HƯỚNG DẪN GIẢI OXY – PHẦN 5 – CÂU 1 – 2 – 3 – 4.

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

HƯỚNG DẪN GIẢI OXY – PHẦN 5 – CÂU 1 – 2 – 3 – 4.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại B và C có
4 8
AB  BC  2CD. Tọa độ đỉnh A  4; 0  , M là trung điểm của cạnh BC , H  ;  là giao điểm
5 5
giữa AM và BD. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD biết điểm D thuộc

đường thẳng x  2 y  2  0.
Trích đề TTL1, THPT Cẩm Lý, Bắc Giang, 2016.
■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)
Sau khi vẽ hình “chính xác”, ta dễ dàng phát hiện AN
vuông góc CD (việc chứng minh có thể giải bằng cách
dùng hình học thuần túy – hình học véctơ – hình học
tọa độ) như sau:
 Cách 1 (thuần túy hình học):


MC 1
tan MAC  AC  2
Ta có 
 MAC  BCD.
tan BCD  BD  1

BC 2
MAC 

Mặt khác:
 AMC 

AMC  900

BCD  900  MHC  900  CD  AM

 

 Cách 2 (thuần túy véctơ): tích vô hướng giữa hai véctơ a.b  a . b cos a; b







CD.MA  CB  BD MB  BA  CB.MB  CB.BA  BD.MB  BD.BA

   CB.BA cos 135

 CD.MA  CB.MB cos 0
 CD.MA 

o

0
o

 BD.BA.cos 450

 1  a
a2
1
 a.a 2  
 0  CD  MA
  .a 2.
2
2 2
2






 Cách 3 (phương pháp tọa độ + chuẩn hóa số liệu): Dựng hệ trục Cxy CA  Cx; CB  Cy và đặt

cạnh AC  2a  a  0   C  0; 0  , A  2a; 0  , M  0; a  , D  a; 2 a 
 AM   2a; a 

Do đó 
 AM.CD  2a2  2a2  0  AM  CD

CD   a; 2a 

■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải.


D  BD d
Viết pt đường thẳng BD  qua H ,  HA  
 D  ?; ?   DA  ?

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI


HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

B1 ; B2  DBD
Viết pt đường tròn  D; R  AD  
 B1 hay B2 (nhận loại bằng cách so

sánh sự cùng phía trái phía của giữa điểm B & D qua điểm H )


AB  2 CD
 AB  2CD  C  ?; ? 
Ta có ABCD hình thang vuông 

■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết.
4 8
 24 8  8

Ta có BD qua H  ;  nhận HA   ;    3; 1 làm vtpt có phương trình là:
5 5
 5 5 5


4 
8
BD : 3  x     y    0  BD : 3x  y  4  0
5
5

 



x  2 y  2  0
x  2

 D  2; 2   AD   6; 2   AD  2 10
Mặt khác, D  BD  d  
3x  y  4  0
 y  2



Đường tròn tâm D bán kính AD có pt là  D  :  x  2    y  2   40
2

2



 x  4, y  8
3x  y  4  0
 y  4  3x
Khi đó B  BD   D   


2
2
2
2
 x  0, y  4
 x  2    y  2   40
 x  2    6  3x   40



Suy ra B1  0; 4  , B2  4; 8 

 6 18  6
 DH    ;    1; 3  
3
 5 5  5

DH  DB1  tm 



5

Khi đó ta có  DB1   2; 6   2  1; 3   
 B  0; 4 

 DH   3 DB  ktm 
1
 DB2   2; 6   2 1; 3 

5



1
 xC  2  2  4 
1
Ta có DC  AB  
 C  4; 0 
2
y  2  1  4
 C
2

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là B  0; 4  , C  4; 0  , D  2; 2 
■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy).

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A, B,  BC  AD 
. Biết điểm E  4; 0  là hình chiếu vuông góc của điểm D lên BC , F  5; 2  là hình chiếu vuông
góc của B lên CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết A, B lần lượt thuộc các
đường thẳng x  y  5  0, 2 x  y  2  0 và B có hoành độ dương.
Trích đề TTL1, THPT Lê Văn Thịnh, Bắc Ninh, 2016.
■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)
Thật không quá khó để ta phát hiện A, D , F , E, B
cùng thuộc một đường tròn. Và do đó ta suy ra
tính chất quan trọng đó là AF  FE.
■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải.


Viết pt đường thẳng



I  AE BD
I  ?; ?  và viết pt
Có tọa độ A 

A  AF  x  y  5
AF  qua F ;  EF  
 A  ?; ? 

đường tròn  I ; R  AE



BE  AD
B
Khi đó B   I    
 B  ?; ?  
 D  ?; ? 



 BE qua B , vtcp : BE

C  BE FD

C  ?; ? 
Viết pt 
 FD qua F , vtcp : FD


x 0







■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết.
Ta có ADEB, ADFB là tứ giác nội tiếp nên A, D , F , E, B cùng thuộc đường tròn đường kính
BD.  AFEB là tứ nội tiếp  ABE 

AFE  1800  AFE  900  AF  EF.

Đường thẳng AF qua F  5; 2  nhận EF   1; 2  làm vtpt có pt là AF : x  2 y  9  0
 x  2 y  9  0
 A 1; 4 
Ta có A  AF  d : x  y  5  0  
 x  y  5  0
5 
3

5
Gọi I là tâm hình chữ nhật ADEB suy ra I  ; 2   AI   ; 2   AI 
2
2 
2

2

2

5
25
Đường tròn tâm I bán kính IA có pt là  I  :  x     y  2  
2
4


2


2
5
25
 B  1; 0   tm 
 x  1, y  0
 x     y  2  
B   I     

 B  1; 0 
2
4 
 x  0, y  2  B  0; 2   ktm 

2 x  y  2  0

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

 x  1  3
 D  4; 4 
Ta có: AD  BE   D
 yD  4  0

Đường thẳng DF qua F  5; 2  , nhận BF   4; 2   2  2; 1 làm vtpt có pt DF : 2 x  y  12  0
Đường thẳng BE qua B  1; 0  , nhận AB   0; 4  làm vtpt có pt BE : y  0
2 x  y  12  0  x  6

 C  6; 0 
Ta có: BE  DF  C  
 y  0
 y  0

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A 1; 4  , B 1; 0  , C  4; 4  , D  6; 0 
■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy).

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD  AC  2 BD  có H là giao
điểm của AC và BD. Gọi E, I lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AB, AH. F là trung

điểm CI . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD biết E  2; 0  , F 1; 1  và B có tung
độ dương.
Trích đề thi thử THPT Cù Chính Lan, Hòa Bình, 2016.
■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)
Cũng tương tự như bài toán trong hình
vuông, khi đề bài chỉ cho ta dữ kiện về tọa
độ của hai điểm thì phương án khả dĩ nhất
ngoài việc lập phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm đó chính là việc tính độ dài
của chúng. Do quan hệ giữa hai cạnh BD
và AC  AC  2 BD  nên ta kì vọng nếu đặ
một cạnh BD  a  0 thì ta có thể tính EF
theo a.

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

Ngoài ra, ta còn phát hiện BF  AB Việc chứng minh này có thể sử dụng định lý đảo của Pi-ta-go
trong tam giác ABF nhưng để dễ dàng hơn ta có thể chọn dựng hệ trúc Hxy ( HC  Hx , HB  Hy
để chứng minh các tính chất trên). Giả sử cạnh HB  a  a  0   HC  2a

a a 
Khi đó tọa độ của các điểm sẽ là: B  0; a  , C  2a; 0  , A  2a; 0  , I  a; 0  , E  a;  , F  ; 0 
2 2 


 AB   2 a; a   a  2; 1

 AB.BF  0  AB  BF

a
 a

 BF   ;  a    1; 2 
2
2


a 10 HB 10



 EF 


Do đó ta có 
2
2
 3a a 
 a 
 EF   ;   , EB   a;   EB  BF  EBF can tai B
2
 2
 2 


 HA  4 HF  HA  4 HF
a 
 HA   2 a; 0  , HF   ; 0 
2 


■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải.


Gọi I là trung điểm EF  BI  EF  viết phương trình BI  quaI .  EF 



E la trung diem AB
B
 B  ?; ?   A  ?; ? 
Khi đó, B  BI   I ; R  IE  



Ta có AH  4 HF  AH 

y 0

C  ?;? 
4
H la trung diem AC & BD
AF  H  ?;?  

5
 D  ?;? 

■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết.
 1 1
Ta có: I   ;   là trung điểm EF. Đường thẳng BI qua I nhận EF   3; 1 làm vtpt có
 2 2
phương trình là IB : 3x  y  1  0
2

2


1 
1
5
Đường tròn tâm I , bán kính IE có phương trình là :  x     y   
2 
2
2


3x  y  1  0
 x  0; y  1

2
2
Ta có tọa độ B thỏa hệ: 
Do yB  0  B  0; 1
1 
1
5
 x  1; y  2
 x     y   
2 
2
2

Do E là trung điểm AB suy ra A  4; 1

4
xH  4   5 


4

5
Ta có: AH  4 HF  AH  AF  
 H  0; 1
5
y  1  4 0
 H
5

Do H là trung điểm AC , BD suy ra C  4; 1 , D  0; 3  .

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A  4; 1 , B  0;1 , C  4; 1 , D  0; 3 
■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy).

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng qua B , vuông góc với BD cắt AI tại M . Đường
thẳng qua D, vuông góc BD cắt AB tại N . Giả sử phương trình đường thẳng DM là

 1

x  y  4  0, NI qua J  5; 0  và P   ; 3  là trung điểm BI .
 2


Bài toán của tác giả: Thầy Huỳnh Đức Khánh, 2016.
■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)
Với gợi mở từ các giả thiết mà đề bài cho
NI qua J , phương trình MD , ta phát hiện
MD  NI và đây cũng là tính chất quan trọng

của bài toán này.
Ta có thể chứng minh bằng con đường hình học
thuần túy như sau:
Gọi H là giao điểm NI & MD. Ta cần chứng
minh

MHN  900 . Mặt khác ta lại có

MAN  90 o nên ta sẽ tìm cách chứng minh tứ
giác MAHN nội tiếp. Ở đây ta chọn hướng

chứng minh hai góc liên tiếp cùng nhìn một cạnh
bằng nhau  AMH  ANH
Để chứng minh hai góc trên bằng nhau, ta khai thác giả thiết của bài toán (ABCD là hình bình hành,
BM  BD, BD  ND) cụ thể như sau:

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

 DBC  BDA ABCD la hinh binh hanh




Ta có:  DBC  AMH tu giac MDCB noi tiep do MCD  MBD  90 o

 BDA  ANH tu giac MDCB noi tiep do MCD  MBD  90 o








 AMH  ANH  dpcm .
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể chọn cách chứng minh bằng
“ phương pháp tọa độ kết hợp chuẩn hóa số liệu“ như
sau: Dựng hệ trục Cxy như hình vẽ,
Đặt CD  a  0, AC  2. Khi đó ta có:

D  a; 0  , A  0; 2  , I  0;1 , B  a; 2 
Đường thẳng BM qua B nhận BD   2 a; 2   2  a; 1
làm véctơ pháp tuyến có pt BM : ax  y  a 2  2  0
Tương tự, ta có DN qua D song song BM có pt là DN : ax  y  a 2  0.
2
ax  y  a  2  0
 M 0; a 2  2  DM   a; a 2  2
Ta có M  BM  Oy  
x

0










ax  y  a 2  0
 2  a2 
 2  a2 
N
; 2   IN  
; 1
Ta có N  DN  AB  
 a


 a

 y  2





Do đó: DM.IN  0  DM  IN  dpcm 
■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải.


Viết pt đường thẳng IN  qua J ;  DM 



Tham số hóa tọa độ I theo IN 
 biểu diễn tọa độ D theo I



Khi đó D  DM  D  ?; ?   B  ?; ? 



N  ND  IN
 N  ?; ? 
Viết pt đường thẳng DN  qua D ,  BD  



duong thang AB quaB; vtcp : BN

I
  A; B   P   AB  A  ?; ?  
 C  ?; ? 
Viết pt 
duong tron  P  :  P ; R  PI 





■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết.

IN  DM  IN : x  y  m  0, IN qua J  5; 0   m  5  IN : x  y  5  0
I  IN  I  t ; t  5  . P là trung điểm BI  B  1  t ; 1  t  .
Lại có I là trung điểm BD  D  3t  1; 3t  9 

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

THẦY LÂM PHONG

Mặt khác, D  DM  3t  1  3t  9  4  0  t  2  B  3; 3  , D  7; 3  , I  2; 3 
Đường thẳng DN qua D  7; 3  nhận BD   10; 0  làm vtpt có pt là DN : x  7  0
 x  y  5  0
 N  7; 2 
Ta có N  DN  IN  
 x  7  0

Đường thẳng AB qua B  3; 3  nhận BN   10; 5   5  2; 1 làm vtcp có pt: x  2 y  3  0
5
 1

Đường tròn tâm P   ; 3  bán kính BP  có pt là
2
 2


2

2

1
25
 x     y  3 
2
4


2


2
1
25
 y  1; x  1
 x     y  3 
Khi đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ 
2
4 
 y  3; x  3

x  2 y  3

Do tọa độ B  3; 3  nên ta nhận A 1; 1 và I là trung điểm AC  C  3; 5 
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A 1; 1 , B  3; 3  , C  3; 5  , D 7; 3 
■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy).

Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất trong kì thi sắp tới !
Gmail:
Facebook: />Group Toán 3[K]
Thầy Lâm Phong – Mr.Lafo (Sài Gòn – 0933524179).

Mr.Lafo

Sài Gòn (0933524179)


THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI

HÌNH HỌC PHẲNG OXY

Mr.Lafo

THẦY LÂM PHONG

Sài Gòn (0933524179)