bài tập ôn tập khoảng cách

I. TÊN ĐỀ TÀI
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN
II. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương pháp toạ độ trong không gian là một trong những phương
pháp hữu hiệu để giải bài toán hình học không gian. Tuy nhiên để giải một
bài toán bằng phương pháp toạ độ thì không phải đơn giản vì mỗi bài toán
lại có những phương pháp khác nhau và phải có kỷ năng định hướng các
bước giải, phải hệ thống các kiến thức một cách đầy đủ, khi đó chúng ta mới
có thể giải được bài toán.
Chính vì thế đối với học sinh lớp 12 ban cơ bản các em thường bối rối
và cảm thấy khó khăn đối với những bài toán về phương pháp toạ độ. Các
em không biết từ đâu và sử dụng phương pháp nào để giải.
Hơn nữa, đây là năm đầu tiên sử dụng đại trà sách giáo khoa phân
ban. Đối với ban cơ bản, sách giáo khoa không cho nhiều công thức sử dụng
để tính khoảng cách như trước đây.
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã tổng hợp được một số dạng toán có
thể giải bằng cách sử dụng kiến thức về khoảng cách. Vì vậy, tôi chọn đề tài
“khoảng cách trong hình học không gian” để làm đề tài của mình với mong
muốn trang bị kiến thức, phương pháp giải một số dạng toán cho học sinh
chuẩn bị cho các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi vào các trường
đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp. Tôi hy vọng đây cũng là tài
liệu bổ ích cho các đồng nghiệp sử dụng công việc giảng dạy của mình.
III. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Khoảng cách giữa hai điểm
Cho hai điểm
(
)
(
)
; ; ; ; ;A x y z B x y z

B B B
A A A
. Khoảng cách giữa hai
điểm A và B là độ dài đoạn AB được tính theo công thức:
( ) ( ) ( )
2 2 2
AB AB x x y y z z
B B B
A A A
= = − + − + −
uuur
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( )
α
có phương trình
Ax +By + Cz + D = 0 và điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
). Khoảng cách từ M
0
đến mặt
phẳng
( )
α

, ký hiệu là
( )
( )
0
,d M
α
, được tính theo công thức:
Lý Minh Châu Khoảng cách trong không gian
3
a
(P)
M
(P)
(Q)
M
N
( )
( )
0 0 0
,
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN

Mặc dù sách giáo khoa chỉ nêu 2 công thức tính khoảng cách đơn giản như
vậy nhưng trong bài tập có nhiều bài về khoảng cách và vận dụng khoảng
cách này để giải.
Do đó trong tiết ôn tập cuối
năm, ta cần dành thời gian để
hệ thống lại các kiến thức liên
quan nhằm giúp học sinh
nắm được phương pháp để
làm toán.
1. Khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Cho đường thẳng a và
mặt phẳng (P) song song, ta có:
( )
( )
( )
, ,( ) ,d a P d M P M a
= ∀ ∈
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , , ( )
, , ( )

d P Q d M P M Q
d N Q N P
= ∀ ∈
= ∀ ∈
Ngoài ra, học
sinh ban cơ
bản còn đặt
vấn đề tại sao
không có công
thức tính
khoảng cách từ
một điểm đến
một đường
thẳng, giữa hai
đường thẳng
trong không
gian như trong
chương trình nâng cao. Và nếu không sử dụng công thức có sẵn như sách
Lý Minh Châu Khoảng cách trong không gian
4
nâng cao thì liệu ta có giải quyết được bài toán khoảng cách như trên
không?
Sau đây, tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản về Khoảng cách
trong không gian.
V. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính
khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
VD1: Bài 6/ 90(sgk – ban cơ bản).
Tính khoảng cách từ đường thẳng
3 2

: 1 3
1 2
x t
y t
z t
= − +


∆ = − +


= − +

và mặt phẳng
( )
α
:
2x- 2y + z + 3 = 0
Giải: Đường thẳng
∆
đi qua M(-3; -1; -1), có vectơ chỉ phương
( )
2;3;2a =
ur
và mp
( )
α
có VTPT
(2; 2;1)n = −
ur

.
Suy ra:
. 0a n =
ur ur
và M không nằm trên
( )
α
nên
∆
và
( )
α
song
song.
Do đó:
( )
( )
( )
( )
2( 3) 2( 1) 1 3
2
, ,
3
4 4 1
d d M P
α
− − − − +
∆ = = =
+ +
Bài tập tự rèn luyện:

Cho mp
( )
α
: 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng
1 7 3
:
2 1 4
x y z− − −
∆ = =
a) Chứng tỏ
( )
/ /
α
∆
b) Tính khoảng cách giữa
∆
và
( )
α
Đáp số:
9
14
2. Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
VD2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có
phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Lý Minh Châu Khoảng cách trong không gian
5
A
A'

D'
C'
B'
D
C
B
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song
song với mặt phẳng (P). Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và
(Q).
Giải:
Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có VTPT là (2; -3; 6) và (Q) qua
A(-2; 4; 3). Suy ra phương trình mp(Q):
2(x + 2) – 3(y – 4) + 6(z – 3) = 0
⇔
2x – 3y + 6z – 2 = 0
Ta có (P)//(Q) nên khoảng cách giữa (P) và (Q) là khoảng cách từ A
đến (P). mà
( )
( )
4 12 18 19
, 3
4 9 36
d A P
− − + +
= =
+ +
Vậy d((P), (Q)) = 3
VD3: Bài 10/81 sgk – ban cơ bản
Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0); D(0; 1; 0),
C(1; 1; 0), A’(0; 0; 1), B’(1; 0; 1), D’(0; 1; 1), C’(1; 1; 1).
' (1;0;1); ' (0;1;1); ' (0;1;1); ( 1;1;0)AB AD BC BD= = = = −
uuuur uuuuur uuuur
uuuur
Mặt phẳng (AB’D’) có VTPT
' ' ( 1; 1;1)AB AD∧ = − −
uuuur uuuuur
Mặt phẳng (BC’D) có VTPT
' ( 1; 1;1)BC BD∧ = − −
uuuur
uuuur
Suy ra 2 mp(AB’D’) và (BC’D)
song song
b) Khi đó khoảng cách giữa hai mặt
phẳng trên chính là khoảng cách từ
A đến mp(BC’D’).
Ta viết phương trình mp(BC’D):
x + y – z – 1 = 0
1
1
( ,( ' ))
1 1 1 3
d A BC D
−
= =
+ +

Vậy khoảng cách giữa hai mp trên
là
1
3
Bài tập tự rèn luyện:
Lý Minh Châu Khoảng cách trong không gian
6
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình:
x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
Đáp số: 3
3. Vận dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm với
mặt phẳng để viết phương trình mặt cầu
Nhắc lại một số công thức:
a) Mặt cầu nhận AB làm đường kính thì có tâm I là trung điểm
AB và bán kính r = ½ AB
b) Mặt cầu có tâm I và qua điểm A thì có bán kính r = IA
c) Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính
bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
VD4: Bài 12b/101- sgk – ban cơ bản
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0),
C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc
mặt phẳng (BCD)
Giải:
Viết được phương trình mp(BCD): x + 2y + 3z – 7 = 0
Mặt cầu tâm A tiếp xúc (BCD) có bán kính
( )
( )
3 2( 2) 3.2 7
, 14
1 4 9

r d A BCD
+ − + −
= = =
+ +
Phương trình mặt cầu:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 2 14x y z− + + + + =
Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( d ) có phương
trình
x 1 2t
y 2 t
z 3 t





= − +
= +
= −
và mặt phẳng ( P ) có phương trình x – 2y + z + 3 = 0.
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ( d ), bán kính bằng
6
, tiếp xúc
với ( P ).
Đáp số:
( ) ( ) ( )

2 2 2
13 9 4 6x y z− + − + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
11 3 8 6x y z+ + + + − =
Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0),
Lý Minh Châu Khoảng cách trong không gian
7
D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
Đáp số:
( ) ( )
2 2
2
2 1 1x y z+ + − + =
4. Vận dụng khoảng cách để xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và
mặt phẳng
Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I
đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu
( )
( )
,d I P R>
thì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm
chung
b) Nếu
( )

( )
,d I P R=
thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm
chung. Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
c) Nếu
( )
( )
,d I P R<
thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1
đường tròn (C) có tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính
( )
( )
,
2 2
I Pr R d= −
VD5: Bài 5/ 92- sgk ban cơ bản
Cho mặt cầu (S) có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 1 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( )
α
có phương
trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mặt phẳng
( )
α
cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn (C). Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của
đường tròn (C)

Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 1) và bán kính R= 10
Tính
( )
( )
2.3 2( 2) 1.1 9
, 6 10
4 4 1
d I
α
− − − +
= = <
+ +
, suy ra
( )
α
cắt (S)
theo một đường tròn có tâm J là hình chiếu của I lên
( )
α
.
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với
( )
α
có phương trình
tham số:
3 2
2 2
1
x t
y t

z t
= +


= − −


= −

.
Lý Minh Châu Khoảng cách trong không gian
8