Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chương số phức giải tích lớp 12 nâng cao trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
----------

TRẦN ĐỨC THIỆN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN
TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA
DẠY HỌC CHƢƠNG SỐ PHỨC – GIẢI TÍCH LỚP 12
NÂNG CAO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số
: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NHỤY

Hµ Néi - 2010

1


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi

phi

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại
học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đang công
tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy
PGS. TS. Nguyễn Nhụy , người thầ y đã tân tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả
trong suấ t thời gian học tập cũng như trong thời gian làm luậ

n văn để

luận văn hoàn thành đúng thời hạn .
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đế n Sở Giáo dục

& Đào tạo

Nam Đi ̣nh , Ban Giám hiê ̣u cùng các thầ y cô giáo tổ Toán và các em học
sinh trường THPT Lý Tự Trọng đã tạo điề u kiê ̣n

giúp đỡ tác giả trong qúa

trình thực hiện bản luận văn này .
Sự quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi của gia đình, bạn bè
và các bạn đồng nghiệp trong quá trình học tập, thực hiện nghiên cứu đề tài
là một nguồn động viên, cổ vũ tiếp thêm sức mạnh cho tác giả. Tác giả xin
chân thành cảm ơn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không thể
tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận

được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Nam Đinh
̣ , ngày....tháng....năm 2010
Tác giả

Trầ n Đƣ́c Thiêṇ

2


DANH MỤC CÁC CHƢ̃ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

BCH

Ban chấ p hành

Nxb

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

tr.

Trang

THPT

Trung học phổ thông

3


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

Trang

1. Lý do chọn đề tài. ....................................................................................

1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................

3

3. Giả thuyết khoa học ......................................................................

3

4. Phương pháp nghiên cứu ...............................................................

3

5. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu ........................................

4

6. Cấu trúc luận văn ...........................................................................

4

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ..................................................................

5

1.1. Kỹ năng giải toán .................................................................................

5

1.1.1. Khái niệm kỹ năng ............................................................................

5

1.1.2 Vai trò của kỹ năng ............................................................................

8

1.1.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ........................................

9

1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn toán ....................................................

13

1.2. Tư duy và tư duy sáng tạo ....................................................................

14

1.2.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy..........

14

1.2.2. Sáng tạo, quá trình sáng tạo ..............................................................

21

1.2.3. Khái niệm về tư duy sáng tạo ............................................................

23

1.2.4. Các yếu tố tạo thành tư duy sáng tạo ................................................

25

1.2.5. Cấu trúc của tư duy sáng tạo .............................................................

26

1.3. Phương hướng rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh trong môn toán ở trường phổ thông .................................

30

1.4. Kết luận ................................................................................................

33

Chƣơng 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT
TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA
DẠY HỌC CHƢƠNG SỐ PHỨC – GIẢI TÍCH LỚP 12 NÂNG
CAO TRUNG HỌC PHỔ THÔNG. ................................................

34

2.1. Phân tích nội dung chương trình Số phức trong sách giải tích 12
Trung học phổ thông .........................................................................

4

34


2.1.1. Sơ lược về chương trình sách giáo khoa mới hiện nay .....................

34

2.1.2. Nội dung chương trình chương Số phức - giải tích 12 Trung
học phổ thông ....................................................................................

36

2.2. Những khó khăn học sinh gặp phải khi học chương Số phức ...........

40

2.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương Số
phức ..........................................................................................................................

42

2.3.1. Rèn luyện kỹ năng tính toán .............................................................

42

2.3.2. Rèn luyện kỹ năng thực hiện các phép biến đổi ...............................

46

2.3.3. Rèn luyện kỹ năng suy luận ..............................................................

49

2.4. Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chương Số
phức ..........................................................................................................................

51

2.4.1. Rèn luyện theo các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo ............

52

2.4.2. Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho một bài toán .............

60

2.4.3. Rèn luyện cho học sinh năng lực sáng tạo bài mới trên cơ sở tăng
cường phối hợp các hoạt động trí tuệ ..........................................................

63

2.4.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học ứng
dụng Số phức để giải toán ...........................................................................

66

2.5. Xây dựng hệ thống bài tập chương Số phức nhằm rèn luyện kỹ năng
giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. ..................................

69

2.5.1. Một số vấn đề cần lưu ý khi xây dựng hệ thống bài tập chương Số
phức .............................................................................................................

69

2.5.2. Hệ thống bài tập ................................................................................

71

2.6. Kết luận. ...............................................................................................

83

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................

84

3.1. Mục đích và nhiê ̣m vu ̣ thực nghiệm ............................................

84

3.1.1. Mục đích ..................................................................................

84

3.1.2. Nhiệm vụ ...........................................................................................

84

3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ...............................................

84

3.2.1. Tổ chức thực nghiệm.........................................................................

84

5


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

3.2.2. Nội dung thực nghiệm .......................................................................

85

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ....................................................................

91

3.3.1. Đánh giá định tính ....................................................................................

91

3.3.2. Đánh giá định lượng .................................................................................

92

3.4. Kết luận chung về thực nghiệm ..................................................................

93

KẾT LUẬN ................................................................................................

94

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................

95

6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói
riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một
trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và
phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ
trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV BCH Trung ương Đảng Cộng sản Việt
Nam (khóa IV, 1993): "Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào
tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những
vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của
đất nước”.
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH
Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra: "Phải đổi
mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện
thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương

pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều
kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu".
Điều 29, Luật Giáo dục (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, ... của học
sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm vệc theo nhóm; rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Thực hiện nhiệm vụ trên trong những năm qua nghành Giáo dục đã và
đang tích cực tiến hành đổi mới cả về nội dung và phương pháp dạy học.
Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường
THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, chống lại thói
quen học thụ động. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở

1


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

trường THPT, việc rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh là đặc biệt quan trọng và cần được tiến hành thường xuyên.
Về nội dung môn Toán: Trong hệ thống kiến thức được đưa vào
chương trình giảng dạy cho học sinh THPT, ngoài những nội dung kiến thức
quen thuộc như: Lượng giác, giới hạn, hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương
trình và bất phương trình,...thì Số phức đã được đưa vào chương trình Giải

tích 12. Mục tiêu của việc đưa nội dung Số phức vào chương trình môn Toán
ở THPT là giúp hoàn thiện hệ thống số và khai thác một số ứng dụng của Số
phức trong Đại số, Hình học và Lượng giác.
Chủ đề Số phức là một chủ đề mới và khó trong chương trình môn
Toán THPT. Do là một chủ đề kiến thức mới đối với học sinh THPT nên sau khi
học xong chương Số phức học sinh mới hiểu được một cách rất đơn sơ: Sử dụng
Số phức có thể giải được tất cả các phương trình bậc hai, tính được một số tổng
đặc biệt.... Thực tế giảng dạy Số phức ở phổ thông hiện nay còn rất sơ sài, chưa
có hệ thống các bài toán áp dụng. Sách giáo khoa, với lý do sư phạm cũng chỉ
dừng lại ở mức độ cơ bản, do vậy học sinh cũng chưa thực sự nắm được nhiều
về nội dung kiến thức này.
Để nắm được kiến thức hoàn chỉnh và đầy đủ về Số phức đòi hỏi học
sinh phải có năng lực nhất định, phải có khả năng tư duy trừu tượng và khái
quát tốt mới có thể giải toán linh hoạt và sáng tạo. Do đó, dạy học chủ đề này
có tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng, phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh
thông qua các thao tác tư duy, đồng thời giúp học sinh linh hoạt, hệ thống hoá
được kiến thức, tăng cường năng lực giải toán.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài: ‘‘Rèn luyện kỹ năng giải
toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học
chương Số phức – Giải tích lớp 12 nâng cao Trung học Phổ thông’’
làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.

2


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu vai trò của rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy
cho học sinh thông qua dạy học Số phức – Giải tích lớp 12 nâng cao nhằm
góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT.

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về kỹ năng giải toán, tư duy sáng tạo.
- Nghiên cứu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán và
phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học chương Số phức.
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi dạy học
chương Số phức.
- Hệ thống hoá các thành tố của tư duy sáng tạo và quan điểm phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh khi dạy học chương Số phức.
- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính
khả thi để áp dụng vào giảng dạy.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy Số phức theo định hướng rèn luyện kỹ năng và phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh thì có thể góp phần đổi mới phương pháp dạy
học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở
trường THPT.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận
dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo có liên quan.
- Phương pháp điều tra: Điều tra chất lượng học sinh trước và sau thử nghiệm.
- Phương pháp quan sát: Thông qua dự giờ, trao đổi với giáo viên, phân
tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực trạng về rèn luyện kỹ
năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường
phổ thông.

3


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai

tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

- Phương pháp phỏng vấn.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
5. Đối tƣợng, khách thể và phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu
Trên cơ sở lý luận của kỹ năng giải toán, tư duy sáng tạo, áp dụng vào dạy
học nội dung Số phức – Giải tích lớp 12 nâng cao THPT. Từ đó phân loại và
phát triển hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy
sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh.
5.2. Khách thể và phạm vi nghiên cứu
Học sinh và giáo viên dạy toán thuộc các trường THPT Lý Tự Trọng,
THPT Trần Văn Bảo, Nam Trực – Nam Định.
Kiểm nghiệm và đối chứng ở 2 lớp.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung
chính của luận văn được trình bày trong 3 chương
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận
Chƣơng 2. Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua dạy học chương số phức - giải tích lớp 12 nâng cao
trung học phổ thông
Chƣơng 3. Thực nghiệm sư phạm

4


Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Kỹ năng giải toán
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Trong thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức và thực
hành nhất định cho con người, đòi hỏi con người phải giải quyết các nhiệm vụ
đó. Để giải quyết được công việc đòi hỏi con người phải sử dụng vốn hiểu biết,
kinh nghiệm của mình, lựa chọn ra những phương thức hành động phù hợp. Từ
đó con người dần dần hình thành cho mình hệ thống các kỹ năng giải quyết các
vấn đề.
Trong tài liệu tâm lý giáo dục, đã nêu lên một số khái niệm kỹ năng
như sau:
Từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế" [34, tr. 426].
Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để
phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [8, tr. 149].
Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm thì: “Kỹ năng
là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải
quyết một nhiệm vụ mới” [11, tr.131].
Hoặc “Kỹ năng là sự lựa chọn trong tình huống cụ thể các phương
thức đúng đắn của hành động để đạt được mục đích” [29, tr.15].
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói
rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp,
…) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) vào giải quyết các bài tập cụ
thể. Học sinh thường không tách ra được những chi tiết thứ yếu, không bản

5

Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

chất ra khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, những
mối quan hệ vốn có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do học sinh
nắm kiến thức không chắc chắn, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh
đầy đủ thuộc tính của bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong
ý thức với tư cách là công cụ của hành động (kỹ năng). Sự dễ dàng hay khó
khăn khi vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng
nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài
toán, có những thuộc tính và những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài
toán đã cho.
Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hưởng của các
yếu tố sau:
a. Nội dung của nhiệm vụ, nội dung của bài toán được đặt ra trừu tượng
hoá, bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy ảnh hưởng đến sự
hình thành kỹ năng.
Ví dụ 1.1. Cho Số phức z là một nghiệm của phương trình z2  z  1  0 . Rút gọn
2

2

2

1 
1 
1 
1

biểu thức P   z     z 2  2    z3  3    z 4  4 
z 
z  
z  
z 


2

Mới nhìn bài toán dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ z là
nghiệm phức của phương trình z2  z  1  0 do đó phải tính nghiệm của
phương trình sau đó thay nghiệm tính được vào biểu thức P để tính giá trị
biểu thức do đó việc tính P trở nên dài dòng và khá phức tạp, tuy nhiên nếu
chịu khó suy nghĩ thì việc tính toán biểu thức P trở nên dễ dàng:
Ta thấy z  0 không thỏa mãn phương trình z2  z  1  0 . Nên
z2  z  1  0  z  1 
2

1
1
 0  z   1
z
z

1 
1 
1
1 
1
Ta có: z  2   z    2  1 ; z3  3   z   z 2  1  2   1 2   2
z 
z 
z 
z 
z
2

6


2

1 
1
2
z  4   z 2  2   2   1  2  1
z 
z 
4

2

2

2

2

1 
1 
1
2
2
2
 1 
Vậy P   z     z 2  2    z3  3    z 4  4    1   1  22   1  7
z 
z  
z  
z 


Như vậy, việc cho z là nghiệm phức của phương trình z2  z  1  0 chỉ
nhằm mục đích ngụy trang làm cho học sinh định hướng sai cách giải của bài
toán. Việc lột bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản
chất ẩn chứa trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh không chỉ
phát hiện, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm, tổng
hợp toàn bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình sau trên tập số 
iz 2  2z  3i    z 2  2  i  1 z  6   i  1 z 2  2  i  2  z  3 i  2 
3

3

3

Cần phải quan sát, phân tích tất cả các các biểu thức có mặt trong các
ngoặc vuông của phương trình, từ đó mới phát hiện được mối quan hệ bản chất
có mặt trong bài toán đó là

iz2  2z  3i  z 2  2  i  1 z  6  i  1 z 2  2 i  2  z  3 i  2 

do đó phương trình đã cho có dạng a 3  b3   a  b   ab  a  b   0 , vì vậy việc
3

giải phương trình trở nên dễ dàng.
b. Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hưởng không nhỏ đến việc hình
thành kỹ năng.
c. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến sự
hình thành kỹ năng.
Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ dàng hình
thành kỹ năng, còn ngược lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm lý là một
trở ngại thường gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành thói quen
tâm lý đó là tư duy của con người có tính phương hướng. Một loại kiến thức
hoặc phương pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tượng sâu làm cho học sinh

7


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu

lieu mien
mien phi
phi

không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen tư duy cũ để mở ra một hướng
suy nghĩ mới. Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là
nhận thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng
bài toán cụ thể.
Ví dụ 1.3. Gọi z1;z2 ;z3 ;z 4 là 4 nghiệm của phương trình
trên  . Tính tổng S 

z4  2z3  6z2  8z  8  0

1 1 1 1
   .
z14 z 24 z34 z 44

Nếu chỉ đọc sơ qua bài toán thông thường học sinh sẽ chỉ nghĩ đến phải
tính nghiệm cụ thể của phương trình sau đó thay vào biểu thức để tính S , một
khó khăn mà học sinh gặp phải là phương trình bậc 4 không có cách giải chung
do đó không thể tính nghiệm. Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm
bài toán ta thấy phương trình có thể đưa được về dạng tích, thật vậy:
Phương trình đã cho  z4  2z3  2z2  4z2  8z  8  0
 z 2  z 2  2z  2   4  z 2  2z  2   0   z 2  4  z 2  2z  2   0

Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm z1  2i;z 2  2i ; z3 ; z 4 là hai nghiệm
z3  z 4  2
z3 .z 4  2

của phương trình z2  2z  2  0 nên 

2

Do đó 14  14  1 4 
z1

1
8

z2

 2i 

1
2

3
8

1

 2i 

4

 z3  z 4 2  2z3z 4   2z32 .z 42
1
1
1
1





 và 4  4 
z3 z3
z34 .z 44
2
8

Vậy S     .
Như vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho tư duy trở nên
cứng nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.1.2. Vai trò của kỹ năng
Trong các môn học ở trường phổ thông, môn Toán là môn học giữ một
vai trò và vị trí quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách
cho học sinh. Khi học môn Toán, kỹ năng giữ một vai trò quan trọng và đặc biệt

8


cần thiết, bởi vì nếu không có kỹ năng học sinh sẽ không phát huy được tư duy
và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề.
Rèn luyện kỹ năng là một yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ
giữa học với hành. Việc dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết
học thuộc lòng định nghĩa, khái niệm, định lý mà không biết vận dụng không
thành thạo vào việc giải bài tập.
1.1.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Trong các mục đích của dạy học môn Toán ở trường phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn

thực hiện được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức trên một phương
diện nào đó sẽ không được củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng
như vào các ngành khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ
năng thực hiện các hoạt động tương ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói
riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều
này đã được nhiều tác giả đề cập như: “Suy nghĩ tức là hành động” ( J.
Piaget), “Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant), “Học để hành, học và
hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh).
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập. Theo Nguyễn Cảnh Toàn dạy toán là dạy kiến thức,
kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh. Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt
động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ
thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, các hoạt động trí
tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho
học sinh.

9


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể. Có thể
dạy cho học sinh kỹ năng bằng những cách khác nhau như:
- Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri thức cần thiết thì
yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán liên quan theo mức
độ tăng dần.
- Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định hướng một số dạng bài
toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó.
- Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức.
Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng cho học sinh cần được tiến hành trên
các bình diện khác nhau như:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong quá trình học môn toán, thể hiện rõ
dưới dạng giải bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật
lý, hoá học.
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống.
Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.
Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt
động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể
hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần
quan tâm chú trọng những vấn đề sau:
a. Cần hướng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã
cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho
học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
1 i 
 1 i 
Ví dụ 1.4. Tính giá trị biểu thức T  
 


 1 i 
1 i 
16

10

8


1  i    1  i   cos     isin   
1 i
Ta nhận thấy:

 
 
1  i 1  i 1  i   2    4 
 4 
2

2

2

1  i    1  i   cos      isin    
1 i
Và






1  i 1  i 1  i   2    4 
 4 
2

2

2

32

  
1 i 
  
do đó: 
  cos    isin     cos8  isin8  1
 1 i 
 4 
 4
16

16

 1 i     
  

  cos     isin      cos  4   isin  4   1
1 i    4 
 4 
8

Vậy T  1  1  2 .
b. Hướng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các
bài tập, các đối tượng cùng loại.
c. Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các
kiến thức tương ứng.
Ngoài ra, cần tạo nhu cầu hướng thú cho học sinh, khắc phục ảnh
hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện các mặt sau:
- Nhìn bài toán dưới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các cách
giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
- Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán
1 i 
 1 i 
Ví dụ 1.5. Tính giá trị biểu thức T  
 

 1 i 
1 i 
16

8

Ở ví dụ trên đã trình bày cách giải sử dụng dạng lượng giác của Số
phức để giải, tuy nhiên nếu chịu khó suy nghĩ, tìm tòi hướng giải mới thì ta sẽ
tìm được cách giải hay và ngắn gọn hơn rất nhiều
16

16
16
 1  i 2 

 i 2  2i  1 
16
1 i 
Ta có 
 
  i  1
 
2
 1 i 
 1  i 1  i  


8

2
8
  1  2i  i 2 8
8
 1  i   1  i 
  i   1
 


  
2
 1  i   1  i 1  i   


11

Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Do đó T  1  1  2
Như vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng
bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm
ẩn sâu trong bài toán.
- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán.
Học sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương pháp
và các bước làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có
phương pháp sẵn. Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ
độc đáo.
Ví dụ 1.6. Giải phương trình  z 2  3iz  4   3i  z 2  3iz  4   z  4 trên tập số 
2

Khi gặp bài toán trên, thông thường học sinh nghĩ đến cách làm là
phá ngoặc, rồi rút gọn, khi đó bài toán trở thành phương trình bậc 4 như
vậy học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn để giải. Tuy nhiên nếu chịu khó suy
nghĩ chú ý đến đặc điểm của phương trình ta sẽ tìm được cách giải hay và
độc đáo cho bài toán.
Đặt u  z2  3iz  4 khi đó phương trình 1  u 2  3iu  z  4  2 
2

z  3iz  u  4

Ta lại có z  3iz  u  4  3 , Từ  2  và  3 ta có hệ phương trình  2

u  3iu  z  4

2

z 2  u 2  3i  z  u   u  z
 z  u  z  u  3i  1  0


 2
 2
z  3iz  u  4
z  3iz  u  4


 z  u
 z  u  0
 z  u
 2
 2
 2
1
 z   3i  1 z  4  0
 z  3iz  u  4
 z  3iz  z  4



z  u  3i  1  0

z  u  3i  1
 z  u  3i  1
 
 
 z 2   3i  1 z  3i  3  0  2 
 z 2  3iz  u  4
 z 2  3iz  z  3i  1  4

Việc giải các phương trình 1 và  2  trở nên dễ dàng vì đó là các phương

trình bậc 2.

12


Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư
duy toán học cho học sinh.
1.1.4. Phân loại kỹ năng trong môn toán
Có nhiều cách phân loại kỹ năng. Theo tâm lý giáo dục, người ta
thường chia kỹ năng học tập cơ bản thành 4 nhóm:
a. Kỹ năng nhận thức
Kĩ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: kĩ
năng nắm một khái niệm, định lý, kĩ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,
trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,...
b. Kỹ năng thực hành
Kĩ năng thực hành trong môn toán bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức vào
hoạt động giải toán, kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (trong bài
toán hoặc trong đời sống), kĩ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế.
c. Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Việc rèn luyện kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi học sinh
phải có kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực bản
thân, nhằm phấn đấu đạt được mục đích đặt ra trong từng giai đoạn. Đối với
học sinh yếu, phải tạo điều kiện để các em học tập với tốc độ chậm, học kĩ,
nắm được những kiến thức cơ bản, làm được những bài tập tối thiểu, thường
xuyên ôn tập, củng cố kiến thức đã học và chuẩn bị cho việc tiếp thu kiến
thức mới, từ đó nâng dần yêu cầu để các em vươn lên. Đặc biệt đối với những
học sinh có khả năng học tập toán thì trước hết cần phát triển ở các em hứng
thú học môn này, dần dần hướng dẫn làm thêm những bài toán hay, toán khó,
đọc sách tham khảo để mở rộng thêm kiến thức, phương pháp. Tuy nhiên ở
những học sinh này đòi hỏi phải học kĩ lí thuyết để nắm vững kiến thức cơ
bản, làm thật đầy đủ kiến thức cơ bản mà giáo viên đã đề ra. Đồng thời, nên
khuyến khích các em này vận dụng toán học vào thực tiễn phù hợp với trình
độ bản thân thông qua các hoạt động thực hành toán học.

13


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

d. Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Thông thường ta hay quan tâm tới kết quả kiểm tra từ phía thầy đối với
trò, từ đó thầy có cơ sở để điều chỉnh cách dạy mà chưa quan tâm đến việc
học sinh tự đánh giá. Trong khi đó, hoạt động học của học sinh là quá trình tự

vận động để chiếm lĩnh tri thức lại có vai trò quyết định chất lượng đào tạo
của nhà trường. Vì thế người học không chỉ thụ động tiếp thu sự điều chỉnh để
đạt kết quả mong muốn. Do vậy, học sinh phải có kĩ năng tự kiểm tra đánh
giá để làm căn cứ cho sự tự điều chỉnh. Đây là sự thể hiện mối quan hệ ngược
bên trong của quá trình dạy học.
Để rèn luyện kĩ năng này, trước hết phải xác định rõ mục tiêu học tập
của từng giai đoạn, từng phần kiến thức của chương trình đối với bản thân
mình. Căn cứ vào sự kiểm tra của giáo viên và nhất là căn cứ vào sự đánh giá
của bản thân thông qua việc học lí thuyết, việc giải từng bài tập để tự đánh giá
việc nắm vững khái niệm, định lí, khả năng vận dụng tri thức vào việc giải
từng dạng bài tập, từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ còn thiếu sót của bản
thân về những mặt nào đó mà đề ra hướng khắc phục: hỏi giáo viên, nhờ bạn
bè giảng giải hộ …Một khi học sinh có khả năng tự kiểm tra, đánh giá và biết
tự điều chỉnh thì kết quả học
tập sẽ được nâng lên.
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dưỡng tư
duy toán học cho học sinh.
1.2. Tƣ duy và tƣ duy sáng tạo
1.2.1. Tư duy, các hình thức cơ bản của tư duy, các thao tác tư duy
1.2.1.1. Khái niệm tư duy và một số yếu tố cơ bản của tư duy
Ý thức của con người bắt nguồn từ thuộc tính phổ biến của vật chất là
thuộc tính phản ánh, mà bộ óc người là một dạng vật chất tiến hóa cao nhất

14


trong giới tự nhiên, với hệ thống thần kinh phức tạp, tinh vi, nhạy cảm, có
năng lực phản ánh sáng tạo rất cao. Chính nhờ năng lực ấy mà nảy sinh ra ý
thức bộ não của con người. Theo Mác: “Ý thức là cái vật chất được di chuyển

vào óc người và được cải biến trong đó. Ý thức là hình ảnh chủ quan của thế
giới khách quan, là sản phẩm của quá trình nhận thức hiện thực khách quan
thông qua hoạt động thực tiễn của con người. Nhận thức là hoạt động phản
ánh, là sự xâm nhập vào sự vật để “hiểu sự vật”, “nắm bắt” những quan hệ,
những quy luật, những khuynh hướng của nó”.
Trong Tâm lý học, một trong những nghiên cứu tương đối đầy đủ nhất về tư
duy đã được trình bày trong các công trình của X. L. Rubinstein. Theo Rubistein:
“Tư duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy
đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách
thể” (dẫn theo Đavưđov [35, tr. 25].
Các tác giả Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy,
Nguyễn Quang Uẩn (1992), (trong Tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội) đã
định nghĩa: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản
chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện
thực khách quan”.
Trong cuốn "Rèn luyện tư duy trong dạy học toán", PGS.TS Trần Thúc
Trình có định nghĩa: "Tư duy là một quá nhận thức, phản ánh những thuộc
tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng
mà trước đó chủ thể chưa biết"[31, tr.1].
Trong cuốn "Tâm lý học đại cương", Nguyễn Quang Cẩn có định
nghĩa: " Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong
hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết".

15


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai

tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

Từ điển Triết học (M. Rô-den-tan và P.I-u-đin, tr.873): “Tư duy - sản vật
cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của
sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán,…”
Tư duy là trình độ cao và phức tạp của sự phản ánh, trong đó tạo ra sản
phẩm tinh thần một cách gián tiếp bằng những phương thức trừu tượng hóa,
khái quát hóa trong phân tích và tổng hợp… Đó là quá trình vận dụng khái
niệm theo quy luật logic (hình thức và biện chứng), và cả trực giác để đạt
được chân lý. Đó là quá trình không ngừng bổ sung, tìm tòi, “cải tạo” thế giới
hiện thực của tư duy trong óc người và sử dụng những kết quả ấy làm cơ sở
để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra.
Nhờ hoạt động của thực tiễn và sức mạnh của tư duy mà con người tiến
xa hơn loài vật. Theo Ăngghen, ở con vật và con người đều có lý trí (những
phương thức của hoạt động lý trí như quy nạp, diễn dịch,…). Sự khác biệt là ở
con người và con vật chỉ “khác nhau về trình độ” nhưng là những trình độ
khác nhau về chất. Chính vì vậy, “tư duy biện chứng, chính vì nó lấy sự
nghiên cứu bản chất của ngay những khái niệm làm tiền đề - chỉ có thể có
được ở con người đã ở một trình độ phát triển tương đối cao”…, theo Hêghen
chỉ có tư duy biện chứng mới có lý tính. Cant cũng nói: “Lý tính là khả năng
trí tuệ cao nhất của con người” (Lịch sử triết học, Nxb Tư tưởng và văn hóa,
Hà Nội, 1992, t. 2, tr. 166).
Tư duy bao gồm cả lý trí và lý tính. Lý tính là “chất kỳ diệu” của tư
duy, mà nhờ đó nó soi rọi ánh sáng vào sự vật, xâm nhập, nắm bắt được bí
mật của sự vật. Trong nhận thức cảm tính, các hình ảnh và thông tin ghi nhận
được là nhờ sức mạnh cảm giác của giác quan sinh học, còn lý tính là bản tính
tinh thần của tư duy, dựa trên hệ thần kinh trung ương ở não người, điều

khiển khả năng suy nghĩ của con người. Cái lý tính ấy, chỉ ở con người mới
có. Do đó nói nhận thức của con người là chủ yếu nói tới lý tính tức là tư duy.

16


Từ những định nghĩa trên ta có thể rút ra được những đặc điểm cơ bản của
tư duy.
+ Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề;
+ Tư duy có tính khái quát;
+ Tư duy có tính gián tiếp;
+ Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và
ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhưng cũng
không đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữ tư duy và ngôn ngữ thể hiện rõ
ở khâu biểu đạt kết quả của quá trình tư duy;
+ Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tư duy thường bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì nội
dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác,
biểu tượng trực quan,…). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm
tính bao giờ cũng có trong trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư
duy” (dẫn theo Đavưđov [35, tr. 35].
1.2.1.2. Quá trình tư duy
Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình bao gồm 4 bước cơ bản:
- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách
khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết
về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Xác minh giả thiết trong thực tiễn. Nếu giả thiết không đúng thì qua
bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.
- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.

1.2.1.3. Các hình thức cơ bản của tư duy
- Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối
tượng và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và
nội hàm. Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên,

17


Ket-noi.com
Ket-noi.com kho
kho tai
tai lieu
lieu mien
mien phi
phi

còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm
của lớp đối tượng đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính
quy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì
khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được
gọi là một khái niệm loại của A.
- Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một
dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán đoán có tính chất hoặc
đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.
Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:
trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả
nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai
phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy
luận. Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các

phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai
của các luận điểm.
- Suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định
(gọi là các quy luật, quy tắc suy luận). Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo
những quy luật, quy tắc ấy. Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp.
Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cái
chung. Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau. Quy
nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại
suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp.
1.2.1.4. Các thao tác tư duy
a. Phân tích - tổng hợp
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành
nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn
bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các

18


bộ phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh.
Theo ông, phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương
hướng cho sự phân tích tiếp theo [28, tr.122].
Hoàng Chúng cho rằng: Trong mọi khâu của quá trình học tập Toán học
của học sinh, năng lực phân tích, tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp
học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo [7, tr.15].
Như vậy, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhưng
lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tụê cơ bản
của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng của
phân tích và tổng hợp. Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau.
Chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất bởi vì phân tích tiến hành
theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích. Trong học

tập môn toán, phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư
duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề.
b. So sánh - tương tự
So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau và khác nhau
giữa các sự vật và hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải
phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các
thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) có cái gì
giống và khác nhau. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích - tổng hợp và đối
với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể
nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng.
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức
độ nào đó, trong một quan hệ nào đó.

19