Tải bản đầy đủ (.doc) (8 trang)

de cuong toan to hop 11 Mr PHU

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (83.48 KB, 8 trang )

CHƯƠNG ĐẠI SỐ TỔ HP
I/ TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Quy tắc đếm: Nếu có a cách chọn hành động A và có b cách chọn hành động
B, thì có: (a+b) cách chọn hành động A hoặc B
(a.b) cách chọn hành động A và B
2. Giai thừa:
Đònh nghóa: 0! =1; n!=1.2.3…n
Tính chất: n!=n(n-1)!

n)n)...(k)(k(
k!
n!
121
−++=
(k < n)
3. Hoán vò :
- Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phân tử ( n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phân
tử của A được gọi là 1 hoán vò của n phân tử đó.
- Số hoán vò của n phân tử là : P
n
= n!.
4. Chỉnh hợp.
- Đònh nghóa : Cho 1 ≤ k ≤ n và một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi cách sắp thứ tự
k phần tử (từ n phần tử của A) được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của
A.
- Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
)kn)...(n)(n(n
)!kn(
!n
A
k


n
121
+−−−=

=

5. Tổ hợp:
- Đònh nghóa : Cho 0 ≤ k ≤ n và một tập hợp A gồm n phân tử. Một tổ hợp chập k
của n phần tử là 1 tập con gồm k phần tử của n phần tử đó.
- Số tổ hợp chập k của n phần tử là :
)!kn(!k
!n
C
k
n

=
- Tính chất :
kn
n
n
nn
C;CC

==
1
0
(0 ≤ k ≤ n)
k
n

k
n
k
n
CCC
=+



1
1
1
(0 ≤ k ≤ n)
6. Nhò thức Newton :
an
n
n
n
i
n
n
n
a
n
n
n
n
n
bCabC...baCaCbaC)ba(
++++==+


=
−−−

1
0
1110111
Đặc biệt :
nn
nnnn
n
xC...xCxCC)x( ++++=+
2210
1
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1 : Vận dụng quy tắc đếm
Thí dụ 1 : Có 5 con đường đi từ TPHCM đến Đà Lạt và 3 con đường đi từ Đà Lạt
đến Nha Trang. Một đoàn du lòch từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt.
Hỏi có bao nhiêu cách đi ?
Giải :
Đi từ TPHCM đến Đà Lạt, đoàn du lòch có 5 cách đi.
Đi từ Đà Lạt đến Nha Trang, đoàn du lòch có 3 cách đi.
Vậy đoàn du lòch đi từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt sẽ có 5 x 3
= 15 cách đi.
Thí dụ 2 : Cho 4 chữ số 1, 3, 5, 7
1. Có bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4
chữ số trên.
2. Trong các số tự nhiện nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 3 ?
3. Trong các số tự nhiên nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi 15 ?
Giải :

1. Các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đã cho, bằng số hoán vò của 4
phần tử : P
4
= 4! = 24
2. Mỗi hoán vò của 3 chữ số : 1, 5, 7 ghép với chữ số 3 đứng đầu sẽ cho
một số tự nhiên cần tìm. Số các số như thế là : P
3
= 3! = 6
3. Tươngtự số các số tự nhiên bắt đầu bởi 15 là : P
2
= 2
Thí dụ 3 : Cho tập hợp A = (0, 1, 3, 6, 9)
1. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lấy từ tập
hợp A ?
2. Trong các số trên, có bao nhiêu chữ số chẵn ?
3. Trong các số trên, có bao nhiêu số chia hết cho 3 ?
Giải :
1. Đặt số phải tìm là : x = abcd.
Có 4 cách chọn a từ tập A\{0}.
Vì : bcd là 1 chỉnh hợp chập 3 lấy từ A\{a}, có
24
3
4
=
A
cách chọn. Vậy có tất
cả : 4 x 24 = 96 số x thỏa đề bài.
2. Với x là số chẵn
- Nếu d = 0,abc là 1 chỉnh hợp chập 3 của tập A\{0} : có 24 cách chọn. Vậy số
các số x tận cùng bằng 0 là : 24

- Nếu d = 6,
- Có 3 cách chọn a từ tập A\{0, 6}.
- bc là chỉnh hợp chập 2 của tập A\{a; 6} : có 6 cách chọn.
Vậy số các số x tận cùng bằng 6 là 3 x 6 = 18
Vậy các số x chẵn tìm được là : 24 + 18 = 42.
3. Vì các số 0, 3, 6, 9 là bội của 3. Nên các số x là bội số của 3 thì không chứa số
1. Lập luận tương tự câu 1, ta có 18 số.
Thí dụ 4 : Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về
màu. Lấy ra hai viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh ? 2
viên bi đỏ ? 2 viên bi khác màu nhau.
Giải
Lấy ra 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh, có
10
2
3
=
C
cách.
Lấy ra 2 viên bi đỏ từ 3 vi6n bi đỏ, có :
3
2
3
=
C
cách
Lấy ra 2 viên bi khác màu nhau, có
15
1
3
1

5
=
C.C
cách.
BÀI TẬP
A. QUY TẮC ĐẾM.
1. a Một số quan đểm 4 cổng ra vào. Hỏi 1 người khách có thể chọn bao
nhiêu cách vào ra cơ quan đó.
b. Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau.
2. Một cô gái có 8 áo sơ mi và 6 quần tây.
a. Hỏi cô gái có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc ?
b. Cô gái có 3 đôi dép, hỏi cô gái có thể “diện” bằng bao nhiêu cách
thông qua áo quần để mặc và dép để mang ?
3. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu.
a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau.
b. số chẵn sồm 4 chữ số bất kỳ ?
4. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu
tiên là số lẻ.
B. HOÁN VỊ, CHỈNH HP, TỔ HP.
Bài 1 : Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển lý, 2 quyển hóa, 5 quyển sinh vào kệ
theo từng môn (14 quyền này khác nhau) hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?
Bài 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng
tổng 3 chữ số này bằng 8.
Bài 3 : Trong một phòng họp có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp
chỗ cho 10 họ sinh, gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ, biết :
a. Tất cả học sinh ngồi tùy ý.
b. Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn.
Bài 4 : Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc
ghế dài sao cho :
a. Bạn C ngồi chính giữa ?

b. Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế.
Bài 5 : Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ). Có bao nhiều số tự nhiên gồm 6 cữ số
khác nhau lấy từ X, trong các trường hợp.
a. Số đó bắt đầu là số 5 b. Số đó không bắt đầu là 1
c. Số đó bắt đầu bằng 56 d. Số đó không bắt đầu bằng 456
Bài 6 : Thường vụ đoàn có 15 người. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban chấp
hành gồm 1 bí thư, 1 phó bí thư và 1 ủy viên ?
Bài 7 : Một cuộc đua ngựa có 10 đường chạy. Hỏi có thể nhiều nhất bao nhiêu
cặp nhất – nhì xãy ra trong một cuộc đua đó.
Bài 8 : Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có thể lập được bao nhiêu số
a. Gồm 3 chữ số đều khác nhau ?
b. Gồm 3 chữ số không nhất thiết khác nhau ?
c. Trong các số ở câu a, có bao nhiêu số chẵn ? bao nhiêu số lẻ ?
Bài 9 : Với các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5 . Có thể lập được bao nhiều số lẻ
a. Là số chẵn và có ba chữ số khác nhau.
b. Gồm 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?
bài 10 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số
khác nhau.
a. Trong đó phải có chữ số 5 ?
b. Số đó phải là số chẵn.
Bài 11 : Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số
khác nhau sao cho :
a. Số tạo thành là số chẵn ?
b. Số tạo thành không có chữ số 7 ?
c. Số tạo thành nhỏ hơn 278 ?
Bài 12 : Trong một kỳ thi vấn đáp, một học sinh phải trả lời 6 trong 10 câu hỏi.
Có bao nhiêu cách chọn, nếu học sinh đó :
a. Chọn câu nào cũng được ?
b. Phải chọn 3 câu đầu ?
c. Phải chọn hai trong bốn câu đầu ?

Bài 13 : Tìm số đường chéo của một đa giác lồi sau :
a. Ngũ giác b. Lục giác
c. Đa giác có 12 cạnh d. Đa giác có n cạnh (n .3)
e. Đa giác lồi nào có số cạnh bằng với số đường chéo ?
Bài 14 : Một lớp có 30 nam và 18 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn cán bộ
lớp gồm 3 người, trong đó :
a. Số nam, nữ tùy ý b. Phải có 1 nam và 2 nữ .
c. Phải có 2 nam và 1 nữ d. Có ít nhất 1 nam
Bài 15 : Một bình đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm số khả
năng lấy được.
a. 3 bi đỏ b. 3 bi xanh c. có ít nhất 2 bi xanh
Bài 16 : Từ 15 bông hồng và 12 bông cúc. Có bao nhiêu cách chọn 5 bông để có
ít nhất:
a. hai bông hồng b. hai bông hồng và hai bông cúc
c. Một hồng và một cúc
Bài 17: Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ
số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước?
Bài 18: Có 3 đường thẳng song song, cắt 4 đường thẳng song song. Hỏi có bao
nhiêu hình bình hành được tạo thành?
C) BÀI TẬP LÀM THÊM:
Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số,
trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Bài 2. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy ghế gồm 6 ghế. Người
ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn
nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong các trường hợp sau:
a) Bất cứ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác
trường nhau?
b) Bất cứ học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường?
Bài 3: Xét các số gồm 9 chữ so,á trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại
2,3,4,5. hỏi có bao nhiêu số nư thế, nếu:

a) Năm chữ số 1 được xếp cạnh nhau?
b) Các chữ số được xếp tùy ý?
Bài 4: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ
số lẻ và ba chữ số chẵn? (chữ số đầu tiên phải khác 0).
Vấn đề 2: Các bài toán liên quan đến A
K
n ;
C
k
n ;
P
n
.
Thí dụ 1: Giải phương trình:
C
1
x +
C
2
x
+ C
3
x =
2
7x
(1)
Giải
Điều kiện: x ∈N và x≥3
(1) ⇔
)!1(!1

!

x
x
+
)!2(!2
!

x
x
+
)!3(!3
!

x
x
=
2
7x
⇔ x+
2
)1( xx

+
6
)1)(2( xxx
−−
-
2
7x

=0
⇔ (x-2)(x-1)+ 3(x-1) -15 =0
⇔ x
2
=16 ⇔ x=4
Thí dụ 2: Chứng minh rằng: A
k
n =
A
k
n-1
+k.A
k-1
n-1
(1<k <n).
Giải
A
k
n-1 +
k. .A
k-1
n-1
=
)!1(
)!1(
−−

kn
n
+k

)!(
)!1(
kn
n


=
)!(
)()!1(
kn
kknn

+−−
=
)!(
!
kn
n

=A
k
n
BÀI TẬP:
Bài 1. Giải phương trình:
a) A
3
n
20n b) A
2
n

–A
1
n
=3 c) 3.A
2
n
+42 = A
2
2n
d) A
3
n
+ 3.A
2
n =
2
1
P
n+1
e) P
n+3
=720. A
5
n
.P
n-5
f) A
2
x
.C

x-1
x
=48 g)
23
24
43
1
4
=


+
x
xx
x
CA
A

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×