2
4
0 tan t  1
0 1  tan t
0
0

II. Tích phân hữu tỉ tổng quát
b
Ax
I
, Bậc A  x   B  x 
B
x


a
b

Lấy tử chia cho mẫu và đưa về tích phân J có dạng: J  
a

- Nếu Q(x) có chứa  x  a  . x  b  ... 
- Nếu Q(x) chứa  x  a   x  b  

2

Px

Q x 

Px

Q x





Px

Q x

dx

A
B

x a x b

A



B

C

x a x b

x  a
Px
Ax  B
C
- Nếu Q(x) chứa  ax 2  bx  x   x  d  
 2

Q  x  ax  bx  c x  d
2

4x  11
dx
0 x  5x  6

1

VD1: Tính I  

2

A  x  3  B  x  2 
4x  11
4x  11
A
B





x  5x  6  x  2  x  3 x  2 x  3
 x  2  x  3
2

Cách 1: Để tìm A, B

A  B  4
A  3
4x  11   A  B x  3A  2B  

3A  2B  11 B  1
Cách 2:

A  x  3  B  x  2   4x  11
x  2  A.1  4.  2   11  3  A  3
x  3  B.  1  4.  3  11  1  B  1
1 
 3
 I  

dx
x

2
x

3



0
1

 I   3ln x  2  ln x  3 

1
0

 I   3ln 3  ln 4    3ln 2  ln 3  2 ln 3  ln 2

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


4

dx
1 x  x  1

VD2: Tính I  

2

A  x  1  Bx  x  1  Cx 2
1
A B

C

 

x 2  x  1 x 2 x x  1
x 2  x  1
 A  x  1  Bx  x  1  Cx 2  1
x  0  A 1
x  1  C  1
x  1  1. 1  1  B.1. 1  1  1.12  1  B  1
1 
 1 1
 I   2  
dx
x
x x 1 
1
4

1
1 

 I    x 2  
dx
x
x

1



1
4

 x 1
4
I
 ln x  ln x  1 
 1
1
 1
4
 I    ln x  ln x  1 
 x
1
 1
  1

 I    ln 4  ln 5      ln1  ln 2 
 4
  1

1
3
I
 ln 4  ln 5  1  ln 2   ln 5  3ln 2
4
4

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!