dethi Olempic toan 8

Đề thi olympic năm học 2008-2009
Môn toán 8 huyện hơng sơn
Câu1 . Cho biểu thức A=

















+
+



+
x
x
x
xx
x

x
x
x 1004
.
1
14
1
1
1
1
2
2
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A<
2
1
Câu 2. Cho hai số dơng x,y thoả mãn x+y =1
a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y( y+ 34 ) +2xy +65
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

22
1
1.
1
1
yx
Câu 3. Đa thức P(x) bậc 4 có hẹ số bậc cao nhất là 1
Giả sử P(1)= 0 ; P(3) =0 ; P(5) =0.Hãy tính giá trị của biểu thức :
Q= P(-2) +7P(6)
Câu 4. Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn :
(n+5)
2
=
( )
[ ]
3
24

n
Câu 5. Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB , vẽ về một phía của AB các
tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Lấy điểm C trên Ax , lấy điểm D trên By sao
cho góc COD = 90
0
a) Chứng minh

ACO

đồng dạng với
BOD

b) Chứng minh CD= AC + BD
c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M. Gọi N là giao điểm của AD với BC .
Chứng minh MN// AC.
..............................................
đáp án và biểu điểm
Câu 1( 3,5 đ)
a) (0,5đ) ĐKXĐ





0
1
x
x
b) (1,5đ) Rút gọn ta có A=
x
x 1004

c) (1,5đ) A<
x
x
khi
1004

2
1

<
200800
2008
2
1
<<<


x
x
x
. Kết hợp với ĐKXĐ ta
có khi




<<
1
20080
x
x
Thì A<
2
1
Câu 2 (4đ)
a) (2đ) M= x(x+34) + y( y+34) +2xy +65= (x+y)

2
+34(x+y) +65
thay x+y =1 ta có M=100
b) (2đ) P=
















22
1
1.
1
1
yx
=
( )( )
22
22

11
yx
yx

..... thay x+y =1 ta có
P =
( )( )
xyxy
xy
xy
xyyx
xy
yx 2
1
2111
+=
+
=
+++
=
++
Ta có P nhỏ nhất khi
xy
2
nhỏ nhất do x,y >0 nên
xy
2
nhỏ nhất khi x,y lớn nhất
mà x+y =1 không đổi nên x,y lớn nhất khi x=y=1/2. Vậy
9

2
1
.
2
1
2
1
min
=+=
P
Câu 3 ( 3 đ)
Vì P(1) =0; P(3)= 0; P(5) =0 nên đa thứcP(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm. Mà hệ số
của bậc cao nhất bằng 1 nên P(x) = (x-1) (x-3) (x-5) (x-a) .Từ đó


P(-2) =210+105a và 7P(6) = 630-105a. Vậy Q= P(-2) +7P(6) =840.
Câu 4 (3,5đ)
Vì (n+5)
2

0

với mọi n nên n
2

. Dễ thấy n=2 không thoả mãn nên n>2.
Với n>2 ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
32172852642645
2232

+=+
nnnnnnn
Kết hợp với n>2 ta có n=3 .Vậy giá trị cần tìm là n=3
Câu 5 (6 đ)
a) (2đ) Ta có
OCABOD
=
cùng phụ với góc COA

ACOVBA
==
1
đồng dạng với
BOD

b) ( 2đ)
Kéo dai CO cắt BD tại E ta có tam giác AOC bằng tam giác BOE Suy ra
CA =BE và CO =OE . Từ AC =BE suy ra CA + BD=DE (1)
Từ CO =OE và DO vuong góc với CE suy ra tam giác CDE cân tại D

CD=DE (2)
Tõ (1) vµ (2 ) ta cã AC+BD= CD
c) (2®) Tõ AC//BD ta cã
AC
BD
NA
ND
=
(3) v× tam gi¸c CDE c©n t¹i D nªn DO
còng lµ ph©n gi¸c cña gãc CDE

.OBOM
=⇒
VËy
BOEMOC
∆=∆
mµ
AOCBOE
∆=∆
Suy ra
AOCMOC
∆=∆
Tõ ®ã AC=CM (40 mµ AC+BD= CD
=CM+MD suy ra BD =MD (5) Tõ (3),(4),(5) ta cã
NA
ND
MC
MD
=
VËy MN//AC