Cực trị hàm số có tham số

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt


Cho hàm số :
42
21
yxmx
=−+
đồ thị
();
m
Cm
là tham số . Định
m
để đồ thị hàm số có 3 cực trị là 3
đỉnh của tam giác đều .

42
21;
yxmxD
=−+=
¡

322
2
0
'444();'04()0
(*)
x
yxmxxxmyxxm
xm


=
=−=−=⇔−=⇔

=




Để
()
m
C
có 3 cực trị khi
'0
y
=
có 3 nghiệm phân biệt khi đó phương trình
(*)
có 2 nghiệm phân biệt
khác 0 hay
0
m
>

Với
0
m
>
thì đồ thị

()
m
C
có 3 cực trị
22
(;1);(0;1);(;1)
AmmBCmm
−−+−+

Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên
ABC
∆
đều
3
2243
4(3)03
ABACABACmmmmmm
=⇔=⇔+=⇔−=⇒= thỏa điều kiện
0
m
>


Cho hàm số
42
4
yxmxxm
=−++
đồ thị
();

m
Cm
là tham số . Định
m
để đồ thị hàm số có 3 cực trị .

423
4'424()
yxmxxmyxmxfx
=−++⇒=−+=
Cách 1 : Để hàm số có 3 cực trị khi phương trình
()0
fx
=
có 3 nghiệm phân biệt khi đó
()
fx
có cực đại
cực tiểu và
().()0
CDCT
fxfx
<

322
()424'()122;'()0
6
m
fxxmxfxxmfxx=−+⇒=−=⇔=
()

fx
có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi
'()
fx
có 2 nghiệm phân biệt
0
m
⇔>

3
3
3
16
().()().(1605432
669.3
CDCT
mmm
fxfxffmm=−=−<⇔>⇔> thỏa điều kiện
0
m
>
.
Cách 2 : Phương trình
()0
fx
=
có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình
3
22
xmx

+=
có 3 nghiệm
phân biệt ; nghĩa là
3
2
222
2()
x
mxgx
xx
+
==+= có 3 giao điểm
2
2
()2gxx
x
=+
có tập xác định
\{0}
D
=
¡

00
lim();lim();lim();lim()
xx
xx
gxgxgxgx
−+
→−∞→+∞

→→
=+∞=+∞=−∞=+∞

3
22
3
2421
'()4;'()0
2
x
gxxgxx
xx
−
=−==⇔=
Dựa vào bảng biến thiên ,
()0
fx
=
có 3 nghiệm phân biệt khi
3
32
m
>

Cho hàm số :
2
(32)21
1
xmxm
y

x
+++−
=
−
. Tìm m để hàm số có cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm
cực trị tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2?.