de cuong on tap toan 8 hoc ki 1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (268.56 KB, 44 trang )
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN 8
A. PHẦN ĐẠI SỐ
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN – PHẾP CHIA ĐA THỨC
1. Phép nhân:
a)Nhân đơn thức với đa thức:
A.(B + C) = A.B + A.C
b)Nhân đa thức với đa thức:
(A + B)(C + D) = A.B + A.C +B.C + B.D
2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
3) A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
* Mở rộng:
(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB – 2AC –
2BC
b) Chia đa thức cho đơn thức:
- Điều kiện chia hết: Đa thức A chia hết cho
đơn thức B khi mỗi hạng tử của A đều chia hết
cho B.
- Qui tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thúc
B(trường hợp chia hết) ta chia mỗi hạng tử của
A cho B , rồi cộng các kết quả với nhau :
(M + N) : B = M : B + N : B
c) Chia hai đa thức một biến đã sắp xếp :
- Với hai đa thức A và B(B ≠ 0), luôn tồn tại
hai đa thức duy nhất Q và R sao cho :
A = B.Q + R ( trong đó R = 0), hoặc bậc
của R bé hơn bậc của B khi R ≠ 0.
- Nếu R = 0 thì A chia chia hết cho B.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi
đa thức đó thành tích của những đơn thức và đa
thức.
b) Các phương pháp cơ bản :
- Phương pháp đặt nhân tử chung.
- Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp nhóm các hạng tử.
* Chú ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử
ta thường phối hợp cả 3 phương pháp
4. Phép chia:
a) Chia đơn thức cho đơn thức:
- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi
bíến của B đều là biến của A với số mũ bé hơn
hoặc bằng số mũ của nó trong A.
- Qui tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn
thúc B(trường hợp chia hết) :
+Chia hệ số của A cho hệ số B.
+Chia từng lũy thừa của biến trong A cho
lũy thừa của biến đó trong B.
+Nhân các kết quả với nhau.
CHƯƠNG II :PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1. Định nghĩa: Phân thức đại số là biểu thức
7. Trừ các phân thức đại số :
a) Hai phân thức gọi là đối nhau nếu tổng của
A
có dang
(A, B là những đa thức, B ≠ 0).
A
A
B
chúng bằng 0 ( và - là hai phân thức đối
2. Phân thức bằng nhau:
B
B
nhau)
A C
=
nếu A.D = B.C
A −A
A
B D
=
b) Qui tắc đổi dấu : − =
3. Tính chất cơ bản:
B
B −B
A A.M
A C A
C
=
*Nếu đa thức M ≠ 0 thì
c) Phép trừ : − = + (− )
B B.M
B D B
D
*Nếu đa thức N là nhân tử chung thì
8. Nhân các phân thức đại số :
a) Nhân các PTĐS ta nhân các tử thức với
A A: N
=
nhau, nhân các mẫu thức với nhau , rồi rút gọn
B B:N
PTĐS tìm được :
A −A
*Quy tắc đổi dấu : =
A C A.C
B −B
. =
B D B.D
4. Rút gọn phân thức : Gồm các bước
b)Phép nhân các PTĐS có tính chất :
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử(nếu có
A C C A
thể) để tìm nhân tử chung.
+ Giao hoán : . = .
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
B D D B
5. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức:
1
+ Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm
A C E A C E
+ Kết hợp : ( . ). = .( . )
MTC.
B D F B D F
+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
+ Phân phối đối với phép cộng :
+ Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với
A C E
A C A E
.( + ) = . + .
nhân tử phụ tương ứng.
B D F
B D B F
6. Cộng các phân thức đại số :
9. Chia các phân thức đại số :
a) Cộng các PTĐS cùng mẫu : Ta cộng tử
a) Hai phân thức được gọi là nghịch đảo lẫn
thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức rồi rút gọn
nhau nếu tích của chúng bằng 1.
PTĐS vừa tìm được.
A
B
b) Cộng các PTĐS không cùng mẫu : Ta qui
và
là hai phân thức nghịch đảo lẫn
B
A
đồng mẫu thức, rồi cộng các PTĐS cùng mẫu
nhau,
tìm được.
A
c) Phép cộng các PTĐS có các tính chất :
(với ≠ 0 )
B
A C C A
+ Giao hoán : + = +
b) Chia hai phân thức :
B D D B
A C A D A.D
C
A C
E A C E
: = . =
≠ 0)
(Với
+ Kết hợp : ( + ) + = + ( + )
B D B C B.C
D
B D F B D F
10. Biểu thức hữu tỉ :
* Biểu thức chỉ chứa phép toán cộng, trừ ,
nhân , chia và chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức
phân .
* Một đa thức còn gọi là biểu thức nguyên .
* Biểu thức phân và biểu thức nguyên gọi
chung là biểu thức hữu tỉ .
* Giá trị một biểu thức phân chỉ được xác
định khi giá trị của mẫu thức khác 0.
II. BÀI TẬP :
1. Bài tập về nhân đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phép nhân.
(
)(
Giải:
)
a. ( − 2 x 2 ).( x 3 − 3x 2 − x + 1) = − 2 x 5 + 6 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2
a. − 2 x 2 . x 3 − 3x 2 − x + 1
2
1 1
2
1 1
1 2 1
3
3
4
b. − 10 x + y − z . − xy
b. − 10 x + y − z . − xy = 5 x y − xy + xyz
5
3 2
5
3 2
5
6
Bài 2: Chứng tỏ rằng các đa thức không phụ Giải:
thuộc vào biến.
a. x( 2 x + 1) − x 2 ( x + 2) + x 3 − x + 3 =
a. x( 2 x + 1) − x 2 ( x + 2) + x 3 − x + 3
= 2x 2 + x − x3 − 2x 2 + x 3 − x + 3 = 3
(
(
)
b. 4( x − 6 ) − x 2 ( 2 + 3 x ) + x( 5 x − 4) + 3 x 2 ( x − 1)
)
Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x.
b. 4( x − 6 ) − x 2 ( 2 + 3 x ) + x( 5 x − 4) + 3 x 2 ( x − 1) =
= 4 x − 24 − 2 x 2 + 3 x 3 + 5 x 2 − 4 x + 3 x 3 − 3 x 2 = −24
Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau khi thực Giải:
hiện các phép toán.
a. 3 x 10 x 2 − 2 x + 1 − 6 x 5 x 2 − x − 2 =
a. 3 x 10 x 2 − 2 x + 1 − 6 x 5 x 2 − x − 2
= 30 x 3 − 6 x 2 + 3x − 30 x 3 + 6 x 2 + 12 x = 15 x
(
)
(
(
)
với x = 15
1
1
b. 5 x( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5 x ) với x = − ; y = −
5
2
)
(
)
Thay x = 15 ta có: 15 x = 15.15 = 225
b. 5 x( x − 4 y ) − 4 y ( y − 5 x )
= 5 x 2 − 20 xy − 4 y 2 + 20 xy
= 5x 2 − 4 y 2
2
Thay x =
2
Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac.
b. a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)
c. a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
Bài 5: Tìm x biết
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
1
; y = 2 tacó:
2
2
1
4
1
1
5. − − 4 − = − 1 = −
5
5
5
2
Giải:
a. VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b)
= ab - ac - ab - bc + ac - bc
= -2bc = VP ⇒ đpcm
b. VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1)
= a - ab + a3 - a
= a3 - ab = a.(a2 - b) = VP ⇒ đpcm.
c. VT = a.(b - x) + x.(a + b)
= ab - ax + ax + xb
= ab + xb = b(x + a) = VP ⇒ đpcm
Giải:
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
⇔ 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
⇔ 50x = - 100
⇔ x=-2
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
⇔ 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
⇔ - 0,6x = 0,138
⇔ x = 0,138 : (- 0,6)
⇔ - 0,2
2. Bài tập về nhân đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tính nhân.
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
Giải:
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
= x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2
= x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
= 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
= 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5
Bài 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không phụ thuộc vào biến.
(x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
= 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + 3 - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3
Kết quả là một hằng số. Vậy đa thức trên không phụ thuộc vào biến.
Bài 3: Cho x = y + 5. Tính
Giải:
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
2
b. x + y(y - 2x) + 75
Từ giả thiết x = y + 5 ⇒ x - y = 5
Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
3
= x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
= x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65
=x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)2 + 2(x - y) + 65
= 52 - 2.5 + 65 = 100
b. x2 + y(y - 2x) + 75
= x2 + y2 - 2xy + 75
= x(x - y) - y(x - y) + 75
= (x - y) (x - y) + 75
= 5.5 + 75 = 100
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức.
a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31
b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14
Giải:
a. Với x = 31 thì
A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1
= x 3 - x3 + x 2 + 1 = 1
b. Với x = 14 thì
B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13
= x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1)
= x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14
Bài 5: CMR với mọi số nguyên n thì
Giải:
2
3
a. (n + 3n - 1)(n + 2) - n + 2 chia hết cho 5.
a. Ta có: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết
= n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - 2 - n3 + 2
cho 2.
= 5n2+ 5n = 5(n2 + n) n ∀ n
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)
= 6n2 + n + 30n + 5 - 6n2 - 10n + 3n + 5
= 24n + 10 = 2(12n + 5) 2 ∀ n
3. Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
d. (x + y)3 - (x - y)3
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2- 2(x2+3x+1)(3x- 1)
Giải:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
= [ ( a − b ) + ( c + d ) ].[ ( a − b ) − ( c + d ) ]
= (a - b)2 - (c + d)2
= a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
= a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd
Bài 2: Trong hai số sau, số nào lớn hơn.
a. A = 1632 + 74. 163 + 372
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
=
[ ( x + 3z ) + 2 y ].[ ( x + 3z ) − 2 y ]
= (x + 2z)2 - (2y)2
= x2 + 6xz + 9z2 - 4y2
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
= (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1
d. (x + y)3 - (x - y)3
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3
= 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2)
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
[(
)
= x 2 + 3 x + 1 .( 3 x − 1)
]
2
= (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2
Giải:
a. A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000
4
và B = 1472 - 94. 147 + 472
b. C = (22 + 42 + .... + 1002) - (12 + 32 +
.... + 992) và D = 38. 78 - (214 + 1)
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:
a. C = 5 - 8x - x2
b. D = - 3x(x + 3) - 7
Giải:
a. C = 5 - 8x - x2 = - x2 - 8x - 16 + 16 + 5
= - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21
Vì (x + 4)2 ≥ 0 ∀ x ⇒ - (x + 4)2 ≤ 0∀x
B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000
Vậy A > B
b. C = (22 - 12) + (42 - 32) + .... + (1002 - 992)
(3 + 199).50
= 5050
= 3 + 7 + .... + 199 =
2
D = (3 . 7)8 - (218 - 1) = 1 Vậy D < C
b. D = - 3x(x + 3) - 7 = - 3x2 - 9x - 7
3 9 9
= - 3(x2 + 2x. + − ) - 7
2 4 4
2
3
27
= - 3 x − +
−7
2
4
2
3
1
= - 3 x + −
2
4
Do đó: - (x + 4)2 + 21 ≤ 21
Vậy giá trị lớn nhất của C là 21 khi
x + 4 = 0 ⇒ x=- 4
2
2
3
3
Vì x + ≥ 0∀x ⇒ −3 x + ≤ 0∀x
2
2
3 1
1
Do đó: − 3 x + − ≤ −
2 4
4
Vậy giá trị lớn nhất của D là −
x+
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức.
a. A = x2 + 5x + 8
b. B = x(x - 6)
1
khi
4
3
3
=0⇒ x =−
2
2
Giải:
A = x2 + 5x + 8
5 25 25
= x2 + 2.x. + − + 8
2 4 4
2
5
7
= x + +
2
4
2
2
5
5
7 7
Vì x + ≥ 0∀x nên x + + ≥
2
2
4 4
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là
x+
7
khi
4
5
5
=0⇒ x =−
2
2
b. B = x(x - 6) = x2 - 6x
= x2 + 6x + 9 - 9 = (x - 3)2 - 9
Vì (x - 3)2 ≥ 6∀x nên (x - 2)2 - 9 ≥ −9
Vậy B có giá trị nhỏ nhất là - 9 khi x - 3 = 0 ⇒ x = 3
4. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư
bằng phương pháp đặt nhân tư chung.
a. 12xy - 4x2y + 8xy2
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
Giải:
a. 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y)
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
= (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y)
= 4(x - 2y)2
5
d. 3x(a - x) + 4a(a - x)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư
bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
1 2 1 2
a − b
a.
36
4
2
b. (x + a) - 25
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1
d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
= 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1)
= (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a)
Giải:
1 2 1 2
a − b =
a.
36
4
2
2
1 1
1
1 1
1
a − b = a + b . a − b
2 6
2
6 2
6
b. (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5)
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1)
= (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1)
= (x + y) (x - y + 2)
d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1 = (1 - 5a)3
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
phương pháp nhóm hạng tư.
= x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
= (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y)
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
= (x - y)3 - (x - y)
c. a2x + a2y - 7x - 7y
= (x - y) ( x − y ) 2 − 1 = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1)
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
c. a2x + a2y - 7x - 7y
Giải:
= (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y)
2
2
a. 4x - 9y + 4x - 6y
= (x + y) (a2 - 7)
2
2
= (4x - 9y )+ (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
+ 2(2x - 3y)
= x( x + 1) 2 − 5( x + 1) 2 + x( x − 5)
= (2x - 3y) (2x + 3y + 2)
= (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5)
[
]
[
Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư
bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
a. x4 + x2y2 + y4
b. x3 + 3x - 4
c. x3 - 3x2 + 2
d. 2x3 + x2 - 4x - 12
Giải:
a. x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2
= (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)
Bài 5: Tính bằng cách hợp lý nhất giá trị
các biểu thức
a.
5 4 1
2
3 .5 + 4 .3,8
19 5 3
3
b. a2 - 86a + 13 với a = 87
]
[
]
= (x - 5) ( x + 1) 2 + x = (x - 5) (x2 + 3x + 1)
b. x3 + 3x - 4 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3
= (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1)
[
]
= (x - 1) ( x − 1) 2 + 3( x + 1) = (x - 1) (x2 + x + 4)
c. x3 - 3x2 + 2 = x3 - 3x2 + 3x - 1 - 3x + 3
[
]
= (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1) ( x − 1) 2 − 3
2
= (x - 1) (x - 2x - 2)
d. 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16)
= (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4)
[
(
)]
= (x - 2) ( x − 2 ) + 2 x 2 + 2 x + 4 = (x - 2) (2x2 + 5x + 6)
Giải:
a.
5 4 1
2
5 19
1 2
. 5 + 4 + + = 10
3 .5 + 4 .3,8 =
19 5 3
3
3 3
19 5
b. a2 - 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100
c. a2 + 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300
6
c. a2 + 32a - 300 với a = 68
d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33
Bài 6: Tìm x biết:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
Giải:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
⇔ (x - 2) (x - 3 + 1) - 1 = 0
⇔ (x - 2)2 - 1 = 0
⇔ (x - 2 + 1) (x - 2 - 1) = 0
⇔ (x - 1) (x - 3) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = 3
Vậy nghiệm của phương trình: x1 = 1, x2
=3
= 68. 100 - 300 = 6500
d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) = (a - b) (a2 + ab + b2 - 3ab)
= (a - b)3 = (- 27 + 33)3 = 63 = 216
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
⇔ (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = 0
⇔ (x + 2 + x + 1) (x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0
⇔ (2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0
⇔ (2x + 3) (1 - 2x) = 0
3
1
⇔ x = - hoặc x =
2
2
3
1
Vậy nghiệm của PT: x1 = - , x2 =
2
2
4. Bài tập về phân thức.
Dạng toán tìm điều kiện của biến để phân
thức xác định:
-Với phân thức mà mẫu chỉ là đa thức dạng
(ax+b) các em chỉ cần cho mẫu thức khác
0,rồi tìm ra kết quả.
Ví dụ 1:Tìm điều kiện của x để phân thức
sau có nghĩa:
2x − 1
x−2
a)
b) 1
x+4
x−5
2
5
c)
− 2 x − 10
Giải:a) x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
1
1
b) x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ −4 ⇒ x ≠ −8
2
2
c) x ≠ −5
-Với những phân thức mà mẫu lại là một
phân thức khác thì cần chú ý tới tử của phân
thức mẫu,ví dụ:
Ví dụ 2:Tìm điều kiện của x để phân thức
xác định:
x−4
a) 2 x − 1
b)
x −1
−5
x−2
+1
3x + 1
Giải :
a)Điều
kiện:
1
2 x − 1 ≠ 0 x ≠
2x − 1
≠0⇒
⇒
2
x −1
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Ví dụ 2:Rút gọn phân thức sau:
20 x 2 − 45
80 x 3 − 125 x
a)
b)
3( x − 3) − ( x − 3)( 8 − 4 x )
( 2 x + 3) 2
c)
x 3 − 3x 2 − x + 3
x 2 + 7 x + 12
d)
x 2 − 3x
x 2 + 5x + 6
HD:
a) 20 x 2 − 45 = 5 4 x 2 − 9 = 5( 2 x − 3)( 2 x + 3)
5( 2 x − 3)
Từ đó suy ra kết quả:
2x + 3
3
b) 80 x − 125 x = 5 x 16 x 2 − 25 = 5 x( 4 x − 5)( 4 x + 5)
3( x − 3) − ( x − 3)( 8 − 4 x ) = 3( x − 3) + ( x − 3)( 4 x − 8) = ( x − 3)( 4 x
5 x ( 4 x + 5)
Từ đó kết quả là:
x−3
c)
x 3 − 3 x 2 − x + 3 = x 2 ( x − 3) − ( x − 3) = ( x − 3) x 2 − 1 = ( x − 3) x
x 2 − 3 x = x( x − 3)
(
)
(
)
(
)
x2 −1
x
2
d) x + 7 x + 12 = ( x + 3)( x + 4 )
x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3)
x+4
Từ đó có kết quả:
x+2
Với học sinh khá,giỏi giáo viên có thể linh hoạt cho các
em làm những bài rút gọn có biểu thức phức tạp
hơn,chẳng hạn:
Ví dụ 3:Rút gọn phân thức:
5.415.9 9 − 4.3 20.8 9
a) A =
b)
5.2 9.619 − 7.2 29.27 6
Từ đó ta có kết quả:
7
(
b)
x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz
( x − yx) 2≠+1( x − z ) 2 + ( y − z ) 2
x−2
x − 2 + 3x + 1
4x − 1
4
+1 ≠ 0 ⇒
≠0⇒
≠0⇒
x3 − 7x − 6
−
1
3x + 1
3x + 1
3x + 1 c) 2
2
2
2
x ( x −≠ 3) + 4 x( x − 3) + 4( x − 3)
3
HD:
-Với những phân thức mà có bậc 2 một biến
a)đưa các lũy thừa về cơ số là số nguyên tố,sau đó phân
trở lên thì cần phân tích các mẫu thành nhân
tích thành nhân tử,cụ thể như sau:
tử,rồi làm tương tự như trên.Ví dụ:
15 9
20 9
30 18
29 20
29 18
Ví dụ 3:Tìm điều kiện của x để phân thức 5.4 .9 − 4.3 .8 = 5.2 .3 − 2 .3 = 2 .3 (10 − 9 )
5.2 9.619 − 7.2 29.27 6 = 5.2 28.319 − 7.2 29.318 = 2 28.318 (15 − 14 )
sau xác định:
5 x + 1 Từ đó rút gọn ta được kết quả: A = 2
3 x 2 + 6 x + 12
x 2 + 2x + 5
a)
b)
c) 2
3
2
x − 4 b)phân tích tử thành nhân tử và mẫu biến đổi ta có:
x −8
2 x + 5x + 3
x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz = ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx
Giải :
a)Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
( x − y ) 2 + ( x − z ) 2 + ( y − z ) 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx
3
2
x − 8 = ( x − 2 ) x + 2 x + 4 ,với chú
x+ y+z
Từ đó suy ra kết quả:
2
2
ý: x + 2 x + 4 = ( x + 1) + 3 > 0 nên suy ra
2
điều kiện để phân thức có nghĩa là: c)Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ta có:
x−2≠ 0⇒ x ≠ 2
x 3 − 7 x − 6 = x 3 − 9 x + 2 x − 6 = x x 2 − 9 + 2( x − 3) = x( x − 3)( x
b)Ta
có:
= ( x − 3) x 2 + 3 x + 2 = ( x − 3)( x + 2 )( x + 1)
2
2
2x + 5x + 3 = 2x + 2x + ( 3x + 3)
Mẫu= ( x − 3) 2 ( x + 2 ) 2
−3
x +1
= ( x + 1) ( 2x + 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ −1;x ≠
Vậy ta có kết quả:
2
( x − 3)( x + 2)
c)Ta
có: Vẫn là bài toán rút gọn nhưng tồn tại dưới một cái tên
x 2 − 4 = ( x − 2 )( x + 2 ) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2; x ≠ −2
khác là “Chứng minh đẳng thức” thì thông thường
Với những phân thức nhiều ẩn thì học sinh hướng dẫn học sinh biến đổi vế phức tạp hơn,sau khi rút
vận dụng làm tương tự,ví dụ:
gọn thì bằng vế kia.Chẳng hạn các ví dụ sau:
Ví dụ 4:Tìm điều kiện của biến để phân Ví dụ 4:Chứng minh đẳng thức:
thức sau xác định:
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 xy + y 2
2
2 2
=
a)
b)
x
x y
2x − y
2 x 2 + xy − y 2
a)
b)
( x + y )(1 − y )
(1 + x )(1 − y )
x 2 + 3 xy + 2 y 2
1
=
2 xy
3
2
2
3
x− y
x + 2 x y − xy − 2 y
c) 2
x − y 2 ( x + y)
HD:thực hiện rút gọn vế trái,cuối cùng ra kết quả là vế
2.Dạng toán rút gọn phân thức:
phải.
*Phương pháp chung:
x 2 + 4x + 4
-Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành Ví dụ 5:Cho phân thức:
x+2
nhân tử
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
a)Với điều kiện nào của x thì giá trị phân thức được xác
Đây là dạng toán cơ bản của phân thức đại
số 8,với những bài tập mà tử thức và mẫu định?
thức có sẵn các nhân tử chung (hoặc chỉ cần b)Rút gọn phân thức
đổi dấu phân thức thì có nhân tử chung)thì
ta vận dụng tính chất cơ bản của phân thức c)Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 1?
là chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung d)Có giá trị nào để phân thức bằng 0 hay không?
đó,ví dụ:
Giải:
Ví dụ 1:Rút gọn phân thức sau:
3
14 xy 5 ( 2 x − 3 y )
8 xy ( 3 x − 1)
a) x ≠ −2
a)
b)
2
2
3
21x y ( 2 x − 3 y )
12 x (1 − 3 x )
b)Rút gọn phân thức ta được: x + 2
(
(
(
c)
(
(
)
(
)
)
)
)
(
)
)
15 x 2 y ( x − 2 y )
2
35 x 3 y 2 ( 2 y − x )
3
d)
c) x = −1
d)Không có giá trị nào của x thỏa mãn để phân thức có
8
3
giá trị bằng 0
10 xy 2 ( 2 x − 1)
3
12 x ( 2 x − 1)
-Với các phân thức mà không có sẵn nhân
tử chúng thì chúng ta sẽ thực hiện theo các
bước của bài toán rút gọn,ví dụ:
B. PHẦN HÌNH HỌC
I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
CHƯƠNG I: TỨ GIÁC
1. Tứ giác:Tổng các góc trong của một giác
bằng 3600.
2. Hình thang:
M
B
A
N
E
H
G
//
P
F
//
C Q
D
+ Tứ giác có các cạnh đối song song.
+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
+ Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song
vừa bằng nhau.
+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại
A'
trung điểm của mỗi đường.
A
6. Đối xứng tâm:
O
*Hai điểm A và A’ gọi là đối xứng nhau qua
điểm O nếu O là trung điểm của AA’
*Đường thẳng, góc, tam giác đối xứng nhau
qua một điểm thì chúng bằng nhau.
*Hình bình hành nhận giao điểm của hai
đường chéo làm tâm đối xứng.
7. Hình chữ nhật:
*Hình chữ nhật là tứ giác
A
B
có 4 góc vuông.
O
*Trong hình chữ nhật :
Hai đường chéo bằng nhau.
D
C
*Dấu hiệu nhận biết :
+ Tứ giác có 3 góc vuông.
+ Hình thang cân có một góc vuông.
+ Hình bình hành có một góc vuông.
+ Hình bình hành có hai đường chéo
bằng nhau.
8. Trung tuyến của tam
A
giác vuông
*Trong tam giác
vuông , trung tuyến ứng
B
với cạnh huyền bằng nữa
M
C
cạnh huyền.
*Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với
một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là
tam giác vuông.
9. Hình thoi:
B
*Hình thoi là tứ giác
A
O
C
có 4 cạnh bằng nhau.
*Trong hình thoi :
+ Hai đường chéo
D
vuông góc.
+ Hai đường chéo là phân
giác của các góc của hình thoi.
a) Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối
song song
b) Hình thang có một góc vuông là hình thang
vuông.
c) Hình thang cân là hình thang có hai góc kề
một đáy bằng nhau.
*Trong hình thang cân :
-Hai cạnh bên bằng nhau.
-Hai đường chéo bằng nhau.
*Dấu hiệu nhận biết :
-Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
-Hình thang có hai góc kề một đáy bằng
nhau.
3. Đường trung bình của tam giác, của hình
A
A
B
thang:
\
\
B
//
\
//
//
//
\
C
C D
=
=
*Đường trung bình của tam giác thì song song
với cạnh thứ ba và bằng nữa cạnh ấy.
*Đường trung bình của hình thang thì song
song với hai đáy và bằng nữa
d
tổng hai đáy.
4.Đối xứng trục:
A'
A /
/
*Hai điểm A và A’ là đối
xứng nhau qua đường thẳng
d nếu d là trung trực của
A / M /
B
AA’.
*Đường thẳng, góc, tam
giác đối xứng nhau qua một
N
C
D
đường thẳng thì chúng bằng
nhau.
9
*Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua
trung điểm của hai đáylàm trục đối xứng.
5. Hình bình hành:
A
B
*Hình bình hành là tứ giác
có các cạnh đối song song.
O
(hay hình bình hành là hình
D
C
thang có hai cạnh bên song
song)
*Trong hình bình hành :
+ Các cạnh đối bằng nhau.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường.
*Dấu hiệu nhận biết :
+ Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau.
+ Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc.
+ Hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân
giác của một góc.
+ Hình thoi có 1 góc vuông.
+ Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau.
*Dấu hiệu nhận biết :
+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
+ Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng
nhau.
+ Hình bình hành có 2 đường chéo vuông
góc.
+ Hình bình hành có 1 đường
chéo là phân giác của một
A
B
góc.
10. Hình vuông:
*Hình vuông là tứ giác có 4
góc vuông và 4 cạnh bằng
D
C
nhau.
*Hình vuông có tất cả các tính chất của
hình chữ nhật và hình thoi.
CHƯƠNG II: ĐA GIÁC
• Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một
nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.
• Đa giác đều là đa giác có tất cả các
cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng
nhau.
2. Một số kết quả
• Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng
(n − 2).1800 .
• Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng
(n − 2).1800
.
n
• Số các đường chéo của đa giác n cạnh
n(n − 3)
bằng
.
2
3. Diện tích
• Diện tích tam giác bằng nửa tích một
cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó:
1
S = ah
. .
2
• Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích
1
hai cạnh góc vuông: S = ab .
2
• Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai
kích thước của nó: S = ab .
• Diện tích hình vuông bằng bình phương
cạnh của nó: S = a2 .
• Diện tích hình thang bằng nửa tích của
1
tổng hai đáy với chiều cao: S = (a + b)h
2
.
• Diện tích hình bình hành bằng tích của
một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó:
S = ah .
• Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai
đường chéo: S =
1
dd .
2 12
II. BÀI TẬP :
1. Bài tập về tứ giác.
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC bằng cạnh AD. Chứng minh cạnh BC nhỏ
hơn đường chéo BD.
Giải:
C
10
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
B
Trong tam giác AOD ta có:
AD < AO + OD (1)
Trong tam giác BOC ta có
BC < OC + BO (2)
A
Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta có:
AD + BC < AC + BD (3)
Theo đề ra: AC = AD nên từ (3) ⇒ BC < BD (pcm)
Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA
a. CMR: BD là đường trung trực của AC
b. Chã biết góc B = 1000, góc D = 700.
Tính góc A và góc C.
B
O
D
A
D
Giải:
a. BA = BC (gt)
C
DA = DC (gt)
⇒ BD là đường trung trực của AC
b. ∆ABD = ∆CBD (c.c.c)
⇒ Góc
ta lại có: Góc
Do đó: Góc Bài 3: Tính các góc của tứ giác: ABCD biết rằng
Góc Giải:
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc của tứ giác ta có:
A B C D A + B + C + D 360 0
= = = =
=
= 36 0
1 2 3 4
1+ 2 + 3 + 4
10
0
0
Do đó: góc
2.Bài tập về hình thang
µ = 3D
µ ;
Bài 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng góc A
µ = 300
µ-C
B
Giải:
µ +D
µ = 1800, A
µ = 3D
µ ⇒ D
µ = 450, A
µ = 1350
Từ A
µ = 1800, B
µ = 300
µ+C
µ-C
Từ B
0
0
µ = 180 − 30 = 750
Ta tính được: C
2
µ = 1800 - 750 = 1050
B
Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác của góc D. CMR ABCD là hình thang.
Giải:
11
∆BCD có BC = CD ⇒ ∆BCD là tam giác cân
B
C
¶ =B
µ
⇒ D
1
1
¶ =D
¶ ⇒ B
µ =D
¶ . Do đó BC // AD
Theo gt D
1
2
1
2
Vậy ABCD là hình thang
A
D
µ =D
µ = 900; AB = AD = 2cm,
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD có A
DC = 4cm. Tính các góc của hình thang.
Giải:
A
Kẻ BH vuông góc với CD. Hình thang ABHD
có hai cạnh bên AD// BH ⇒ AD = BH, AB = DH
Do đó: HB = HD = 2cm ⇒ HC = 2cm
µ = 450
∆ BHC vuông tại H ⇒ C
B
D
C
·
⇒ ABC
= 1350
Bài 4: Hình thang cân ABCD có AB // CD. O là gia điểm của hai đường chéo. CMR:
OA = OB, OC = OD
A
B
Giải:
Vì ABCD là hình thang cân nên
AD = BC,
D
C
⇒
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N
sao cho BM = CN.
a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng Giải:
a. Tam giác ABCD cân tại A
A
⇒
180 0 − < A
2
Lại có BM = CN (gt) ⇒ AM = AN
⇒ ∆AMN cân tại A
M
12
N
180 0 − < A
2
⇒
B
C
Vậy tứ giác BMNC là hình thang
Lại có: b. Bài 6: Cho hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh
bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. CMR OE là đường trung trực của
hai đáy.
Giải:
ABCD là hình thang cân ⇒
⇒ mà AD = BC (gt) ⇒ OA = OB
Vậy O thuộc đường trung trực của hai đáy
⇒ ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)
⇒
O
A
B
E
D
C
Lại có: AC = BD nên EA = EB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ E thuộc đường trung trực của hai đáy.
Vậy OE là đường trung trực của hai đáy.
Bài 7: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD =
1
DC. Gọi M là
2
trung điểm của BC, I là gia điểm của BD và AM. CMR: AI = IM
Giải:
A
Gọi E là trung điểm của DC.
D
Vì ∆BDC có BM = MC, DE = EC.
I
Nên BD // ME ⇒ DI // EM
E
Do ∆AME có AD = DE, DI // EM
Nên AI = IM
B
M
C
Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung điểm
của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho biết AB =
6cm, AD = 14cm. Tính các độ dài MI, IK, KN.
Giải:
Vì MN là đường trung bình của
hình thang ABCD nên MN // AB // DC
A
B
Xét ∆ADC có AM = MD, MK // DC
13
⇒ KA = KC
Do đó: MK =
DC 14
=
= 7cm
2
2
I
Tương tự: ∆ABD có AM = MD, MI // AB
nên BI = ID
Do đó: MI =
K
D
C
1
6
AB = = 3cm
2
2
Từ đó ta có: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm
Xét ∆ABC có BN = NC, NK // AB
⇒ AK = KC
Vậy KN =
1
6
AB = = 3cm
2
2
3. Bài tập về hình chữ nhật
A
Bài 1: Tìm x trên hình bên (đơn vị đo: cm)
Giải:
Có BH ⊥ CD. Tứ giác ABHD có 3
góc vuông nên là hình chữ nhật, do đó:
D
DH = AB = 16cm
⇒ HC = DC - DH = 24 - 16 = 8cm
Xét ∆BHC vuông theo định lý Pitago
B
H
C
BH = BC 2 − HC 2 = 17 2 − 8 2 = 225 = 15cm
Vậy x = 15cm
Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo
thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì
sao?
Giải:
Tam giác ABC có AE = EB, BF = FC
⇒ EF = AC (1)
Chứng minh tương tự: HG // AC (2)
Từ (1), (2) ⇒ EF // HG (*)
Chứng minh tương tự: EH // FG (**)
Từ (*) và (**) ⇒ EFGH là hình bình hành.
EF // AC, BD ⊥ AC ⇒ EF ⊥ BD
14
B
E
F
A
C
H
G
D
EF ⊥ BD, EH // BD ⇒ EF ⊥ EH
Hình bình hành EFGH có góc E = 900
⇒ là hình chữ nhật
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM
a. CMR: Góc
góc với DE
A
Giải:
a. Ta có góc
AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
của tam giác ABC ⇒ AM = MC
D
O
⇒ góc
B
H
M
C
I là giao điểm của AM và DE
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
⇒ OA = OE ⇒ góc
⇒ góc
4.Bài tập về hình thoi
Bài 1:
a. Cho hình thoi ABCD, kỴ đường cao AH, AK. CMR: AH = AK
b. Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH, AK bằng nhau. CMR: ABCD là hình
thoi
A
Giải:
a. Xét ∆ AHB và ∆ AKD có:
AB = AD (vì ABCD là hình thoi)
Góc B
D
⇒ ∆ vuông AHB = ∆ AKD (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ AH = AK (2 cạnh tương ứng)
H
K
C
15
b. Xét tam giác vuông AHB và AKD có:
AH = AK (gt)
Góc ⇒ tam giác ∆AHB = ∆AKD (cạnh góc vuông- góc nhọn kÌ)
Vậy AB = AD (2 cạnh tương ứng)
Hình bình hành ABCD có 2 cạnh kÌ bằng nhau nên là hình thoi.
Bài 2: Hình thoi ABCD có góc tam giác gì? Vì sao?
B
Giải:
Xét ∆AEB và ∆CFB có:
A
C
AB = CB (®/n hình thoi)
Góc E
F
∆AEB = ∆CFB (cạnh huyền- góc nhọn)
D
⇒ BE = BF
Vậy tam giác BEF cân
Lại có: góc
360 0 − 120 0
= 120 0
2
Mà góc ⇒
Bài 3: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo
thứ tự là chân các đường góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình
gì? Vì sao?
Giải:
B
Ta có; OF ⊥ AB, OG ⊥ CD
E
F
Mà AB // CD (t/c hình thoi)
⇒ E, O, G thẳng hàng.
A
C
Chứng minh tương tự ta có 3 điểm
F, O, H thẳng hàng.
H
G
- Điểm O thuộc tia phân giác của góc B
D
nên cách đều 2 cạnh của góc do đó: OE = OF
16
Tương tự ta cũng có: OF = OG, OG = OH
Vậy tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường nên là hình chữ nhật.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có góc DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì? vì sao?
Giải:
Ta có: Tam giác ABD cân tai A
Và ⇒ AB = BD
B
góc
A
C
AB = BD (chứng minh trên)
N
Góc M
D
AM = DN (gt)
⇒ ∆ ABM = ∆DBN (c.g.c)
⇒ BM = BN,
Ta lại có: góc,
Bài 5: Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16 đường cao AH bằng 2cm. Tính các góc
của hình thoi.
Giải:
Gọi M là trung điểm của AD, ta có:
A
HM = MA = MD = 2cm
Theo đề bài ta có: AH = 2cm
B
D
Do đó: tam giác AHM là tam giác đều
⇒ Góc
C
0
Từ đó ta có: góc Bài 6: Tứ giác ABCD có toạ độ các đỉnh như sau:
A(0, 2); B(3, 0); C(0, - 2); D(- 3, 0)
Tứ giác ABCD là hình gì? Tính chu vi của tứ giác đó.
Giải: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên
là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.
Cạnh của hình thoi
AB = OA 2 + OB 2
A
17
AB = 22 + 32 = 4 + 9 = 13
Vậy chu vi của hình thoi: 4 13
-3
D
O
B
C
Bài 7: Cho hình thoi ABCD, có AB = AC, kỴ AE ⊥ BC, AF ⊥ CD
a. Chứng minh tam giác AEF là tam giác đều.
b. Biết AB = 4cm. Tính độ dài các đường chéo của hình thoi.
Giải:
Tam giác ABC có AB = BC (®/n hình thoi)
AB = AC (gt)
⇒ Tam giác ABC đều ⇒ góc A
0
do đó: góc
AB = AD (®/n hình thoi)
D
C
B
⇒ ⇒ AE = AF (2 cạnh tương ứng)
Vậy tam giác AEF cân tại A.
- Trong các tam giác đều ABC, AOC có AE và AF là các đường cao nên là phân giác
của góc
Bài 1: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của
AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ.
Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.
Giải:
A
P
Q
Tứ giác APCQ có AP // QC và AP = QC
Nên tứ giác APCQ là hình bình hành
H
K
(dấu hiệu nhận biết)
⇒ AQ // PC (1)
Chứng minh tương tự ta có: BQ // PD (2)
D
Q
C
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác PHQK là hình bình hành.
18
Lại có tứ giác APQD là hình bình hành
vì có AP // DQ , AP = DQ
Hình bình hành APQD có góc ⇒ là hình chữ nhật
Hình chữ nhật APQD có AP = AD nên là hình vuông.
⇒ góc
Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm H, G sao cho
BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chóng cắt AB, AC
theo thứ tự ở E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Giải:
A
0
Tam giác AGC có góc
Nên tam giác FGC vuông cân
E
Do đó: GF = GC
Chứng minh tương tự EH = HB
Do BH = CG = HG nên EH = HG = GF
B
Tứ giác EHGF có EH // FG
(cùng vuông góc với BC)
EH = FG (c/m trên)
⇒ Tứ giác EHGF là hình bình hành
Hình bình hành EHGF có góc
F
C
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E
sao cho AF = DE. Chứng minh rằng AE = BF và AE ⊥ BF
Giải:
AF = DE (gt)
A
B
⇒ ∆ADE = ∆BAF (2 cạnh góc vuông)
⇒ AE = BF (2 cạnh tương ứng)
F
Góc
Nên góc
Thì góc
D
19
E
C
Vậy AE ⊥ BF
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác
của góc DAE cắt CD ở F. KỴ FH ⊥ AE (H ∈ AE ), FH cắt BC ở G.
Tính số đo góc FAG.
Giải:
A
B
Xét tam giác ∆ADF và ∆AHF có:
Góc
AF cạnh chung
⇒ ∆ADF = ∆AHF (cạnh huyền góc nhọn)
D
C
⇒ AD = AH (2 cạnh tương ứng)
Ta lại có: AD = AB ⇒ AB = AH
Xét ∆ABG và ∆AHG có:
AB = AH (c/m trên)
AG là cạnh chung ⇒ ∆ABG = ∆AHG (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
⇒ góc
1
( < DAH + < HAB ) = 1 .90 0 = 45 0
2
2
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, tia phân giác của góc ABE
cắt AD ở K.
CMR: AK + CE = BE
A
B
Giải:
Trên tia đối của CD lấy điểm M
K
sao cho CM = AK
Ta có:
D
AK + CE = CM + CE = ME
E
C
M
Xét tam giác ABK và tam giác CBM có:
AB = BC (gt)
AK = CM (gt)
⇒ ∆ABC = ∆CBM (2 cạnh góc vuông)
⇒ góc MK1 =
Ta lại có:
6. Bài tập về diện tích đa giác
20
Bài 1. Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và µA = µB = µC .
a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
b) Chứng minh ngũ giác ABCDEF là ngũ giác đều.
Bài 2. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi K là giao điểm của hai đường chéo AC và BE.
a) Tính số đo mỗi góc của ngũ giác.
b) Chứng minh CKED là hình thoi.
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. E là điểm bất kì nằm trên đường chéo AC. Đường thẳng qua E,
song song với AD cắt AB, DC lần lượt tại F, G. Đường thẳng qua E, song song với AB cắt
AD, BC lần lượt tại H, K. Chứng minh hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích.
Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Vẽ BP ⊥MN, CQ
⊥MN (P, Q ∈MN).
a) Chứng minh tứ giác BPQC là hình chữ nhật.
b) Chứng minh SBPQC = SABC .
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh các tứ
giác ADCM và ABCN có diện tích bằng nhau.
Bài 6. Cho hình thang vuông ABCD ( µA = µD = 900 ), AB = 3cm, AD = 4cm và ·ABC = 1350 . Tính
diện tích của hình thang đó.
ĐS: SABCD = 20cm2 .
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG,
BCHI. Chứng minh SBCHI = SABDE + SACFG .
Bài 8. Diện tích hình bình hành bằng 24cm2 . Khoảng cách từ giao điểm của hai đường chéo đến
các đường thẳng chứa các cạnh hình bình hành bằng 2cm và 3cm. Tính chu vi của hình bình
hành.
ĐS: PABCD = 20cm.
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, O, E, N là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Các đoạn
thẳng AO, BE, CN và DK cắt nhau tại L, M, R, P. Chứng minh SABCD = 5.SMLPR .
Bài 10. Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BA, BC. Lấy điểm M trên đoạn
thẳng EF (M ≠ E, M ≠ F). Chứng minh SAMB + SBMC = SMAC .
Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc đáy BC. Gọi BD là đường cao của tam giác
ABC; H và K chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Chứng minh: MH + MK = BD .
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K và L là hai điểm thuộc cạnh BC sao cho BK = KL = LC.
Tính tỉ số diện tích của:
a) Các tam giác DAC và DCK.
b) Tam giác DAC và tứ giác ADLB.
c) Các tứ giác ABKD và ABLD.
SDAC 3
SDAC 3
S
4
=
=
ĐS: a)
b)
c) ABKD = .
SDCK 2
SADLB 5
SABLD 5
Bài 13. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G. Diện tích tam giác AGB
bằng 336cm2 . Tính diện tích tam giác ABC.
ĐS: SABC = 1008cm2 .
Bài 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 3DA, trên cạnh BC lấy điểm E
sao cho BE = 4EC. Gọi F là giao điểm của AE và CD.
a) Chứng minh: FD = FC.
b) Chứng minh: SABC = 2SAFB .
Bài 15. Cho tam giác đều ABC, đường cao AH và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Gọi P,
Q, R lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến BC, AC, AB.
Chứng minh: MP + MQ + MR = AH.
Bài 16. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Từ N kẻ đường
21
thẳng song song với BM cắt đwòng thẳng BC tại D. Biết diện tích tam giác ABC bằng
a(cm2) .
a) Tính diện tích hình thang CMND theo a.
b) Cho a = 128cm2 và BC = 32cm. Tính chiều cao của hình thang CMND.
ĐS: a) SCMND = a(cm2)
b) h = 4(cm) .
Bài 17. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, P, N, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, AD; O là
giao điểm của MN và PQ. Chứng minh:
a) SAOQ + SBOP = SMPQ .
1
S
.
2 ABCD
HD: Vẽ AA′ , BB′ , MM′ vuông góc với PQ.
Bài 18. Cho tứ giác ABCD. Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC. Đường
thẳng đó cắt cạnh DC ở E. Chứng minh: SADE = SABCD .
b) SAOD + SBOC =
HD: Chú ý: SBAC = SEAC .
Bài 19. Cho tứ giác ABCD có AC = 10cm, BD = 12cm. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Biết ·AOB = 300 . Tính diện tích tứ giác ABCD.
ĐS: SABCD = 30cm2 .
Bài 20. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC,
CD, DA.
a) Tứ giác IJKL là hình gì?
b) Cho biết diện tích hình thang ABCD bằng 20cm2 . Tính diện tích tứ giác IJKL.
ĐS: a) IJKL là hình thoi
b) SIJ KL = 10cm2 .
Bài 21. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ phân giác AM của góc A (M ∈CD), phân giác CN của góc
C (N ∈AB). Các phân giác AM, CN lần lượt cắt BD tại E và F. Chứng minh diện tích hai tứ
giác AEFN và CFEM bằng nhau.
HD: AEFN và CFEM là hai hình thang có các cạnh đáy tương ứng bằng nhau và cùng chiều
cao nên có diện tích bằng nhau.
22
Chủ đề 9: Phương trình bậc nhất một ẩn
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm được cách giải và giải thành thạo phương trình bậc nhất một ẩn
- Cách giải phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.
- Có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính toán, tính cẩn thận và cách lập luận bài toán.
B. Thời lượng: 5 tiết (tiết 24, 25, 26, 27, 28)
C. Thực hiện:
Tiết 24:
Câu hỏi:
1. Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát như thế nào?
2. Nêu cách giải phương trình bậc nhất một ẩn.
3. Phương trình tích có dạng như thế nào? Nêu cách giải phương trình tích.
4. Nêu các bước giải phương trình có ẩn ở mẫu
5. Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
23
a. - 2x + 14 = 0
b. 0,25x + 1,5 = 0
c.
4 5 1
− =
3 6 2
d. 3x + 1 = 7x + 11
e. 11 - 2x = x - 1
Giải:
a. - 2x + 14 = 0 ⇔ 14 = 2x ⇔ x = 7
1,5
b. 0,25x + 1,5 = 0 ⇔ 0,25x = - 1,5 ⇔ x = − 0,25 ⇔ x = - 6
c.
4
5 1
4
1 5
4
8
8 3
⇔ x= + ⇔ x=
⇔ x= . ⇔x=1
x− =
3
6 2
3
2 6
3
6
6 4
d. 3x + 1 = 7x + 11 ⇔ 3x - 7x = - 11 - 1 ⇔ - 4x = - 12 ⇔ x = 3
e. 11 - 2x = x - 1 ⇔ - 2x - x = - 1- 11 ⇔ - 3x = - 12 ⇔ x = 4
Bài 2: Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây vô nghiệm.
a. a(x + 1) = 3 + 2x
b. 2(1 - 1,5x) + 3x = 0
c. x = −1
Giải:
a. a(x + 1) = 3 + 2x
⇔ 2x + 2 = 2 + 2x
⇔ 2x - 2x = 3 - 2
⇔ 0x = 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
b. 2(1 - 1,5x) + 3x = 0
⇔ 2 - 3x + 3x = 0
⇔ 0x = - 2 ⇒ phương trình vô nghiệm
c. x = −1 VT của phương trình không âm , VP âm ⇒ phương trình vô nghiệm
Tiết 25:
Bài 3: Tìm giá trị của x sao cho 2 biểu thức A và B cho sau đây có giá trị bằng nhau
a. A = (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2);
B = (x - 4)2
b. A = (x + 2)(x - 2) + 3x2;
B = (2x + 1)2 + 2x
c. A = (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x;
B = x(x - 1)(x + 1)
d. A = (x + 1)3 - (x - 2)3;
B = (3x - 1)(3x + 1)
Giải:
a. A = B ⇔ (x - 3)(x + 4) - 2(3x - 2) = (x - 4)2
⇔ x2 + 4x - 3x - 12 - 6x + 4 = x2 - 8x + 16
24
⇔ 3x = 24 ⇔ x = 8
b. A = B ⇔ (x + 2)(x - 2) + 3x2 = (2x + 1)2 + 2x
⇔ x2 - 2x + 2x - 4 + 3x2 = 4x2 + 4x + 1 + 2x
⇔ 6x = - 5 ⇔ x = -
5
6
c. A = B ⇔ (x - 1)(x2 + x + 1) - 2x = x(x - 1)(x + 1)
⇔ x3 - 1 - 2x + x3 - x
⇔-x = 1 ⇔ x = -1
d. A = B ⇔ (x + 1)3 - ( x - 2)3 = (3x - 1)(3x + 1)
⇔ x3 + 3x2 + 3x + 1 - (x3 - 6x2 + 12x - 8) = 9x2 - 1
⇔ - 9x = - 10 ⇔ x =
10
9
Bài 4: Giải các phương trình tích sau:
a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)
b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0
c. (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)
d. (2x2 + 1)(4x - 3) = (2x2 + 1)(x - 12)
e. (2x + 1)2 + (2 - x)(2x - 1) = 0
f. (x + 2)(3 - 4x) = x2 + 4x + 4
Giải: a. (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1)
⇔ (x - 1)(5x + 3) - (3x - 8)(x - 1) = 0
⇔ (x - 1)(5x + 3 - 3x + 8) = 0
⇔ (x - 1)(2x + 11) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 11
Vậy S = 1,−
2
b. 3x(25x + 15) - 35(5x + 3) = 0
⇔ 15x(5x + 3) - 35(5x + 3) = 0
⇔ (5x + 3)(15x - 35) = 0
⇔x = -
3
7
hoặc x =
5
3
Vậy S = − ;
3 7
5 3
c. (2 - 3x)(x + 11) = (3x - 2)(2 - 5x)
⇔ (2 - 3x)(x + 11) + (2 - 3x)(2 - 5x) = 0
⇔ 2 - 3x)(x + 11 + 2 - 5x) = 0
⇔ (2 - 3x)(- 4x + 13) = 0
25
11
2
