Bài giảng thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với cạnh đáy

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI GIẢNG: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN CAO CƯỜNG
A. LÍ THUYẾT.
I, Công thức tính thể tích khối chóp
1
VS.ABCD  B.h
3
B: Diện tích đáy,

h: Chiều cao khối chóp SH   ABCD  
II, Nhắc lại
1) Stam giác

1
1
- S ABC  AH.BC  AB.AC.sin BAC
2
2
abc
- S 
( Với a, b, c: là độ dài các cạnh của tam giác; R: là bán kính đường tròn ngoại tiếp
4R
tam giác)
- S  pr (p: là nửa chu vi của tam giác, r: là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

- S  p  p  a  p  b  p  c  (a, b, c: độ dài các cạnh của tam giác; p: là nửa chu vi của tam
giác)
2) Shình vuông

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Shình vuông = a2
3) Shình chữ nhật

Shình chữ nhật = a.b
4) Shình thang

1
a  b h
2
5) Shình thoi (diện tích các tứ giác có hai đường chéo vuông góc)

Shình thang 

1
Shình thoi  AC.BD
2
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

SA   ABCD 
1
 VS.ABCD  SA.SABCD
3

CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), SD = 2a. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

a3
a3 3
a3 3
a3 2
B.
C.
D.
3
6
3
3
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B; AC = 2a,
A.

BCA  300 ;SA  a 6 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp S.ABC là:
2a 3
a3 2
a3 3
3a 3 2
B.

C.
D.
5
2
6
2
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B; AB = a. Góc giữa SB và
A.

mặt phẳng (ABC) bằng 60o và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối chóp S.ABC
là:

a3
a3
a3 2
a3 3
A.
B.
C.
D.
2
6
6
6
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a; BC = 2a. SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD). SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 300 . Thể tích khối chóp S.ABCD
là:
2a 3 5
A.
9

3

2a 3 3
B.
5

2a 3 15
C.
9

2a 3 15
D.
3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Tam giác ABC
vuông cân tại B, AC = 2a. Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300 . Thể tích khối chóp
S.ABC là:

3a 3
2a 3
a3 3
a3 5
A.
B.
C.

D.
3
5
5
9
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60o . Thể tích khối chóp
S.ABCD là:
3a 3 6
a3 2
a3 3
a3 3
B.
C.
D.
7
3
9
3
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC). Tam giác ABC đều cạnh a. Góc

A.

giữa (SBC) và (ABC) bẳng 60o . Thể tích khối chóp S.ABC là:

a3
A.
3

3a 3 3

B.
8

2a 3 3
C.
3

a3 3
D.
8

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC  60o . SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o . Thể tích khối
chóp S.ABCD là:

a3
a3
a3 2
a3 3
B.
C.
D.
12
18
6
18
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = A; AD = 2a.
A.

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30o . Thể tích

khối chóp S.ABCD là:
A.

a3 2
6

B.

a3
6

C. a 3

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V 

D.

a3 2
6

a3
; SA vuông góc với (ABC). Tam giác SAC có
12

SB  a 3;SC  a;BSC  30o. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
A.

a 2
2

B.

a 3
3

C.

a 3
2

D.

a 3
6

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


)SABCD  a 2
)SA 2  AD 2  SD 2  SA 
) VS.ABCD

 2a 

2

 a2  a 3

1
1
a3 3
2
 SA.SABCD  .a 3.a 
3
3
3

Chọn B
Câu 2:
1
) AB  AC.sin ACB  2a.sin 30o  2a.  a
2
3
) BC  AC.cos ACB  2a.cos 30o  2a.
a 3
2
1
1
a2 3
)SABC  .AB.BC  .a.a 3 
2
2
2
2

1
1
a 3 a3 2
 VS.ABC  .SA.SABC  .a 6.

3
3
2
2
Chọn A
Câu 3:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt
phẳng
Ta có: AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC)

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!






 SB,  ABC    SB, AB   SBA  60o
SABC

1
a2

2
 BA 
2
2

SA  AB.tan SBA  a.tan 60o  a. 3
 VS.ABC

1
1
a2 a3 3
 SA.SABC  .a 3. 
3
3
2
6

Chọn D
Câu 4:
Ta có: AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD)





 SC,  ABCD    SC, AC   SCA  30o
SABCD  AB.BC  a.2a  2a 2
AC  BC2  AB2  4a 2  a 2  a 5
SA  AC.tan SCA  a 5.tan 30o  a. 5.

1
3



a 15
3

1
1 a 15
2a 3 15
 VS.ABCD  SA.SABCD  .
.2a 2 
3
3 3
9
Chọn C
Câu 5:

Ta có: SAB  SAC   SA
Mà (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC)

 SA   ABC 

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

AB  ACsin ACB  AC.sin 45o  2a.



2
a 2
2



2
1
1
SABC  AB2  a 2  a 2
2
2

BC  AB
Vì 
 BC   SAB  B là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAB)
BC

SA
SA

ABC







 SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAB)

 





 SC,  SAB   SC,SB  BSC  30o
SBC  BC SB :SB  BC.cot BSC  a 2.cot 30o  a 2. 3  a 6
SAC SA  AC :SA  SB2  AB2  6a 2  2a 2  2a
 VS.ABC

1
1
2a 3
2
 SA.SABC  .2a.a 
3
3
3

Chọn B
Câu 6:

SABCD  AB2  a 2

SCD    ABCD   CD 1

CD  SA  SA   ABCD  
 CD   SAD   CD  SD  3

CD

AD
2








   

  SCD  ;  ABCD   AD,SD  ADS  60o
1; 2; 3

SA  AD.tan SDA  a.tan 60o  a. 3
 VS.ABCD

7

1
1
a3 3
2
 SA.SABCD  .a 3.a 

3
3
3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn C
Câu 7:
Tam giác ABC đều cạnh a có đường cao 

a 3
2

1
a 3 a2 3
 SABC  AB.

2
2
4
SBC    ABC   BC 1
Gọi H là trung điểm của BC khi đó ta có: AH  BC  2 
SA   ABC   SA  BC

BC  AH
 BC   SAH   BC  SH  3
   


  SBC  ;  ABC   AH,SH  AHS  60o
1; 2; 3

a 3
a 3
3a
.tan 60o 
. 3
2
2
2
2
3
1
1 3a a 3 a 3
 SA.SABC  . .

3
3 2
4
8

SA  AH.tan AHS 
 VS.ABC

Chọn D
Câu 8:

BD  AC  O
Ta có: ABC  60o  Tam giác ABC đều cạnh a  AC  a;BO 

8

a 3
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


a 3
a 3
2
1
1
a2 3
SABCD  .AC.BD  .a.a 3 
2
2
2
 SBD    ABCD   BD 1
BD  2BO  2.

BD  AC  2 
 BD   SAC   BD  SO  3 

BD  SA
  

  SBD  ;ABCD  AC,SO  SOA  30o

1; 2 ; 3

a
a 1
a 3
SA  AO.tan SOA  .tan 30o  .

2
2 3
6
1
1 a 3 a2 3 a3
 VS.ABCD  .SA.SABCD  .
.

3
3 6
2
12
Chọn A
Câu 9:

1
1
3a 2
SABCD   AB  BC  .AB   a  2a .a 
2
2
2
E là trung điểm của AD  Tứ giác ABCE là hình vuông  CE = a

1
Trong tam giác ACD có đường trung tuyến CE  AB  Tam giác ACD vuông tại C
2
 CD  AC

CD  AC
 CD   SAC   C là hình chiếu của D lên (SAC)
Ta có: 
CD

SA
SA

ABCD






 SC là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (SAC)

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 SD,  SAC   SD,SC  DSC  30o
SC  CD.cot DSC  a 2.cot 30o  a 2. 3  a 6

SA  SC2  AC2  6a 2  2a 2  2a
1
1
3a 2
 VS.ABCD  SA.SABCD  .2a.
 a3
3
3
2
Chọn C
Câu 10:

VS.ABC  VA.SBC 

a3
12

1
3V
VA.SBC  d  A,  SBC   .SSBC  d  A,  SBC    A.SBC
3
SSBC
1
1
1
1 a2 3
SSBC  SB.SC.sin BSC  a 3.a.sin 30o  .a.a 3. 
2
2
2

2
4
3
a
3.
3V
a
a 3
 d  A,  SBC    A.SBC  2 12 

SSBC
3
a 3
3
4
Chọn B

1
0

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!