Bài tập tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

V KH I CHÓP CÓ C NH BÊN VUÔNG GÓC V I ÁY
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p

NG
m c đ nâng cao

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có m t bên SBC là tam giác đ u c nh a , c nh bên SA vuông góc v i m t
ph ng đáy góc BAC b ng 1200 . Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC.
Gi i
Cách 1
1
VSABC  SABC .SA
3

+) Tính SABC ?
Áp d ng đ nh lý hàm s côsin cho tam giác ABC , ta có
BC 2  AB2  AC 2  2 AB. AC.cos1200

1
a 3

 a 2  2 AB2  2 AB2 ( )  a 2  3 AB2  AB 
3
2

(Tam giác ABC cân tai A )
Suy ra SABC 

1
1 a 3 a 3 3 a2 3

AB. AC.sin1200 
.
.
2
2 3
3
2
12

+) SA  SB2  AB2  a 2 
V y VSABC 

a2 a 6

.
3
3

1 a2 3 a 6 a3 2


.
.
3 12
3
36

Cách 2
g i I là trung đi m BC  AI  BC, SI  BC
1
VSABC  SABC .SA
3

Mà : +) SABC 

1
1
BC. AI  a . AI
2
2

M t khác,ta có tan 600 

Hocmai – Ngôi tr

BI
a 2
a
a2 3
 3
 AI 

 SABC 
AI
AI
12
2 3

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
2

ng)

Hình h c không gian

a 3  a 
a 6
SA  SI  AI  

  

3
 2  2 3
2

V y VSABC 
Bài

2

2

a3 2
36

Đ(KD

' ' ' '
'
Cho hình h p đ ng ABCDABC
vuông
D có đáy là hình vuông tam giác AAC

'
' '
cân, AC
.
 a . Tính theo a th tích c a kh i t di n ABBC

Gi i
1
' '
VABB'C '  SABB' .BC
3

Mà : +) SABB' 

1
BABB
. '
2

'
M t khác,xét tam giác vuông AAC
ta có
' 2
' 2
' 2
'
AA
 AC 2  AC
 2AA
 a 2  AA


a
 BB'  AC
2

( n n a,xét tam giác vuông ABC ,ta có

AB2  BC 2  AC 2  2 AB2 

' '

BC
 BC  AB 

V y VABB'C '

a2
a2
a
 AB   SABB' 
2
2
4 2

a
2

a3 2

48

Bài 3. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân t i B, AB  a , c nh bên SA vuông góc v i
m t ph ng đáy góc gi a 2 m t ph ng ( SBC ) và ( ABC ) b ng 300 .G i M là trung đi m c a SC . Tính
theo a th tích c a kh i chóp S.ABM.

Gi i

S

 (SBC ),( ABC )   SBA  300
M

G i H là trung đi m AC  MH / / SA MH  ( ABC )

1
1
VSABM  VSABC  VMABC  SABC .SA SABC .MH
3
3

A

C
a

300

1
1
 SABC ( SA MH )  SABC .SA
3
6

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

H
a
B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Mà:

Hình h c không gian

1
a2
.
BABC

2
2

+) SABC 

+) tan 300 

V y VSABM 

ng)

SA
SA

a
1


 SA 
SB
3 a
3

a3 3
.
36

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và B, AB  BC  a , AD  2a , c nh bên SA
vuông góc v i m t ph ng đáy SA  2a .G i M, N l n l t là trung đi m c a SA,SD. Tính theo a th tích
c a kh i đa di n ABCDNM.
Gi i

VABCDNM  VMABC  VCADNM

1
1 1
1
a3
. . SA 
 VMABC  SABC .MA  . BABC
3
3 2
2
6

 VCADNM  ?
G i I là trung đi m AD,ta có ABCI là hình vuông

 CI  (SAD) .

VCADNM

1
1  AD  NM  AM
1  2a  a  a
a3
 SADNM .CI 
CI 
a
3
3
2
3
2
2

V y VABCDNM 

a 3 a 3 2a 3
 
.
6 2
3

Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và D, AD  CD  a , AB  3a , c nh bên SA

vuông góc v i m t ph ng đáy.Góc gi a SC và m t đáy b ng 450 . Tính theo a th tích c a kh i chóp
S. ABCD .
Gi i

 SC,( ABCD)   SCA  450
1
VSABCD  SABCD .SA
3

Mà: +) SABCD 

 AB  DC  AD   3a  a  a  2a 2
2

2

+) SAC vuông cân t i A

 SA  AC  AD2  DC 2  2a 2  a 2

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

V y VSABCD

ng)

Hình h c không gian

2a 3 2
.

3

Bài 6. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng đáy Tính
theo a th tích c a kh i chóp S. ABCD ,bi t :
a) AB  a ,góc gi a SD và m t ph ng (SAB) b ng 300 .
b) BD  2a ,góc gi a m t ph ng (SBD) và m t đáy b ng 600 .
a)  SD,(SAB)   DSA  300

1
1
VSABCD  SABCD .SA  a 2 .SA .
3
3
M t khác : tan 300 

AD
1

a


SA
3 SA

 SA  a 3
 VSABCD

a3 3
1 2
.
 a .a 3 
3
3

b) G i O  AC  BD

 (SBD),( ABCD)   SOA  600
1
VSABCD  SABCD .SA
3

Mà:+) AB2  BC 2  AC 2  BD2  2 AB2  4a 2  AB  a 2  SABCD  2a 2
+) SA  OA.tan 600  a 3
V y VSABCD 

2a 3 3
.
3

Bài 7. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA  ABCD SA a A B C D l n l
là trung đi m c a SC SD SA SB S là tâm hình vuông ABCD Tính th tích kh i chóp S A B C D

t

S

Gi i
ABCD

ABCD

C'

SA  ( ABCD)  SA  ( A' B ' C ' D ')
SA/ / SA  S ' A'  ( A' B ' C ' D ')

B'

D'

A'

A
B

1
VS A B C D = .SA' B'C ' D ' .S ' A' .
3

Mà:

S'
D
C

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

a
1
SA=
2
2

SA

A B C D là hình vuông

SA B C D

AB AD

1 a2 a a3
a a a2
. =
=> VS A B C D = . . =
3 4 2 24
2 2 4

Bài 8. Cho hình chóp t giác SABCD có đáy là hình thang ABC  BAD  900 , BA = BC = a; AD = 2a. Gi
s SA vuông góc v i (ABCD) và SA = a 2 . G i H là hình chi u c a A trên SB. Tìm th tích c a t di n
SHCD.
Gi i:
Ta có SA   ABCD   BC   SAB  BC  AH

mà AH  SB  AH   SBC 
M t khác AD  (SAB)=>AD  HA
Nh v y AH là kho ng cách gi a AD và (SAB)

 d D , SHC   AH

SA2 AB2
1
1
1

2a 2 .a 2 2 2
2
AH





 a
AH 2 AS2 AB2
SA2  AB2
3a 2
3
 AH  a

2
3

AC  AB2  BC 2  a 2
 HC  AC 2  AH 2  2a 2 

2a 2 2a

3
3

2
2a
SH  SA2  AH 2  2a 2  a 2 
3

3
SC  SA2  AC 2  2a 2  2a 2  2a

G i ) là trung đi m c a SC =>

SI 

1
4a 2
a
SC  a  HI  SH 2  SI 2 
 a2 
2
3
3

 SSHC 

1
1 a 3
a2 3
.2a 
HI .SC  .
2
2 3
3

2 a2 3 a3 2
1
1

 VSHCD  .HAS
. SHAC  . a
.
=
3
3
3
9
3

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 9. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy và SA a G i M, N l n
l t là trung đi m c a SB và SD ) là giao đi m c a SC và m t ph ng (AMN). Ch ng minh SC vuông góc
v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.
Gi i

Ta có
T

 AM  BC , ( BC  SA, BC  AB)

 AM  SB, ( SA  AB)

 AM  SC (1)

AN  SC (2)

ng t ta có

T (1) và (2) suy ra

S

AI  SC
H

V IH song song v i BC c t SB t i ( Khi đó )(
vuông góc v i (AMB)=> VABMI

Ta có

I

1
 SABM .IH
3

N

a2
4

SABM 

VABMI 

B

A

IH
SI SI .SC
SA2
a2
1





2
2
2
2
2
BC SC

SC
SA  AC
a  2a
3
1
1
 IH  BC  a
3
3
V y

M

D
C

1 a2 a a3

3 4 3 36

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy Góc gi a m t
ph ng (SBC) và (SCD) b ng 600. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD.
Gi i
G i M là hình chi u vuông góc c a B lên SC. Ch ng minh
đ

c góc DMB = 1200 và  DMB cân t i M

Th t v y:

S

-

Do BD vuông góc v i (SAC)=> BD vuông góc SC

-

Mà MB vuông góc v i SC (theo cách d ng)



SBC , SDC

MB, DM (chú ý góc gi a đ

Có tam giác DMB cân t i M đi u này d th y (do SDC

Gi s góc gi a

đ

ng th ng DM, MB= DMB

Tam giác DMB là tam giác đ u
0

=> DMB 120

Hocmai – Ngôi tr

ng th ng là góc nh n)
M

SBC )

B

600

đi u này vô lý do DB>BM

ng chung c a h c trò Vi t

A

D

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C

- Trang | 6 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

Tính đ

c: DM2 =

ng)

Hình h c không gian

2 2
a
3

 SCD vuông t i D và DM là đ

ng cao nên

1
1
1
=
+
2
2
DM DS DC2

Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông t i A suy ra SA = a.
1 3
a
3

V y th tích S.ABCD b ng

Bài 11. Cho hình chóp S ABC trong đó SA vuông góc v i m t ph ng ABC Đáy là tam giác ABC cân t i
A đ dài trung tuy n AD là a , c nh bên SB t o v i đáy m t góc  và t o v i m t (SAD) góc  . Tìm th
tích hình chóp S.ABC.
Gi i
1
Th tích hình chóp S.ABC là: V  .SAS
. ABC
3

Tam giác ABC cân đ nh A nên trung tuy n AD

cũng là đ

ng cao c a tam giác.

Theo gi thi t:

SA  mp  ABC   SBA   SB, mp  ABC    
BD  mp  SAD   BSD  
Đ t BD = x suy ra: AB  a 2  x2  SA  a 2  x2 .tan 
SB 

BD
SA

sin  sin 

 x sin   a 2  x2 tan  sin 
a 2 sin 2 
x 

cos 2  sin 2 
2

1
a 3 sin  .sin 
2
2
Do đó V  . a  x .tan  .a .x 
3
cos 2  sin 2 

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SC  (ABC) và ABC vuông t i B. Bi t r ng AB = a, AC = a 3  a  0  và

góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SAC) b ng  v i tan   13 .
6
Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a.
Gi i
G i H, K là hình chi u c a C lên SA, SB.
Ta ch ng minh đ

Hocmai – Ngôi tr

c
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -

Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

CK  (SAB), SA  (CHK) suy ra CHK vuông t i K và SA  KH.
Do đó =CHK. T

2
tan   13  sin   13  CK 2  13 1
6
19
19
CH

Đ t SC = x >0. Trong tam giác vuông SAC
có
T

1  1  1  CH 2  3a 2 x2
CH 2 CA2 CS 2
3a 2  x2

2 2
ng t trong tam giác vuông SAC có CK 2  2a2 x 2
2a  x

2

2
1  2  3a  x   13  x  6a . Suy ra VSABC  1 SC.SABC  2a 3
3
3  2a 2  x2  19

Bài 13. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O SA vuông góc v i đáy hình chóp Cho
AB = a, SA = a 2 . G i H và K l n l t là hình chi u vuông gãc c a A lên SB, SD. Ch ng minh SC 
(AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK.
Gi i
*) BC vuông góc v i (SAB)

 BC vuông góc v i AH mà AH vuông v i SB
 AH vuông góc v i (SBC)  AH vuông góc SC (1)

(1)

T

ng t AK vuông góc SC (2)

và (2)  SC vuông góc v i (AHK )

2
2
2
2
*) SB  AB  SA  3a

 SB  a 3  AH.SB  SA.AB  AH 
 SH 

a 6
3

2a 3
2a 3
 SK 
3
3

(do 2 tam giác SAB và SAD b ng nhau và cùng vuông t i A)
+ Ta có HK song song v i BD nên

HK SH
2a 2

 HK 
3
BD SB

+ K OE// SC c t mf (AHK) t i E  OE  ( AHK)(doSC  ( AHK))
suy ra OE là đ

ng cao c a hình chóp OAHK

+ G i ) là giao đi m c a AE v i SC, SA  AC  a 2
Tam giác SAC cân t i A

Mà AI vuông góc v i SC do SC vuông góc A(K
Có OE//SC, OA=OC =>OE=1/2 IC=1/4SC = a/2

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

S) C) hay ) là trung đi m c a SC
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

+ Có ta giác AHK cân t i A (do 2 tam giác vuông SAB và SAD b ng nhau)
+ G i AM là đ

ng cao c a tam giác cân AHK ta có

AM 2  AH 2  HM 2 

4a 2
2a
 AM=
9
3

a3 2
1
1a 1
VOAHK  OE.SAHK 
. HK. AM 
3
32 2
27

Bài 14. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a . C nh SA vuông góc
v i m t ph ng đáy c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600 .Trên c nh SA l y đi m M sao cho
AM =

a 3
, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N .Tính th tích kh i chóp S.BCNM
3

Gi i
Tính th tích hình chóp SBCMN. ( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN
// AD

 BC  AB
Ta có : 
 BC  BM .
 BC  SA
T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ

ng cao

MN SM

MN



Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
AD SA
2a
Suy ra MN =

a 3
3 2
3
a 3

a 3

2a
4a
. BM =
3
3

Di n tích hình thang BCMN là :

4a

2a 

BC  MN
3

BM  
S =
2
2




 2a 10a 2


 3 3 3


H AH  BM . Ta có SH  BM và BC  (SAB)  BC  SH.
V y SH  ( BCNM)  S( là đ

ng cao c a kh i chóp SBCNM

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,

AB AM
1
= .

SB MS
2

V y BM là phân giác c a góc SBA  SBH  300  SH = SB.sin300 = a
G i V là th tích chóp SBCNM ta có V =

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

1
10 3a 3
SH .(dtBCNM ) =
3
27

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Bài 15. Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t
ph ng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng SCB và ABC đ th tích kh i chóp l n nh t.
Gi i

S

G i  là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC) .

Ta có :   SCA; BC = AC = a.cos  ; SA = a.sin 
1
1
1
V y VSABC  .SABC .SA  . AC.BC.SA  a 3 sin .cos 2
3
6
6

1
 a 3 sin  1  sin 2  
6

B

A

Xét hàm s : f(x) = x x3 trên kho ng ( 0; 1)
3x2 . f '  x  0  x  

Ta có f x

1
3

T đó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s f(x) liên t c và

C

2

 1 
có m t đi m c c tr là đi m c c đ i, nên t i đó hàm s đ t GTLN hay Max f  x  f 


x 0;1
 3 3 3

V y MaxVSABC =

a3
đ tđ
9 3

c khi sin  =

1
1

hay   arc sin
(v i0<   )
2
3
3

Bài 16. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA  ABCD SA a đi m M  AD, E  CD,
a
AM = CE = . G i N là trung đi m c a BM K là giao đi m c a AN và BC. Tính th tích kh i chóp SADK
4
theo a và ch ng minh r ng: (SKD)  (SAE).
Gi i

S

1
1
VSADK = SADK .SA  SADK .a
3
3

M

A

Mà SADK  SABCD  SABK  SDCK
1
= a 2  SABM  CK.CD
2

= a2 

1
1 3a
AB. AM  . .a
2
2 4

N

B
A

K

M

D

N

1 a
3a 2 a 2
= a  . .a 

2 4
8
6
2

E
B

=> VSADK

K

C

a3
1 a2
 . .a  .
3 2

6

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

L u ý Vì AM BK nên theo h qu c a đ nh lý talet

ta có

NM NA AM
.


NB NK BK

Mà N là trung đi m c a BM  NM  NB  NA  NK, AM  BK).

+ Ta th y tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK
( vì CK=DE, AD=DC) => DAE  CDK .

M t khác: DAE  AED  900  CDK  AED  900  AE  DK.

 DK  AE
Ta có: 
 DK  ( SAE ) , mà DK  (SKD) => (SAE)  (SKD).
 DK  SA

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai

- Trang | 11 -