Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo

Phương trình lượng giác cơ bản
và cách xác định nhanh chóng
các họ nghiệm bằng đơn vị ảo
Dương Trác Việt**
**

Nhóm Thủ thuật Casio Khối A,

Nhóm Casio Tư duy.

B

ài viết đề cập cách vận dụng đơn vị ảo
trong máy tính cầm tay nhằm tìm nhanh
họ nghiệm phương trình (pt) lượng giác
cơ bản trên cơ sở nhận dạng đặc điểm chung
của các họ nghiệm đều là hàm bậc nhất theo
một số nguyên.

2

Dạng vế phải là hằng số

2.1

Lý thuyết

Xét các pt ở mục 1 với u = ax + b và vế phải là
số m sao cho các pt ấy luôn có nghiệm. Khi đó
cos(ax + b) = m

1

Mở đầu

⇔x +

Xét các pt lượng giác
cos u = cos v ⇔ u = ±v + k2π,
sin u = sin v ⇔

u = v + k2π,
u = π − v + k2π;

tan u = tan v ⇔ u = v + kπ,
cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

(trong đó k ∈ Z).
Dễ thấy tất cả các pt trên đều là pt bậc nhất
theo k . Do đó, nếu gán k = i trong w2 ta dễ
dàng có được họ nghiệm tương ứng ở dạng rút
gọn* .
* Tất

nhiên, cũng cần thêm một bước nữa để xử lí hệ số
của ẩn nếu nó khác 1.

b ∓ cos−1 (m) + k × 2π

= 0,

a

sin(ax + b) = m

b − sin−1 (m) + k × 2π
,
 x+
a
⇔

−1
b − π − sin (m) + k × 2π
x+
;
a
tan(ax + b) = m
⇔x +

b − tan−1 (m) + k × π
a

,

cot(ax + b) = m
⇔x +

b − tan−1

1
m

a

+k ×π

.

Như vậy, để tìm nhanh họ nghiệm của pt

cos (ax +b) = m , ta thao tác trong w2 như sau

(các pt khác được thực hiện tương tự)


Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo
1. Nhập vào màn hình†

Ví dụ 2. Giải pt

ax + b − cos−1 (m) + Y × 2π ÷ a

2. Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện số phức
α + βi . Kết luận họ nghiệm thứ nhất của pt
đã cho là x = −α − kβ‡ .
3. Sửa màn hình thành

4. Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện số phức
γ + δi . Kết luận họ nghiệm thứ hai của pt đã
cho là x = −γ − kδ.

Ví dụ

4πX −

11π
− sin−1
12

11π
3
=
.
12
2

(1)

Lời giải.
Thực hiện ngoài nháp

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện −
5 k
+ .
16 2

÷ (4π)
5
1
− i.
16 2

11π
− cos−1
12

3
+ Y × 2π
2

÷ (4π)

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện −

19 1
− i.
48 2

4πX −

11π
− π− sin−1
12

Vậy ta có họ nghiệm x =

• Nhập vào màn hình
3
+ Y × 2π
2

11π
− − cos−1
12

3
+ Y × 2π
2

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện −

Vậy ta có họ nghiệm x =

3 k
+ .
16 2

19 k
+ .
48 2

Ghi trong bài làm
÷ (4π)

13 1
• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện − − i .
48 2
13 k
Vậy ta có họ nghiệm x = + .
48 2
• Sửa màn hình thành

Ta có


5 k
 x = 16 + 2 ,
(2) ⇔ 
(k ∈ Z)

19 k
+ .
x=
48 2

Ví dụ 3. Giải pt
÷ (4π)
tan 4πx −
3
1
− i.
16 2

Ghi trong bài làm



13 k
 x = 48 + 2 ,
(1) ⇔ 
(k ∈ Z)


3 k
x=
+ .
16 2
Đọc là: (Cái liên quan x trong vế trái trừ đi (cos−1 của vế
phải rồi cộng cho Y nhân 2π)), tất cả chia cho hệ số của x .
‡
Đổi dấu kết quả của máy và thay chữ i bởi chữ k .

11π
=
12

(3)

3.

Lời giải.
Thực hiện ngoài nháp
• Nhập vào màn hình

Ta có

†

3
+ Y × 2π
2

• Sửa màn hình thành

cos 4πx −

4πX −

(2)

Lời giải.
Thực hiện ngoài nháp

Vậy ta có họ nghiệm x =

Ví dụ 1. Giải pt

4πX −

11π
3
=
.
12
2

• Nhập vào màn hình

ax + b − − cos−1 (m) + Y × 2π ÷ a

2.2

sin 4πx −

4πX −

11π
− tan−1
12

3 + Y × π ÷ (4π)

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện −

Vậy ta có họ nghiệm x =

5 k
+ .
16 4

5
1
− i.
16 4

Ghi trong bài làm
Trang 2 trong tổng số 5 trang


Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo
Ta có
(3) ⇔ x =

Rõ ràng, vế trái (6) là phương trình bậc nhất
theo x . Do đó, nếu nhập

5 k
+ .
16 4

(k ∈ Z)

a X + b − (c x + d + Y × 2π)

Ví dụ 4. Giải pt
cot 4πx −

11π
=
12

(4)

3.

Lời giải. Ta có cot u = 3 ⇔ tan u =

1
3

(a X + b − (c x + d + Y × 2π)) ÷ β

.

Thực hiện ngoài nháp
• Nhập vào màn hình
4πX −

11π
− tan−1
12

1
3

rồi r X = i và Y = 0, máy sẽ hiện số phức α + βi
với phần ảo β chính là hệ số của x mà ta cần chia
bớt§ .
Đến đây ta chỉ cần sửa màn hình thành

+Y ×π

÷ (4π)

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện −
13 k
Vậy ta có họ nghiệm x = + .
48 4

13 1
− i.
48 4

rồi r X = 0 và Y = i , máy sẽ hiện số phức γ + δi
mà đổi dấu số này giúp ta có được họ nghiệm của
phương trình.
Các thao tác để tìm họ nghiệm thứ hai cũng
hoàn toàn tương tự như khi xác định họ nghiệm
thứ nhất.

3.2

Ví dụ

Ví dụ 5. Giải pt

Ghi trong bài làm

cos 3x −

π
π
= cos x +
.
5
10

(7)

Ta có
(4) ⇔ x =

13 k
+ .
48 4

Lời giải.
Thực hiện ngoài nháp

(k ∈ Z)

• Nhập vào màn hình

3

Dạng vế phải là hàm lượng giác
có chứa ẩn số bậc nhất

3.1

3x −

π
π
− x+
+ Y × 2π
5
10

• Bấm r X = i và Y = 0, máy hiện −

Lý thuyết

Tương tự như 2.1, ta sẽ tối ưu hóa cách giải
những pt ở mục 1 trong trường hợp u = ax + b và
v = c x + d . Tuy nhiên, trong giới hạn khuôn khổ
bài viết, chúng tôi chỉ trình bày ý tưởng tối ưu
hóa cách giải với máy tính cầm tay và đơn vị ảo
cho pt cos(ax + b) = cos(cx + d ), các pt còn lại như
sin(ax + b) = sin(cx + d ), tan(ax + b) = tan(c x + d ),
cot(ax + b) = cot(cx + d ) đều được thực hiện tương
tự.
Xét
cos(ax + b) = cos(cx + d )
(5)

suy ra hệ số cần chia là 2¶ .
• Sửa màn hình thành
3x −

3
π + 2i
10

π
π
− x+
+ Y × 2π ÷ 2
5
10

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện −

Vậy ta có họ nghiệm x =
• Sửa màn hình thành
3x −

3π
+ kπ.
20

3
π − πi .
20

π
π
− −x− + Y × 2π
5
10

§

Để tìm họ nghiệm thứ nhất, ta thấy rằng
(5) ⇒ ax + b − (cx + d + Y × 2π) = 0

(6)

Nếu tinh ý ta có thể nhẩm nhanh hệ số β của x và bỏ
qua bước này. Thao tác với máy chỉ hữu ích khi hệ số β cần
chia là phức tạp, khó nhẩm hoặc dễ nhầm lẫn.
¶

Hoặc dễ thấy 3x − x = 2x nên hệ số cần chia là 2.
Trang 3 trong tổng số 5 trang


Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo
• Bấm r X = i và Y = 0, máy hiện −

suy ra hệ số cần chia là 4|| .
• Sửa màn hình thành

1
π + 4i
10

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện số phức
11
1
11π
π
− π − πi . Vậy họ nghiệm là x =
+k .
40
2
40
2

Ghi trong bài làm

π
π

3x − − −x −
+ Y × 2π ÷ 4
5
10

Ta có


• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện số phức
1
π
π
1
+k .
− π− πi . Vậy ta có họ nghiệm x =
40
2
40
2


(6) ⇔ 

3π
+ kπ,
20
(k ∈ Z)
π
11π
+k .

x=
40
2
x=

Ghi trong bài làm
Ví dụ 7. Giải pt
Ta có
tan 3x −

3π
x=
+ kπ,

20
(5) ⇔ 
π (k ∈ Z)
π
+k .
x=
40
2


π
π
= sin x +
.
5
10

(8)

• Nhập vào màn hình
3x −

3x −

• Nhập vào màn hình

• Dễ thấy 3x − x = 2x nên hệ số cần chia là 2.
• Sửa màn hình thành
π
π
− x+
+ Y × 2π ÷ 2
5
10

Vậy ta có họ nghiệm x =
• Sửa màn hình thành
3x −

3π
+ kπ.
20

3
π − πi .
20

π
π
− π−x− + Y × 2π
5
10

• Dễ thấy 3x − −x = 4x nên hệ số cần chia là 4.
• Sửa màn hình thành
π
π
3x − − π − x −
+ Y × 2π ÷ 4
5
10
||

2
π
π
− x+
+Y ×π
5
3
10

÷

7
3

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện số phức
9
3
9π
3π
− π − πi . Vậy họ nghiệm là x =
+k .
70
7
70
7

π
π
3x − − x +
+ Y × 2π
5
10

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện −

π
2
π
− x+
+Y ×π
5
3
10

2
7
7
• Dễ thấy 3x − x = x nên ta cần chia cho ** .
3
3
3
• Sửa màn hình thành

Lời giải.
Thực hiện ngoài nháp

3x −

(9)

Lời giải.
Thực hiện ngoài nháp

Ở các ví dụ tiếp theo, chúng tôi sẽ làm tắt bước
xác định hệ số β.
Ví dụ 6. Giải pt
sin 3x −

π
2
π
= tan x +
.

5
3
10

Hoặc dễ thấy 3x − −x = 4x nên hệ số cần chia là 4.

Ghi trong bài làm
Ta có
(7) ⇔ x =

9π
3π
+k .
70
7

(k ∈ Z)

Ví dụ 8. Giải pt
cot 7x −

π
π
= cot −x +
.
5
10

(10)

Lời giải.
Thực hiện ngoài nháp
• Nhập vào màn hình
7x −

π
π
− −x +
+Y ×π
5
10

** Độc giả có thể thực hiện thao tác trừ phân số trên một
máy tính khác song song với máy tính thứ nhất.

Trang 4 trong tổng số 5 trang


Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo
• Dễ thấy 7x − −x = 8x nên hệ số cần chia là 8.
• Sửa màn hình thành
7x −

π
π
− −x +
+Y ×π ÷8
5
10

• Bấm r X = 0 và Y = i , máy hiện số phức
1
3π
π
3
+k .
− π − πi . Vậy họ nghiệm là x =
80
8
80
8

Ghi trong bài làm
Ta có
(8) ⇔ x =

4

3π
π
+k .
80
8

(k ∈ Z)

Kết luận

Các ví dụ đã chứng tỏ tính ưu việt của
rbU trong rút gọn họ nghiệm pt lượng

giác. Tuy nhiên, rất cần những nghiên cứu tiếp
theo về thái độ của học sinh khối 11 (cũng như
giáo viên) về công cụ này.

Tài liệu
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Đại số và
Giải tích 11 Nâng cao, NXB. Giáo dục, Hà
Nội.
[2] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Đại số và
Giải tích 11 Nâng cao: Sách giáo viên, NXB.
Giáo dục, Hà Nội.

Trang 5 trong tổng số 5 trang