232 câu số mũ và logarit từ các đề thi thử trường chuyên 2018 image marked image marked

Câu 1: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình
log 22 x + log 2 x =

A.

17
.
4

17
.
4

B.

1
.
4

C.

D.

3
.
2

1
.
2

Đáp án D.
Phương pháp giải:
+) Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai, tìm nghiệm x.
+) Áp dụng hệ thức Vi-ét của phương trình bậc hai: x1 + x 2 = − b .
+) Áp dụng công thức logarit: log a b + log a c = log a bc.
Lời giải: Ta có log 22 x + log 2 x = 17  4. ( log 2 x )2 + 4.log 2 x − 17 = 0

a

4

Đặt t = log 2 x  pt  4t 2 + 4t − 17 = 0.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : t1 + t 2

4
= −1.
4
1
 log 2 x1 + log 2 x 2 = −1  log 2 x1x 2 = −1  x1x 2 = 2 −1 = .
2
=−

Câu 2: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho a,b là hai số dương bất kì. Mệnh đề nào sau
đây là ĐÚNG?
A. ln a = b ln a.
B. ln ( ab ) = ln a.ln b.
C. ln ( a + b ) = ln a + ln b.
D. ln a = ln a .
b

b

ln b

Đáp án A.
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lôgarit cơ bản
Lời giải:
Các công thức cơ bản liên quan đến lôgarit:
ln a b = b ln a, ln ab = ln a + ln b, ln

a
= ln a − ln b.
b

Câu 3:( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( −;0.

C. 1; + ) .

B. ( 0;1.

1
 
3

2x −1



1

3

là

D. ( −;1.

Đáp án D.
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
2x −1
2x −1
1
Ta có  1   1   1    1   2x − 1  1  x  1  S = ( −;1.
3

3

3

3

Câu 4: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Gọi

S = ( a; b )

là tập tất cả các giá trị của tham số

thực m để phương trình
log 2 ( mx − 6x 3 ) + log 1 ( −14x 2 + 29x − 2 ) = 0
2

bằng

có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó hiệu

H = b−a


A.

B.

5
.
2

C.

1
.
2

D.

2
.
3

5
.

3

Đáp án B.
Phương pháp giải:
Đưa về phương trình đa thức chứa tham số, cô lập tham số, khảo sát hàm để biện luận
nghiệm
Lời giải: Điều kiện: mx − 6x3  0 .

2

−14x 29x − 2  0

Phương trình

 log 2 ( mx − 6x 3 ) = log 2 ( −14x 2 + 29x − 2 )
2
2


−14x + 29x − 2  0
14x − 29x + 2  0


3
2
3
2


mx − 6x = −14x + 29x − 2

mx = 6x − 14x + 29x − 2

1
14  x  2

.
2
2
m = 6x − 14x + 29 − (*) ( do x  0 )

x
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt  (*) có ba nghiệm phân biệt
1 
 ; 2 .
 14 
x = 1
3
2
2 12x − 14x + 2
1


f ' ( x ) = 12x − 14 + 2 =
 f '( x ) = 0  
do
 x  2 .
2
 x = 1  14
x
x



2

Xét hàm số
Ta có

1 
x   ; 2 .
 14 

f ( x ) = 6x 2 − 14x + 29 −

Bảng biến thiên
1
x
14
f’(x
)

2
x

trên khoảng

1
2

+

0

1
-

0

2
+
24

39
2

f(x)

3
19
98
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (*)có ba nghiệm phân biệt khi

Vậy
Vậy

19  m 

39
.
2

39
 39 
m  19;  = ( a; b )  a = 19; b = .
2 
2

39
1
b−a =
− 19 = .
2
2

Câu 5: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương
2
2
2
trình 2sin x + 3cos x = m.3sin x có nghiệm?
A. 7.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Đáp án B.
Phương pháp giải: Cô lập tham số m, đưa về khảo sát hàm số để biện luận nghiệm của
phương trình


Lời giải:
sin x
Ta có 3sin x + 3cos x = m.3sin x + 31−sin x = m.3sin x  m =  2  + 31−2sin x

2

2

Đặt

3

2

t = sin 2 x  0;1 ,

Xét hàm số

2

2

khi đó (*) trở thành:
t

2
1
f ( t ) =   + 3.  
3
 3

2t

(*).

2

 
3
t
t
2t
2
2
1
m =   + 31− 2t =   + 3   .
3
3
3

trên 0;1 , có

t

2
2
1
f ' ( t ) =   .ln + 6.  
3
3
 3

2t

.ln

1
 0.
3


min f ( t ) = f (1) = 1
là hàm số nghịch biến trên  0;1  
.

max f ( t ) = f ( 0 ) = 4
Do đó, để phương trình m = f ( t ) có nghiệm  1  m  4.
Lại có m  Z  M 1;2;3;4
Suy ra

f (t)

Câu 6: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn u n = u n −1 + 6, n  2
và log 2 u 5 + log 2 u 9 + 8 = 11. Đặt Sn = u1 + u 2 + ... + u n . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn
Sn  20172018.
A. 2587.
Đáp án C.

B. 2590.

C. 2593.

D. 2584.

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng và tổng cấp số cộng.
Lời giải: Điều kiện: u 5  0  u1 + 4d  0 .
u 9 + 8  0

u1 + 8d + 8  0

u n = u n −1 + 6, n  2  ( u n )

Ta có
Lại có:

log 2 u 5 + log

2

là cấp số cộng với công sai

d = 6.

u 9 + 8 = 11  log 2 u 5 + log 2 ( u 9 + 8 ) = 11  log 2 
u5 ( u9 + 8)
 = 11

 u5 ( u9 + 8) = 2  ( u1 + 4d )( u1 + 8d + 8) = 211  ( u1 + 24)( u1 + 56) = 2048
11

u1 = 8 ( tm )
 u12 + 80u1 − 704 = 0  
.
u1 = −88 ( ktm )

Do đó
Vậy

Sn = u1 + u 2 + ... + u n =

n
 2u1 + ( n − 1) d 


=

n (16 + 6 ( n − 1) )

= 3n 2 + 5n.
2
 n  2592, 234
Sn  20172018  3n 2 + 5n − 20172018  0  
 n min = 2593.
 n  2593, 9 ( ktm )
2

Câu 7: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1. Mệnh đề
nào dưới đây đúng
b
A. loga  3  = log a b − 3
B. log a  b =  log a b
a 
C. a log b c = b

D. log a b = log b c.log c a

Đáp án A
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức cơ bản của biểu thức chứa lôgarit
Lời giải:


1
b
Ta có: log a  3  = log a b − log a a 3 = log a b − 3 và log a b = log a b

a 
Câu 8: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Tìm số các nghiệm nguyên dương của bất phương
1
trình  
5
A. 6

x 2 − 2x

1
125



B. 3

C. 5

D. 4

Đáp án B
Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản
Lời giải:
x 2 − 2x

x 2 − 2x

3

1
1
1
1
Ta có 2  

 
    x 2 − 2x  3  x 2 − 2x − 3  0  −1  x  3
125
5
5
5
Suy ra số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 1; 2;3
Câu 9: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
log 4 ( 3.2 x − 1) = x − 1

A. −6
B. 5
C. 12
D. 2
Đáp án D

Phương pháp giải: Mũ hóa, đặt ẩn phụ đưa về giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm
Lời giải: Điều kiện: 3.2 x − 1  0  x  − log 2 3
Ta có log 4 ( 3.2x − 1) = x − 1  3.2 x − 1 = 4 x −1
 12.2 − 4 = 4  ( 2
x

x

)

x 2

(
)
(
)
2 )( 6 − 4 2 )


 x = log 2 6 + 4 2
 2x = 6 + 4 2
− 12.2 + 4 = 0  

x
 x = log 6 − 4 2
 2 = 6 − 4 2
2

x

(

)

(

)
(
− ( 4 2 )  = log


Khi đó ta có: x1 + x 2 = log 2 6 + 4 2 + log 2 6 − 4 2 = log 2  6 + 4


= log 2 6 2


2

2

4=2

Câu 10: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương

(

trình 4 log 2 x

)

2

− log 1 x + m = 0

có nghiệm thuộc khoảng

( 0;1)

2

1
1


 1
A. m   0;  B. m   ; + 
C. m   −;  D. m  ( −;0
4
4


 4
: Đáp án C
Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ, cô lập tham số m, đưa về bài toán tương giao
Lời giải:


Ta có

(

4 log 2 x

)

2

2

2
1

− log 1 x + m = 0  4  log 2 x  − log 2−1 x + m = 0  ( log 2 x ) + log 2 x + m = 0
2

2

Đặt t = log 2 x với x  ( 0;1)  t  0
Khi đó t 2 + t + m = 0  −m = t 2 + t = f ( t )
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t trên

x

0

f�� a  b  1

0  a  1  b
C. 

0  b  1  a

D. 0  b  1  a

Đáp án
Ta có log a b  0  log a b  log a 1. Xét 2 trường hợp
TH1: a  1 suy ra loga b  loga 1  b  1. Kết hợp điều kiện ta được 0  b  1  a
TH2: 0  a  1 suy ra loga b  loga 1  b  1. Kết hợp điều kiện ta được 0  a  1  b
0  a  1  b
Vậy khẳng định đúng là 
0  b  1  a
Câu 220: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Cho a  1 . Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
3

a2
A.
1
a
Đáp án B

B. a

− 3



1
a

5

1

C. a 3  a

D.

1
a

2016



1
a

Câu 221: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn
x+y
log 3 2
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy. Tìm giá trị Pmax của biểu thức
x + y 2 + xy + 2
3x + 2y + 1
P=
.
x+ y+6
A. Pmax = 0
B. Pmax = 2
C. Pmax = 1

D. Pmax = 3

2017


Đáp án C
Phương pháp:
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất
của biểu thức.
Cách giải:
x+y
log 3 2
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy (1)
x + y 2 + xy + 2
 log
 log

 log
 log

( x + y ) − log 3 ( x 2 + y2 + xy + 2 ) = x 2 − 3x + y 2 − 3y + xy
( x + y ) + 3x + 3y = log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) + x 2 + y 2 + xy
3
( x + y ) + 2 + 3x + 3y = log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) + x 2 + y 2 + xy + 2
3
( 3x + 3y ) + 3x + 3y = log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) + x 2 + y 2 + xy + 2 ( 2 )
3
3

1

+ 1  0, t  0  f ( t ) đồng biến trên
t ln 3
( 2 )  f ( 3x + 3y ) = f ( x 2 + y 2 + xy + 2 )  3x + 3 = x 2 + y 2 + xy + 2

Đặt f ( t ) = log 3 t + t, t  0  f ( t ) =

( 0; + )

 4x 2 + 4y 2 + 4xy − 12x − 12y + 8 = 0
 ( 2x + y ) − 6 ( 2x + y ) + 5 = −3 ( y − 1)  0  1  2x + y  5
2

2

2x + y − 5  0
3x + 2y + 1
2x + y − 5
= 1+
 1 , vì 
x+y+6
x+y+6
x + y + 6  0
2x + y − 5 = 0
x = 2

Vậy Pmax = 1 khi và chỉ khi 
y −1 = 0
y = 1
Câu 222: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Với các số thực dương a, b bất kì,
mệnh đề nào dưới đây đúng?

a ln a
A. ln ( ab ) = ln a + ln b
B. ln =
C.
b ln b
a
ln = ln b − ln a
D. ln ( ab ) = ln a.ln b
b
Đáp án A
Câu 223: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Số 7100000 có bao nhiêu chữ số ?
A. 85409
B. 194591
C. 194592
D. 84510

Khi đó, P =

Đáp án D
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tìm số chữ số của một số vô cùng lớn
Lời giải:
Số các chữ số của số 7100000 là log 7100000  + 1 = 100000.log 7  + 1 = 84509 + 1 = 84510

Câu 224 (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1): Xét các số thực dương x, y thỏa


x+y
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy. Tìm giá trị Pmax của biểu thức
x + y 2 + xy + 2
3x + 2y + 1

.
P=
x+ y+6
A. Pmax = 0
B. Pmax = 2
C. Pmax = 1
D. Pmax = 3

mãn log

2

3

: Đáp án C
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, từ đó đánh giá giá trị lớn nhất
của biểu thức.
Lời giải:
x+y
log 3 2
= x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy
(1)
x + y 2 + xy + 2

( x + y ) − log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) = x 2 − 3x + y 2 − 3y + xy
 log 3 ( x + y ) + 3x + 3y = log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) + x 2 + y 2 + xy
 lo g 3 ( x + y ) + 2 + 3x + 3y = log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) + x 2 + y 2 + xy + 2
 log 3 ( 3x + 3y ) + 3x + 3y = log 3 ( x 2 + y 2 + xy + 2 ) + x 2 + y 2 + xy + 2
( 2)

 log

3

1
 0, t  0  f ( t ) đồng biến trên
t ln 3
( 2 )  f ( 3x + 3y ) = f ( x 2 + y 2 + xy + 2 )  3x + 3y = x 2 + y 2 + xy + 2

Đặt f ( t ) = log 3 t + t, t  0  f ' ( t ) =

( 0; + )

 4x 2 + 4y 2 + 4xy − 12x − 12y + 8 = 0
 ( 2x + y ) − 6 ( 2x + y ) + 5 = −3 ( y − 1)  0  1  2x + y  5
2

2

2x + y − 5  0
3x + 2y + 1
2x + y − 5
= 1+
 1, vì 
x+y+6
x+ y+6
x + y + 6  0
2x + y − 5 = 0
x = 2


Vậy Pmax = 1 khi và chỉ khi 
y −1 = 0
y = 1
Câu 225: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) Tập nghiệm của phương trình
9 x+1 = 272 x+1 là
 1
 1 
A. .
B.  −  .
C. 0.
D.  − ; 0  .
 4
 4 
Đáp án B

Khi đó, P =

Câu 226: (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai)
log 1 ( x − 3)  2 là

Nghiệm của bất phương trình

2

A. 3  x 

13
.
4

B. 3  x 

13
.
4

C. x 

13
.
4

D. x 

13
.
4


Đáp án B
Câu 227: ( Chuyên Đại Học Vinh) Cho biểu thức P = x. 5 x3 với x  0 , Mệnh đề
nào dưới đây đúng?
14

A. P = x 5
Đáp án D

3

B. P = x 5

4

C. P = x 15

4

D. P = x 5

1

4
 8 2
Ta có: P = x. 5 x3 = x.x =  x 5  = x 5
 
Câu 227: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.)
Cường độ của ánh sáng I khi đi qua môi trường khác với không khí , chẳng hạn như
sương mù hay nước, ... sẽ giảm dần tùy theo độ dày của môi trường và một hằng số  gọi
là khả năng hấp thu ánh sáng tùy theo bản chất môi trường mà ánh sáng truyền đi và được
tính theo công thức I = I0 .e−x với x là độ dày của môi trường đó và tính bằng mét, I 0
là cường độ ánh sáng tại thời điểm trên mặt nước. Biết rằng nước hồ trong suốt có
 = 1, 4 . Hỏi cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần khi truyền trong hồ đó từ độ sâu
3m xuống đến độ sâu 30m
( chọn giá trị gần đúng với đáp số nhất)
A. e30 lần
B. 2, 6081.1016 lần C. e 27 lần
D. 2,6081.10−16
lần
Đáp án B

3
5

I0 e−3
= e27 2, 6081.1016 lần.
Cường độ sang giảm đi số lần là:
−30 
I0 e
Câu 228: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho các số thực a, b. Giá trị của biểu thức
1
1
A = log 2 a + log 2 b bằng giá trị của biểu thức nào trong các biểu thức sau đây?
2
2
A. a + b
B. ab
C. −ab
D. −a − b
Đáp án D
Phương pháp: Sử dụng công thức log a b m = m log a b (giả sử các biểu thức là có nghĩa)
1
1
Cách giải: A = log 2 a + log 2 b = log 2 2− a + log 2 2− b = −a − b
2
2
Câu 229: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Cho cấp số cộng ( a n ) , cấp số nhân ( bn ) thỏa mãn
a 2  a1  0, b2  b1  1 và hàm số

và f ( x ) = x3 − 3x sao cho f ( a 2 ) + 2 = f ( a1 ) và f ( log2 b2 ) + 2 = f ( log2 b1 ) . Tìm số
nguyên dương n ( n  1) nhỏ nhất sao cho bn  2018a n .

A. 20
B. 10
C. 14
Đáp án D

D. 16

Câu 230: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Ba số 1, 2, −a theo thứ tự lập thành một cấp số
nhân. Giá trị của a bằng bao nhiêu?


B. −2

A. 4

D. −4

C. 2

Đáp án A
Phương pháp giải:
Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi ac = b 2
Lời giải:
Vì ba số 1, 2, −a theo thứ tự lập thành cấp số nhân  1.a = ( −2 )  a = 4
2

Câu 231: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho một cấp số cộng

( un )

50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát u n
A. u n = 1 + 4n
B. u n = 5n
C. u n = 3 + 2n
Đáp án
Đáp án

có u1 = 5 và tổng
D. u n = 2 + 3n

Phương pháp
Sử dụng các công thức S50 =

( 2u1 + 49d ) .50 ; u
2

n

= u n + ( n − 1) d

Cách giải

( 2u1 + 49d ) .50  5150 = 25

( 2.5 + 49d )  d = 4
2
u n = u n + ( n − 1) d = 5 + ( n − 1) .4 = 1 + 4n

S50 =

Câu 232 (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3): Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương
( k, n ) biết n  20 và các số Ckn −1;Cnk ;Cnk +1 theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm
của một cấp số cộng.
A. 4

B. 2

C. 1

D. 0

Đáp án A
C kn −1 ;C nk ;C nk +1 theo thứ tự là các số hạng thứ nhất, thứ 3, thứ 5 của một cấp số cộng

 Ckn −1 + Ckn +1 = 2Ckn (1)
Vì n  k + 1  n  2
1
1
2
1
1
2
+
=

+
=
(1) 
( k − 1)!( n − k + 1)! ( k + 1)!( n − k − 1)! k!( n − k )! ( n − k )( n − k + 1) k ( k + 1) k ( n − k )
 k ( k + 1) + ( n − k )( n − k + 1) = 2 ( k + 1)( n − k + 1)

 ( 2k − n ) = n + 2 suy ra n + 2 là số chính phương, mà n  20  n = 2;7;14
2

n = 2  ( k − 1) = 1  k = 2 (loại)
2

k = 5
2
n = 7  ( 2k − 7 ) = 9  
( TM )
k = 2


k = 9
2
n = 14  ( 2k − 14 ) = 16  
( TM )
k = 5
Vậy có 4 cặp số ( n, k ) thỏa mãn là ( 7;5) , ( 7;2 ) , (14;9 ) , (14;5) .
Câu 233: (Chuyên Thái Bình - Lần 6)Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân ( u n ) là u n = u1.q n −1 , với công bội q và số hạng

đầu u1
B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
hạng đầu u1
C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

( un )

là u n = u1 + ( n −1) d, với công sai d và số

( un )

là u n = u1 + nd, với công sai d và số hạng

đầu u1
D. Nếu dãy số

( un )

là một cấp số cộng thì u n +1 =

u n + u n +2
n 
2

*

Đáp án C

( un )
u n = u1 + ( n −1) d,

Cấp số cộng

với số hạng đầu u1 , công sai d có số hạng tổng quát là

Câu 234: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Tập nghiệm của bất phương trình
32x  3x + 6 là
A. ( 0;64 )

B. ( −;6 )
C. ( 6; + )
D. ( 0;6 )
Đáp án C
PT  x + 1 = 8  x = 7
Câu 235: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Với a là số thực dương khác 1. Mệnh
đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x, y?
x
x
A. log a = log a x − log a y
B. log a = log a x + log a y
y
y
x
x log a x
C. log a =
D. log a = log a ( x − y )
y log a y
y
Đáp án A

Câu 236: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang )Tìm nghiệm của phương trình
1
log 64 ( x + 1) =
2
1
A. −1
B. 4
C. 7
D. −

2
Đáp án C