Sáng kiến kinh nghiệm giải bài toán về góc va đường thẳng

I. Thông tin chung về sáng kiến
1. Tên sáng kiến:
“Phân loại và giải một số bài toán về góc và khoảng cách trong hình
học không gian”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo
3. Tác giả: Lê Thúy Hòa
Sinh ngày 28 tháng 3 năm 1965
Chức vụ, đơn vị công tác: Tổ trưởng tổ Toán- Tin- Thể dục trường THPT Dân
Tộc Nội Trú Tỉnh Lạng Sơn
Điện thoại di động: 0915 705 575.
4. Đồng tác giả:
Không có.
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
Không
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THPT Dân tộc nội trú
Tỉnh Lạng Sơn.
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.
- Giáo viên Toán THPT.
- Đối tượng học sinh: Lớp 11, 12 THPT.
8. Thời gian áp dụng sáng kiến: Năm học 2016-2017
II. Tình trạng giải pháp đã biết
Trong chương trình THPT, bài toán về góc và khoảng cách là bài toán
không hề dễ đối với các em học sinh. Để giải quyết được loại toán này, không
những các em phải nắm chắc lý thuyết về xác định góc giữa hai đường thẳng,
gócgiữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ
một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau…mà các em còn phải có khả năng tư duy tốt. Phải biết
khai thác nhuần nhuyễn những vấn đề đã biết để áp dụng giải quyết những vấn
đề chưa biết.Nếu các em không được học vấn đề này một cách bài bản thì các
em khó có thể giải quyết được dạng toán này
Thực tế giảng dạy trong những năm qua là giáo viên chưa hệ thống một

cách đầy đủ phương pháp giải quyết dạng toán này, chưa khai thác triệt để các
cách giải khác nhau của cùng một bài toán. Vì thế học sinh còn lúng túng trong
việc tìm đường lối để giải quyết bài toán
Các vấn đề nghiên cứu sau đây giúp cho học sinh nắm được các dạng
toán tính góc và khoảng cách.Nhận dạng nhanh được các dạng toán, từ đó định
hướng được cách giải và tự tin hơn khi gặp phải bài toán dạng tương tự.Nhằm
giúp các em thấy được bài toán hình học cũng lý thú và nhẹ nhàng như bao bài
1


toán khác. Từ đó tạo động lực học tập để các em giành được kết quả cao trông
kỳ thi tới
III. Mô tả bản chất của sáng kiến
3.1. Tính mới, tính sáng tạo.
Một số bài toán về góc và khoảng cách được phân loại và trình bày một
cách hệ thống, khoa học từ dễ đến khó. Được phân dạng một cách tương đối đầy
đủ và được trình bày bằng hai phương pháp giải khác nhau, phương pháp tổng
hợp và phương pháp đưa về hệ trục tọa độ. Nhằm giúp cho học sinh có cái nhìn
sâu sắc và toàn diện hơn đối với loại toán này. Từ đó khơi dậy niềm đam mê
môn học, rèn luyện cho học sinh tính tự tin, chủ động, sáng tạo. Tạo hứng thú
học tập của các em, giúp các em tiếp thu và giải quyết tốt dạng toán này
3.2. Khả năng áp dụng của giải pháp
Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu và áp dụng cho việc giảng
dạy và học tập môn hình học cho học sinh lớp 11, 12, học sinh ôn thi THPTQG,
ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh ở tất cả các trường Trung học phổ thông trên toàn
tỉnh.
3.3. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến
3.3.1. Mục đích của giải pháp.
Nhằm giúp cho học sinh tiếp thu một cách có hệ thống các bài toán liên
quan đến góc, khoảng cách và vận dụng giải được các bài toán dạng này.

3.3.2. Phân loại và giải một số bài toán về góc và khoảng cách
* Tóm tắt lý thuyết
Vấn đề 1: Góc
1.Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a
và b

2


a
b
a'

O

b'

Chú ý:
+ Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc
một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với
hai đường thẳng còn lại
+Nếu a song song với b hoặc a trùng với b thì góc giữa a và b bằng 00
+Nếu a⟘b thì góc giữa a và b bằng 900
+ Gọi là góc giữa a và b thi 00900
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng
góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 900

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc d
và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng (P) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng (P)
d
A

P

d'

O

H

Chú ý:
3


+ Nếu d nằm trong mặt phẳng (P) hoặc d//(P) thì góc giữa d và mặt phẳng
(P) bằng 00
+ Nếu d ⟘(P) thì góc giũa d và mặt phẳng (P) bằng 900
+ Gọi là góc giữa d và (P) ta có 00900
3. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳnglà góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
* Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)
+ Nếu (P) //(Q) hoặc (P) trùng với (Q) thì = 00
+ Giả sử (P) cắt (Q) theo giao tuyến d
- Từ điểm I bất kỳ trên d dựng (R) ⟘d

- Gọi a = (P)(R), b = (P)(R)
- =

a

b

R
P

Q

* Chú ý:
+ Nếu (P) ⟘(Q) thì = 900
+ Gọi là góc giữa (P) và (Q) ta có 00900
Vấn đề 2. Khoảng cách
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
đường thẳng a, ta có MH = d(M,a).
M

a

H

4


2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên

mặt phẳng (P), ta có MH = d(M,(P))
M

H

P

3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). M là một điểm bất kỳ trên đường
thẳng a, ta có d(a,(P) = d(M,(P).

M

a

H

P

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). M là một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng (P), ta có d((P),(Q)) = d(M,(Q))

M

P

H
Q

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, để tìm khoảng cách giữa hai
đường thẳng a và b ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau
a) Nếu MN là đoạn vuông góc chung của đường thẳng a và đường thẳng
b thì d(a,b) = MN
5


M
a
N
b

b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và (P) song song với a, ta có
d(a,b) = d(a,(P))
M

a

H
b
Q

c) Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng a,b và
song song với nhau, ta có d(a,b) = d((P),(Q))

M

a

P

H
Q

b

Ta nhận thấy để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng
cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hầu như đều
quy về việc tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. Để tính khoảng
cách từ một điểm M tới mặt phẳng (P) ta có thể sử dụng một trong các phương
pháp sau
+ Nếu M thì d(M,(P)) =0
+ Nếu Mkhông nằm trên mặt phẳng (P) thì ta có thể
Phương pháp 1:
+Dựng mặt phẳng (Q) chứa M và (Q) ⟘(P)
+ Tìm giao tuyến của (P) và (Q)
6


+ Dựng MH ⟘
+ MH = d(M,(P))

M
a
Q

P

H

Phương pháp 2: Nếu MN//(P) thì d(M,(P) = d(N,(P)

M

N

K

H

P

Phương pháp 3: Nếu M,N,O thẳng hàng thì =
( Nếu biết và d(N,(P) ta dễ dàng tính được d(M,(P))

N
M
M
K
P

O

H

K

O

H

P

N

P
hương pháp 4: Phương pháp thể tích
Để tích khoảng cách bằng phương pháp này ta thường dựa vào công thức
sau: h=
Ở đây V,h,S lần lượt là thể tích,chiều cao và diện tích đáy của một hình
chóp nào đó( hoặc h= đối với hình lăng trụ)
Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp sau: Giả sử ta có thể
quy bài toán này về tìm chiều cao của hình chóp (hay hình lăng trụ) nào đó. Dĩ
7


nhiên các chiều cao này thường không xác định được, hoặc không tính trực tiếp
được.....Tuy nhiên các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện
tích đáy. Như vậy chiều cao của nó sẽ được xác định dễ dàng bởi công thức trên
Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng hệ trục tọa độ trong không gian
Để sử dụng phương pháp này ta cần nhớ một số kiến thức cơ bản sau
a.Cho các véc tơ , ,
⟘ <=> . = 0
và cùng phương <=> [, ] =
, , đồng phẳng <=> [, ] = 0
b. Diện tích tam giác ABC là: SABC =
c. Thể tích khối tứ diện ABCD là: VABCD =
c. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: VABCD.A’B’C’D’ =
d. Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có véc tơ chỉ phương là và ’. Gọi

là góc giữa d và d’, ta có cos = .
e. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là và ’. Gọi
là góc giữa (P) và (Q), ta có cos = .
f. Cho mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là và và đường thẳng d có vtcp
là . Gọi là góc giữa (P) và d, ta có sin = .
g. Cho điểm M( và mặt phẳng (P): Ax+By +Cz + D = 0 ( A 2 +B2 +C2 0),
ta có
d(M, (P) =
h. Cho điểm M và đường thẳng d qua điểm N và có véc tơ chỉ phương là ,
ta có d(M,d) =
i. Cho hai đường thẳng chéo nhau và’. Biết đường thẳng qua điểm M và
có véc tơ chỉ phương là , đường thẳng ’ qua điểm M’ và có véc tơ chỉ phương là ,
ta có d(,’) =
* Bài tập
Dạng 1: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
.SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt
phẳng đáy một góc 600.
a) Tính góc hợp bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB).
b) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, tính khoảng cách từ điểm O tới mặt
phẳng (SBC).
d) Gọi H là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng
(SBC).
e) Tính khoảng cách giữa hai đưởng thẳng BD và SC.
8


Giải:
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp

S

H
K
M

A

D
O
B

C

Ta có (SBC)(ABCD) = BC
Vì ABCD là hình vuông => BCAB
Vì SAmp(ABCD) => BC.
Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600
a)
Tính góc hợp bởi SC với mặt phẳng (SAB)
Vì BC⟘(SAB) =>SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng
(SAB) => = =
Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a, SB = 2a.
Tam giác SBC vuông tại B => tan = = => = arctan hay = arctan
b)
Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).
Ta có (SBD)(ABCD) = BD
Vì ABCD là hình vuông => BDAC
Vì SAmp(ABCD) => BD.
Từ đó => BD⟘(SAC) => = = .

Tam giác SAO vuông tại O => tan = = => = arctan hay = arctan
c)
Gọi O là giao điểm của AC và BD, tính khoảng cách từ điểm
O tới mặt phẳng (SBC)
Vì A,O C thẳng hàng => = = => d(O,(SBC) = d(A,(SBC)
Vì BC(SBC) => (SAB) ⟘(SBC). Dựng AK ⟘SB => AK⟘(SBC)
=> AK = d(A,(SBC).
Tam giác AKB vuông tại K => AK = AB.sin600 = .
Vậy d(O,(SBC) =
d)
Gọi H là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ H tới mặt
phẳng (SBC)
Vì OH//SB => OH //(SBC) => d(H,(SBC) = d(O,(SBC) = .
e)Tính khoảng cách giữa BD và SC
9


Vì ABCD là hình vuông => BDAC
Vì SAmp(ABCD) => BD.
Từ đó => BD⟘(SAC) . Dựng OM ⟘SC. Vì BD⟘(SAC) => OM⟘DB. Vậy OM
là đoạn vuông góc chung của BD và SC hay OM = d(BD,SC)
Tam giác SAC vuông tại A => SC =
=> = => OM = SA. =
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ
(Mục tiêu của phương pháp là giúp các em làm quen với phương pháp tọa
độ, phương pháp này thường kết hợp với phương pháp tổng hợp dùng để tính
góc, khoảng cách)
z
S

H

M

A

D

y

O
B

C

x

Ta có (SBC)(ABCD) = BC
Vì ABCD là hình vuông => BCAB
Vì SAmp(ABCD) => BC.
Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600
Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( a;0;0),
D(0;a;0). Khi đó C(a;a;0)
a) Mặt phẳng (SAB) có vtpt là = ( 0;a;0). Đường thẳng SC có vtcp là
= ( a;a; a)
Gọi là góc giữa (SAB) và SC, ta có sin = = .
Vậy = arcsin.
b) Mặt phẳng( ABCD) có vtpt là = ( 0;0; a). Mặt phẳng (SBD) có VTPT
là = (

Gọi là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD), ta có cos = = .
Vậy = arccos
c) O( ;, mp(SBC) có phương trình +z - a = 0
d(O, (SBC) = =
10


d) Vì H là trung điểm của SD => H(0; ;), mp(SBC) có phương trình +z a=0
d(O, (SBC) = =
e) = ( a;a; -a),= ( -a;a; 0), = ( a;0; -a)
[= (a2 a2;2a2)
d(BD) = =
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .SA = a
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng đáy
một góc 600. Cạnh bên SD hợp với đáy một góc 300.
a) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).
b) Gọi M là điểm nằm trên đoạn SB sao cho SM = 2MB, tính khoảng cách
từ điểm M tới mặt phẳng (SDC).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Giải:
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp
S

M
H

K
A

B
E
C

D
F
d

* Ta có (SBC)(ABCD) = BC
Vì ABCD là hình chữ nhật => BCAB
Vì SAmp(ABCD) => BC.
Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600
* Vì SAmp(ABCD) =>AD là hình chiếu vuông góc của SD trên
mp(ABCD)
=> = = = 300
Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a.
Tam giác SAD vuông tại A => AD= SA. cot300 = 3a.
a) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).
Ta có (SBD)(ABCD) = BD
Dựng AEBD
Vì SAmp(ABCD) => BD.
Từ đó => BD⟘(SAE) => = =
11


Tam giác ABD vuông tại A => <=> =
Vậy AE = . Tam giác SAE vuông tại A => tan = =
Do đó arctan
b) Gọi M là điểm nằm trên đoạn SB sao cho SM = 2MB, tính khoảng cách
từ điểm M tới mặt phẳng (SDC)

Vì B,M S thẳng hàng => = = => d(M,(SDC) = d(B,(SDC)
Vì AB//DC => AB //(SDC) => d(B,(SDC)= d(A,(SDC)
Vì ABCD là hình chữ nhật => DC⟘AD
Vì SA⟘(ABCD) => SA⟘DC
Từ đó => DC(SAD) => (SAD) ⟘(SDC). Dựng AH ⟘SD => AH⟘(SDC)
=> AH = d(A,(SDC)).
Tam giác AHD vuông tại H => AH = AD.sin300 = .
Vậy d(M,(SDC) =
c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD
Vì ABCD là hình chữ nhật => AB⟘AD
Vì SA⟘(ABCD) => SA⟘AB
Từ đó => AB(SAD). Dựng AH⟘SD. Vì AB(SAD) => AB AH. Vậy AH là
đoạn vuông góc chung của SD và AB. Do đó AH = d(AB,SD) =
d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Dựng đường thẳng d qua C và d// BD => BD //(SC,d) => d(BD,SC) =
d(BD,(SC,d).Dựng AF⟘d . Vì d//BD => A,E,F thẳng hàng và EF = AF=>
d(BD,SC) = d(BD,(SC,d))= d(E,(SC,d) = d(A,(SC,d))
Ta có AF⟘d
Vì SAmp(ABCD) => BD.
Từ đó => d⟘(SAF). => (d,SC) ⟘(SAF) Dựng AK ⟘SF => AK⟘(SC,d) => AK
= d(A, (SC,d))
Tam giác SAF vuông tại A có AF = 2AE =
=> <=> = => AK = .
Vậy d(BD,SC) =
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ

12


z

S

M
H

K
A

B

y

E
C

D
x

F

d

* Ta có (SBC)(ABCD) = BC
Vì ABCD là hình chữ nhật => BCAB
Vì SAmp(ABCD) => BC.
Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600
* Vì SAmp(ABCD) =>AD là hình chiếu vuông góc của SD trên
mp(ABCD)
=> = = = 300

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a.
Tam giác SAD vuông tại A => AD= SA. cot300 = 3a.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( 0;a;0),
D(3a,;0;0). Khi đó C(3a;a;0). M(0;
a) Mặt phẳng( ABCD) có vtpt là = ( 0;0; a). Mặt phẳng (SBD) có VTPT
là = (
Gọi là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD), ta có cos = = .
Vậy = arccos
b) M(0;mp(SDC) có phương trình +z - a = 0
d(O, (SBC) = =
c) = (3a;0; -a),= ( 0;a; 0), = ( 0;0; a)
[= (-a2 0;-3a2)
d(BD) = =
= (3a; a; -a),= ( 3a;-a; 0), = ( 3a;0; -a)
[= (a2 3a2;6a2)
d(BD) = =

13


Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại
A và D. SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt
phẳng đáy một góc 600. Biết AB =2a, AD = DC = a. Gọi M là trung điểm của
AB.
a) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SCB).
b) Tính góc hợp bới đường thẳng SD với mặt phẳng (SCB).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Giải:
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp
S

I

H
M

A

B

K
D
d

E
F

N
C

Vì
=> AMCD là hình vuông = CM = AB => tam giác ACB vuông tại C =>
CB, vì SA⟘(ABCD) => SA⟘BC. Từ đó => BC⟘(SAC) => = = = 600.
AMCD là hình vuông cạnh a => AC = a
Tam giác SAC vuông tại A => SA = AC.tan600 = a
a)Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SCB)
Vì A, M, B thẳng hàng và MB = AB => => = = => d(M,(SBC) = d(A,
(SBC)
Vì BC(SAC) => (SAC) ⟘(SBC). Dựng AH ⟘SC => AH⟘(SBC)
=> AH = d(A,(SBC).

Tam giác AHD vuông tại H => AH = AC.sin600 = .
Vậy d(M,(SBC) =
b) Tính góc hợp bới SD với mặt phẳng (SCB)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SCB) => SK là
hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SBC) => = =
Vì DM//BC => DM//(SBC) => DK = d(M,(SBC)) = .
14


Tam giác SKD vuông tại K có SD = a =>sin = = .
Vậy = arcsin
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Dựng đường thẳng d qua C và d// BD => BD //(SC,d) => d(BD,SC) =
d(BD,(SC,d).Dựng AF⟘d . Vì d//BD => A,E,F thẳng hàng và EF = AF=>
d(BD,SC) = d(BD,(SC,d)= d(E,(SC,d) = d(A,(SC,d)
Ta có AF⟘d
Vì SAmp(ABCD) => d.
Từ đó => d⟘(SAF) hay (d,SC) ⟘(SAF) . Dựng AI⟘SF => AI⟘(SC,d) =>
AI = d(A, (SC,d))
Gọi E = AF. Ta có vì AB = 2DC => AF = 3EF => d(BD,SC)= d(E, (d,SC)
= d(A,(d,SC)
Tacó AF = AE = . = . Tam giác SAF vuông tại F
=> <=> = => AI = .
Vậy d(BD,SC) =
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ
S

z

I

H
M

A

B

K
D
x
d

E
F

y

N
C

Vì
=> AMCD là hình vuông = CM = AB => tam giác ACB vuông tại C =>
CB, vì SA⟘(ABCD) => SA⟘BC. Từ đó => BC⟘(SAC) => = = = 600.
AMCD là hình vuông cạnh a => AC = a
Tam giác SAC vuông tại A => SA = AC.tan600 = a
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( 0;2a;0),
D(a,;0;0). Khi đó C(a;a;0). M(0;
a) M(0;mp(SBC) có phương trình -y +2z = 0
15

d(M, (SBC) = =
b) Mặt phẳng( SBC) có vtpt là = (; ; 2). = (a;0;-a),
Gọi là góc giữa mp(SBC) và đường thẳng SD, ta có sin = = .
Vậy = arcsin
c) = ( a;a; -a),= ( a;--2a; 0), = ( a;0; -a)
[= (2a2 -3a2;3a2)
d(BD) = =
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, =
0
120 , cạnh SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt
phẳng(SAB) một góc 600. Gọi K là trung điểm của SC.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BK.
Giải:
S

K

H

M

D

A
O
E

B

C

Ta có SDC = SDA ( c.g.c) => SC = SA => SBC = SBA ( c.c.c)
Dựng CM⟘SB => AM⟘SB => SB⟘(CMA) => = = = 600.
Gọi O = AC BD. Vì ABCD là hình thoi cạnh a có = 1200 => AC =a, DB
=a
a) Vì ABCD là hình thoi => AC⟘BD
Vì SD⟘(ABCD) => AC⟘SD. Từ đó => CA⟘(SDB) => CA⟘OM(1)
Vì SB⟘(CMA) =>SB⟘OM(2)
Từ (1) và (2) => OM là đoạn vuông góc chung của AC và SB
=> OM = d(AC,SB)
Vì SBC = SBA => CM = AM => OM⟘AC. Tam giác OMA vuông tại O
=> OM = OA. cos300 = .
Vậy d(AC,SB) = .
b) Vì AD// BC => AD //(SBC) => d(AD,BK) = d(AD,(SBC) = d(D,
(SBC)
Dựng DE⟘BC .
16


Vì SAmp(ABC) => BC.
Từ đó => BC⟘(SDE) hay (DSE) ⟘(SBC) . Dựng DH⟘SE => DH⟘(SCB)
=> DH = d(D, (SCB))= d(AD,BK).
Tam giác OMB vuông tại M => MB =
OMB SDB => => SD =a
Tam giác SDE vuông tại D có DE =
=> <=> = => AI = .
Vậy d(AD,BK) =

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, =
600, biết AB = a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SB hợp
với mặt phẳng đáy một góc 600.
a) Gọi E là trung điểm của AB tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB
và EC.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Giải:
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp

S

M
H

A

N
C

F

E
B

K
d

Vì SA⟘(ABC) => AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC) =>
= = = 600.Tam giác SAB vuông tại A => SA =AB.tan600 = a, SB = 2a. Tam
giác ABC vuông tại B => BC =AB.tan600 = a, AC = 2a.

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và EC.
Dựng đường thẳng d qua B và d// CE => CE //(SB,d) => d(BS,EC) =
d(CE,(SB,d)) = d(E,(SB,d)). A,E,B thẳng hàng và EB = AB=> d(SB,EC) = d(E,
(SB,d)) = d(A,(SB,d))
Dựng AK⟘d
17


Vì SAmp(ABC) => d.
Từ đó => d⟘(SAK) hay (d,SB) ⟘(SAK) . Dựng AH⟘SK=> AH⟘(SB,d)
=> AH = d(A, (SB,d))
Gọi F= AK. Ta có vì AB = 2EC => AK = 2KF =2d(B,CE) =
Tam giác SAK vuông tại K
=> <=> = => AH = .
Vậy d(CE,SB) =
b)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Dựng BM⟘SC,MN⟘AC (NAC) => SC⟘(BMN) => = = .
=> = => BM= , MC =
=> => NM= , NC = .
Áp dụng định lý cosin vào tam giác NBC ta có:
BN2 = CN2 + BC2 – 2CN. CM.cos300 => BN =
Áp dụng định lý cosin vào tam giác MBN ta có:
BN2 = MN2 + BM2 – 2MN. BM.cos => cos =
Vậy = arccos
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ
(Bài này nếu sử dụng phương pháp tọa độ dường như sẽ “nhẹ nhàng”
hơn)
z
S

A
C

y

E
x

B

Vì SA⟘(ABC) => AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC) =>
= = = 600.Tam giác SAB vuông tại A => SA =AB.tan600 = a, SB = 2a. Tam
giác ABC vuông tại B => BC =AB.tan600 = a, AC = 2a.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), C( 0;2a;0).
Khi đó B(;0). E(;0
a) = (;; -a),= (;; 0),, = ( 0;2a; -a)
18


[= ( ;)
d(BD) = =
b) Mặt phẳng( SBC) có vtpt là = (;; 2). Mặt phẳng( SAC) có vtpt là = (;;
0). Gọi là góc giữa mp(SBC) và mp(SAC), ta có cos = = .
Vậy = arccos
Dạng 2: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD).
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
b) Tính góc hợp bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD).

c) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SDC).
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DB và SC.
Giải:
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp
S

I
K
M

A

D

H
B

P
N

C

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều => SHAB.
Vì (SAB)=> SH(ABCD).Tam giác SAB đều cạnh 2a => SH = a
a) Tính khoảng cách giữa AB và SD.
Vì AB// DC => AB//(SDC) => d(AB,SD) = d(AB,(SDC)) = d(H,
(SDC))
Dựng HP⟘DC .
Vì SHmp(ABCD) => DC.
Từ đó => DC⟘(SHP) hay (SHP) ⟘(SDC).

Dựng HI⟘SP => HI⟘(SCD) => HI = d(H, (SCD))= d(AB,SD).
Tam giác SHP vuông tại H
=> <=> = => AI = .
19


Vậy d(AB,SD) =
b) Tính góc hợp bởi SB và mặt phẳng (SCD).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SCD) => SK là
hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SDC) => = =
Vì AB//DC => AB//(SDC)) => BK= d(B,(SDC)) =d(H,(SDC) = .
Tam giác SKB vuông tại K có SB = 2a =>sin = = .
Vậy = arcsin
c) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SBC).
Dựng PM⟘SC. Dựng MN⟘SC. =>SC⟘(PMN) => => = =
=> = => PM= , MC =
Tam giác SBC vuông cân tại B => tam giác MNC vuông cân tại M
=> MC = MN = => NP = . Tam giác NCB vuông tại C => NP =
Áp dụng định lý cosin vào tam giác MPN ta có:
PN2 = MN2 + PM2 – 2MN. PM.cos => cos =
Vậy = arccos
d) Tính khoảng cách giữa DB và SC.
Dựng đường thẳng d qua C và d// BD => BD //(SC,d) => d(SC,BD) =
d(BD,(SC,d) = d(B;(d,SC))
Gọi Q = dAB . Vì H,B,Q thẳng hàng và BQ= HQ => d(BD,SC) = d(B,
(SC,d) = d(H,(SC,d)
Dựng HE⟘d
Vì SHmp(ABCD) => d SH
Từ đó => d⟘(SHE) hay (d,SC) ⟘(SHE) . Dựng HF⟘SE=> HF⟘(SC,d)
=>HF= d(H, (SB,d))

Vì HE//AC => HE = AC =
Tam giác SHE vuông tại H
=> <=> = => AH = .
Vậy d(BD,SC)=

20


S

F
D

A
H
O
G

C

B
E
Q

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ
z
S

Gọi H là
trung điểm

của AB. Vì
tam giác
SAB đều
D
=> SHAB.
A
Vì
H
y
P
(SAB)=>
C
SH(ABCD).Tam
B
giác SAB đều
x
cạnh 2a => SH =
a
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0), S(0;0;a), P( 0;2a;0),
B(a;0;0). Khi đó C(a;0), D(;0,A(-a;0;0)
a) Tính khoảng cách giữa AB và SD.
= (2a;;0),= (-a;; ), = ( 0;2a; 0)
[= ()
d(ABSD) = = .
b) Tính góc hợp bởi SB và mặt phẳng (SCD).
Mặt phẳng( SDC) có vtpt là = (;; 4). Đường thẳng SB có vtcp là = (;; -).
Gọi là góc giữa mp(SDC) và đường thẳng SB, ta có sin = = .
21

Vậy = arcsin
c) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SBC).
Mặt phẳng( SDC) có vtpt là = (;; 4). Mặt phẳng (SBC) có vtpt là = (2;;
2).
Gọi là góc giữa mp(SDC) và mp(SBC), ta có cos = = .
Vậy = arccos
d)Tính khoảng cách giữa DB và SC.
= (),= (; 0), = ( a;2a; a)
[= (2a2 )
d(BD) = =
Bài tập2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, mặt bên
(SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD).
Biết BD = 2a, AC=2a
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
b) Tính góc hợp bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (SCB).
c) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBA) và mặt phẳng (SBC).
Giải:
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp
S

E
A
I

M

D

O

H

B

K

N

C

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều => SHAB.
Vì (SAB)=> SH(ABCD).
Gọi O=AC BD. Vì ABCD là hình thoi =>BD⟘ AC. Tam giác ABO vuông
tại O => AB2 = AO2 + OB2 = 4a2 => AB = 2a => tam giác ABC là tam giác đều
=>SH = a
a) Tính khoảng cách giữa AD và SC.

22


Vì AD// BC => AD//(SBC) => d(AD,SC) = d(AD,(SBC)) = d((A,
(SBC)) =2d(H,(SDC)) ( Vì A,H,B thẳng hàng và H là trung điểm của AB)
Dựng HK⟘BC .
Vì SHmp(ABCD) => BCSH
Từ đó => DC⟘(SHK) hay (SHK) ⟘(SBC).
Dựng HI⟘SK => HI⟘(SCB) => HI = d(H, (SCB))= d(AD,SC).
Tam giác SHK vuông tại H có HK=
=> <=> = => AI = .
Vậy d(AD,SC) =
b) Tính góc hợp bởi SD và mặt phẳng (SCB).

Gọi E là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SCB) => SE là hình
chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SBC) => = =
Vì AD//BC => AD//(SBC)) =>DE= d(D,(SBC)) =d(A,(SBC) = .
Tam giác SED vuông tại E có SD = a =>sin = = .
Vậy = arcsin
c) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBA) và mặt phẳng (SBC).
Dựng HM⟘SB. Dựng MN⟘SB. =>SB⟘(HMN) => => =
Tam giác HMB vuông tại H có HM = AB.sin600 = . MB =
=> = => NM= , NB =. Vậy N trùng với C => CH = a
Áp dụng định lý cosin vào tam giác HMC ta có:
HC2 = MH2 + CM2 – 2MH. CM.cos => cos =
Vậy = arccos
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ

S

z

A
D

H
O
B

C

y

x

=> AB = 2a => tam giác ABC là tam giác đều =>SH = a
23

Gọi H là trung
điểm của AB. Vì
tam giác SAB
đều => SHAB.
Vì
(SAB)=>
SH(ABCD).
Gọi O=AC BD.
Vì ABCD là hình thoi
=>BD⟘ AC. Tam giác
ABO vuông tại O =>
AB2 = AO2 + OB2 = 4a2


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0), S(0;0;a), B( a;0;0),
C(0;a;0). Khi đó D(;0,A(-a;0;0)
a) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
= (-a;;0),= (0;; ), = ( a;; 0)
[= ()
d(ABSD) = = .
b) Tính góc hợp bởi SD và mặt phẳng (SCB).
Mặt phẳng( SBC) có vtpt là = (;; 1). Đường thẳng SD có vtcp là = (; -).
Gọi là góc giữa mp(SDC) và đường thẳng SB, ta có sin = = .
Vậy = arcsin
c)Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).
Mặt phẳng( SAB) có vtpt là = (;; 0). Mặt phẳng (SBC) có vtpt là = (;; 1).

Gọi là góc giữa mp(SAB) và mp(SBC), ta có cos = = .
Vậy = arccos
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
có SB =2a mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng (SAC) một góc 300.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
b) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC).
Giải:
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp
S

I

A

M

H
K
N

C

B

d

Gọi H là trung điểm của AC. Vì tam giác SAC đều => SHAC.
Vì (SAC)⟘ (ABC) =>SH(ABC).
Vì tam giác ABC vuông cân tại B => BHAC.

Vì (SAC)⟘ (ABC) => BH⟘(SAC) => SH là hình chiếu vuông góc của SB
trên mp(SAC) => = = = 300.
Tam giác SHB vuông tại H có = 300, SB = 2a => HB = a. SH = a
Tam giác ABC vuông cân tại B => AC = 2a, BC = BA = a
24


a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Dựng đường thẳng d qua C và d// AB => AB//(d,SC) => d(AB,SC) =
d(AB,(d,SC)) = d((A,(d,SC)) =2d(H,(d,SC)) ( Vì A,H,C thẳng hàng và H là
trung điểm của AC)
Dựng HK⟘d .
Vì SHmp(ABC) => dSH
Từ đó => d⟘(SHK) hay (SHK) ⟘(d,SC).
Dựng HI⟘SK => HI⟘(SC,d) => HI = d(H, (SC,d))= d(AB,SC).
Tam giác CHK vuông cân tại H có HC =a => HK=
Tam giác SHK vuông tại H
=> <=> = => AI = .
Vậy d(AB,SC) =
b) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBC).
Ta có SBC = SBA(c.c.c). Dựng AM⟘SB =>CM⟘SB. =>SB⟘(AMC) => =
Gọi N là trung điểm của BC, vì tam giác SCB cân tại S => SN⟘BC và SN
= . SSCB = SN.CB =CM.SB => CM =
Áp dụng định lý cosin vào tam giác AMC ta có:
AC2 = MA2 + CM2 – 2MA. CM.cos => cos =
Vậy = arccos
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ
z
S

A
H
B

C

y

x

Gọi H là trung điểm của AC. Vì tam giác SAC đều => SHAC.
Vì (SAC)⟘ (ABC) =>SH(ABC).
Vì tam giác ABC vuông cân tại B => BHAC.
25