Bài giảng toán cao cấp và tổ hợp phép đếm

TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Tổ hợp & Phép đếm
(Combinatorics & Counting)

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 1


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Lý thuyết tổ hợp
Combinatorics là một ngành toán học nghiên cứu
sự liệt kê, tổ hợp, và hoán vị của tập những phần
tử những mối quan hệ toán học.
(Concise Encyclopedia of Mathematics)

Combinatorics bao gồm đếm
• Đếm các đối tượng thỏa điều kiện (enumerative combinatorics)
• Quyết định khi nào điều kiện thỏa, xây dựng và phân tích
các đối tượng thỏa điều kiện (combinatorial designs and
matroid theory)
• Tìm lớn nhất, nhỏ nhất, tối ưu (combinatorial optimization)
(en.wikipedia.org)
Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 2


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Ứng dụng của lý thuyết tổ hợp
➳ Lý thuyết độ phức tạp của thuật toán
➳ Lý thuyết tối ưu rời rạc
➳ Lý thuyết xác suất
➳ Vật lý thống kê
➳ Hình học

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 3


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Những quy tắc đếm cơ bản
Rất nhiều bài toán đếm có thể thực hiện chỉ dùng
2 quy tắc cơ bản: cộng (sum) và nhân (product).
Có những quy tắc đếm nâng cao khác

➠ Liệt kê các khả năng thối một lượng tiền với một tập các loại tiền
xác định

➠ Đếm bao nhiêu mật khẩu (password) có thể có với một chiều dài cho
trước
➠ Đếm có bao nhiêu địa chỉ Internet

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 4


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Bao nhiêu cách chọn ?

Hấp dẫn
Đảm đang
Chọn ai đây?!?! Mà chỉ được 1 mà thôi :-(

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 5


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Quy tắc cộng
Ví dụ: Hoặc là 1 giảng viên của khoa KH&KT MT, hoặc là 1 sinh

viên của khoa KH&KT MT sẽ là đại diện của trường. Như vậy nếu
có 24 giảng viên, 310 sinh viên thì có bao nhiêu cách chọn lựa đại
diện ?
Lời giải: Chọn đại diện từ giảng viên thì có 24 cách, chọn đại diện từ
sinh viên thì có 310 cách. Như vậy ta có 24+310=334 cách chọn đại
diện.

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 6


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Quy tắc cộng
Ví dụ: Hoặc là 1 giảng viên của khoa KH&KT MT, hoặc là 1 sinh
viên của khoa KH&KT MT sẽ là đại diện của trường. Như vậy nếu
có 24 giảng viên, 310 sinh viên thì có bao nhiêu cách chọn lựa đại
diện ?
Lời giải: Chọn đại diện từ giảng viên thì có 24 cách, chọn đại diện từ
sinh viên thì có 310 cách. Như vậy ta có 24+310=334 cách chọn đại
diện.

Giả thiết công việc 1 có thể làm bằng n1 cách, công
việc 2 có thể làm bằng n2 cách. Nếu 2 công việc
không thể làm đồng thời thì có n1 + n2 cách làm
một trong 2 công việc.
Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 7


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Tổng quát hóa quy tắc cộng
Tổng quát lên m công việc không thể làm đồng thời
và số cách làm chúng tương ứng là n1, n2 , . . . , nm .
Số cách làm một trong m công việc là m
i=1 ni .

Ví dụ: Một sinh viên chọn đồ án môn học trong 5 nhóm: khoa học
máy tính, cơ sở dữ liệu, công nghệ phần mềm, hệ thống & mạng máy
tính, kỹ thuật máy tính. Mỗi nhóm có số lượng đề tài tương ứng là:
10, 15, 14, 16, 11. Có bao nhiêu cách chọn ?
Lời giải: 10+15+14+16+11 = 66 cách

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 8


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Góc nhìn tập hợp

Giả thiết A1, A2 , . . . , Am là các tập hợp rời nhau (disjoint). Khi đó số cách để chọn một phần tử từ một
trong các tập chính là
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Am| = |A1 | + |A2| + . . . + |Am |

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 9


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Chọn nhà nào đây ?

Mục tiêu
Chọn nhà nào đây ?!?! Mà chỉ 1 nhà thôi :-(

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 10


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Quy tắc nhân
Ví dụ: Một trung tâm máy tính có 32 máy vi tính. Một máy có 12
cổng. Như vậy trung tâm có bao nhiêu cổng ?

Lời giải: Quá trình gồm 2 bước
1. Chọn máy
2. Chọn cổng của máy được chọn
Dễ thấy, số cách là 32 × 12 = 384 cổng.

Giả sử một nhiệm vụ được tách làm 2 việc: việc 1
làm bằng n1 cách, việc 2 làm n2 cách khi việc 1 đã
được làm. Khi đó sẽ có n1 ×n2 cách thực hiện nhiệm
vụ này.
Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 11


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Tổng quát quy tắc nhân
Giả thiết một nhiệm vụ có m công việc phải thực
hiện T1, . . . , Tm. Nếu việc Ti có ni cách thực hiện.
Khi đó ta có n1 × . . . × nm cách thực hiện nhiệm
vụ.

Ví dụ: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7 ?
Lời giải: Mỗi bit có thể chọn 1 trong 2 cách: 0 và 1. Quy tắc nhân
cho số lượng xâu là 27 = 128.
Ví dụ: Có bao nhiêu hàm đơn ánh xác định trên tập hữu hạn A có m
phần tử và nhận giá trị trên tập B có n phần tử ?

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 12


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Phối hợp 2 quy tắc
Ví dụ: Mật khẩu máy tính dài từ 6 → 8 ký tự. Mỗi ký tự có thể là
số hoặc chữ hoa. Mỗi mật khẩu phải có ít nhất một chữ số. Có bao
nhiêu mật khẩu ?
Lời giải: Gọi P1 , P2 , P 3 là tổng số mật khẩu có chiều dài tương ứng là
6, 7, 8. Dùng quy tắc nhân để tính Pi ta có
P6 = (10 + 26)6 − 266
P7 = (10 + 26)7 − 267
P8 = (10 + 26)8 − 268
Dùng quy tắc cộng ta có tổng số mật khẩu
P = P6 + P7 + P8 = 366 + 367 + 368 − (266 + 267 + 268 )

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 13


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Quy tắc bù trừ
Ví dụ: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8 bit hoặc được bắt đầu bằng
1 hoặc kết thúc bằng 2 bit 00 ?
Lời giải:
• Số lượng chuỗi bit bắt đầu bằng 1 là 27 = 128
• Số lượng chuỗi bit kết thúc bằng 00 là 26 = 64
• Số lượng chuỗi bit bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 00 là 25 = 32
Số lượng chuỗi bit thỏa đề bài là 128 + 64 − 32 = 160.

Ví dụ: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8 bit hoặc được bắt đầu bằng
01 hoặc được bắt đầu bằng 10 ?

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 14


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Góc nhìn tập hợp
Cho A1 và A2 là các tập hợp. T1 là công việc chọn
1 phần tử từ A1, T2 là công việc chọn 1 phần tử từ
A2 .
☞ |A1 | cách làm T1, |A2 | cách làm T2
☞ Số cách làm T1 hoặc T2 là
|A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1 ∩ A2|
T1 và T2 có thể làm đồng thời

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 15


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Giản đồ cây
Giản đồ cây để giải bài

Ví dụ: Có bao nhiêu chuỗi nhị phân
dài 4 bit không có 2 số 1 liên tiếp ?

toán đếm:

0
0
1

☞ Nhánh: đại diện những

0
0

1
0

khả năng có thể có

0

1

0
1

1

☞ Lá: là những kết quả

0

0

1

có thể có

1

0

Bit 1

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

0

Bit 2

Bit 3

Bit 4

Page 16


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Nguyên lý lồng chim bồ câu
(Pigeonhole principle)
Nếu có k + 1 hoặc nhiều hơn đồ vật được đặt vào
trong k hộp thì có ít nhất một hộp chứa 2 hoặc
nhiều hơn 2 đồ vật

Ví dụ: Có 109 sinh viên và thang
điểm có 110 bậc thì có ít nhất 2
sinh viên cùng điểm thi.

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 17


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Nguyên lý Dirichlet tổng quát
Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp, sẽ tồn
tại một hộp chứa ít nhất N/k vật.

Ví dụ: Trong 100 người có ít nhất 100/12 = 9 người cùng tháng
sinh.
Ví dụ: Xét 1 tháng 30 ngày. Một đội bóng chơi ít nhất 1 ngày 1 trận,
nhưng cả tháng không quá 45 trận. Hãy chỉ ra rằng có những ngày
liên tiếp đội bóng chơi tất cả 14 trận.

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 18


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Hoán vị và chỉnh hợp
Ví dụ: Bao nhiêu cách chọn 22 cầu thủ để tham dự đội tuyển bóng
đá Việt Nam từ danh sách 30 cầu thủ đề cử ? Bao nhiêu cách chọn
ra một danh sách có thứ tự 11 cầu thủ để thi đấu ?

☞ Hoán vị của 1 tập các đối tượng = 1 cách sắp
xếp các đối tượng
☞ Một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử của tập n
phần tử được gọi là chỉnh hợp chập r của tập n

phần tử
n!
P (n, r) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1) =
(n − r)!
Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 19


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Ví dụ hoán vị và chỉnh hợp
Ví dụ: Bao nhiêu cách chọn 22 cầu thủ để tham dự đội tuyển bóng
đá Việt Nam từ danh sách 30 cầu thủ đề cử ? Bao nhiêu cách chọn
ra một danh sách có thứ tự 11 cầu thủ để thi đấu ?
Lời giải: Có P (22, 11) cách chọn danh sách có thứ tự 11 cầu thủ từ
22 cầu thủ trong đội.

Ví dụ: Một thương nhân đi qua 6 tỉnh để buôn bán và chỉ qua một
tỉnh một và chỉ một lần duy nhất mà thôi. Sau đó thương nhân quay
về tỉnh xuất phát. Hỏi có bao nhiêu lộ trình ?

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 20


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Tổ hợp
Một tổ hợp chập r của một tập hợp với bản số n là
một cách chọn không có thứ tự r phần tử của tập
đã cho

n!
C(n, r) =
r!(n − r)!

Hệ quả dễ thấy
C(n, r) = C(n, n − r)

Ví dụ: Có C(30, 22) cách chọn ra 22 cầu thủ từ danh sách đề cử 30
cầu thủ.
Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 21


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Một số định lý
Hằng đẳng thức Pascal
C(n + 1, k) = C(n, k − 1) + C(n, k)
Hằng đẳng thức Vandermonde

r

C(m, r − l)C(n, k)

C(m + n, r) =
k=0

Định lý nhị thức
n

(x + y)n =

C(n, j)xn−j y j
j=0

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 22


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Hoán vị có lặp
Ví dụ: Từ bảng chữ cái tiếng Anh có thể tạo ra bao nhiêu chuỗi có
độ dài n ?
Lời giải: 26n (dùng quy tắc nhân)

Có sự tương tự như chỉnh hợp (có thứ tự), nhưng

cho phép sự lặp lại của các chữ cái.
Số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng
nr

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 23


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Tổ hợp lặp
Ví dụ: Bao nhiêu cách bày mâm 5 quả nếu chỉ chọn các loại quả: dừa,
đu đủ, xoài ?
Lời giải: Liệt kê ra 21 trường hợp

Số tổ hợp lặp chập r của n phần tử bằng
C(n + r − 1, r)

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 24


TS. Trần Văn Hoài

2008-2009

Ví dụ: Phương trình x1 + x2 + x3 = 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên
không âm ?
Lời giải: Mỗi nghiệm tương ứng với một cách chọn 11 phần tử của 1
tập có 3 loại sao cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần
tử loại 3.
Suy ra số nghiệm là tổ hợp lặp chập 11 từ tập 3 phần tử
C(3 + 11 − 1, 11) = C(13, 11) = 78

Tổ hợp & Phép đếm (Combinatorics & Counting)

Page 25