(Gv trần minh tiến) 43 câu số mũ và logarit image marked image marked

Câu 1 (GV Trần Minh Tiến 2018): Phương trình log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3x +1 − 3) = 6 có?
A. Hai nghiệm dương

B. Một nghiệm dương

C. Phương trình vô nghiệm

D. Một nghiệm kép

Đáp án A
x
Hướng dẫn giải: điều kiện 3 − 1  0  x  0. Phương trình đề bài đã cho

log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3x +1 − 3) = 6  log 3 ( 3x − 1) .log 3 3 ( 3x − 1)  = 6
 log 3 ( 3x − 1) . 1 + log 3 ( 3x − 1)  = 6  log 3 ( 3x − 1) + log 3 ( 3x − 1) − 6 = 0
2

3x = 10
 x = log 3 10
log 3 ( 3x − 1) = 2




 x 28 
3 =
 x = log 3 28
log 3 ( 3x − 1) = −3




27
27

Vậy là ta dễ dàng chọn được phương án đúng!
Tất nhiên các em vẫn có thể dùng chức năng SHIFT SOLVE trong máy V1NACAL 570ES
PLUSII để tìm ra nghiệm của phương trình.
Nhưng trong những Câu 1 dạng có mấy nghiệm

(có mấy nghiệm âm, dương) các em nên

giải hẳn ra nghiệm để có thể kết luận chính xác
Bổ trợ kiến thức: Nhập vào máy tính biếu thức:

log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3x +1 − 3) = 0

Vì điều kiện của chúng ta là x  0 nên tuyệt đối không SOLVE với số âm vì sẽ làm đứng
máy rất mất thời gian
Bây giờ tác giả sẽ nói lên hạn chế của máy tính: Với điêu kiện X  0 các em SOLVE với 1
số chăng hạn X = 1 sẽ ra được 2.0959... sau đó các em tiếp tục với các số lớn hơn vẫn ra
2.0959...tiếp tục với các số nhỏ hơn 1 ví dụ X = 0.5

(an tâm vì số này đã sát giới hạn 0)

vẫn ra 2.0959...

Từ đó dẫn tới kết luận phương trình trên chỉ có 1 nghiệm là hoàn toàn sai. Các bạn thử
SOLVE với giá trị X = 0.4 máy sẽ cho ra 0.033103... Kết luận phương trình của
chúng ta có 2 nghiệm phân biệt.

Từ đây có thế thấy, khi giải những bài dạng này bằng máy tính phải SOLVE với rất nhiều giá
trị đế không sót nghiệm và càng gần tập xác định càng tốt.
Tất nhiên là còn một cách giải và cách giải thích theo Toán học thuyết phục hơn, khoa học
hơn nhưng tác giả sẽ giới thiệu ở những phần sau
(GV Trần Minh Tiến 2018)Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

Câu 2
2

x+

1
4x

+ 2

x 1
+
4 x

= 4 là?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Đáp án D
Hướng dẫn giải:
Ta có 2

x+

1
4x

x 1
+
x

+ 24

= 4, x  0 và x +

1
x+
1
1
 2 x.
= 1  2 4x  21 = 2
4x
4x

x 1
1
x 1
+

x+
+
x 1
x 1
1
4 x
4x
2 =22
+ 24 x  4
Ta lại có +  2 . = 2  2
4 x
4 x

 2 1
x =
4

x 2 = 4
Khi đó dấu bằng xảy ra khi 

(vô lý)

Đây là một dạng toán được giải nhanh nhờ đánh giá thông qua các bất đẳng thức cơ bản mà
các em đã được đọc và học ở các lớp dưới, thay vì giải SHIFT SOLVE trên máy tính chạy rất
lâu!

Câu 3

(GV Trần Minh Tiến 2018) Tập nghiệm của bất phương trinh 5

A. ( 2; + )

B. ( −;0 )

Đáp án B
Hướng dẫn giải:
Ta có điều kiện:

x−2
0
x

C. ( 0; 2 )

 x −2 
log 1 

 x 
3

 1 là

D. ( 0; + )


 x −2 
log 1 

 x 
3

Bất phương trình đã cho: 5

x−2
−2
 x−2
 1  log 1 
1
0x0
0
x 
x
x
3 

Bổ trợ kiến thức:
Các em có thể dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS II để giải nhanh các dạng toán này
như sau
 x −2 
log 1 

 x 
3

Nhập vào máy tính: 5

 x −2 
log 1 

 x 

3

− 1 bấm CALC với x = 3 ta thấy được 5

−1 = 4  0

do đó loại nhanh được các phương án A, C, D không thỏa mãn yêu Câu 3 toán.
Trong một số bài toán với nhiều công thức tính toán phức tạp thì việc áp dụng phương pháp
loại trừ rất quan trọng đế giải quyết nhanh gọn các bài toán
Câu 4

x
x
(GV Trần Minh Tiến 2018) Nghiệm của phương trình 9 − 4.3 − 45 = 0 là?

A. x = 2

B. x = 3

C. x =

1
2

D. x =

1
3

Đáp án A

Hướng dẫn giải:
3x = −5
9x − 4.3x − 45 = 0   x
x=2
3 =9

Dễ dàng có được

Bổ trợ kiến thức:
Dùng chức năng CALC của máy tính

(VINACAL 570ES PLUS II) để giải nhé!

x
x
Đơn giản các em nhập vào máy tính: 9 − 4.3 − 45 và bấm CALC x = 2 khi đó ta dễ dàng

x
x
thấy được 9 − 4.3 − 45 = 0 và chọn nhanh dược phương án đúng

Đây là những phương trình cơ bản nên khuyến khích các em giải tay để nhanh chóng ra kết
quả chính xác, tuy nhiên nếu gặp một phương trình phức tạp hơn mà máv tính có thể xử lí
được thì các em hãy để cho máy tính hỗ trợ cho ta xử lí các vấn đề về tính toán.
Câu 5 :

(GV Trần Minh Tiến 2018)

Tìm tập xác định D của hàm số

y = f ( x ) = log3 (x 2 + 3x + 2)?
A. D =  −2; −l

B. D = ( −;2)  ( −1; + )

C. D = ( −2; −l )

D. D = ( −; −2   −1; + )


Đáp án B
 x  −2
Điều kiện x 2 + 3x + 2  0  
 x  −1

Vậy là ta đã xong bài toán!
(GV Trần Minh Tiến 2018) Tập nghiệm của bất phương trình

Câu 6

( log x +
3

log 32 x − 1

)(

)

log 3 x + 1 − log 3 x − 1  1 là?

B. 3;+ )

A. ( −;1)  ( 2; + )

C. ( −;2)  ( 3; + )

D. ( −; −2)

Đáp án B
Tập xác định: D = 3; + )

(

Bất phương trình log 3 x + log 32 x − 1

( 2 log x + 2
3

)(

)

log 3 x + 1 − log 3 x − 1  1 tương đương:

)

log 32 x − 1 ( log 3 x + 1 − log 3 x + 1)  2

(

log 3 x + 1 + log 3 x − 1

)

 2log3 x + 2 log32 x − 1  log3 x + 1 + log3 x −1



(

log3 x + 1 + log3 x − 1

)

2

 log3 x + 1 + log 3 x − 1

 log x + 1 + log x − 1  0
3
3

 log x + 1 + log x − 1  1
3
3


+ Với 0  x  1 ta có
+ Với x > 1 ta có

log3 x + 1 + log3 x − 1  1

log3 x + 1 + log3 x − 1  1

Kết hợp với điều kiện ta nhận nghiệm 3;+ )
* Bổ trợ kiến thức: Dùng chức năng CALC của máy tính

(VINACAL 570ES PLUS II) để

giải nhé!
Đơn giản các em nhập vào máy tính

( log X +
3

log 32 X − 1

(

)(

)

log 3 X + 1 − log 3 X − 1 − 1 và bấm CALC X = –30 khi đó ta dễ

dàng thấy được log3 X + log 32 X − 1

)(

)

log 3 X + 1 − log 3 X − 1 − 1 không tồn tại nên loại A,

C, D và chọn nhanh được phương án đúng.


Đây là những bất phương trình cơ bản nên khuyến khích các em giải tay để nhanh chóng
ra kết quả chính xác, tuy nhiên nếu gặp một bất phương trình phức tạp hơn mà máy tính có
thể xử lý được thì các em hãy để cho máy tính hỗ trợ cho ta xử lý các vấn đề về tính toán.
Câu 7

(GV Trần Minh Tiến 2018): Tìm m để phương trình 2x + 3 = m 4x + 1 có hai

nghiệm phân biệt?
A. m 

1
3

B. 3  m  10

C. m  10

D. 1  m  3

Đáp án B
Ta có: 2x + 3 = m 4x + 1 (1)
2
x

2
x

(1 − m2 ) 4x + 6.2x + 9 − m2 = 0
( 2 + 3) = m ( 4 + 1) 

Vì hai vế đều dương nên (1)  

m

0

m  0

2
2
2

(1 − m ) t + 6.t + 9 − m = 0
Đặt t = 2x ( t  0 ) , ta được 

m  0

Phương trình

(1) có hai nghiệm khi phương trình

(2)

(2) có hai nghiệm dương phân biệt


2
2
9 − (1 − m )( 9 − m )  0
 '  0

 − 10  m  −3

 3
 S  0   2
0

3  m  10
P  0
 m −1

 9 − m2
0

 1 − m2
Kết hợp điều kiện m > 0. Suy ra 3  m  10 là giá trị cần tìm.
* Bổ trợ kiến thức: Ta có 2x + 3 = m 4x + 1  m =
Đặt t = 2 ( t  0) ta được: m =

t+3
t2 +1

= f (t),

2x + 3
4x + 1


lại có f ' ( t ) =

t2 +1 −

t ( t + 3)

t +1
2

t2 +1 =

(

1 − 3t
t2 +1

)

3

1
Và f ' ( t ) = 0  t = , lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên, suy ra 3  m  10
3

là giá trị cần tìm.
Câu

8

(5

x 2 − 2x

(GV

− 3.2x

2

− 2x

).5

x 2 − 2x

Trần

 −22x

2

− 4x +1

Minh

Tiến

2018)cho

bất

phương

trình

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

(

) (

)

A. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là T = −;1 − log 2 5  1 + log 2 5; +  ( 0; 2 )
B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm
C. Tập xác định của bất phương trình đã cho là ( 0; + )
D. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Đáp án A

(

Bất phương trình 5x
2x 2 − 4x

5

− 3.2

2

x 2 − 2x x 2 − 2x

5

− 2x

− 3.2x

 −2

2

− 2x

2x 2 − 4x +1

).5

x 2 − 2x

5
 
2

 −22x
2x 2 − 4x

2

− 4x +1

tương đương với:

5
− 3 
 2

x 2 − 2x

 −2

 5  x − 2x
 
2
2x 2 − 4x
x 2 − 2x
5
5
 2 
 
− 3 
+20 
x 2 − 2x
2
2
5




1
 2 
2

5
+ Trường hợp 1:  
2

x 2 − 2x

5
+ Trường hợp 2:  
2

x 2 − 2x

 1  x 2 − 2x  0  0  x  2

 2  x 2 − 2x  log 5 2  ( x − 1)  log 5 2 + 1
2

2

2

 x  1 + log 5 2 + 1


2

 x  1 − log 5 2 + 1

2

Xét phương án A thì theo cách giải trên, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

(

) (

)

T = −;1 − log 2 5  1 + log 2 5; +  ( 0; 2 ) nên phát biểu này đúng.
Phương án B sai vì tập nghiệm của bất phương trình là:


(

) (

)

T = −;1 − log 2 5  1 + log 2 5; +  ( 0; 2 )
Phương án C sai vì tập nghiệm của bất phương trình là:

(

) (

)

T = −;1 − log 2 5  1 + log 2 5; +  ( 0; 2 )
Câu 9

B = log 4

(GV Trần Minh Tiến 2018) Tìm giá trị của biểu thức sau

(

3

)

7 − 3 3 + log 4

(

3

)

49 + 3 21 + 3 9 ?

B. −2

A. −1

C. 2

D. 1

Đáp án D
Ta dễ thấy được

B = log 4
= log 4

(

Câu 10

3

(

3

)

7 − 3 3 + log 4

) ( 7)

7−33 


3

2

(

3

)

49 + 3 21 + 3 9 = log 4

+ 3 7. 3 3 +

(

3

7−33

)(

3

49 + 3 21 + 3 9

)

( 3 )  = log ( 7 ) − ( 3 )  = log 4 = 1
3

2

3

3

3

3

4

4

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho các khẳng định ở bên dưới:

1) Cơ số của logarit phải là số nguyên dương
2) Chỉ số thực dương mới có logarit
3) ln ( A + B) = ln A + ln B với mọi A > 0, B > 0.
4) loga b.log b c.log c a = 1 , với mọi a, b, c 
Số khẳng định đúng là?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án A

Cơ số của logarit phải là số dương khác 1
Do đó 1) sai. Rõ ràng 2) đúng theo lý thuyết SGK. Ta có ln A + ln B = ln ( A.B) với mọi
A  0, B  0

Do đó 3) sai. Ta có log a b.log bc.log c a = 1 với mọi 0  a, b,c  1 . Do đó 4) sai. Kết luận chỉ
có khẳng định 2) đúng.
Câu 11 (GV Trần Minh Tiến 2018): Cho a, b là các số thực dương và a  1. Khẳng định
nào sau đây là khẳng định đúng?
A. log

(a

2

a

C. log

(a

2

a

Đáp án C

+ ab ) = 4 + 2 log a b

B. log

(a

2

a

+ ab ) = 4 log a ( a + b )

+ ab ) = 2 + 2 log a ( a + b )

D. log

(a

2

a

+ ab ) = 1 + 4 log a b


Ta dễ có log

a

(a

2

+ ab ) = log 1 a ( a + b ) = 2log a a ( a + b ) = 2 log a a + log a ( a + b )

2
a

= 2loga a + 2loga ( a + b ) = 2 + 2loga ( a + b )
.
(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho ba số a, b, c dương khác 1 thỏa mãn

Câu 12

logb c = x2 + 1 , log a2 b3 = log 3 c a = x và biểu thức Q = 24 x 2 − 2 x − 1997 . Chọn khẳng định
đúng nhất trong các khẳng định sau?
Q  −1999
A. 
.
Q  −1985

Q  −1999
B. 
.
Q  −2012

Q  −1979
C. 
.
Q  −1982

Q  −1985
D. 
.
Q  −1971

Đáp án C.

(

)

Hướng dẫn giải: Ta có logb c = 2 x2 + 1 , loga2 b3 = x  loga b =

 logb c =

(

)

9
9
do đó mà 2 x2 + 1 = 2  x = 
2
4x
4x

4x
x
,logc a = ,
3
3

2 −2
.

4

Thay vào biểu thức ban đầu tâ chọn được phương án đúng. Bài toán chủ yếu là ta đi tìm được

x mà không phải giải ra các ẩn là a, b, c mấu chốt là ở đó.
Câu 13
ln

(

(GV Trần Minh Tiến 2018) Điều kiện của bất phương trình

x2 + 2x + 5 − 2

A. ( −1;0 ) .

)

1
 x−2
log 2017 

 x 

 0 là?

B. ( −; −1)  (1; + ) . C. ( −;0) \ −1 .

D. ( −;0)  (1; + ) .

Đáp án C.
Hướng dẫn giải: Bất phương trình ln

(

x2 + 2x + 5 − 2

)

1
 x−2
log 2017 

 x 

khi:

 x  0, x  −1


 x2 + 2 x + 5 − 2  0    x  0
 x  0, x  −1  x  0


   −2  1(!)  

x  0
x  0
x  1
x−2


x

0


1
 2
  −2  1
Kết luận điều kiện của bất phương trình đã cho là D = ( −; 0) \ −1 .

xác định khi và chỉ


(GV Trần Minh Tiến 2018): Với các số thực dương a, b, c bất kỳ. Mệnh đề nào

Câu 14

dưới đây là sai?
A. ln

a
= ln a − ln bc .
bc

B. ln ( abc ) = ln a + ln bc .

C. ln

1

= ln a − ln bc .
abc

D. ln

ab
b
= ln a + ln .
c
c

Đáp án C.
Hướng dẫn giải: Dễ thấy được ln

1
= ln1 − ln abc = − ln abc .
abc

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho a, b, x, y là các số thực dương và khác 1. Mệnh

Câu 15

đề nào dưới đây là đúng?
A. loga ( x + y ) = loga x + loga y .

B. logb a.log a x = logb x .

1
1
=

.
x log a x

C. log a

D. log a

x log a x
=
y log a y

Đáp án B.
Hướng dẫn giải: Ta có log a x + log a y = log a xy  A sai. log a x − log a y = log a
log a

x
 D sai,
y

1
= − log a x  C sai, logb a.log a x = logb x  B đúng.
x

Câu 16 (GV Trần Minh Tiến 2018): Cho a, A, B, M , N là các số thực với a, M , N dương
và khác 1. Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu dưới đây?
1) Nếu C = AB với AB  0 thì 2ln C = ln A + ln B .
2) ( a −1) loga x  0  x  1 .
3) M loga N = N loga M .
A. 1 .



4) lim  log 1 x  = − .
x →+
 2 

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án C.
Hướng dẫn giải: Nếu C = AB với AB  0 thì 2ln C = ln A + ln B .
Do

đó

1)

( a − 1) log

a

sai.

Với a  1

thì ( a − 1) loga x  0  loga x  0  x  1.

x  0  loga x  0  x  1 . Do đó 2) đúng.

Láy lôgarit cơ số a hai vế của M

loga N

=N

loga M

, ta có:

Với 0  a  1thì


(

loga M

loga N

) = log ( N

loga M

a


lim  log1
x →+ 


2

Ta có

)  log N.log M = log M.log N . Do đó 3) đúng.
a

a

a

a


x  = lim  − log2 x  = − lim ( log2 x ) = −
 x→+
x →+


Do đó 4) đúng. Kết luận ta có các phát biểu 2), 3) và 4) đúng.
Câu 17

(GV Trần Minh Tiến 2018) Tính chính xác giá trị của biểu thức

)

(

P = log a a. 3 a a với 0  a  1 ?

A. P =

1
.
3

B. P =

3
.
2

C. P =

2
.
3

D. P = 3 .

Đáp án D.
1

1 3


 23  3
3



2
Hướng dẫn giải: Ta có: P = log a a.  a.a  = log a  a  = log a a = .
 

2
 
  2



Câu 18

(GV Trần Minh Tiến 2018)Cho ba số thực dương a,

b, c khác 1. Đồ thị các hàm số y = log a x, y = b x , y = c x được
cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. b  c  a

B. a  b  c

C. c  a  b

D. c  b  a

1

1

Đáp án D.
* Hướng dẫn giải: Hàm số y = c x là hàm nghịch biến nên

0  c  1.
Hàm số y = b x là hàm đồng biến nên b  1
Hàm số y = log a x là hàm đồng biến nên a  1 . Lấy đối xứng đồ thị hàm y = log a x qua
đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng toạ độ ta có đồ thị hàm số y = a x tăng nhanh hơn đồ
thị hàm số y = b x nên a  b
Câu 19

(GV Trần Minh Tiến 2018) Xét các số thực a , b thỏa mãn a  b  1. Biết rằng

biểu thức P =
đúng?

1
a
+ log a
đạt giá trị lớn nhất khi b = a k . Khẳng định nào sau đây
log ab a
b


3 
B. k   ; 2 
2 

A. k  (2;3)

C. k  (−1;0)

 3

D. k   0; 
 2

Đáp án D.
* Hướng dẫn giải: Ta có
P=

1
a
+ log a = log a ab + 1 − log a b = 1 + log a b + 1 − log a b
log ab a
b

Khi b = a k  P = 1 + k + 1 − k . Đặt t = 1 − k . Với k  1
2

9
 1 9 9
 P = −t + t + 2 = −  t −  +   Max P = .
4
 2 4 4
2

Đẳng thức xảy ra  t =

1
3  3
 k =   0; 
2
4  2

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới

Câu 20

đây là mệnh đề đúng với mọi số thực dương x , y ?
A. log a

x log a x
=
y log a y

B. log a

x
= log a ( x − y )
y

C. log a

x
= log a x + log a y
y

D. log a

x
= log a x − log a y
y

Đáp án D. log a

x
= log a x − log a y
y
1

1
 1+ 1
2
3log 2 2
2log 4 x
x
(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho hàm số f ( x) =  x
+8
+ 1 − 1 với





Câu 21

0  x  1. Tính chính xác giá trị biểu thức P = f ( f ( 2017 ) ) ?

A. 2016

B. 1009

C. 2017

Đáp án C.
1
1+
 1+ 2log1 x
log 2 x
4
=x
= x1+log x 2 = x log x ( 2 x ) = 2 x
x
* Hướng dẫn giải Ta có  1
1
1
3
2
 3log x2 2
3log 2 2
log 2 2
x
=2
= 2 x = 2log2 x = x 2
8

1
2

1
2

Khi đó f ( x ) = ( x + 2 x + 1) − 1 = ( x + 1)  − 1 = x . Suy ra



2

2

f ( 2017 ) = 2017  f ( f ( 2017 ) ) = f ( 2017 ) = 2017

D. 1008


(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho a , b là các số thực dương khác 1 và thỏa mãn

Câu 22

ab  1 . Rút gọn biểu thức P = ( loga b + logb a + 2)( loga b − logab b ) logb a − 1?

A. P = logb a

B. P = 1

D. P = log a b

C. P = 0

Đáp án D.


1
Hướng dẫn giải: Có được P = ( log a b + logb a + 2 ) .  log a b −

 .logb a − 1
1 + logb a 


( t + 1) . 1 t − 1 = t + 1 − 1 = 1 = log b
 1  1 1 
⎯⎯⎯→  t + + 2  −
a
 t −1 =
t
t ( t + 1)
t
t
 t
 t t + 1 
2

t = logb a

Câu 23

1 
(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho ba số thực a, b, c ∈  ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
4 

 1
 1
 1
Pmin của biểu thức: P = log a  b−  + log b  c−  + log c  a −  ?
 4

 4
 4
B. Pmin = 6.

A. Pmin = 3.

D. Pmin = 1.

C. Pmin = 3 3.

Đáp án: B.
2

1 
1
1
1 
▪ Hướng dẫn giải: Với mọi x   ;1 ta có x 2 − x + =  x −   0  x 2  x − .
4 
2
4
4 

 1
Lấy logarit 2 vế, ta được log t x 2  log t  x − 
4

Áp dụng ta được:

(với t  ( 0;1) ).

 1
 1
log a  b −   log a b 2 = 2 log a b, log b  c −   log bc 2 = 2 log bc
 4
 4

và

 1
log c  a −   log c a 2 = 2 log c a .
 4
Kết luận P  2 log a b+ log b c+ log ca   2.3 3 log a b.log bc.log ca = 6.
Câu 24
5
 2
 t + 2 t+ 
4


(GV Trần Minh Tiến 2018)Tập nghiệm của bất phương trình
t 2 − t −1

3t − 4

5

  t2 + 2 t+ 
4


là?

A. ( −;1  3; + ) .

−2 − 3   −2 + 3 
;1  3; + ) .
B.  −;

2  
2



−2 − 3   −2 + 3 
;1  3; + ) .
C.  −;

2   2





−2 − 3   −2 + 3 
;1  ( 3; + ) .
D.  −;
  
2
2


 


Đáp án: C.
▪ Hướng dẫn giải:
Ta phân tích như sau: t 2 + 2 t +

5
1
1 1
2
= ( t 2 + 2 t + 1) + = ( t + 1) +  ,  t  .
4
4
4 4

Ta chia thành các trường hợp:

 −2 + 3
t =
5
1
2
2
2
. Khi đó, tập nghiệm của bất phương
✓ TH1: t + 2 t + = 1  t + 2 t + = 0  
4
4

 −2 − 3
t =

2
 −2 − 3 −2 + 3 
;
trình đã cho trong trường hợp 1 là T1 = 
.
2 
 2

t 
t 2 + 2 t + 1  0

1 2
5

   −2 − 3 −2 + 3 
✓ TH2:  t + 2 t +  1   2
1
;
4
4

t + 2 t +  0
 t  
2
2

4




 −2 − 3 −2 + 3 
 t  
;
.
2
2 


Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương:

t 2 − t − 1  3t − 4  t 2 − 4 t + 3  0  t  1;3.
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 2 là: T2 = .
✓ TH3: t 2 + 2 t +



5
1
−2 − 3   −2 + 3
 1  t 2 + 2 t +  0  t   −;
; +  .
  
4
4
2  
2




Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương:

t 2 − t −1  3t − 4  t 2 − 4 t + 3  0  t  ( −;1  3; + ) .
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp 3 là:

−2 − 3   −2 + 3 
T3 =  −;
;1  3; + ) .

2  
2



Kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:




 −2 − 3 −2 + 3 
−2 − 3   −2 + 3 
T = T1  T2  T3 = 
;
;1  3; + ) 
  
      −;

2 

2  
2
 2




−2 − 3   −2 + 3 
=  −;
;1  3; + ) .

2   2



Kết luận đáp án chính xác ở đây là đáp án C. Bổ sung thêm: Một số học sinh nhầm lẫn về
kiến thức nên chỉ làm một trường hợp 3 và vội vàng kết luận mà không kết hợp với điều
kiện của trường hợp 3. Nên khoanh đáp án A. Một số học sinh chỉ làm trường hợp 3 và có
kết hợp với điều kiện xảy ra trường hợp 3. Nên khoanh đáp án B. Một số học sinh không
để ý đến dấu của phương trình đã cho và chỉ giải một trường hợp 3. Nên khoanh đáp án D
và đã sai lầm.
Câu

25

(GV

Trần

Minh

Tiến

2018)

Cho

bất

log 1 ( 9x − 3x +3 + 16 )  log 2 ( 4x − 3) (*) . Điều kiện của bất phương trình

phương

trình:

(*) là?

2

A. ( log4 3;log3 4)  ( log3 4; + ) .

B. ( −;log3 4)  ( log3 4; + ) .

C. ( log4 3;log3 4) .

D. log 4 3; + ) .

Đáp án: A.
▪ Hướng dẫn giải: Điều kiện của bất phương trình

x
x +3

9 − 3 + 16  0 (1)
(*) là:  x
.

4 − 3  0

Ta giải 2 bất phương trình mũ (1) , ( 2) : Bất phương trình

(1): Đặt ẩn phụ: t = 3x , t  0.

Khi đó (1)  t 2 − 8t + 16  0  t  ( −;4)  ( 4; + ) .
Vì t  0 nên ta được t  ( 0;4)  ( 4; + ) .
Suy ra:
x

x 
3  0
x
x

3

0;
4

(
)

0

3

4



log3 4
x
3x  ( 0; 4 )  ( 4; + )   x
 x
 
   x  log3 4
3  3
3  ( 4; + )
3  4
 x
log3 4
 x  log3 4

3  3

 x  log3 4

 x  log3 4

(vì 3  1 nên 3x  3y  x  y,  x, y  , theo tính chất của lũy thừa với

số mũ thực).

Bất phương trình ( 2) : ( 2)  4x  3  4x  4log4 3  x  log 4 3
 x  y,  x, y 

). Kết luận D = ( log4 3;log3 4)  ( log3 4; + ) .

(vì 4  1 nên 4x  4y


Vậy đáp án A là đáp án chính xác. Một số học sinh chỉ tìm điều kiện của 1 trong 2 biểu

(

)

(

)

thức log 1 9x − 3x +3 + 16 ,log 2 4x − 3 nên lần lượt dẫn đến đáp án B, C.
2

Một số học sinh đặt sai điều kiện biểu thức trong lôgarit, ví dụ: 9x − 3x +3 + 16  0, 4x − 3  0
nên dẫn đến đáp án D. Đó là những điều sai lầm rất đáng tiếc.
(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho biết các điều kiện của biểu thức tồn tại, kết quả

Câu 26

rút gọn của biểu thức: A = ( log 3b a + 2 log b2 a + log b a ) ( log a b − log ab b ) − log b a là?
C. 3.

B. 1.

A. 0.

D. 2.

Đáp án: B.
▪ Hướng dẫn giải: Dễ thấy A = ( log 3b a + 2 log b2 a + log b a ) ( log a b − log ab b ) − log b a
1
1 
2
= log b a ( log b a + 1) 
−
 − log b a
 log b a log b ab 

1
1
2
2
= log b a ( log b a + 1) 
 − log b a = log b a(log b a + 1) .
log b a(log b a + 1)
 log b a − log b a + 1 

= log b a + 1 − log b a = 1.
Câu 27 (GV Trần Minh Tiến 2018) Nếu log3t = 4log3x + 7log3 y− log3 3 x thì t bằng?
−

11

11

3

x3
B. 7 .
y

x 3
A. 7 .
y

11
3

x 11
C. 7 .
y

D. x y7 .

Đáp án: D.
▪ Hướng dẫn giải: Ta có:
1
3

4log3 x + 7 log3 y− log3 x = log3 x + log3 y − log3 x = log3
4

3

7

x 4 y7
x

11
3

1
3

11
3

= log3 x . y7
11
3

Do đó mà: log3 t = 4log3 x + 7 log3 y− log3 x = log3 x . y .  t = x . y 7
3

Câu 28

7

(GV Trần Minh Tiến 2018): Nếu log 7 x = 8log 7 ab 2 − 2 log 7 a 3b

( a, b  0)

bằng?
A. a 4 b6 .

B. a 2 b14 .

C. a 6 b12 .

D. a 8 b14 .

Đáp án: B.
▪ Hướng dẫn giải:
Ta có: log 7 x = 8log 7 ab 2 − 2 log 7 a 3b = 2 log 7a 4 b8 − 2 log 7a 3b = 2 log 7ab 7  x = a 2b14 .

thì x


Câu 29 (GV Trần Minh Tiến 2018)Cho bất phương trình 4 x + 4 x + 2 + 4 x +3  5x + 5x + 2 + 5x +3
(1). Tập nghiệm của bất phương trình

(1) là ?


151
B.  −;log 4

5 81 





151
A. log 4
; + 
 5 81




151
C.  log 4
; + 
 5 81



151 
D.  −;log 4

5 81 


Đáp án A
Hướng dẫn giải: Ta có: (1)  4x + 16.4x + 64.4x  5x + 25.5x + 125.5x
x

151
 4  151
.
 81.4  151.5    

 x  log 4
81
5
5 81
x

x

Kết luận tập nghiệm bất phương trình



151
(1) là T = log 4
; +  .
 5 81


Vậy đáp án chính xác ở đây là đáp án A.
(GV Trần Minh Tiến 2018): Với x  ( −;0)  ( 0; + ) là điều kiện của bất

Câu 30

phương trình nào ?
x+2

x +3

1+ 3
x+

1+ 3
+
7 2
5

A. 3

−6

C. 3x +

1
2
− log x 2 
x
5
2
x

x

x

 2 − 5   2 + 5  1+ 7
B. 
 + 
 
5
 4   4 

D.

x

 3+ 5   3− 5 
1+ 5
x
x
0

 + 
 + 9 + 4 −
4
 7   7 

Đáp án C
Hướng dẫn giải:
Cách thứ nhất, ta có thể loại nhanh các đáp án A, B, D vì tập xác định của chúng đều là

D=

.

Cách thứ hai, điều kiện bất phương trình ở Câu 30à:
5 x  0
 x 2  0  x  0  x  ( −;0 )  ( 0; + ) .
 2
 x  0

Câu 31

(GV Trần Minh Tiến 2018) Một bạn giải bất phương trình lôgarit

log7 ( 2 x −1)( 3x − 2)( 4 x − 5)  log7 (3x − 2 )( 4 x − 5)
✓ Bước 1:

(1) như sau :


 1 2 4

x   ;    ; + 

( 2 x − 1)( 3x − 2 )( 4 x − 5 )  0
 2 3 5

1 2 4


 x   ;    ; +  .

2 3 5

( 3x − 2 )( 4 x − 5 )  0
 x   −; 2    5 ; + 




 

3 4


1 2 4

✓ Bước 2: Điều kiện xác định là : x   ;    ; +  .
2 3 5

✓ Bước 3:
(1)

 log7 ( 2 x −1) + log7 ( 3x − 2) + log7 ( 4 x − 5)  log7 ( 3x − 2) + log7 ( 4 x − 5)

 log7 ( 2 x −1)  0  2 x −1  1  x  1 .
✓ Bước 4 : Tập nghiệm của bất phương trình

1 2 4 
(1) là : T=  ;    ;1 . Bài giải trên
2 3 5 

sai từ bước nào ?
A. Bước 1

B. Bước 2

C. Bước 3

D. Bước 4

Đáp án C

Hướng dẫn giải: Bước thứ 3 sai vì điều kiện xác định của bất phương trình

1 2 4

x   ;    ; +  . Nên khi
2 3 5


(1) là

x = 1 thì 4x − 5 = 4.1 − 5 = −1  0 nên không tồn tại

log7 ( 4 x − 5) , học sinh đã sai lầm ở bước này. Vậy đáp án chính xác là đáp án C.
Câu 32

(GV Trần Minh Tiến 2018) Nếu a = log30 3 và b = log30 5 thì ?

A. log301350=2a+b+1

B. log301350=2a+b+2

C. log301350=a+2b+1

D. log301350=a+2b+2

Đáp án A
Hướng dẫn giải:

log301350=log30 ( 9.5.30) = log30 9+log30 5 + log30 30 = 2log30 3+log30 5 + 1 = 2a+b+1
Câu 33

(GV Trần Minh Tiến 2018) Cho ba điểm A ( b;loga b ) , B ( c;2loga c ) ,

C ( b;3loga b ) với 0  a  1 , b > 0, c > 0. Biết B là trọng tâm của tam giác OAC với O là gốc
tọa độ. Tính chính xác giá trị của S=2b+c ?
A. S = 9

B.S = 7

C. S = 11

Đáp án A
Hướng dẫn giải: Vì B là trọng tâm của tam giác OAC nên ta có

D. S = 5


0 + b + b
=c
 3
b + b = 3c
2b = 3c



4 log a b = 6 log a c
2 log a b = 3log a c
 0 + log a b + 3log a b = 2 log c
a


3
27

b=

2
b
=
3
c
2
b
=
3
c



8
c 0

 2
⎯⎯→
 S = 2b + c = 9 .

2
3
3
b = c
log a b = log a c

c = 9

4
Câu 34 (GV Trần Minh Tiến 2018): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a 2 = bc .
Tính S = 2ln a − ln b − ln c ?

 a 
A. S = 2 ln  
 bc 

 a 
C. S = −2 ln  
 bc 

B. S = 1

D. S = 0

Đáp án D
Hướng dẫn giải: Ta có S = 2ln a − ( ln b + ln c ) = ln a 2 − ln ( bc ) = ln ( bc ) − ln (bc ) = 0 .
(GV Trần Minh Tiến 2018)Cho a là số thực dương khác 1. Xét hai số thực x1, x2.

Câu 35

Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?
A. Nếu a x1  a x2 thì ( a − 1)( x1 − x2 )  0 .

B. Nếu a x1  a x2 thì ( a − 1)( x1 − x2 )  0 .

C. Nếu a x1  a x2 thì x1  x2 .

D. Nếu a x1  a x2 thì x1  x2 .

Đáp án A
•

Hướng dẫn giải: Nếu 0 < a < 1 thì x1 > x2 . Nếu a > 1 thì x1 < x2 . Từ đây suy ra

(a - 1)(x1 - x2 )< 0 . Vậy là hoàn thành xong bài toán.
(GV Trần Minh Tiến 2018) Tập nghiệm của phương trình log 2 ( x 2 − 1) = log 2 2 x

Câu 36
là?

1 + 2 
A. 

 2 



B. 2;4

C. 1 − 2;1 + 2





D. 1 + 2



Đáp án D
•

Hướng

dẫn

giải:

Điều

kiện

x > 1.

Ta

có

phương

trình

đã

cho

é x = 1+ 2
Û x 2 - 1 = 2 x Û x 2 - 2 x - 1 = 0 Û êê
êëx = 1- 2 (1)
•

Bổ trợ kiến thức: Dùng chức năng CALC của máy tính VINACAL 570ES PLUS II
để giải nhé! Đơn giản các em nhập vào máy tính: log 2 (x 2 - 1)- log 2 2 X và bấm


CALC X = 1+

2 khi đó ta dễ dàng thấy được log 2 (x 2 - 1)- log 2 2 X = 0 và chọn

nhanh được phương án đúng.
Đây là những phương trình cơ bản nên khuyến khích các em giải tay để nhanh chóng ra kết

quả chính xác, tuy nhiên nếu gặp một phương trình phức tạp hơn mà máy tính có thể xử lí
được thì các em hãy để cho máy tính hỗ trợ cho ta xử lí các vấn đề về tính toán. Bài toán có
cách giải và hướng tư duy giải tương tự giống như bài số 01 đề kiểm tra 15 phút lần 2 học kì
1. Trích sách “100 đề kiểm tra trắc nghiệm Toán lớp 12”
Câu 37 (GV Trần Minh Tiến 2018): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương
trình 4

x +1+ 3− x

A. m  −32

−14.2

x +1+ 3− x

+ 8 = m có nghiệm?

B. −41  m  32

C. m  −41

D. −41  m  −32

Đáp án D
•

Hướng dẫn giải: Đặt t =

[- 1;3]. Ta có f ¢(x) =

x + 1 + 3 - x . Xét hàm số f (x)=

x + 1 + 3 - x trên

1
1
, f ¢(x) = 0 Û x = 1
2 x + 1 2 3- x

Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên của hàm số f (x) trên [- 1;3]. Từ đó suy ra

t Î éê2; 2 2 ù
. Khi đó ta có phương trình: 4t - 14.2t + 8 = m
ú

ë
û
Đặt a = 2t , do t Î éê2; 2 2 ù
nên a Î
ú
ë
û

é4; 4 2 ù. Ta có phương trình a 2 - 14a + 8 = m .
êë
ú
û

Xét hàm số g (a)= a2 - 14a + 8, g ¢(a)= 2a - 14, g ¢(a)= 0 Û a = 7
Lập bảng biến thiên của hàm số g (a)trên éê4; 4 2 ù
. Từ bảng biến thiên ta thấy để
ú
ë
û
phương trình có nghiệm thì - 41 £ m £ - 32


Câu 38

P=

(GV Trần Minh Tiến 2018) Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 . Biết rằng

1
a

+ log a đạt giá trị lớn nhất khi b = a k . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
log (ab) a
b

đúng?
 3
A. k   0;  .
 2

3 
C. k   ; 2  .
2 

B. k  ( −1;0 ) .

D. k  ( 2;3) .

Đáp án: A.
▪ Hướng dẫn giải: Ta có được:
P=

1
a
+ log a = log a (ab) + 1 − log a b = 1 + log a b + 1 − log a b .
log (ab) a
b

Khi b = a k  P = 1 + k + 1 − k .
2

 1 9 9
Đặt t = 1 − k (k  1) , ta được P = − t + t + 2 = −  t −  +  .
 2 4 4
2

Dấu “=” xảy ra  t =

1
3  3
 k =   0;  .
2
4  2

▪ Bổ trợ kiến thức: Ta chọn a = 2  b = 2k . Khi đó P =

Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f (X) =

1
log 2.2X

1
log 2.2k 2

+ log 2

2
.
2k

Start = −1

2

+ log 2 X với End = 3 .
2
2
Step = 0, 2


 3
Dựa vào bảng giá trị dễ dàng thấy được k   0;  thì f (X) lớn nhất.
 2


Câu 39

(GV Trần Minh Tiến 2018) Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1. Tìm giá trị

a
nhỏ nhất của biểu thức P = log 2a (a 2 ) + 3log b   ?
b
b
A. Pmin = 19 .

C. Pmin = 14 .

B. Pmin = 13 .

D. Pmin = 15 .

Đáp án: D.

2


a 
a
▪ Hướng dẫn giải: Ta có được P = log ( a ) + 3log b   =  2log a a  + 3log b   =
b 
b
b 
2
a
b

2

2

2




 a 
a
a
= 4 log a  .b   + 3log b   = 4 1 + log a b  + 3log b   .
b
b
b 
 b  b 


Đặt t = log a b  0
b

3
3
2
(vì a  b  1). Khi đó P = 4 (1 + t ) + = 4t 2 + 8t + + 4.
t
t

3
1
Xét hàm f (t) = 4 t 2 + 8t + + 4 trên ( 0; + ) , ta được P = f (t)  f   = 15 .
t
2

▪ Bổ trợ kiến thức: Cho b = 1,1 và coi a là X.
2
Start = 1,1


X

2
Dùng MODE7 khảo sát f (X) =  log x ( X )  + 3log1,1   với End = 3 .


 1,1 
Step = 0,1

 1,1



Quan sát bảng giá trị, ta thấy f (X) nhỏ nhất bằng 15 khi X = 1, 3 .
Câu 40 (GV Trần Minh Tiến 2018): Nghiệm của phương trình 9 x − 4.3x − 45 = 0 là?
A. x = 2 .
Đáp án: A.

B. x = 3 .

C. x =

1
.
2

D. x =

1
.
3


3x = −5
▪ Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta có được 9 x − 4.3x − 45 = 0  x
 x = 2.
3 = 9

▪ Bổ trợ kiến thức: Dùng chức năng CALC của máy tính

(VINACAL 570ES PLUS II) để

giải nhé ! Đơn giản các em nhập vào máy tính: 9 x − 4.3x − 45 và bấm CALC X = 2 khi đó ta
dễ dàng thấy được 9 x − 4.3x − 45 = 0 và chọn nhanh được phương án đúng.

Đây là những phương trình cơ bản nên khuyến khích các em giải tay để nhanh chóng ra kết
quả chính xác, tuy nhiên nếu gặp một phương trình phức tạp hơn mà máy tính có thể xử lí
được thì các em hãy để cho máy tính hỗ trợ cho ta xử lí các vấn đề về tính toán.
Câu 41 (GV Trần Minh Tiến 2018): Tập nghiệm của phương trình log 2 (5x 2 − 21) = 4 là?





A. − 5; 5 .

B. −5;5 .

C. − log2 5;log2 5 .

D.  .

Đáp án: A.
▪ Hướng dẫn giải: Dễ dàng có: log

2

(5x

2

− 21) = 4  5x 2 − 21 = 24 = 4  x =  5 .

▪ Bổ trợ kiến thức: Dùng chức năng CALC của máy tính
giải nhé ! Đơn giản các em nhập vào máy tính: log
X = 5; − 5 khi đó ta dễ dàng thấy được log

phương án đúng.

2

( 5X

2

(VINACAL 570ES PLUS II) để
2

( 5X

2

− 21) − 4 và bấm CALC

− 21) − 4 = 0 và chọn nhanh được


Đây là những phương trình cơ bản nên khuyến khích các em giải tay để nhanh chóng ra kết
quả chính xác, tuy nhiên nếu gặp một phương trình phức tạp hơn mà máy tính có thể xử lí

được thì các em hãy để cho máy tính hỗ trợ cho ta xử lí các vấn đề về tính toán.
Câu 42 (GV Trần Minh Tiến 2018): Tập nghiệm của bất phương trình

1
1
+
2
2 − ln x ln x

là?
A. ( −;0 )  (1;e )  ( e 2 ; + ) .

B. (1;e 2 ) \ e .

C. ( −;e )  ( e 2 ; + ) .

D. ( −;1) .

Đáp án: B.
▪ Hướng dẫn giải: Tập xác định: D = ( 0; + ) \ e 2 ;1 .
+ Trường hợp 1: Với 0  ln x  2  1  x  e 2 ta có:

1
1
+
2
2 − ln x ln x

 2  2 ln x ( 2 − ln x )  ( ln x −1)  0  ln x  1  x  e .
2

Trường hợp này bất phương trình có nghiệm (1;e 2 ) \ e .
+ Trường hợp 2: Với ln x  0 hoặc ln x  2

(hay x  1 hoặc x  e 2 ) ta có

1
1
2
+
 2  2  2 ln x ( 2 − ln x )  ( ln x −1)  0 vô lý. Trường hợp này bất
2 − ln x ln x

phương trình vô nghiệm. Tóm lại: bất phương trình có nghiệm (1;e 2 ) \ e .
▪ Bổ trợ kiến thức: Các em có thể dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS II để giải nhanh
các dạng toán này như sau, nhập vào máy tính:
ta thấy được

1
1
+
− 2 , bấm CALC với X = −50
2 − lnX lnX

1
1
+
− 2 không tồn tại, do đó loại nhanh được các phương án A, C, D
2 − lnX lnX

không thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Trong một số bài toán với nhiều công thức tính toán phức tạp thì việc áp dụng phương pháp
loại trừ rất quan trọng để giải quyết nhanh gọn các bài toán.

Câu 43

(GV Trần Minh Tiến 2018): Tìm tập xác định D của hàm số

y = f (x) = log 3 (x 2 + 3x + 2) ?

A. D =  −2; −1 .

B. D = ( −;2)  ( −1; + ) .

C. D = ( −2, −1) .

D. D = ( −; −2   −1; + ) .

Đáp án: B.
 x  −2
▪ Hướng dẫn giải: Điều kiện x 2 + 3x + 2  0  
. Vậy là xong bài toán!
 x  −1