(GV ĐẶNG VIỆT ĐỘNG) 23 CSC CSN image marked image marked

Câu 1:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Người ta xếp các viên gạch
thành một bức tường như hình vẽ, biết hàng dưới cùng có 50 viên. Số
gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là:
A. 1275

B. 1225

C. 1250

D. 2550

Đáp án A.
Số gạch các hàng lần lượt từ trên xuống dưới tạo thành 1 cấp số cộng có:
u1 = 1
, u50 = 50

d = 1
 S50 = nu1 +

n ( n − 1)
50.49
d = 50 +
= 1275
2
2

Hay S50 = 1 + 2 + ... + 50 =

n ( u1 + u2 ) 50.51
50.51
hay S50 =

=
2
2
2

u = 1, u2 = 3
Câu 2:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho dãy ( un ) với  1
với n 
un+2 = 2un+1 − un + 1

Tính u20 .
A. u20 = 190

B. u20 = 420

C. u20 = 210

u20 = −210
Đáp án C.

u1 = 1

u2 = 3 = 1 + 2
u3 = 6 = 1 + 2 + 3

u4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4
Dự đoán: un = 1 + 2 + ... + n (chứng minh được)
 u20 = 1 + 2 + ... + 20 =

20.21

= 210
2

Cách 2 CASIO
Ghi và màn hình X = X + 1: C = 2B − A +1: A = B : B = C
Bấm CALC gán X = 2; B = 3; A = 1
Lặp lại phím = cho đến khi X = X + 1 = 20 ta được

 u20 = C = 2B − A + 1 = 210

D.

*

.


Câu 3:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:

1,2;3,4;5;6,7;8;9;10,... , trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hơp ngay trước đó
1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay
trước nó 1 đơn vị. Gọi S n là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính S999
A. 498501999.

B. 498501998.

C. 498501997.

D. 498501995.

Đáp án A
Ta thấy tập hợp thứ n số nguyên liên tiếp, và phần tử cuối cùng của tập hợp này là
n ( n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
.
2
Khi đó S n là tổng của n số hạng trong một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 =

n ( n + 1)

, công
2
sai d = −1 (coi số hạng cuối cùng trong tập hợp thứ n là số hạng đầu tiên của cấp số cộng
này), ta có:

n 2u1 + ( n − 1) d  n
1
Sn = 
= n ( n + 1) − ( n − 1) = n n2 + 1 .
2
2
2

(

)

1
Vậy S999 = .999. ( 9992 + 1) = 498501999.
2

Câu 4:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Đặt f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 . Xét dãy số ( un ) sao
2

cho un =

f (1) . f ( 3) . f ( 5 ) ... f ( 2n − 1)
f ( 2 ) . f ( 4 ) . f ( 6 ) ... f ( 2n )

A. lim n un = 2 .

. Tính lim n un
1
.
3

B. lim n un =

C. lim n un = 3 .

D. lim n un =

Đáp án D
Ta có f ( n ) = ( n 2 + 1) + n  + 1 = ( n 2 + 1) + 2n ( n 2 + 1) + n 2 + 1
2

(

)

(

2

)(

)

= n2 + 1  n2 + 1 + 2n + 1 = n2 + 1  n2 + 1 + 1 .
Do đó

f ( 2n − 1)
f ( 2n )

2
( 2n − 1)2 + 1 . ( 2n )2 + 1
2n − 1) + 1
(




=
=
.
( 2n )2 + 1 . ( 2n + 1)2 + 1 ( 2n + 1)2 + 1

 


f (1) f ( 3) f ( 5) f ( 2n − 1) 12 + 1 32 + 1 52 + 1 ( 2n − 1) + 1
.
.
...
= 2 . 2 . 2 ...
Suy ra un =
f ( 2) f ( 4) f ( 6)
f ( 2n )
3 + 1 5 + 1 7 + 1 ( 2n + 1)2 + 1
2

1
.
2


 un =

2

( 2n + 1)

2

=

 lim n un = lim

1
2n + 2n + 1

2

n
2n 2 + 2n + 1

1
1
=
.
1 1
2
2+ + 2
n n

=

Câu 5:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với
công bội q  1 , đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai

d  0 . Tìm q?
A. q =

3
4

B. q =

1
4

C. q =

1
3

D. q =

1
2

Đáp án C.

 q = 1( loai )
Ta có: x + 3z = 2.2 y  x + 3xq = 4 xq  3q + 4q − 1 = 0  
q = 1

3
2

2

Câu 6:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho cấp số cộng ( un ) có công sai d = −3 và
u22 + u32 + u42 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S100 của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

C. S100 = −14250.

B. S100 = −14400.

A. S100 = −14550.

D. S100 = −15450.

Đáp án C
Đặt u1 = a thì
u22 + u32 + u42 = ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) = 3 ( a − 6 ) + 18  18, a. .
2

2

2

2

Dấu bằng xảy ra khi a − 6 = 0  a = 6 . Suy ra u1 = 6.
Do đó S100 =

100.  2u1 + (100 − 1) d 
2

= −14250. Vậy phương án đúng là C

Phân tích phương án nhiễu.
Phương án A: Sai do HS biến đổi sai biểu thức u22 + u32 + u42 và giải ra được a = 3 hoặc do HS
giải đúng a = 6 nhưng lại nhớ sai công thức tính

S100 =

100. u1 + (100 − 1) d 
2

.

Phương án B: Sai do HS giải đúng u1 = 6 nhưng nhớ sai công thức tính
S100 =

100. 2u1 + 100d 

Phương án C: Sai do HS giải được a = − 6.

2

.


Câu 7:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số.
Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập A. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 7 và chữ số hàng
đơn vị bằng 1
A. 0,015.

B. 0,02.

C. 0,15.

D. 0,2.

Đáp án A.
Các số tự nhiên chia hết cho 7 có 5 chữ số và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 10031, 10101,
10171,…, 99911, 99981. Chúng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 10031 , số
hạng cuối là un = 99981 và cộng sai d = 70 .
Vậy có tất cả n số với n =

un − u1
99981 − 10031
+1 =
+ 1 = 1286 .
70
70

Câu 8:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi

Ak +1 , Bk +1 , Ck +1 , Dk +1 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh Ak Bk , Bk Ck , Ck Dk , Dk Ak (với
k = 1, 2,... ). Chu vi của hình vuông A2018 B2018C2018 D2018 bằng

A.

2
1007

2

.

2

B.

1006

2

.

C.

2
2

2017

.

D.

2
2

2018

.

Đáp án A.
2

 2
2
2
Từ giả thiết, ta có: A2 B2 = A1 B1.
; A3 B3 = A2 B2 .
= A1B1. 
 ;

2
2
 2 
3

 2
2
A4 B4 = A3 B3 .
= A1 B1. 
 ;.....
2
 2 

 2
Suy ra Ak Bk = A1 B1. 

 2 

k −1

. Khi đó chu vi

vuông Ak Bk Ck Dk được tính theo công thức
 2
Pk = 4 Ak Bk = 4 A1B1. 

 2 

k −1

.

Vậy chu vi hình vuông A2018 B2018C2018 D2018 là:
P2018

 2
= 4 A1 B1. 

 2 

2017

= 22.

2.22018
2
= 2017 .
2017
2
2

hình


a = 5
Câu 9:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho dãy số ( an ) xác định bởi  1
với
an +1 = q.an + 3
mọi n  1 trong đó q là hằng số, a  0, q  1 . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết

được dưới dạng an =  .q

n −1

A. 13

1 − q n−1
. Tính  + 2
+
1− q

B. 9

C. 11

D. 16

Đáp án C.
Theo giả thiết ta có a1 = 5, a2 = q.a1 + 3 = 5q + 3.

1 − q1−1
1−1
a
=

.
q
+

=

 1
1− q

Áp dụng công thức tổng quát, ta có 
2 −1
a =  .q 2−1 +  1 − q =  .q + 
2

1− q


5 = 
 = 5
Suy ra 
hay 
5q + 3 =  .q −  '
 = 3

Vậy  + 2 = 5 + 2.3 = 11.
Câu 10:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho Sn =5+55+555+…+ 5555… thì giá trị của
n soá5

S2018 là:
A.

10 102018 − 1 2018
.
−
9
9

9

B.

50 102018 + 1 2018
.
−
D.
9
9
9

5 102019 − 10 20180
−
C. .
9
9
9
Đáp án C.
Ta có Sn = 5(1 + 11 + 111 +

111 1)
n sè 1

Tính An = 1 + 11 + 111 +

+ 111 1
n sè 1

Xét:

u1 = 1
u2 = 1 + 10
u3 = 1 + 10 + 102
u4 = 1 + 10 + 102 + 103
un = 1 + 10 + 102 + 103 +

5 102018 − 1 2018
.
−
9
9
9

+ 10n −1


 An = n.1 + (n −1)10 + (n − 2).102 +

+  n − (n −1)10n−1

 10 An = 10n + 102 (n −1) + 103 (n − 2) +

+  n − (n −1)10n

(2) – (1)  9 An = ( −n + 10 + 102 + 103 +


1 − 10n 
+ 10n−1 + 10n ) =  −n + 10.


1 − 10 


1 10n+1 − 10 n
5  102019 − 10 2018 
 An = .
−  S2018 = 5. A2018 = 
−

9
9
9
9
9
8 
1
Câu 11:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho cấp số nhân ( un ) với u1 = 3, q = − . Số 222
2

là số hạng thứ mấy của ( un ) ?
A. Số hạng thứ 11

B. Số hạng thứ 12

C. Số hạng thứ 9

D. Không là số hạng của cấp số nhân

( un )
Đáp án D.

Ta có un = u1.q
Với n 

*

n −1

 1
 222 = 3.  − 
 2

n −1

 1
 − 
 2

n −1

= 74

 Không tìm được n.

Câu 12:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho cấp số cộng

( un )

có u1 = 123 và

u3 − u15 = 84 . Số hạng u17 là:

A. 242.

B. 235.

C. 11.

D. 4.

Đáp án C.
u1 = 123
u1 = 123

Ta có: 
( u1 + 2d ) − ( u1 + 14d ) = 84
u3 − u15 = 18

Giải hệ tìm u1 , d sau đó tính u17 = u1 + 16d được u17 = 11.
Câu 13:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 24 và

u4
= 16384 .
u11

Số hạng u17 là:
A.

3
.
67108864

Đáp án C.
Từ giả thiết ta có:

B.

3
.
268435456

C.

3
.
536870912

D.

3
.
2147483648


u1 = 24
u1 = 24
u1 = 24
u1 = 24



 7


1 
1
3
10
q=
u24 = 16384u11
u1.q = 16384u1.q
q = 16384


4
16

3
1
 u17 = u1.q = 24.   =
536870912
4
16

Câu 14:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp
cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Vậy từ 1 tế bào sau 10 lần phân chia thì tổng số các tế bào có
là:
A. 210

C. S10 = 210 − 1

B. 211

D.

S10 = 211 − 1

Đáp án A.
Câu 15:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Phương trình x 3 + ax + b = 0 có 3 nghiệm tạo
thành 1 cấp số cộng khi:
A. b = 0, a  0

B. b = 0, a = 1

C. b = 0, a  0

D.

b  0, a  0

Đáp án A.
Giả sử phương trình có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành một cấp số cộng thì

x1 + x3

 2 x2 = x1 + x3
 x2 =

2

3x2 = 0
 x1 + x2 + x3 = 0 ( Vi-et bËc 3)


 x2 = 0 là nghiệm của phương trình  x23 + ax2 + b = 0  b = 0
x = 0
Phương trình  x3 + ax = 0   2
 x = −a

Để 3 nghiệm là cấp số cộng  −a  0  a  0  Điều kiện là b = 0, a  0 .
Chú ý Bạn có thể thử từ đáp án tìm ra nghiệm kiểm tra rồi kết luận.
Câu 16:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Dãy số cho bởi công thức nào sau đây không phải
là cấp số nhân?
A. un = 2n + 3

B. un = ( −1)

n

C. un =

3n
4

D. un =

2
3n

Đáp án A.
Xét dãy u1 = 2n + 3 .
Ta có:

un +1 2 ( n + 1) + 3 2n + 5
2
=
=
= 1+
không phải là một giá trị cố định nên chọn A.
un
2n + 3
2n + 3
2n + 3


Câu 17:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81
m. Mỗi lần chạm đất bóng lại nảy lên

2
độ cao lần trước thì tổng khoảng cách rơi và
3

nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến khi bóng không nảy nữa là:
A. 486 m

B. 324 m

C. 405 m

D. 243 m

Đáp án C.
Tổng khoảng cách cần tìm là (với n 

2

*

)

2
2
2
S = 81 + 2.81. + 2.81.   + ... + 2.81.  
3
3
3

n +1

+ ...

2
n+1
 2

2
2
= 81 + 2. 81. + 81.   + ... + 81.   + ...
3
3
 3

2

2
2
2
Do 81. + 81.   + ... + 81.  
3
3
3

n+1

+ ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với

2

u1 = 81. 3 = 54
u
 S = 81 + 2. 1 = 405 m.

1− q
q = 2

3
Câu 18:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho 4 số a, b, c, d theo thứ tự tạo thành cấp số
nhân với a.b.c.d  0 . Khẳng định nào sau đây là sai?
3

a b
A. =   .
d c

C. ( ab + bc + cd ) = ( a 2 + b2 + c2 )( b2 + c2 + d 2 ) .
2

B.

1
1
1
3
+ +
= .
ab bc cd ac

D.

b d
= .
a c

Đáp án B
Ta có thể thử với cấp số nhân 1; 2; 4; 8 ta thấy đáp án B không thỏa mãn.
0
1
2
23
, C23
, C23
,...C23
. Có bao nhiêu bộ

Câu 19:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho dãy số C23

gồm 3 số hạng liên tiếp trong dãy số trên lập thành cấp số cộng?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Đáp án C
Ba số C23n , C23n +1 , C23n + 2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng  2C23n +1 = C23n + C23n + 2
n +1
n
n +1
 4C23
= ( C23
+ C23
) + ( C23n+1 + C23n+2 )


 4C23n +1 = C24n +1 + C24n + 2  C23n +1 = C25n + 2


n = 8
4.23!
25!
=
 ( n + 2 )( 23 − n ) = 150  

( n + 1)!( 22 − n )! ( n + 2 )!( 23 − n )!
 n = 13

8
9
10
, C23
, C23
Ta được số hạng liên tiếp lập thành cấp số công trong dãy số trên là C23
và
13
14
15
C23
, C23
, C23
.

Câu 20:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Tổng S =
A. 1.

B.

3
.
2

1 1
+ + ... là:
2 22

C. 2.

D.

5
.
4

Đáp án A.
Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn theo công thức S =

u1
= 1.
1− q

Câu 21:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho cấp số cộng −2; x;6; y . Giá trị của biểu thức

P = x 2 + y 2 là:
A. 12.

B. 102.

C. 104.

D. 14.

Đáp án C.
Theo tính chất của cấp số cộng ta có: x =
6=

−2 + 6
= 2.
2

x+ y
và x = 2  y = 10  P = x 2 + y 2 = 22 + 102 = 104 .
2

Câu 22:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Biết rằng m1 , m2 là các giá trị của m để phương
trình x3 − 7 x 2 + 2 ( m 2 + 6m ) x − 8 = 0 có 3 nghiệm phân biệt tạo thành cấp số nhân. Khi đó

m1 + m2 có giá trị là:
A. −6 .

B. 6.

C. −7 .

D. 7.

Đáp án A.
Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số
nhân. Khi đó theo định lý Viet ta có: x1 x2 x3 = 8 .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x1 x3 = x22  x23 = 8  x2 = 2 .
m = 1
Thay x2 = 2 vào phương trình ta được m2 + 6m − 7 = 0  
.
 m = −7

Điều kiện đủ với m1 = 1, m2 = −7 ta đều có phương trình x3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0 .


Giải phương trình ta được 3 nghiệm là 1; 2; 4 hiển nhiên 3 nghiệm này tạo thành cấp số nhân
với công bội q = 2 .
Vậy m1 + m2 = −6 .
Câu 23:( GV ĐẶNG VIỆT ĐÔNG 2018) Cho dãy số
un+1 = 1 + un2 n 

A. Sn = n + 1.

*

. Tính tổng S n =

B. Sn = n − 1.

C. Sn =

n
.
1+ n

Ta có U 2 = 1 + u12 = 2;U3 = 1 + u22 = 3;U 4 = 1 + u32 = 4 .
Dự đoán U n = n (chứng minh bằng phương pháp quy nạp).
1
1
1
1
+

+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
m −1 + n

= 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + n − n − 1
=

(

) (

2 + 3 + 4 + ... + n − 1 + 2 + 3 + ... + n − 1

= n −1 .

xác định bởi u1 = 1 và

1
1
1
+
+ ... +
, n  2 ta được:
u1 + u2 u2 + u3
un −1 + un

Đáp án B.

Khi đó: Sn =

( un )

)

D. Sn =

n
.
n −1