Lý thuyết nhóm nhóm điểm đối xứng c4v

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C4v
1. Các yếu tố đối xứng
Nhóm C4v gồm các yếu tố E, C4, C2, C4-1 của nhóm C4 và các phép phản xạ
gương  v ,  v,  v  v qua bốn mặt phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu
là  v ,  v ,  v,  v trong đó  v trực giao với  v và thu được từ  v sau khi thực hiện
phép quay C 4 ,  v trực giao với  vvà thu được từ  v sau khi thực hiện phép
quay C 4 ,  v và  v là hai mặt phân giác của hai góc vuông của hai mặt phẳng
 v và  v (Hình 1).

y

 v

 v

v

 v

oo

x

Hình 1

2. Các phép đối xứng
HVTH: Trần Thị Phường

1

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Nhóm C 4 v là một phép các nhóm đối xứng của một hình trụ thẳng đứng
đáy là một hình vuông. Hình 1 ta vẽ mặt đáy của một hình trụ đó và các giao
tuyến của các mặt phẳng gương  v ,  v,  v,  v với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục
Oz trùng với trục quay C 4 , mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ,
chọn  v đi qua trục Ox và  v đi qua Oy . Như vậy các yếu tố đối xứng là trục
quay C4 và bốn mặt phẳng gương chứa trục quay
z

 v ,  v ,  v,  v .

v
�
�
 v�

o

 v�

y

�
 v�
x

Hình 2

Biểu diễn 3 chiều của nhóm:
Chọn trục quay trùng với trục Oz


Trong phép quay C4 :

 x  x'  y

C4 :  y  y '  x nên
 z  z' z


HVTH: Trần Thị Phường

 x'   0 1 0   x 
  
 

1
0
0
y
'
=

  y
 
 z '   0 0 1   z 
 
 

2

(1)


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
 Ma trận biến đổi của phép quay C4 là:

D

 3

 0 1 0


=   1 0 0
 0 0 1



 C4 

Trong phép quay C42 = C2 :



 x'    1 0 0   x 
 x  x '  x
  

 

C42 = C2 :  y  y '  y nên  y '  =  0  1 0   y 
 z  z ' z
 z '   0 0 1   z 

 
 

(2)

 Ma trận biến đổi của phép quay C2 là:

  1 0 0


D  C2  =  0  1 0 
 0 0 1


 3



Trong phép quay C43 = C41 :

 x'   0  1 0   x 
 x  x'  y
  
 


C43 = C41 :  y  y '  x nên  y '  =  1 0 0   y 
 z  z ' z
 z '   0 0 1   z 

 
 

(3)

 Ma trận biến đổi của phép quay C43 = C41 là:

 

D  3 C4 1


 0  1 0


1
0
0
=

 0 0 1



Trong phép quay C44 :

 x'   1 0 0   x 
 x  x' x
  
 

C 44 :  y  y '  y nên  y '  =  0 1 0   y 
 z  z ' z
 z '   0 0 1   z 

 
 
 Ma trận biến đổi của phép quay C 44 =E là:

 

D  3 C44

 1 0 0


=  0 1 0
 0 0 1



HVTH: Trần Thị Phường

3

(4)


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí



Phép phản xạ gương  v :

 x'   1 0 0   x 
 x  x' x
  
 

 v :  y  y '  y nên  y '  =  0  1 0   y 
 z  z ' z
 z '   0 0 1   z 

 
 

(5)

 Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương  v là:

D  3  v 


 1 0 0



=  0  1 0
 0 0 1



Các phép phản xạ gương  v�
:

 x'    1 0 0   x 
 x  x'  x
  
 

 v�
0
1
0
y

y
'

y
y
'
: 
nên   = 
  y
 z  z ' z

 z '   0 0 1   z 

 
 

(6)

 Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương  v�là:

D  3   v


  1 0 0


0
1
0
=

 0 0 1



�
Phép phản xạ gương  v�
:

 x'   0 1 0   x 
 x  x'  y

  
 

�
 v�
1
0
0
y

y
'

x
y
'
: 
nên   = 
  y
 z  z ' z
 z '   0 0 1   z 

 
 

(7)

�là:
 Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương  v�

 0 1 0


D  3  v =  1 0 0 
 0 0 1





Phép phản xạ gương

�
�
 v�
:

 x'   0  1 0   x 
 x  x'  y
  
 

�
�
 v�
:  y  y '  x nên  y '  =   1 0 0   y 
 z  z ' z
 z '   0 0 1   z 

 

 
HVTH: Trần Thị Phường

4

(8)


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
 Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương

�
�là:
 v�

 0  1 0


D  v =   1 0 0 
 0 0 1


 3

Trong đó mặt phẳng gương  v là mặt phẳng xOz và  v�là mặt phẳng yOz còn
�và  v�
�
�
 v�
là hai mặt phẳng phân giác trực giao với nhau (Hình 2).

3. Bảng nhân nhóm
Sử dụng quy tắc nhân ma trận với các ma trận biến đổi trên từ (1), (2), (3),
(4), (5), (6), (7) và (8) ta có:
�
�
�
�
�
�
 v�
 v�
EE = C2 C2 =  v  v =  v� v�
=  v�
=  v�
=E

(9)

�
�
�
�
�
�
 v�
 v = C4
E C4 = C4 E = C2 C41 = C41 C2 =  v  v�
=  v� v�
=  v�

=  v�

(10)

�
�
�
�
�
�
 v�
 v�
E C2 = C4 C4 = C41 C41 = C2 E =  v  v�
=  v� v =  v�
=  v�
= C2

(11)

�
�
�
�
�
�
 v =  v�
 v�
E C41 = C4 C2 = C2 C4 = C41 E=  v  v�
=  v� v�
=  v�

= C41

(12)

�
�
�
�
�
�C4 =  v
C41 =  v�
E  v =  v E = C4  v�
= C2  v�
= C41  v�
=  v�C2 =  v�

(13)

�
�
�
�
�
�C41 =  v�
C4 =  v�
E  v�
= C4  v�
= C2  v = C41  v�
=  v C2 =  v�
E =  v�

(14)

�
�
�
�
�
�C2 =  v�
�
E  v�
= C4  v�
= C2  v�
= C41  v =  v C4 =  v�C41 =  v�
E =  v�

(15)

�
�
�
�
�
�
�
�
C2 =  v�
E  v�
= C4  v = C2  v�
= C41  v�

=  v C41 =  v�C4 =  v�
E =  v�

(16)

Từ các công thức (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có bảng
nhân nhóm C4v như sau:

HVTH: Trần Thị Phường

5


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Bảng1: Bảng nhân nhóm
C4v

E

C4

C2

C4-1

v

E
C4

E
C4

C4
C2

C2
C4-1

C4-1
E

v

C2
C4-1

C2
C4-1

v

v

E
C4
 v

 v

 v
 v

 v
 v
 v

C4-1
E
 v
 v

C4
C2
 v
 v

 v

 v
 v

v

v

v

 v

 v
 v
 v
E
C2
C4-1
C4

 v
 v
 v

 v
 v

v

 v
 v
C4
C4-1
E
C2

 v
C2
E
C4
C4-1

v

 v
 v
 v
 v
v

C4-1
C4
C2
E

4. Sự phân lớp
Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta
có thể nghiệm lại rằng nhóm C 4 v có 8 yếu tố đối xứng {E, C 4, C2, C41 ,  v ,  v ,

 v ,  vvà  v } chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp như sau:
Ta xét từng yếu tố đối xứng và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố
đã cho.
Nếu a là một yếu tố nào đó của nhóm C 4v thì tất cả các yếu tố gag -1 với mọi
yếu tố g của C4v tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a.
Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag -1 đều trùng với E. Vậy
chính yếu tố đơn vị E là một lớp.
Lấy a là C4. Các yếu tố liên hợp với nó là:
C4 C4 C41 = C4 ; C41 C4 ( C41 )-1 = C4 ; C2 C4 ( C2 )-1 = C41 ( C2 )-1 = C4
�
�
(  v )-1 =  v�
 v C4 (  v )-1 =  v�

 v = C41 tương tự
�
�
=  v�
= C41
 v�C4  v�
 v�
�
�
�= C41
=  v� v�
 v�
C4  v�
�
�C4  v�
�
�
�
�
=  v  v�
= C41
 v�

HVTH: Trần Thị Phường

6


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Như vậy, hai yếu tố C4 và C41 tạo thành một lớp liên hợp
Nếu lấy a là C2 :
C4 C2 ( C4 )-1= C41 ( C4 )-1 = C2
C41 C2 ( C41 )-1 = C4 ( C41 )-1= C2

(  v )-1 =  v� v = C2 tương tự
 v C2 (  v )-1 =  v�
=  v  v�
= C2
 v�C2  v�
�
�
�
�
�= C2
=  v�
 v�
C2  v�
 v�
�
�C2  v�
�
�
�
�
�
=  v�
= C2
 v�
 v�

Như vậy, C2 là một lớp.
Nếu chọn a là  v . Các yếu tố liên hợp với nó là
�
�C41 =  v�
C4  v ( C4 )-1=  v�
-1
�
( C41 )-1=  v�
C41  v ( C41 ) =  v�

 v  v (  v )-1 = E(  v )-1 =  v

= C2  v�
= v
 v�
 v  v�
�
�
�=  v�
= C41  v�
 v�
 v  v�
�
�
�
�
�
�
 v�

 v  v�
= C4  v�
=  v�

Như vậy, hai yếu tố  v và  v�tạo thành một lớp liên hợp.
Nếu chọn a là  v . Các yếu tố liên hợp với nó là
�( C4 )-1=  v ( C41 )-1 =  v�
�
C4  v�
�( C41 )-1 =  v�
�
�
( C41 )-1=  v�
C41  v�
�(  v )-1 = C4 (  v )-1 =  v�
�
�
 v  v�
�
�
�
= C41  v�
=  v�
 v�
 v�
 v�
�
�
�
�=  v�

�
=E  v�
 v�
 v�
 v�
�
�
�
�
�
�
�
�
= C2  v�
=  v�
 v�
 v�
 v�

HVTH: Trần Thị Phường

7


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
�
�
�tạo thành một lớp liên hợp.
Như vậy, hai yếu tố  v�
và  v�

Vậy có năm lớp các yếu tố liên hợp là:
C1 = {E}, C2 = {C4, C4-1}, C3 = {C2}, C4 = {  v ,  v } và C5 ={  v,  v }
Nhóm C 4 v với thí dụ là phân tử IF5.
5. Bảng đặc biểu
Trong biểu diễn hai chiều ta tìm được:

  2   E  = 2;   2   C 2  = -2

  2   C 3  =   2   C 4  =   2   C5  = 0
Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v thể hiện trên bảng 2.
Bảng 2
C4 ={  v ,  v} C5={  v,  v }

C4v

C1= {E}

C2 = {C2}

C3={C4,C4-1}

A1

1

1

1

1

1

A2

1

a1

b1

c1

d1

A3

1

a2

b2

c2

d2

A4

1

a3

b3

c3

d3

A5

2

-2

0

0

0

Ta có hệ thức chuẩn hóa của đặc biểu

    C     C n
A1

i

A2 *

i

i

i

    C     C n
A2

i

A2 *

i

i

i

     C       C  n
*

i

= 1 + a1 +2 b1 + 2c1 + 2d1 = 0
= 1 + a12 + 2 b12 +2 c12 +2 d12 = 8

 a1 = b1 =1; c1 = d1 = -1

Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 3.

HVTH: Trần Thị Phường

i

i

8

i

h 


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Bảng 3

C4 ={  v ,  v} C5={  v,  v }

C4v

C1= {E}

C2 = {C2}

C3={C4,C4-1}

A1

1

1

1

1

1

A2

1

1

1

-1

-1

A3

1

a2

b2

c2

d2

A4

1

a3

b3

c3

d3

A5

2

-2

0

0

0

Tương tự

    C     C n
A1

A3 *

i

= 1 + a2 +2 b2 + 2c2 + 2d2 = 0

    C     C n

= 1 + a2 +2 b2 - 2c2 - 2d2 = 0

i

i

i

A2

i

A3 *

i

i

i

    C     C n = 1 + a
A3

i

A3 *

i

2
2+

i

i

2 b22 +2 c22 +2 d 22 = 8

 a2 = c2 =1; b2 = d2 = -1

Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 4.
Bảng 4
C4 ={  v ,  v} C5={  v,  v }

C4v

C1= {E}

C2 = {C2}

C3={C4,C4-1}

A1

1

1

1

1

1

A2

1

1

1

-1

-1

A3

1

1

-1

1

-1

A4

1

a3

b3

c3

d3

A5

2

-2

0

0

0

    C     C n
A1

i

A4 *

i

i

i

    C     C n
A2

i

A4 *

i

HVTH: Trần Thị Phường

i

i

= 1 + a3 + 2b3 + 2c3 + 2d3 = 0
= 1 + a3 + 2b3 - 2c3 -2d3 = 0

9


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

    C     C n = 1 + a
A3

i

A4 *

i

i

i

3

- 2 b3 + 2c3 - 2d3 = 0

    C     C n = 1 + a
A4

i

A4 *

i

2
3 +

i

i

2

2

2

2 b3 +2 c3 +2 d 3 = 8

 a3 = d3 =1; b3 = c3 =-1.

Khi đó bảng đặc biểu của nhóm C4v viết lại trên bảng 5.
Bảng 5

C4 ={  v ,  v } C5={  v,  v }

C4v

C1= {E}

C2 = {C2}

C3={C4,C4-1}

A1

1

1

1

1

1

A2

1

1

1

-1

-1

A3

1

1

-1

1

-1

A4

1

1

-1

-1

1

A5

2

-2

0

0

0

Ta viết lại bảng đặc biểu của nhóm C4v hoàn chỉnh như sau
Bảng 6: Bảng đặc biểu của nhóm C4v

Biểu
diễn
(A1)
(A2)
(B1)
(B2)
(E)

C1=
{E}
1
1
1
1
2

C2 =
{C2}
1
1
1
1

-2

6. Biểu diễn hạ cảm

C3=
C4 =
-1
{C4,C4 } {  v ,  v }
1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
0
0

C5 =
{  v,  v }

Hàm cơ bản

1
-1
-1
1
0

z; z2; x2+y2
Rz
2
x - y2
xy
(x,y); (xz,yz)

Oh  C 4 v

Từ bảng đặc biểu của nhóm Oh (Bảng 7) ta thấy rằng nhóm Oh có 10 lớp
{E, 3C42, 6 C4 , 6 C2 , 8C3, I, 3IC42, 6I C4 , 6I C2 , 8IC3}
Vậy khi hạ cảm các lớp của nhóm Oh và nhóm C4v sẽ tương ứng như sau:

HVTH: Trần Thị Phường

10


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Bảng 7
Oh
C4v

E

3C42

6 C4




C2


C4

E

8C3

6 C2

I

3IC42

6I C4


v

6I C2 8IC3

�
 v�

Mặc dù T là biểu diễn tối giản của G, biểu diễn hạ cảm Oh  C 4v , nói chung
là biểu diễn khả quy. Do đó, bài toán đặt ra là tìm biểu thức khai triễn biểu diễn

hạ cảm Oh  C 4v thành tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản của nhóm C4v
Số lần biểu diễn tối giản T   chứa trong T của nhóm G được tính bằng công
thức:

m 

m 

1
N

1
N

     g   g      ,  
*

gG

hoặc

 h    C  C 
*

q

q

q

q

Bảng 8. Bảng đặc biểu của nhóm Oh được viết tương ứng vơi C4v
Oh
A1g
A2g
Eg
T1g
T2g
A1u
A2u
Eu
T1u
T2u

E
(E

3C42
3C2

1
1
2
3
3
1
1
2
3

3

1
1
2
-1
-1
1
1
2
-1
-1

Ta viết lại bảng đặc biểu của C4v
HVTH: Trần Thị Phường

11

6 C4

3IC42

6I C2

6 C4
1
-1
0
1
-1

1
-1
0
1
-1

3 v
1
1
2
-1
-1
-1
-1
-2
1
1

6  v)
1
-1
0
-1
1
-1
1
0
1
-1

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
Bảng 9

C4v

C1={E} C2={C2}

C3={C4,C41} C4={  v ,  v} C5={  v,  v }

A1

1

1

1

1

1

A2

1

1

1

-1

-1

A3

1

1

-1

1

-1

A4

1

1

-1

-1

1

A5

2

-2

0

0

0



A1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5

Với:
m1 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1
8

m2 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0
8

m3 =

1

[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0
8

m4 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0
8

m5 =

1
[1.2.1.+ 1(-2).1 + 2.0.1.+ 2.0.1.+ 2.0.1] = 0
8

Vậy A1g = A1

A2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0
8

m2 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0
8

m3 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1
8

m4 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0
8

m5 = =

1
[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
8

HVTH: Trần Thị Phường

12


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Vậy A2g = A3

A1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:

m1 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
8

m2 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
8

m3 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
8

m4 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
8

m5 =

1
[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
8

Vậy A1u = A2

A2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0
8

m2 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0
8

m3 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0
8

m4 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1
8

m5 =

1
[1.2.1.+ 1(-2).1] = 0
8

Vậy A2u = A4

Eg = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 =

1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.2 + 2.1.0] = 1
8

m2 =

1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).2 + 2.(-1).0] = 0
8

HVTH: Trần Thị Phường

13


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.2 + 2.(-1).0] = 1
8
1

m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).2 + 2.1.0] = 0
8
1
m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0
8

m3 =

Vậy Eg = A1 + A3

Eu = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
1
[1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.1.(-2) + 2.1.0] = 0
8
1
m2 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.1.0 + 2.(-1).(-2) + 2.(-1).0] = 1
8
1
m3 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0 + 2.1.(-2) + 2.(-1).0] = 0
8
1
m4 = [1.1.2 + 1.1.2 + 2.(-1).0+ 2.(-1).(-2) + 2.1.0] = 1
8
1
m5 = [1.2.2.+ 1(-2).2] = 0
8

m1 =

Vậy Eu = A2 + A4

T1g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
8
1
m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
8
1
m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
8
1
m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
8
1
m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
8

m1 =

Vậy T1g = A2 + A5

T2g = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
HVTH: Trần Thị Phường

14

Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.1.1] = 0
8
1
m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).1] = 0
8
1
m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1] = 0
8
1
m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).(-1) + 2.1.1] = 1
8
1
m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
8

m1 =

Vậy T2g = A4 + A5

T1u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.1 + 2.1.1 + 2.1.1] = 1
8
1
m2 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).1 + 2.(-1).1] = 0
8

1
m3 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.1.1 + 2.(-1).1] = 0
8
1
m4 = [1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).1+ 2.(-1).1 + 2.1.1] = 0
8
1
m5 = [1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
8

m1 =

Vậy T1u = A4 + A5

T2u = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
Với:
m1 =
m2 =
m3 =
m4 =
m5 =

1
[1.1.3 + 1.1.(-1)+ 2.1.(-1) + 2.1.1 + 2.1.(-1)] = 0
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.1.(-1) + 2.(-1).1 + 2.(-1).(-1)] = 0
8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1) + 2.1.1 + 2.(-1).(-1)] = 1

8
1
[1.1.3 + 1.1.(-1) + 2.(-1).(-1)+ 2.(-1).1 + 2.1.(-1)] = 0
8
1
[1.2.3.+ 1(-2).(-1)] = 1
8

HVTH: Trần Thị Phường

15


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

Vậy: T2u = A3 + A5
Tóm lại biểu diễn hạ cảm Oh  C 4v như sau:
Bảng 10
A1g = A1
A2g = A3
E g = A1 + A3
T1g = A2 + A5
T2g = A4 + A5

T1u = A4 + A5
T2u = A3 + A5
E u = A2 + A4
A1u = A2
A2u = A4

7. Biểu diễn tích
Bảng 11. Bảng đặc biểu của biểu diễn tích trực tiếp
1
1
1
-1
-1
A1  A2
1
1
-1
1
-1
A1  A3
1
1
-1
1
-1
A2  A3
A3  A3

1

1

1

1

1

A3  A4

1

1

1

-1

-1

A4  A4
A4  A5
A5  A5

1
2
4

1
-2
4

1
0
0

1
0
0

1
0
0

A1  A2 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5



mi đựơc tính từ công thức:

mi 

1
 A j  Ak 
 Ai  *


 a  khi đó:

a


N a

m1 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.1.(-1) + 2.1.(-1)] = 0
8

m2 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.1.1 + 2.(-1).(-1) + 2.(-1).(-1)] = 1
8

m3 =

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1 + 2.1.(-1) + 2.(-1).(-1)] = 0
8

m4 ==

1
[1.1.1 + 1.1.1 + 2.(-1).1+ 2.(-1).(-1) + 2.1.(-1)] = 0
8

HVTH: Trần Thị Phường

16


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí
1
[1.1.2 + 1. 1(-2)] = 0

8
Vậy A1  A2 = A2

m5 =

Tương tự

A1  A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m1 = m2 = m4= m5 = 0; m3 = 1
Vậy A1  A3 = A3

A2  A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m1 = m2 = m3 = m5 = 0; m4 = 1
Vậy A2  A3 = A4

A3  A3 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m4 = m2 = m3 = m5 = 0; m1 = 1
Vậy A3  A3 = A1

A3  A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m1 = m3 = m4 = m5 = 0; m2 = 1
Vậy A3  A4 = A2

A4  A4 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m2 = m3 = m4 = m5 = 0; m1 = 1
Vậy A4  A4 = A1

A4  A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m2 = m3 = m4 = m1 = 0; m5 = 1
Vậy A4  A5 = A5


A5  A5 = m1A1 + m2A2 + m3A3 + m4A4 + m5A5
m2 = m3 = m4 = m1 = 1; m5 = 0
Vậy A5  A5 = A1 + A2 +A3 + A4
Tóm lại biểu diễn tích trực tiếp thể hiện trên bảng 12
Bảng 12
A1  A2 = A2
A1  A3 = A3
A2  A3 = A4
A3  A3 = A1

HVTH: Trần Thị Phường

A3  A4 = A2
A4  A4 = A1
A4  A5 = A5
A5  A5 = A1 + A2 +A3 + A4

17


Ket-noi.com kho tài liệu miễn phí

HVTH: Trần Thị Phường

18