Hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ trong không gian
Người đăng: Nguyễn Linh - Ngày: 03/07/2017

Bài học đầu tiên chương 3 với nội dung: Hệ tọa độ trong không gian. Một kiến thức mới đòi hỏi các
bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán
lớp 12, Tech12h sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu.
Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn

A. Tổng hợp kiến thức
I. Tọa độ điểm và vectơ
Ta có: OM−→−=xi⃗

+yj⃗ +zk⃗

=> Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz .
Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z ).
Ta có: a⃗

=a1i⃗ +a2j⃗ +a3k⃗


=> Bộ ba số (a1;a2;a3) là tọa độ của vectơ a⃗ với hệ trục tọa độ Oxyz .
Ký hiệu: a⃗

=(a1;a2;a3) hay a⃗ (a1;a2;a3).

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
•

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a⃗

(a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3). Ta có:

a⃗ +b⃗ =(a1+b1;a2+b2;a
3+b3)
a⃗ −b⃗ =(a1−b1;a2−b2;a
3−b3)
ka⃗ =k(a1;a2;a3) với k là
số thực

==> Hệ quả:

a⃗ =b⃗ <=>a1=b1;a2=b
2;a3=b3
0⃗ =(0;0;0)
a⃗ ,b⃗ cùng phương
<=> a1=kb1;a2=kb2;a3
=kb3
AB−→−=OB−→−
−OA−→−=(xB−xA;yB
−yA;zB−zA)

III. Tích vô hướng
Định lí
•

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ
bởi:

a⃗ .b⃗ =(a1.b1+a2.b2+
a3.b3)

Ứng dụng
•

Độ dài vectơ:

a⃗ =a21+a22+a23−−
−−−−−−−−√

a⃗ (a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3) xác định


•

Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho

A(xA,yA,zA)

và B(xB,yB,zB), ta có:

AB=∣∣∣AB−→−∣∣∣=
(xB−xA)2+(yB−yA)2+
(zB−zA)2−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−√
•

Góc giữa hai vectơ: Góc giữa a⃗

(a1;a2;a3) và b⃗ (b1;b2;b3) là φ

cosφ=cos(a⃗ ,b⃗ )=a1b1
+a2b2+a3b3a21+a22+a23√.b21
+b22+b23√

•

Đặc biệt:

a⃗ ⊥b⃗ <=>a1b1+a2b
2+a3b3=0

IV. Phương trình mặt cầu
Định lí
•

Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:

(x−a)2+(y−b)2+
(z−c)2=r2

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba vectơ

a⃗ =(2;−5;3), b⃗ =(0;2;−1), c⃗ =(1;7;2)

a) Tính tọa độ của vectơ d⃗

=4a⃗ −13b⃗ +3c⃗

b) Tính tọa độ của vectơ e⃗

=a⃗ −4b⃗ −2c⃗

=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(0; 1; 2), C(1;0;1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.


=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 68 - sgk hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A=(1;0;1),B=(2;1;2),D=(1;−1;1),C′(4;5;−5).
Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 68 - sgk hình học 12
a) Tính a⃗

.b⃗

với a⃗

=(3;0;−6) và b⃗ =(2;−4;0)

b) Tính c⃗

.d⃗

với c⃗

=(1;−5;2) và b⃗ =(4;3;−5)

=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 68 - sgk hình học 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:
a) x2+y2+z2–8x–2y+1=0
b) 3x2+3y2+3z2–6x+8y+15z–3=0
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 6: Trang 68 - sgk hình học 12
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a) Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
=> Xem hướng dẫn giải