Đề cương ôn tập toán 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 78 trang )
PHỤ LỤC:
MỤC A - LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
PHẦN 1. HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN........................................................................................4
I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ..................................................................................................4
I.1. Lý thuyết......................................................................................................................................................4
I.2. Ví dụ minh họa............................................................................................................................................4
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.........................................................................................................................................7
II.1. Lý thuyết..........................................................................................................................................................7
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ................................................................................10
III.1. Lý thuyết.......................................................................................................................................................10
Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:........................................................10
+ Tập xác định D = [a;b].........................................................................................................................................10
III.2. Bài tập ví dụ...................................................................................................................................................10
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 2x.ex trên đoạn..............................................................................12
Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x - x trên đoạn........................................................................13
IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN...........................................................................................................................................13
IV.1. Lý thuyết.......................................................................................................................................................13
V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ...........................................................................................15
V.1. Lý thuyết........................................................................................................................................................15
1.Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...........................................................................15
V.2. Ví dụ minh họa.........................................................................................................................................18
VI. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN...........................................................................................................................21
VI.1. Lý thuyết..................................................................................................................................................21
VII. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO.................................................................................................................................23
VII.1. Lý thuyết tương giao của hai đồ thị......................................................................................................23
VII.2. Bài tập ví dụ..........................................................................................................................................23
VII.3. Bài tập trắc nghiệm...............................................................................................................................24
PHẦN 2. HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT.....................................................26
I. LUỸ THỪA – MŨ - LOGARIT................................................................................................................................26
II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.................................................................................................29
II.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số...............................................................................................................29
II.2. Phương pháp đặt ẩn phụ............................................................................................................................30
III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT........................................................................................31
III.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:............................................................................................................31
III.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.........................................................................................................................32
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.....................................................................................................................................33
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình là :.............................................................................................33
Câu 8. Nghiệm của phương trình 32+x + 32-x = 30 là:...................................................................................34
Câu 9. Phương trình 32x + 1 – 4.3 x +1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 trong đó x1 < x2 chọn phát biểu đúng?. 34
Câu 10. Tập nghiệm của bất phương trình 32x + 1 – 10.3 x + 3 0 là :............................................................34
Trang 1
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình là :......................................................................................................34
Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình là :................................................................................................34
Câu 14. Tập nghiệm của bất phương trình là :................................................................................................34
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình là :................................................................................................34
PHẦN 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG..........................................................................34
I. Nguyên hàm – Tích phân...................................................................................................................................34
I.1. Lý thuyết.....................................................................................................................................................34
2. Công thức và tính chất của tích phân..........................................................................................................35
c. d. (với a < c < b)...........................................................................................................................................35
I.2. Ví dụ minh họa...........................................................................................................................................36
II. Ứng dụng tích phân...........................................................................................................................................38
II.1. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b.............................................................................................................................................38
II.2. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số................................................39
II.3. Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.........................40
II. 4. Bài tập trắc nghiệm...................................................................................................................................40
PHẦN 4. SỐ PHỨC...........................................................................................................................................42
I. Các khái niệm.....................................................................................................................................................42
II. Các phép toán trên số phức.............................................................................................................................42
*Phương trình bậc hai trên tập số phức............................................................................................................42
*Ví dụ minh họa....................................................................................................................................................42
III. Bài tập trắc nghiệm..........................................................................................................................................43
PHẦN 5. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.............................................................................................................46
I. Lý thuyết - Kiến thức liên quan..........................................................................................................................46
II. Bài tập minh họa...............................................................................................................................................47
2. Thể tích khối lăng trụ....................................................................................................................................48
III. Bài tập trắc nghiệm..........................................................................................................................................50
A. B. C. D............................................................................................................................................................51
A. B. C. D............................................................................................................................................................51
A. B. C. D............................................................................................................................................................51
A. B. C. D............................................................................................................................................................51
PHẦN 6. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU.................................................................................................51
I. Mặt nón tròn xoay..............................................................................................................................................51
II. Mặt trụ tròn xoay..............................................................................................................................................52
III. Mặt cầu.............................................................................................................................................................53
IV. Bài tập trắc nghiệm..........................................................................................................................................53
PHẦN 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.....................................................................56
I. Kiến thức liên quan............................................................................................................................................56
I.1. Một số phép toán vectơ..............................................................................................................................56
I.2. Phương trình mặt phẳng.............................................................................................................................56
Trang 2
I.3. Phương trình đường thẳng..........................................................................................................................56
I.4. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r.......................................................................................57
II. Ví dụ minh họa..................................................................................................................................................57
III. Bài tập trắc nghiệm..........................................................................................................................................60
I. ĐỀ SỐ 01.........................................................................................................................................................63
II. ĐỀ SỐ 02.......................................................................................................................................................69
III. ĐỀ SỐ 03......................................................................................................................................................74
Trang 3
MỤC A - LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
PHẦN 1. HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I.1. Lý thuyết
1. Qui tắc:
i) Tìm tập xác định.
ii) Tính f′ (x).Tìm xi (i = 1, 2, …, n) mà f′ (xi)= 0 hoặc không xác định.
iii) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu f′ (x).
iv) Dựa vào dấu của f′ (x) nêu kết luận.
2. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến
Cho hàm số y = f (x, m) , m là tham số, có tập xác định D.
• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm).
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm).
=> Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
i) Nếu y' = ax2 + bx + c thì:
a = b = 0
c ≥ 0
y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔
a>0
∆ ≤ 0
a = b = 0
c ≤ 0
y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔
a< 0
∆ ≤ 0
ii) Định lí về dấu của tam thức bậc hai
iii) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với số 0:
∆ > 0
;
x1 < x2 < 0 ⇔ P > 0
S < 0
∆ > 0
0 < x1 < x2 ⇔ P > 0 ;
S > 0
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0
iv) Để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2)
bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
a ≠ 0
+ Tính y′ , điều kiện hàm số y’:
∆ > 0
(1)
+ Biến đổi x1 − x2 = d thành tổng và tích: (x1 + x2)2 − 4x1x2 = d2
(2)
+ Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. Giải phương trình, so với
điều kiện (1) để chọn nghiệm.
I.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số sau: y = x 3 − 3x 2 + 2
+ Tập xác định D = R
x = 0
x = 2
+ y ' = 3x 2 − 6 x . Giải phương trình: y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇒
+ Xét dấu y’ :
Trang 4
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ ;0) và (2;+∞) ; nghịch biến trên (0;2) ;
Ví dụ 2. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số sau: y =
+ TX Đ : D = R\{-1},
Ta có : y’ =
x −1
x +1
2
> 0, ∀ x ∈ D
( x + 1) 2
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng : ( − ∞;−1) ; (−1;+∞)
Ví dụ 3. Định m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m luôn đồng biến
+ TXĐ: D=R,
Ta có y ' = 3x 2 + 6 x + m
∆ ' ≤ 0
⇒ 9 − 3m ≤ 0 ⇒ m ≥ 3
a = 1 > 0
+ Hàm số luôn đồng biến ⇔ y ' ≥ 0 ⇔
Vậy: với m ≥ 3 thì hs luôn đồng biến trên D.
Ví dụ 4. Định m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + (m − 1) x + 4m nghịch biến trên ( - 1; 1)
+ TXĐ:D=R,
Ta có: y ' = 3x 2 + 6 x + m − 1
af ( −1) < 0
af (1) < 0
+ Hàm số nghịch biến trong (- 1; 1) ⇔ y '≤ 0 và x1 < −1 < 1 < x 2 ⇔
3(3 − 6 + m − 1) < 0
m < 4
⇔
⇔
⇒ m < −8
3(3 + 6 + m − 1) < 0
m < −8
Vậy: m < −8 thì hàm số nghịch biến trên (- 1; 1).
I.3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Hàm số y = x4 – 2x2 +1 đồng biến trên khoảng nào?
A. (-1;0) B.(-1;0) và (1; + ∞ )
C. (1; + ∞ )
HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:
- Tính đạo hàm tại x = - 0.5 như sau:
đạo hàm tại x = 2 như sau:
D. ∀x ∈ R
d 4
( x − 2 x 2 + 1) | x =−0.5 kết quả = 3/2 >0. Và tính
dx
d 4
( x − 2 x 2 + 1) | x =2 kết quả = 24 >0 => Chọn đáp án B
dx
y=
2x + 1
x + 1 là đúng?
Câu 2. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số
A. Hàm số luôn nghịch biến trên R;
B. Hàm số luôn đồng biến trên R;
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞);
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞).
HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:
- Nhập biểu thức tính đạo hàm tại x = 0 như sau:
tính đạo hàm tại x = -2 như sau:
Câu 3. Hàm số y =
d 2x + 1
| x =0 kết quả = 1>0, và
dx x + 1
d 2x + 1
| x=−2 kết quả = 1>0 nên ta loại đáp án D.
dx x + 1
2x − 5
đồng biến trên :
x+3
Trang 5
B. ( −∞;3)
A. R
C. ( −3; +∞ )
D. R\{-3}
3
2
Câu 4. Hàm số y = − x + 6 x − 9 x có các khoảng nghịch biến là:
A. (−∞; +∞)
C. ( 1;3)
B. (−∞; −4) vµ (0; +∞)
D. (−∞;1) vµ (3; +∞)
Câu 5. Hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 đồng biến trên các khoảng:
A. ( −∞;1)
B. ( 0; 2 )
C. ( 2; +∞ )
D. R
Câu 6. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 − 3x − 1 là:
A. ( −∞; −1)
B. ( 1; +∞ )
Câu 7. Hàm số y =
C. ( −1;1)
D. ( 0;1) .
x+2
nghịch biến trên các khoảng:
x −1
A. ( −∞;1) va ( 1; +∞ )
B. ( 1; +∞ )
C. ( −1; +∞ )
D. R\{1}.
Câu 8. Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2 x3 − 6 x là:
A. ( −∞; −1) va ( 1; +∞ )
C. [ −1;1]
B. ( −1;1)
D. ( 0;1)
Câu 9. Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 + 1 là:
A. ( −∞;0 ) va ( 1; +∞ )
C. [ −1;1]
B. ( 0;1)
D. R.
Câu 10. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = − x3 + 3x 2 + 1 là:
A. ( −∞; 0 ) va ( 2; +∞ )
C. [ 0; 2]
B. ( 0; 2 )
D. R.
Câu 11. Các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3 là:
7
7
A. ( −∞;1) va ; +∞ ÷
3
C. [ −5; 7 ]
B. 1; ÷
3
D. ( 7;3) .
Câu 12. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3 x − 4 x 3 là:
1
1
A. −∞; − ÷ va ; +∞ ÷
2
2
1 1
B. − ; ÷
2 2
1
C. −∞; − ÷
2
1
D. ; +∞ ÷.
2
Câu 13. Hàm số y = − x + mx − m đồng biến trên (1;2) thì m thuộc tập nào sau đây:
3
A. [ 3;+∞ )
Câu 14. Hàm số y =
2
B. ( −∞; 3)
3
2
C. ; 3÷
3
2
D. −∞; ÷
m 3 (
1
x − m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên ( 2;+∞ ) thì m thuộc
3
3
tập nào:
2
−2− 6
A. m ∈ ; +∞ ÷ B. m ∈ −∞;
÷
3
2
2
3
C. m ∈ −∞; ÷
Trang 6
D. m ∈ ( −∞; −1)
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
II.1. Lý thuyết
1.Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm cực trị:
a/ Quy tắc 1:
B1: Tìm tập xác định D
B2: Tính đạo hàm y' = f'(x)
B3: Tìm các điểm xi thoả mãn điều kiện: xi ∈ D và là nghiệm của y' = 0 hoặc làm cho
y' không xác định.
B4: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận.
b/ Quy tắc 2: (thường sử dụng cho những bài toán lượng giác)
B1: Tìm tập xác định D
B2: Tính đạo hàm y' = f'(x)
B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm xi (nếu có)
B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f''(x) ; tính f''(xi) và nhận xét dấu :
+ Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0)
+ Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCT = f(x0)
2.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
y ' ( A) = 0
y ' ' ( A) < 0
- Hàm số nhận x = A làm cực đại ⇔
y ' ( A) = 0
y ' ' ( A) > 0
- Hàm số nhận x=A làm cực tiểu ⇔
II.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số sau: y = x 3 − 3x 2 + 2
+ TXĐ D=R
+ y ' = 3x 2 − 6 x ,
x = 0
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇒
x = 2
+ BBT
+ Hàm số đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số sau: y =
x −1
đồ thị (C).
x +1
+ TX Đ : D = R\{-1}
+ y’ =
2
> 0, ∀ x ∈ D
( x + 1) 2
+Bảng biến thiên:
Trang 7
+ Hàm số không có Cực đại và Cực tiểu.
Ví dụ 3. CMR hs y = x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − m 3 luôn có cực đại, cực tiểu:
TXĐ D=R;
y ' = 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1)
Cho y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) = 0
∆' = 9m 2 − 9m 2 + 9 > 0 ⇒ hs luôn có cực đại, cực tiểu
Ví dụ 4. Tìm m để hs y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu
TXĐ D=R;
y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y '= 0 có 2 nghiệm phân biệt
m ≠ −2
m ≠ −2
m ≠ −2
m ≠ −2
⇔
⇔
⇔
⇔
2
∆ ' > 0
9 − 3m( m + 2) > 0
− 3 < m < 1
− 3m − 6m + 9 > 0
m ≠ −2
thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
− 3 < m < 1
Vậy:
II.3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x là:
A. ( 1; 4 )
B. ( 3;0 )
C. ( 0;3)
D. ( 4;1) .
HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:
y ' ( A) = 0
y ' ' ( A) < 0
* Cơ sở lý thuyết: Hàm số y nhận x = A làm cực đại ⇔
d 3
( x − 6 x 2 + 9 x ) | x=? tại x =1 và tại x = 3
dx
kết quả = 0; tại x = 0 và tại x = 4 có kết quả ≠ 0 nên ta loại đáp án C và D.
- Nhập biểu thức tính đạo hàm như sau:
- Nhập biểu thức tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên như sau:
d
(3 x 2 − 12 x + 9) | x =1
dx
tại x = 1 có kết quả = -6 < 0 nên ta chọn A
Câu 2. Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến;
B. Hàm số luôn đồng biến;
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:
- Tính y’ = -3x2 + 6x – 3. Giải y’= 0 bằng máy tính như sau: MODE -> 5 -> 3, nhập
hệ số a = -3, b = 6, c = -3 kết quả X=1 là nghiệm duy nhất .
- Vì y’ = 0 có một nghiệm, nên hàm số y cùng dấu với a, suy ra chọn A
Câu 3. Trong các khẳng định sau về hàm số
A. Hàm số có một điểm cực trị;
y=
2x − 4
x − 1 , hãy tìm khẳng định đúng?
Trang 8
B. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;
D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
1
1
y = − x4 + x2 − 3
4
2
Câu 4. Trong các khẳng định sau về hàm số
, khẳng định nào là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0;
C. Hàm số đạt cực đại tại x = -1;
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;
D. Cả 3 câu trên đều đúng.
1
3
Câu 5. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + (2m − 1) x − 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. ∀m ≠ 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu;
B. ∀m < 1 thì hàm số có hai điểm cực trị;
C. ∀m > 1 thì hàm số có cực trị;
D. Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
Câu 6. Hàm số: y = − x 3 + 3x + 4 đạt cực tiểu tại x bằng:
A. -1
B. 1
C. - 3
D. 3
1
2
4
2
Câu 7. Hàm số: y = x − 2 x − 3 đạt cực đại tại x bằng:
B. ± 2
A. 0
C. − 2
2
D.
1
4
Câu 8. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Hàm số có
A. Một cực đại và hai cực tiểu
C. Một cực đại và không có cực tiểu
B. Một cực tiểu và hai cực đại
D. Một cực tiểu và một cực đại
Câu 9. Hàm số y = x 3 − mx + 1 có 2 cực trị khi :
A. m > 0
B. m < 0
C. m = 0
Câu 10. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị:
D. m ≠ 0
A. y = x 4 − 2 x 2 − 1
B. y = x 4 + 2 x 2 − 1
C. y = 2 x 4 + 4 x 2 + 1
D. y = −2 x 4 − 4 x 2 + 1
Câu 11. Hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi:
A. m = 0
B. m ≠ 0
C. m > 0
D. m < 0
Câu 12. Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y = x 4 + 4 x 2 + 2 :
A. Đạt cực tiểu tại x = 0
C. Có cực đại và không có cực tiểu
B. Có cực đại và cực tiểu
D. Không có cực trị.
1
3
3
Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số y = − x − x − 7 là
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
Câu 14. Hàm số y = x 3 − mx + 1 có 2 cực trị khi
A. m > 0
B. m < 0
C. m = 0
D. m ≠ 0
Câu 15. Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 là:
Trang 9
A. 2 5
B. 4 5
C. 6 5
D. 8 5
3
2
Câu 16. Hàm số y = x − mx + 3 ( m + 1) x − 1 đạt cực đại tại x = 1 với m bằng :
A. m = - 1
B.
m > −3
C. m < −3
D. m = - 6
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
III.1. Lý thuyết
Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:
+ Tập xác định D = [a;b].
+ Tính f′ (x). Giải f′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2,…,xn trên [a; b] (nếu có).
+ Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2),…, f(xn).
+ So sánh các giá trị vừa tính và kết luận:
M = max f (x) = max{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}
[a;b]
m= min f (x) = min{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}
[a;b]
Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng:
+ Tính f′ (x).
+ Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
III.2. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) = x4 - 2x2 +3 trên đoạn [0;2]
x = 0
3
+ TXĐ: D=[0;2]. Ta có: y ' = 4 x 3 − 4 x , y ' = 0 ⇔ 4 x − 4 x = 0 ⇔ x = 1
x = −1 ∉ [ 0;2 ]
+ Tính được: y ( 0 ) = 3
y ( 1) = 2
y ( 2 ) = 11
= 11 khi x = 2 ; Miny = 2 khi x = 1 .
Vậy: Maxy
x∈[ 0;2]
x∈[ 0;2]
Ví dụ 2. Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f ( x ) =
f / ( x) =
+ TXĐ: D=[2;4],
3
( 1− x)
2
2x +1
trên đoạn [ 2; 4]
1− x
> 0∀x ≠ 1 . Ta tính được: f ( 2 ) = −5; f ( 4 ) − 3
Vậy : max[ 2;4f ] ( x ) = −3 ; min[ 2;4f ] ( x ) = −5
Ví dụ 3. Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = x + 4 − x 2 .
+Tập xác định: D = [ −2;2]
+ y' =1−
x
4 − x2
=
4 − x2 − x
+ Tính: y ( −2 ) = −2 ; y
4 − x2
( 2) = 2
với −2 < x < 2
2 ; y ( 2) = 2 .
Trang 10
=> y ' = 0 ⇔ x = 2
= 2 2 khi x = 2 ; Miny = −2 khi x = −2 .
Vậy: Maxy
x∈[ −2;2]
x∈[ −2;2]
Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số :
x − m2 + m
f ( x) =
trên đoạn [ 0;1] bằng −2 .
x +1
+ Tập xác định: D = [0;1]
+ Ta có: f ' ( x ) =
m2 − m + 1
( x + 1)
2
Do m 2 − m + 1 > 0 ∀m ∈ R nên f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ [ 0;1]
Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn [ 0;1] .
2
+ Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0;1] là f ( 0 ) = − m + m .
m = −1
2
+ Theo giả thuyết ta có: Min f ( x ) = −2 ⇔ − m + m = −2 ⇔
.
x∈[ 0;1]
m = 2
Vậy m ∈ { −1;2} thỏa yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 5. Tìm GTLN-GTNN của y =
+ y' =
x 2 − 2x − 5
( x − 1) 2
x 2 + 2x + 3
trên tập xác định D ∈ (1;3]
x −1
; Cho y ' = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 5 = 0 ⇒ x = 1 ± 6
+ BBT:
y = 9 ⇔ x = 3 và Max y không tồn tại.
Vậy: xMin
∈(1;3]
x∈(1; 3]
III.3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = −x3 + 3x + 1
A. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = –1;
B. Có giá trị lớn nhất là Max y = 3;
C. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = 3;
D. Có giá trị lớn nhất là Max y = –1.
Câu 2. Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 trên đoạn [ −4; 4] .
A. M = 40; m = −41 ; B. M = 15; m = −41 ; C. M = 40; m = 8 ; D. M = 40; m = −8.
HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:
- MODE -> chọn TABLE -> Nhập hàm f(X) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 -> Chọn “ = ” ->
Nhập Start = -4 , End = 4 ; Nhập Step =
Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
4 − (−4)
20 . Kết quả
, chọn A .
2x + 1
trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng:
1− x
A. 0
B. – 2
C. 1
HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:
Trang 11
D. – 5
- MODE -> chọn TABLE -> Nhập hàm f(X) =
2x + 1
-> Nhập Start = 2 ;
1− x
3−2
Nhập End = 3; Nhập Step = 20 . Kết quả
, chọn D .
π π
;
2 2
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 3 x − cos 2 x + sin x + 2 trên khoảng −
bằng:
A.
23
27
B.
1
27
C. 5
D. 1
Câu 5. Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [0;2].
A. M=11, m =2
B. M=3, m=2
C. M=5, m=2
D. M=11, m=3
Câu 6. Cho hàm số y =
y = −1
A. max
[ 0;1]
4x −1
, chọn phương án đúng trong các phương án sau:
x +1
y=0
B. min
[ 0;1]
y=3
C. max
[ −2; 0 ]
y=
D. min
[ 0;1]
3
2
Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số y = − x 2 + 4 x là :
A. 0
B. 4
C. -2
D. 2
Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + x là :
A. 0
B.
3
2
C.
2
3
D. 2
π π
Câu 9. Cho hàm số y = 3sinx – 4sin3x. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (− ; )
2 2
bằng:
A. -1
B. 1
C. 3
D. 7
Câu 10. Trong số các hình chữ nhật có chu vi 24cm. Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
là hình có diện tích bằng:
A. S = 36 cm 2
B. S = 24 cm 2
C. S = 49 cm 2
D. S = 40 cm 2
Câu 11. Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể
tích lớn nhất từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh là 1m . Tính thể tích của hộp cần làm.
A. V =
1 3
m
27
2
9
B. V = m3
1
9
C. V = m3
D. V =
Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − 2x − 3
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 2x.ex trên đoạn [ −1; 2]
A. 4.e
B. 4.e2
C. 4
Trang 12
D. e2
2 3
m
27
π π
Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x - x trên đoạn − ;
2 2
A.
−π
3
B.
−π
4
C.
−π
2
D. 1
IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
IV.1. Lý thuyết
1. Tiệm cận ngang (TCN)
f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0 thì đường thẳng y = y 0 là TCN của
Nếu tính được xlim
→+∞
x→−∞
đồ thị hàm số y = f(x).
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y =
D = R \ {1} ;
x+2
x −1
lim y = 1 ⇒ y = 1 là đường tiệm cận ngang.
x →+∞
2. Tiệm cận đứng (TCĐ)
f (x) = +∞
f ( x) = −∞
f (x) = +∞
Nếu tìm được xlim
, hoặc xlim
, hoặc xlim
, hoặc
→ x+
→ x+
→ x−
0
lim f (x) = −∞
x→ x0−
0
0
thì đường thẳng x= x0 là TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x).
Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y =
D= R \ {1} ;
x +1
x −1
lim y = +∞ => x = 1 là đường tiệm cận đứng.
x →1+
3. Kiến thức bổ trợ
(ax 3 + bx 2 + cx + d ) = a (± ∞) ;
• xlim
→± ∞
lim (ax 4 + bx 2 + c) = a (± ∞)
x →± ∞
ax + b a
= ;
x→± ∞ cx + d
c
• lim
•
•
lim
−d
x→
c
lim
−d
x→
c
+
+
ax + b
− d (ngược dấu = − ∞ ).
nếu
,
cùng
dấu
khi
=
+∞
ax
+
b
cx
+
d
x
→
cx + d
c
−
−
ax + b
− d (ngược dấu = − ∞ ).
nếu
,
cùng
dấu
khi
=
+∞
ax + b cx + d
x→
cx + d
c
IV.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. y = 1 và x = -2
C. y = 1 và x = 1
B. y = x+2 và x = 1
D. y = -2 và x = 1
Câu 2. Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 1
x+2
là:
x −1
B. 2
C. 3
Trang 13
1− x
.
1+ x
D. 0
Câu 3. Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x3 − mx 2 + 2 .
A. 1
B. 2
C. 3
Câu 4. Tìm m để hàm số y =
A. m ≠ 0
D. 0
x −1
có đường tiệm cận đứng (hoặc tiệm cận ngang)?
mx + 1
B. m ≠ −1
m≠0
C. m ≠ 1
D.
m ≠ −1
Câu 5. Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sao đây?
1+ x
1− x
2x − 2
x+2
2 x 2 + 3x + 2
D. y =
2− x
x+2
Câu 6. Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
là:
x −1
A. y =
B. y =
1+ x2
C. y =
1+ x
A. y = 1 và x = -2 B. y = x+2 và x = 1
Câu 7. Đồ thị hàm số y =
A. 1
A. 0
C. 4
B. 1
C. 2
B. 2
Câu 10. Cho hàm số y =
A. (1; 2)
D. 2
3
. Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng
x−2
Câu 9. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. 3
D. y = -2 và x = 1
x2 + x + 1
có bao nhiêu tiệm cận:
−5x2 − 2x + 3
B. 3
Câu 8. Cho hàm số y =
C. y = 1 và x = 1
D. 4
2x + 1
. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm
x −1
C. (1; -1)
D. (-1; 1)
3x + 1
của một đồ thị. Khẳng định nào sau đây đúng?
2x −1
A. Đồ thị có tiệm cận ngang là y =
C. Đồ thị không có tiệm cận
Câu 12. Cho hàm số y =
3x + 1
x2 − 4
C. 1
B. (2; 1)
Câu 11. Cho hàm số y =
D. 3
3
2
B. Đồ thị có tiệm cận đứng là y =
3
2
D. Đồ thị có tiệm cận đứng là x= 1
2x + m
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm
mx − 1
cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích
bằng 8.
A. m = 2
B. m = ±
y=
1
2
C. m =
1
2
D. m ≠ ±2
3 − 2x
x − 2 . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng
Câu 13. Cho hàm số
A. 0
B. 1
C. 2
Trang 14
D. 3
Câu 14. Cho hàm số
y=
3x + 1
2 x − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Đồ thị có tiệm cận ngang là
y=
3
2
B. Đồ thị có tiệm cận đứng là
C. Đồ thị có tiệm cận đứng là x= 1
D. Đồ thị có tiệm cận ngang là
x=
3
2
y=
1
2
V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
V.1. Lý thuyết
1.Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
* Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ).
* Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y′ , giải phương trình y′ = 0.
+ Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.
+ Tìm cực trị của hàm số (nếu có).
+ Tìm các giới hạn.
+ Lập bảng biến thiên.
* Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Xác định điểm CĐ, CT trên đồ thị (nếu có).
+ Để vẽ chính xác hơn ta lập bảng giá trị x,y để xác định tọa độ thuộc đồ thị.
2.Lý thuyết bổ trợ
Đạo hàm của một số hàm số
•
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
→
y ' = 3ax 2 + 2bx + c + 0
•
y = ax 4 + bx 2 + c
→
y ' = 4ax 3 + 2bx + 0
•
y=
ax + b
, (ad − bc ≠ 0) →
cx + d
y' =
ad − bc
(cx + d ) 2
Giải một số phương trình y’= 0
• Phương trình: y ' = ax 2 + bx + c = 0 (cách giải phương trình bậc 2 của lớp 9)
Lưu ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay thông dụng để giải; hoặc nhẫm nghiệm với
phương trình có dạng đặc biệt như:
c
a
i.
Nếu a + b + c = 0 thì có 2 nghiệm x = 1 và x =
ii.
Nếu a − b + c = 0 thì có 2 nghiệm x = −1 và x =
−c
a
• Phương trình: y ' = ax 3 + bx = 0 . Ta đưa về phương trình tích:
ax 3 + bx = 0 ⇔ x(ax 2 + b) = 0
Xét dấu hàm số y’
• Nếu y ' = ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm thì y’ trái dấu với a trong khoảng 2 nghiệm
đó và y’ cùng dấu với a trên các khoảng còn lại (y’=0 có 1 nghiệm hoặc vô
nghiệm thì y’ cùng dấu với a trên các khoảng).
Trang 15
• Nếu y ' = ax 3 + bx = 0 có nghiệm thì y’ trái dấu với a trong khoảng nghiệm ( xi ;+∞)
và đổi dấu liên tục xét từ phải sang trái của bảng xét dấu.
3. Đồ thị hàm số của một số hàm số
a. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
b. Các dạng đồ thị hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
c. Các dạng đồ thị hàm số : y =
ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d
Trang 16
4. Đồ thị hàm số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) .Đồ thị (C′ ) của hàm số y = f (x) có thể được suy
từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thị (C′ ) là hợp của hai phần trên.
Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) .
Đồ thị (C′ ) của hàm số y = f ( x ) có thể
được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C′ ) là hợp của hai phần trên.
Trang 17
V.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x 3 − 3x 2 + 2
* TXĐ D=R
* Sự biến thiên
+ y ' = 3x 2 − 6 x
* Đồ thị:
Bảng giá trị:
x -1
3
x = 0
x = 2
2
Cho y ' = 0 ⇔ 3x − 6 x = 0 ⇒
y -2
2
+ Hs tăng (−∞ ;0) và (2;+∞) . Hs giảm (0;2) .
+ Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)
y = −∞ ; lim y = +∞
+ xlim
→−∞
x →+∞
+ BBT
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau : y = x 4 − 2 x 2
*TXĐ: D=R
*Sự biến thiên :
+ Ta có : y’=4x3-4x=4x(x2-1) ;y’=0 ⇔ x = 0; x = ±1
+ Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) .
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .
+ Cực trị:
Hàm số có hai cực tiểu tại x= ±1 ;yCT =y( ±1 ) = –1
Hàm số có một cực đại tại x=0; yCĐ =y(0) = 0
y = +∞ ; lim y = +∞
+ Giới hạn: lim
x →−∞
x →+∞
+ Bảng biến thiên:
Trang 18
(
*Đồ thị : Đồ thị đi qua gốc toạ độ và cắt trục Ox tại ± 2;0
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =
)
x −1
đồ thị (C).
x +1
* TX Đ : D = R\{-1}
* Sự biến thiên :
+ y/ =
2
> 0, ∀ x ∈ D
( x + 1) 2
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng : ( − ∞;−1) ; (−1;+∞)
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn và tiệm cận :
Lim y = 1 , Lim y = 1 . Tiệm cận ngang y = 1.
x → −∞
x → +∞
Lim y = −∞ , Lim− y = +∞ . Tiệm cận đứng x = -1.
x → −1
x → −1+
+Bảng biến thiên :
*Đồ thị: Giao với Oy tại A(0;-1), giao với Ox tại B(1;0)
y
1
-1
1
O
x
-1
V.3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.
A. y = x 3 − 3 x 2 − 1
B. y = − x 3 + 3x 2 − 1
C. y = x 3 + 3 x 2 − 1
D. y = − x 3 − 3 x 2 − 1
Câu 2. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.
A. y = x 3 − 3 x 2 + 3 x
B. y = − x 3 + 3 x 2 − 3 x
Trang 19
C. y = x 3 + 3 x 2 − 3 x
D. y = − x 3 − 3 x 2 − 3x
Câu 3. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.
1
4
A. y = x 4 − 3 x 2 − 3
B. y = − x 4 + 3x 2 − 3
C. y = x 4 − 2 x 2 − 3
D. y = x 4 + 2 x 2 − 3
Câu 4. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.
A. y = x 4 − 3 x 2 + 1
B. y = − x 4 + 3 x 2 + 1
C. y = x 4 + 3 x 2 + 1
D. y = − x 4 − 3x 2 + 1
Câu 5. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.
2x + 1
x +1
2x + 1
C. y =
x −1
A. y =
x −1
2x + 1
x+2
D. y =
1+ x
B. y =
Câu 6. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.
2x + 1
x−2
x +1
C. y =
x−2
A. y =
x −1
2x + 1
x+3
D. y =
2+ x
B. y =
Câu 7. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.
A. y = x 3 − 3 x − 1
B. y = − x 3 + 3 x 2 + 1
C. y = x 3 − 3 x + 1
D. y = − x 3 − 3x 2 − 1
Câu 8. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.
A. y = x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1
B. y = − x 3 + 3 x 2 + 1
2
1
C. y = x 3 − 3 x + 1
O
D. y = − x 3 − 3x 2 − 1
1
Câu 9. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình bên. Đồ thị bên là đồ thị của
hàm số nào sau đây:
A. y = − x 4 + 2 x 2 − 3
B. y = − x 4 + 2 x 2
C. y = x 4 − 2 x 2
D. y = x 4 − 2 x 2 − 3
Câu 10. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.
A. y = x 3 − 3 x − 4
-1
O
1
2
3
B. y = − x 3 + 3 x 2 − 4
-2
Trang 20
-4
C. y = x 3 − 3 x − 4
D. y = − x 3 − 3 x 2 − 4
VI. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
VI.1. Lý thuyết
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình:
y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )
( với y0 = f ( x0 ) , hệ số góc k = f ' ( x0 ) = y’(x0))
VI.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm A (-1; 7).
Giải:
+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )
+ Ta có x0 = -1 ; y0 = 7
2
+ Ta có y ' = 3 x − 3 ⇒ y '(−1) = 0 .
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y − 7 = 0 hay y = 7.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ
số góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
+ Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
+ Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x
+ Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:
3 x02 − 6 x0 = −3 ⇔ x02 − 2 x0 + 1 = 0 ⇔ x0 = 1
+ Vì x0 = 1 ⇒ y0 = −2 ⇒ M (1; −2) .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3( x − 1) − 2 ⇔ y = −3 x + 1
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 (C). Biết tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Giải:
+ Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0
+ Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x
+Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 6
⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 ⇒
x0 = −1 ⇒ M (−1; −3)
3 x02 − 6 x0 = 9 ⇔ x02 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔
x0 = 3 ⇒ M (3;1)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) − 3 ⇔ y = 9 x + 6 (loại)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y = 9( x − 3) + 1 ⇔ y = 9 x − 26
Trang 21
Ví dụ 4. Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
−1
x.
tuyến đó vuông góc với đường thẳng y =
9
Giải:
+ Tiếp tuyến vuông góc với y =
−1
x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
9
+ Ta có y ' = 3 x 2 − 3 . Do đó y ' = k ⇔ 3 x 2 − 3 = 9 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2.
Với x = 2 ⇒ y = 4 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y = 9( x − 2) + 4 ⇔ y = 9 x − 14.
Với x = −2 ⇒ y = 0 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = - 2 là:
y = 9( x + 2) + 0 ⇔ y = 9 x + 18 .
VI.3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
x0= -1 bằng.
A. – 2
B. 2
C. 0
D. Đáp số khác
Câu 2. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
số với trục tung bằng:
A. – 2
B. 2
x −1
tại giao điểm của đồ thị hàm
x +1
C. 1
Câu 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
trình:
A. y = -9x - 43
x4 x2
+ − 1 tại điểm có hoành độ
4
2
B. y = -9x + 43
D. – 1
x3
+ 3 x 2 − 2 có hệ số góc k = – 9 có phương
3
C. y = -9x - 11
D. y = -9x - 27
Câu 4. Phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) : y = x − 3x + 2 tại điểm M thuộc (C)
và
là:
A.
B.
C.
D.
2
Câu 5. Cho hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có đồ thị (P). Nếu tiếp tuyến tại điểm M của (P) có hệ
số góc bằng 8 thì hoành độ tiếp điểm M là:
A. 12
B. 6
C. -1
D. 5
Câu 6. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =
tuyến với đồ thị trên tại M là:
3
4
A. y = x +
1
2
3
4
B. y = − x +
1
2
2x − 1
với trục Oy. Phương trình tiếp
x−2
3
4
C. y = − x −
1
2
3
4
D. y = x −
1
2
Câu 7. Số tiếp tuyến đi qua A(1; -6) của đồ thị hàm số
là:
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Câu 8. Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 2 khi m bằng:
A. 1 hoặc -1
B. 4 hoặc 0
C. 2 hoặc – 2
D. 3 hoặc – 3
Trang 22
Câu 9. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 1 có đồ thị (C). Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm có hoành độ bằng 1. Tính hệ số góc k của đường thẳng ∆.
A. k = −3 ;
B. k = −2 ;
C. k = −1 ;
D. k = 9 .
Câu 10. Cho hàm số y = x − 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại điểm M ( −2;15 ) .
4
A. y = −32 x − 49 ;
B. y = −32 x + 49 ;
Câu 11. Cho hàm số y =
C. y = 32 x + 79 ;
D. y = −32 x + 79 .
2x + 1
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hệ
x +1
1
. Tìm hoành độ xM của tiếp điểm M.
4
A. xM = 1 hoặc xM = −2 ; B. xM = 1 hoặc xM = −3 ;
số góc bằng
C. xM = 0 hoặc xM = −3 ;
D. xM = 0 hoặc xM = −2 .
Câu 12. Cho hàm số y = x 3 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M ( x0 ; y0 )
có phương trình y = 3x + 2 . Tính giá trị của biểu thức P = x0 + 2 y0 .
A. P = 3 ; B. P = 11 ; C. P = 6 ; D. P = −3 .
VII. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
VII.1. Lý thuyết tương giao của hai đồ thị
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
nghiệm của phương trình: f(x, m) = g(x,m)
(1).
Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
VII.2. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 . Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của
phương trình x 3 − 3 x 2 + m = 0
Giải:
Phương trình x3 – 3x2 + m = 0 -x3 + 3x2 – 1 = m -1
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 với
đường thẳng y = m – 1.
Vậy: m − 1 > 3 ⇔ m > 4 : Phương trình có 1 nghiệm.
m − 1 = 3 ⇔ m = 4 : Phương trình có 2 nghiệm.
3 > m − 1 > −1 ⇔ 4 > m > 0 : Phương trình có 3 nghiệm.
m − 1 = −1 ⇔ m = 0 : Phương trình có 2 nghiệm.
Trang 23
m − 1 < −1 ⇔ m < 0 : Phương trình có 1 nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = − x 4 + 3x 2 + 1 có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) tìm m để
phương trình x 4 − 3x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Giải:
x 4 − 3x 2 + m = 0 ⇔ − x 4 + 3 x 2 + 1 = m + 1
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = m+1.
Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 1 < m + 1 <
13
9
⇔0
4
2x −1
có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m,
x−2
đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Giải: Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
2x −1
= x − m có hai nghiệm phân biệt.
phương trình
x−2
Ví dụ 3. Cho hàm số y =
2x −1
= x − m ( x ≠ 2)
x−2
2x -1 = (x-m)(x-2) x2 – 4x –mx +1 +2m = 0 x2 – (4+m)x +1 +2m = 0
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm:
+ Có ∆ = (4 + m) 2 − 4(1 + 2m) = m2 + 8m + 16 – 4 – 8m = m2 +12 > 0 ∀ m
Vậy với ∀ m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
VII.3. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Cho hàm số
A. 0
B. 2
. Số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox bằng
C. 3
D. 4
Câu 2. Số giao điểm của đường cong
y=1- x bằng?
A. 0
B. 2
và đường thẳng
C. 3
D. 1
Câu 3. Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường cong y =
đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng?
A. −
5
2
B. 1
C. 2
D.
2x + 4
. Khi
x −1
5
2
Câu 4. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = m tại 3 điểm phân
biệt khi ?
A. -3 < m < 1
B. -3 <=m <= 1
C. m > 1
D. m < 3
Câu 5. Đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số
Trang 24
khi ?
A. 0 < m < 4
B. m > 4
Câu 6. Cho hàm số y =
C. m < 0
D. m = 0; m = 4
2x + 3
có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x + m với giá trị nào
x+2
của m thì d cắt (C) tại hai điểm phân biệt:
A. m < 2
B. m > 6
C. 2 < m < 6
D. m < 2 hoặc m > 6
3
2
Câu 7. Cho hàm số y = x - 6x + 9x -1 có đồ thị (C). Đường thẳng y = 3 cắt (C) tại mấy
điểm?
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Câu 8. Cho hàm số y = x 4 − 5 x 2 + 4 . Với các giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt đường
thẳng d: y = m tại bốn điểm phân biệt ?
A. m > −
9
4
B. m < −
9
4
9
4
C. − < m < 4
9
4
D. − 4 < m < − .
Câu 9. Xét phương trình
A. Với m = 5 thì phương trình có 3 nghiệm
B. Với m = – 1 thì phương trình có 2 nghiệm
C. Với m = 4 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt
D. Với m = 2 thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Câu 10. Cho hàm số y =
x
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m
x 2 − 3x − 4
để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
A. −1 < m < −
4
;
5
B. m < −
4
;
5
C. m ≥ 1 ;
Trang 25
D. m ≤ −1 .
