PT mulogarit co tham so

PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CÓ CHỨA THAM SỐ

( m − 4 ) .9 x − 2 ( m − 2 ) .3x + m − 1 = 0 có nghiệm

Bài 1. Tìm m để phương trình:
Giải
Đặt: t = 3x

( t > 0)

2
Phương trình thành: ( m − 4 ) t − 2 ( m − 2 ) t + m − 1 = 0 (1)

⇔ mt 2 − 2mt + m = 4t 2 − 4t + 1
⇔ m ( t 2 − 2t + 1) = 4t 2 − 4t + 1
⇔m=

4t 2 − 4t + 1
t 2 − 2t + 1

( t ≠ 1)
t > 0
t ≠ 1

4t 2 − 4t + 1
Xét hàm số: f (t ) = 2
t − 2t + 1
2
−4t + 6t − 2
f '(t ) = 2
(t − 2t + 1) 2

với: 

t = 1 (loại)
f '(t ) = 0 ⇔ −4t 2 + 6t − 2 = 0 ⇔  1
t =
 2

Bảng biến thiên:

t
f '( t )

0

−

1
2

0

f ( t) 1

+∞

1
+

+∞ +∞

−

4

0
4 1
4− + 2
4t 2 − 4t + 1
t t =4
lim f ( t ) = lim 2
= lim
t →+∞
t →+∞ t − 2t + 1
t →+∞
2 1
1− + 2
t t

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≥ 0
x
x
Bài 2. Tìm m để phương trình: 4 − 4m ( 2 − 1) = 0 có nghiệm

Giải

4 x − 4m ( 2 x − 1) = 0 ⇔ 4 x − 4m.2 x + 4m = 0

Đặt: t = 2 x ( t > 0 )

Phương trình thành: t 2 − 4mt + 4m = 0 (1)
⇔ t 2 = 4m ( t − 1)
⇔ 4m =

t2
t −1

( t ≠ 1)

Xét hàm số: f (t ) =

t2
t −1

t > 0
t ≠ 1

với: 


f '(t ) =

t = 0(loại)
f '(t ) = 0 ⇔ t 2 − 2t = 0 ⇔ 
t = 2

t 2 − 2t
;
(t − 1) 2

Bảng biến thiên:
t
f '( t )

1

0
−

+

0

−

+∞

f ( t) 0

+∞

2

+∞

4

−∞

t2

1
= lim
= +∞
t →+∞ t − 1
t →+∞ 1
1
−
t t2

lim f ( t ) = lim

t →+∞

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = 4m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 4m < 0 hoặc 4m ≥ 4 ⇔ m < 0 hoặc m ≥ 1
Bài 3. Tìm m để phương trình: m.2 x + 2− x − 5 = 0 có nghiệm
Giải
m.2 x + 2− x − 5 = 0 ⇔ m.2 x +

( t > 0)

Đặt: t = 2 x

1
−5 = 0
2x

1
t

Phương trình thành: mt + − 5 = 0 (1)
⇔ mt 2 − 5t + 1 = 0 ⇔ mt 2 = 5t − 1 ⇔ m =

Xét hàm số: f (t ) =

5t − 1
t2

5t − 1
t2

( t > 0)

với: t ∈ ( 0; +∞ )

t = 0 (loại)
−5t + 2t
2
f '(t ) =
; f '(t ) = 0 ⇔ −5t + 2t = 0 ⇔  2
4
t=
t
 5
2

Bảng biến thiên:
t
f '( t )

0

2
5
+

0
25
4

f ( t)

+∞
−
0

−∞
5 1
− 2
5t − 1
t
t =0
lim f ( t ) = lim 2 = lim
t →+∞
t →+∞ t
t →+∞
1

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )

Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≤

25
4


(

) (

)

x

x

Bài 4. Tìm m để phương trình: 3 + 2 2 + 3 − 2 2 − 2m = 0 có nghiệm
Giải

( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 ) − 2m = 0
Vì: ( 3 + 2 2 ) ( 3 − 2 2 ) = 1
Đặt: t = ( 3 + 2 2 ) ( t > 0 ) ⇒ ( 3 − 2 2 )
x

x

x

x

=

1
t

1
t2 +1
= 2m ( t > 0 )
t
t
t2 +1
f
(
t
)
=
Xét hàm số:
với: t ∈ ( 0; +∞ )
t
t = −1 (loại)
t 2 −1
2
f '(t ) = 2 ; f '(t ) = 0 ⇔ t − 1 = 0 ⇔ 
t
t = 1

Phương trình thành: t + = 2m ⇔

Bảng biến thiên:
t

f '( t )
f ( t)

+∞

1

0
+∞

−

+

0

+∞

2
t 2 −1
lim f ( t ) = lim
= lim
t →+∞
t →+∞
t →+∞
t

1
t 2 = +∞
1

t

1−

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = 2m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 2m ≥ 2 ⇔ m ≥ 1
Bài 5. Tìm m để phương trình: 25 x +1 − 5 x + 2 + m = 0 có nghiệm
Giải
25 x +1 − 5x + 2 + m = 0 ⇔ 25.52 x − 25.5 x + m = 0
Đặt: t = 5 x ( t > 0 )

Phương trình thành: 25t 2 − 25t = − m (1)
Xét hàm số: f (t ) = 25t 2 − 25t với: t ∈ ( 0; +∞ )
f '(t ) = 50t − 25 ;

Bảng biến thiên:

f '(t ) = 0 ⇔ 50t − 25 = 0 ⇔ t =
t
f '( t )
f ( t)

0

1
∈ ( 0; +∞ )
2
1
2

0

−
0
−

25
4

+∞
+

+∞


Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = − m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ −m ≥ −
x

25
25
⇔m≤
4
4

x

1
1
Bài 6. Tìm m để phương trình:  ÷ − m  ÷ + 2m + 1 = 0 có nghiệm

9
3

Giải
x

1
Đặt: t =  ÷
3

( t > 0)

Phương trình thành: t 2 − mt + 2m + 1 = 0 ⇔ t 2 + 1 = m ( t − 2 ) ⇔ m =
Xét hàm số: f (t ) =
t 2 − 4t − 1

f '(t ) =

( t − 2)

2

t > 0
t ≠ 2

t2 +1
t −2

t2 +1
(1)

t−2

với: 

t = 2 + 5
f '(t ) = 0 ⇔ t 2 − 4t − 1 = 0 ⇔ 
t = 2 − 5 ∉ ( 0; +∞ )

;

Bảng biến thiên:
t
f '( t )

2− 5

−

0 −

+∞

f ( t)
−

+∞

2+ 5

2

0

0

−

1
2

+

+∞

4+2 5
−∞

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m < −
Bài 7. Tìm m để phương trình: 91+

1
hoặc
2

1− x 2

− ( m + 2 ) .31+

1− x 2

+ 2m + 1 = 0 có nghiệm

Giải: Điều kiện: 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1
Đặt: t = 31+ 1− x ( t > 0 )
2

)

(

 −x 
.ln 3. 
÷
2
 1− x 
t ' = 0 ⇔ x = 0 ; ta có: t ( −1) = 3 ; t ( 1) = 3 ; t ( 0 ) = 9
t ' = 31+

1− x 2

'

.ln 3. 1 + 1 − x 2 = 31+

1− x 2

Do đó: x ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ 3;9]

t 2 − 2t + 1
=m
Phương trình thành: t − ( m + 2 ) t + 2m + 1 = 0 ⇔ t − 2t + 1 = m ( t − 2 ) ⇔
t −2
t > 0
t 2 − 2t + 1
Xét hàm số: f (t ) =
với: 
t −2
t ≠ 2
2

f '(t ) =

t 2 − 4t + 3

( t − 2)

2

Bảng biến thiên:

;

2

t = 1 ∉ [ 3;9]
f '(t ) = 0 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ 
t = 3
t

f '( t )
f ( t)

+

01

03

+

64 9
7


–

4
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 4 ≤ m ≤

64
7

Bài 8. Tìm m để phương trình: log ( x 2 + 2mx ) − log ( x − 1) = 0 có nghiệm
Giải.

log ( x 2 + 2mx ) − log ( x − 1) = 0 ⇔ log ( x 2 + 2 mx ) = log ( x − 1) (1)

x > 1

x −1 > 0

⇔ 2
⇔  − x2 + x −1
= m (2)
 x + 2mx = x − 1 
2x

− x2 + x −1
−2 x 2 + 2
y'=
Xét hàm số: y =
với x > 1 ;
2x
4x2
 x = −1 ∉ ( 1; +∞ )
y ' = 0 ⇔ −2 x 2 + 2 = 0 ⇔ 
x = 1

Bảng biến thiên:

x
y'

−

+

-1

1

0

+

0
−

y

−
1
2
−∞

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m < −

1
2

Bài 9. Tìm m để phương trình: ( m − 1) log 32 ( x − 2 ) − 2 ( m + 1) log 3 ( x − 2 ) + m − 3 = 0 có nghiệm x
thỏa mãn điều kiện x < 3
x > 2
⇔2< x<3
x < 3

Giải. Điều kiện: 

Đặt: t = log 3 ( x − 2 ) ; 2 < x < 3 ⇔ 0 < x − 2 < 1 ⇒ log 3 ( x − 2 ) = t < 0

2
2
2
Phương trình thành: ( m − 1) t − 2 ( m + 1) t + m − 3 = 0 ⇔ m ( t − 2t + 1) = t + 2t + 3

⇔

t 2 + 2t + 3
=m
t 2 − 2t + 1

Xét hàm số: f (t ) =
f '(t ) =

−4t 2 − 4t + 8

(t

2

− 2t + 1)

Bảng biến thiên:

2

t 2 + 2t + 3
t 2 − 2t + 1

;

với: t < 0

t = 1∉ ( −∞;0 )
f '(t ) = 0 ⇔ −4t 2 − 4t + 8 = 0 ⇔ 
t = −2
t

−∞

-2

0

1


−

f '( t )

0

0

+
3

f ( t) 1

1
3

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm x thỏa

⇔

1
≤m<3
2

Bài 10. Tìm m để phương trình: log ( mx ) = 2 có nghiệm duy nhất
log ( x + 1)

Giải.

log ( mx )

log ( x + 1)

= 2 ⇔ log ( x +1) ( mx ) = log ( x +1) ( x + 1)

2


 x > −1
x +1 > 0



⇔ x +1 ≠ 1
⇔ x ≠ 0


2
2
mx = ( x + 1)
 ( x + 1) = m
 x

Xét hàm số: f ( x) =

x2 + 2x + 1
x

 x > −1
x ≠ 0

với: 

 x = −1∉ ( −1; +∞ )
f '( x ) = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇔ 
x = 1

x2 −1
f '( x ) = 2 ;
x

Bảng biến thiên:
x
f '( x)
f ( x)

0

-1
−

−

+∞

0

1
0

+∞
+

+∞

4
−∞

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ m < 0 hoặc m = 4
Bài 11. Tìm m để phương trình: 2 log 2 ( x + 4 ) = log 2 ( mx ) có nghiệm.

Giải.
2 log 2 ( x + 4 ) = log 2 ( mx ) ⇔ log 2 ( x + 4 )

2

 x > −4

x + 4 > 0

2
= log 2 ( mx ) ⇔ 
2 ⇔  ( x + 4)
mx
=
x
+
4
(
)
=m



 x


Xét hàm số: f ( x) =
f '( x ) =

x2 − 4

;
x2

 x > −4
x ≠ 0

x2 + 4x + 4
x

với: 

 x = −2
f '( x ) = 0 ⇔ x 2 − 4 = 0 ⇔ 
x = 2

Bảng biến thiên:
x

-4

f '( x)

+

f ( x)

0

-2
0

−

−

+∞

0

2
0

+∞
+

+∞

8

-1

−∞

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số f ( t )
Qua bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≤ 0 hoặc m ≥ 8
x

− 12 −3 x 2

Bài 12. Tìm m để phương trình:  3 ÷ .  4 ÷

4 3
2
Giải. Điều kiện: 12 − 3 x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2
x

3
 ÷
4

− 12 −3 x 2

4
. ÷
3

m

x + 12 −3 x 2

m

3
=  ÷ có nghiệm.
4

m

3
3
3

= ÷ ⇔ ÷
=  ÷ ⇔ x + 12 − 3 x 2 = m (1)
4
4
4
Bảng biến thiên:
Đặt: y = x + 12 − 3x 2 , với x ∈ [ −2; 2]
x −∞ −2
1
Trên khoảng ( −2; 2 ) ta có:
0
+
y'
3x
12 − 3 x 2 − 3x
4
y ' = 1−
=
y
12 − 3x 2
12 − 3x 2
0 ≤ x ≤ 2
y ' = 0 ⇔ 12 − 3 x 2 = 3 x ⇔ 
2
2
−2
12 − 3 x = 9 x
⇔ x =1
Phương trình thành: y = m

2 +∞

−
2

Phương trình (1) có nghiệm ⇔ −2 ≤ m ≤ 4