cac dang toan hinh hoc

Ôn tập hình học 9Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
Phần 1. Những kiến thức cơ bản
Dạng 1. Sự xác định và tính chất cơ bản cuả đờng tròn
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Định nghĩa : Tập hợp hay còn gọi là quỹ tích các điểm cách điểm O một khoảng cho trớc một
khoảng không đổi R > 0 đợc gọi là đờng tròn tâm O bán kính R. Ta thờng kí hiệu là (O ; R)
2. Hình tròn là tập hợp các điểm ở bên trong một đờng tròn và ác điểm của chính đờng tròn đó
3. Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định bởi một đờng kính của nó. Nếu AB là một đoạn thẳng cho
trớc thì đờng tròn đờng kính AB là tập hợp tất cả các điểm M sao cho
ã
0
AMB 90=
. Khi đó tam O
sẽ là trung điểm của AB, còn bán kính
AB
R
2
=
4. Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ đợc một đờng tròn và chỉ một mà thôi. Đờng tròn
đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5. Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung đó ra làm hai phần bằng nhau. Ngợc
lại, đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung( không đI qua tâm ) thì cuông góc với dây
cung đó.
6. Trong một đờng tròn, hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm O. Trong hai
dây cung không bằng nhau, dây cung nào lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn.
B. Bài toán ví dụ :
1. Cho tứ giác ABCD có
à
à
0
C D 90+ =

. Gọi M, N, P,
Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC, CA.
Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một
đờng tròn

Q
N
P
M
D
C
A
B
2. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB; C là một điểm
di động trên đờng tròn ; H là hình chiếu của C trên
AB. Trên OC lấy OM = OH.
a. Khi H thuộc OB thì M chạy trên đờng nào ?
b. Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy
trên đờng nào ?

M
O
D
A
B
C
H
Dạng 2. tiếp tuyến của đờng tròn
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Một đờng thẳng đợc gọi là một tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung duy

nhất với đờng tròn đó. Điểm đó đợc gọi là tiếp điểm.
2. Tiếp tuyến của đờng tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Ngợc lại, đờng thẳng vuông góc với
bán kính tại giao điểm của bán kính với đờng tròn là tiếp tuyến của đờng tròn .
3. Hai tiếp tuyến của đờng tròn xuất phát từ một điểm thì bằng nhau và đờng thẳng nối điểm này với
tâm với tâm đờng tròn là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
4. Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác đó. Tâm
của đờng tròn nội tiếp là giao của ba đờng phân giác trong của tam giác .

1
Ôn tập hình học 9Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
B. Bài toán ví dụ :
1. Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Lấy AO
làm đờng kính vẽ nửa đờng tròn tâm O cùng phía
với nửa đờng tròn (O). Một cát tuyến bất kì qua A
cắt (O) và (O) lần lợt tại C và D.
a. Chứng minh C là trung điểm của AD và các
tiếp tuyến tại C và D với các nửa đờng tròn song
song với nhau.
b. Nêu cách xác định điểm C sao cho BC là tiếp
tuyến của (O).
C
O
A B
D
O'
2. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đ-
ờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp
tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia
CE cắt (O) tại điểm thứ hai F.
a. Chứng minh : đờng thẳng BC song song với

tiếp tuyến tại A của đờng tròn (O)
b. Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
c. Gọi I là trung điểm của CF và G là giao của
các tia BC và OI. So sánh các góc BAC và BGO.
I
G
C
F
D
O
E
B
A
H
3. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, AC là một
dây cung của nó. Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đờng phân
giác góc Cax cắt đờng tròn tại E và cắt BC kéo dài
tại D.
a. Chứng minh tam giác ABD cân và OE // BD.
b. Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh
DI vuông góc với AB.
c. Khi C di động trên nửa đờng tròn (O) thì D chạy
trên đờng nào ?
x
I
E
O
D
A
B

C
Dạng 3. vị trí tơng đối của hai đờng tròn
A. Các kiến thức cần nhớ :
Giả sử hai đờng tròn (O;R) và (O;r) có R

r và d = OO là khoảng cách giữa hai tâm. Khi đó mỗi vị
trí tơng đối giữa hai đờng tròn ứng với một hệ thức liên hệ giữa R và r nh sau :
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ
1. Hai đờng tròn cắt nhau
2
R r < d < R + r
2. Hai đờng tròn tiếp xúc nhau :
- Tiếp xúc trong
- Tiếp xúc ngoài
1
d = R r
3. Hai đờng tròn không giao nhau
- ở ngoài nhau
- Đựng nhau
0
d > R + r
d < R + r
B. Chú ý :
Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm vuông
góc với dây cung chung và chia đôi dây cung này

B
A
O O'
2

Ôn tập hình học 9Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
C. Bài toán ví dụ :
Cho hai đờng tròn (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ
tiếp tuyến chung BC(B, C là tiếp điểm) Gọi M là trung
điểm của BC. Chứng minh :
a. BC là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO
b. Tam giác ABC vuông
c. AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O)
d. OM vuông góc với OM
C
A
M
O
O'
B
Dạng 4. góc nội tiếp
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh của nó cắt đờng tròn đó.
2. Trong một đờng tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
- Các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau của một đờng tròn thì bằng nhau
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông
- Trong một đờng tròn, một góc nội tiếp không quá 90
0
có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng
chắn một cung.
B. Chú ý :
Trong một đờng tròn hai dây cung không cắt nhau
AB và CD là song song khi và chỉ khi hai cung AC
và BD bằng nhau.
AC // CD

ằ
ằ
AC BD =

C
D
A
B
C. Bài toán ví dụ :

1. Cho đờng tròn tâm O và một điểm M ở ngoài đ-
ờng tròn . MA, MB là hai tiếp tuyến của đờng tròn
(O). C là một điểm trên cung AB của đờng tròn tâm
M bán kính MA ( cung AB nằm trong đờng tròn
(O)). Các tia AC, BC cắt đờng tròn (O) tại P, Q (
P A,Q B
). Chứng minh PQ đi qua O.

B
A
O
M
C
Q
P
2. Cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB, K là
điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB lấy
một điểm M (M khác K và B). Trên tia AM lấy
điểm N sao cho AN = BM.
a. Chứng minh

AKN BKM =
b. Chứng minh tam giác KMN vuông cân
c. Kẻ dây BP song song với KM. Tứ giác ANKP là
hình gì ?

P
N
K
O
A
B
M
3
Ôn tập hình học 9Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
3. Cho đờng tròn (O) và một cát tuyến CAB. Từ
điểm chính giữa E của cung lớn AB kẻ đờng kính
EF, cắt AB tại D. CE cắt (O) tại điểm thứ hai I. Các
dây AB và FI cắt nhau tại K. Chứng minh :
a. Bốn điểm E, D, K, I cùng thuộc một đờng tròn.
b. CI.CE = CK.CD
c. IC là phân giác của góc ngoài tại đỉnh I của tam
giác AIB

D
A
K
I
F
E
O

C
B
4. Tam giác ABC vuông tại A. M là một điểm trên
AC. đờng tròn đờng kính CM cắt BM và BC lần lợt
tại D và N; AD cắt đờng tròn nói trên tại S. Chứng
minh :
a. Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn
b. CA là phân giác của góc SCB
c. Các đờng thẳng AB, MN, CD đồng quy .

S
N
O
B
C
M
D
A
Dạng 5. góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Tia tiếp tuyến Ax và dây AB của đờng tròn (O) tạo nên một góc gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax
và dây cung AB.
2. Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung
bị chắn.
B. Bài toán ví dụ :
1. Cho đờng tròn (O) cà đờng thẳng d ở ngoài đờng
tròn. A là hình chiếu của O trên d. Kẻ cát tuyến
ABC và hai tiếp tuyến Bx, Cy cắt d lần lợt tại D,E.
Chứng minh AE = AD

D
E
O
B
A
C
2. Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A
và B. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax và
By cùng vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm I; tia
vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đờng tròn đ-
ờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh :
a. Bốn điểm C, P, K, B cùng thuộc một đờng tròn.
b. AI.BK = AC.CB
c. Tam giác APB vuông

y
x
P
K
A
B
C
I
4
Ôn tập hình học 9Biên soạn : Nguyễn Xuân Tờng - 0915361766
3. Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB. M là
một điểm bất kì trên cung AB. Kẻ MD vuông góc
với AB. Qua điểm C trên cung MB kẻ tiếp tuyến Cx
cắt DM tại I, DM cắt AC ở E và cắt BC kéo dài ở F.
chứng minh :

a. Các tứ giác BCED và ADCF nội tiếp đợc trong
một đờng tròn.
b.
ã
ã
MEC ABC=
c. I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEC

x
E
I
D O
A
B
M
C
F
Dạng 6. góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh
của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn có số đo bằng một nửa hiệu của số đo hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc đó.

A
C
D P
A
C
B

D
B
ã
ằ
ằ
( )
1
AIB sdAB sdCD
2
= +
ã
ằ
ằ
( )
1
BPD sdBD sdAC
2
= +

B. Bài toán ví dụ :
Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến
MBA và hai tiếp tuyến MC, MD. Phân giác của góc
ACB cắt AB tại E. chứng minh :
a. MC = ME
b.DE là phân giác của góc ADB.

E
B
M
C

D
A
Dạng 7. quỹ tích cung chứa góc.
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới một góc a không đổi là hai cung tròn đối
xứng nhau qua AB, gọi là cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB.
Đặc biệt cung chứa góc 90
0
là đờng tròn đờng kính AB
2. Dựng tâm O của cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB :
- Dựng đờng trung trực d của AB
- Dựng tia Ax tạo với AB một góc a
- Sau đo dựng Ax vuông góc với Ax.
O là giao điểm của Ax và d.

d
x'
x
a
O
A
B
5