Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động

Header Page 1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN THỊ THÚY MÙI

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018

Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN THỊ THÚY MÙI

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ
BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Quang Thủy

HÀ NỘI, 2018

Footer Page 2 of 128.


Header Page 3 of 128.

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuỷ. Thầy đã tận tình
hướng dẫn và giải đáp những thắc mắc của tôi, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo khoa Toán cũng như các thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K18 chuyên
ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn quan
tâm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do điều kiện về thời gian và khả năng bản thân có hạn
nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Nguyễn Thị Thuý Mùi

Footer Page 3 of 128.


Header Page 4 of 128.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Số liệu và các kết
quả nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung thực, được tham khảo từ các tài
liệu chuyên khảo cùng các công trình khoa học đã được công bố tại các nhà xuất bản
hoặc các tạp chí chuyên ngành có uy tín trong và ngoài nước.

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Nguyễn Thị Thuý Mùi

Footer Page 4 of 128.


Header Page 5 of 128.

Mục lục
1 Một số kiến thức cơ bản và kết quả chuẩn bị
1.1

1

Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Bài toán qui hoạch lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3

Cực trị của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2

2 Bài toán cân bằng
2.1

16

Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1

Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.2

Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.3

Bài toán điểm bất động Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.4

Bài toán bù phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.5

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.6

Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác . . . . . .

19

2.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Phương pháp bài toán cân bằng phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3.1

Bài toán cân bằng phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2

Phương pháp bài toán cân bằng phụ . . . . . . . . . . . . . . .

29

3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán cân bằng và bài toán điểm
bất động

35

i

Footer Page 5 of 128.


Header Page 6 of 128.
3.1

3.2

Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán cân bằng và bài toán điểm
bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1.1

Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.2

Định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

ii

Footer Page 6 of 128.


Header Page 7 of 128.

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và ánh xạ co Banach (1922)
đã hình thành 2 hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất động
của ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động dạng co. Lý thuyết điểm bất động
có nhiều ứng dụng như: chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân và
phương trình tích phân (định lý Picard và định lý Peano), chứng minh nguyên lý biến
phân Ekeland, chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng trong mô hình kinh tế, sự tồn tại
nghiệm tối ưu của nhiều bài toán trong lý thuyết tối ưu. Nguyên lý ánh xạ co Banach
(1922) là kết quả khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co.
Một trong những mở rộng tự nhiên và quan trọng của ánh xạ co là ánh xạ không
giãn. Các nghiên cứu đầu tiên về ánh xạ không giãn được bắt đầu từ năm 1965 trong

các công trình của Browder, Goebel, Kirk và được tiếp tục cho tới nay. Lý thuyết điểm
bất động cho phép ta xây dựng thuật toán tìm nghiệm của nhiều bài toán khác nhau.
Một trong những bài toán nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước là bài toán tìm điểm chung của tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn và tập nghiệm bài toán cân bằng.
Bài toán cân bằng lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H. Nikaido, K. Isoda
nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác. Đến năm
1972 bài toán này được xét đến dưới dạng một bất đẳng thức minimax bởi tác giả Ky
Fan, người đã có nhiều đóng góp quan trọng cho bài toán, nên bài toán này còn được
gọi là bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan inequality). Bài toán này còn được sử dụng để
thiết lập điểm cân bằng trong lý thuyết trò chơi (Game theory), bởi thế nó còn có tên
gọi khác là Bài toán cân bằng (Equilibrium problem) theo cách gọi của tác giả L. D.
Muu, W. Oettli [7] năm 1992 và E. Blum, W. Oettli [3] năm 1994.
iii

Footer Page 7 of 128.


Header Page 8 of 128.
Cho tới nay, một vấn đề nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán
học trong và ngoài nước là đề xuất các phương pháp, thuật toán giải cho bài toán tìm
điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không
giãn.Vì vậy, việc tìm hiểu các thuật toán đã có, cũng như xây dựng các thuật toán mới
hữu hiệu cho việc giải bài toán này luôn là vấn đề cần được tiếp tục được quan tâm
nghiên cứu, đây là lý do tôi nghiên cứu luận văn "Phương pháp xấp xỉ gắn kết
cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động".
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận
văn gồm ba chương như sau:
Chương 1 “Ánh xạ không giãn” trình bày về ánh xạ không giãn cùng một số kết quả
về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn.

Chương 2 “Bài toán cân bằng” trình bày bài toán cân bằng và một số kết quả về
sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng cùng phương pháp bài toán phụ cho bài toán
cân bằng.
Chương 3 “Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất
động” trình bày một phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán tìm điểm chung của tập
nghiệm bài toán cân bằng với song hàm cân bằng đơn điệu và tập điểm bất động của
ánh xạ không giãn.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là giới thiệu về ánh xạ không giãn và bài toán cân bằng;
một số kết quả về sự tồn tại nghiệm cùng phương pháp bài toán cân bằng phụ giải bài
toán cân bằng và một phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán tìm điểm chung của
tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn, bài toán cân
bằng và một phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất
động của ánh xạ không giãn.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Ánh xạ không giãn, bài toán cân bằng.

iv

Footer Page 8 of 128.


Header Page 9 of 128.
- Phạm vi nghiên cứu: Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không
giãn cũng như sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng, và một phương pháp xấp xỉ

gắn kết cho bài toán tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm
bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.

5. Đóng góp mới của luận văn
Luận văn là bài tổng quan về một phương pháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán cân
bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.

6. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu.
- Tổng hợp, phân tích, sử dụng kiến thức của giải tích hàm, giải tích lồi và lý thuyết
tối ưu nghiên cứu bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn.

v

Footer Page 9 of 128.


Header Page 10 of 128.

Các kí hiệu và chữ viết tắt
R

Tập số thực

∅

Tập rỗng

H

Không gian Hillbert thực

x, y

Tích vô hướng của hai véc tơ x, y

x

Chuẩn của véc tơ x

A∩B

Giao của 2 tập A và B

A∪B

Hợp của 2 tập A và B

A×B

Tích Descartes của A và B

A+B

Tổng của hai tập A và B

T :C→H

Ánh xạ T từ tập C ⊂ H vào H

F ix(T )

Tập các điểm bất động của ánh xạ T

domf

Miền xác định hữu hiệu của hàm f
domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}

∇f (x∗ )

Vecto Gradient của hàm f tại x∗

∇2 f (x∗ )

Ma trận Hessen của hàm f tại x∗

(EP )

Bài toán cân bằng

(AuxEP )

Bài toán cân bằng phụ

Sol(C, f )

Tập nghiệm của bài toán cân bằng

[a, b]

Đoạn thẳng nối hai điểm a, b ∈ H, tức
[a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, 0 ≤ λ ≤ 1}

vi

Footer Page 10 of 128.


Header Page 11 of 128.

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản và kết quả
chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàm
lồi, phép chiếu, bài toán qui hoạch lồi,. . . Điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng
một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng được đề cập
trong nội dung của chương này. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu
[1], [2], [5], [9].

1.1
1.1.1

Một số kiến thức cơ bản
Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1. X là không gian định chuẩn trên trường K tức là đối với mỗi x ∈ X
xác định một số không âm x , gọi là chuẩn của x thoả mãn các điều kiện sau:
• x ≥ 0 ∀x ∈ X;

x = 0 ⇔ x = 0.
• λx = |λ| x

∀λ ∈ K, ∀x ∈ X.

• x+y ≤ x + y

∀x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.2. Không gian X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X
đều là dãy hội tụ (tức là, nếu {xn }∞
n=1 là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x0 ∈ X mà
xn → x0 (n → ∞)).
Định nghĩa 1.3. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn (X, . ) là không gian đầy
đủ thì (X, . ) được gọi là không gian Banach.

1

Footer Page 11 of 128.


Header Page 12 of 128.
Định nghĩa 1.4. Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực được gọi là
không gian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số x, y gọi là tích vô hướng
của x và y thoả mãn các điều kiện
• Xác định dương: x, x ≥ 0 với ∀x ∈ X;
x, x = 0 ⇐⇒ x = 0.
• Đối xứng: x, y = y, x với ∀x, y ∈ X.
• Song hàm tuyến tính: αx + βy, z = α x, z + β y, z với ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.5. (Không gian Hilbert)

Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ.
Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Schwarz) Cho không gian Hilbert H, với bất kì
x, y ∈ H ta có
| x, y | ≤ x

y .

Chứng minh.
Hiển nhiên, bất đẳng thức đúng với x = 0, hoặc y = 0.
Với x = 0, y = 0, ta có
tx + y, tx + y ≥ 0 t ∈ R.
Do đó
x

2 2

t + 2t x, y + y

2

≥ 0 t ∈ R.

Vì x = 0 nên x > 0. Suy ra
( x, y )2 − x

2

y

2

≤ 0.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Định lý 1.2. (Đẳng thức hình bình hành) Cho không gian Hilbert H, với bất kì
x, y ∈ H ta có
x+y

2

+ x−y

2

=2 x

2

+2 y

2

Chứng minh. Với bất kì x, y ∈ H, ta có
x+y

2

= x + y, x + y = x

2

+ x, y + y, x + y 2 ,

x+y

2

= x − y, x − y = x

2

− x, y − y, x + y 2 .

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được đẳng thức hình bình hành.

2

Footer Page 12 of 128.


Header Page 13 of 128.
Định lý 1.3. Trong không gian Hilbert H, cho dãy {xn }. Giả sử lim xn = x0 . Khi
n→∞

đó, với mọi y ∈ H, y = x0 , ta có
lim inf xn − x0 < lim inf xn − y .
n→∞

n→∞

Chứng minh.
Theo đẳng thức hình bình hành ta có
2 xn − x0

2

+ 2 x0 − y

2

= xn − y

2

2

+ xn − x0 − (x0 − y)2 .

Do đó
2 xn − x0

2

+ 2 x0 − y

2

2

+ 2 xn − x0 ; x0 − y = xn − y

= xn − y

2

+ x0 − y

2

+ xn − x0

2

− 2 xn − x0 ; x0 − y ,

hay
x0 − y

2

− xn − x0

2

= ( xn − y − xn − x0 ) ( xn − y + xn − x0 ) .

Do xn → x0 nên tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta có
xn − y

2

− xn − x0

2

> 0.

Đặt M = Sup { xn − y + xn − x0 }. Khi đó ta có
n∈Y

xn − y

2

+ 2 xn − x0 ; x0 − y ≤ M ( xn − y − xn − x0 ) ∀n ≥ n0 .

Vì vậy, xn − y

2

≤ M ( xn − y − xn − x0 ) với mọi n ≥ n0 .

Bất đẳng thức này kéo theo
x0 − y

2

≤ M lim inf xn − y − M lim inf xn − x0 .
n→∞

n→∞

Vì x0 = y nên x0 − y > 0. Do đó lim inf xn − x0 < lim inf xn − y .
n→∞

1.1.2

n→∞

Tập lồi

Cho hai điểm x, y ∈ H. Đoạn thẳng nối x và y là tập các điểm có dạng
z = λx + (1 − λ)y = y + λ(x − y), 0 ≤ λ ≤ 1.
3

Footer Page 13 of 128.


Header Page 14 of 128.
Đường thẳng qua x và y là tập các điểm có dạng
z = λx + (1 − λ)y, λ ∈ R.
Tập C ⊆ H được gọi là tập afin (Hay đa tạp afin) nếu C chứa trọn cả đường thẳng đi
qua hai điểm bất kỳ của C, nghĩa là
∀x, y ∈ C, λ ∈ R : z = λx + (1 − λ)y ∈ C.
Bao afin(afin hull) của C ⊆ H là giao của tất cả các tập afin chứ C và được kí hiệu là
af f C. Đó là tập afin nhỏ nhất chứa C. Ví dụ bao afin của hình cầu
C = x ∈ R3 : x ≤ 1
là cả không gian R3 .
Định nghĩa 1.6. Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi (convex set) nếu C chứa trọn đoạn

thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó, tức là
λx + (1 − λ)y ∈ C

∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1.

Tập lồi đóng kín với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổ
hợp tuyến tính, tức nếu A và B là hai tập lồi trong H thì các tập sau cũng là tập lồi:
A ∩ B = {x : x ∈ A, x ∈ B} ;
αA + βB = {x : αa + βb, a ∈ A, b ∈ B} .
1.1.3

Phép chiếu

Định nghĩa 1.7. Cho H không gian Hilbert thực với tích vô hướng ., . và chuẩn . .
Cho C là tập con lồi đóng trong H. Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử x¯ ∈ C
sao cho x¯ gần x nhất theo chuẩn . trong không gian H
Phần tử x¯ gọi là hình chiếu của x lên C, kí hiệu PC (x).
Khi đó ta gọi ánh xạ
PC : H → C
x → x = PC (x)
là phép chiếu của x lên tập C.
Với mỗi x ∈ H, ta gọi dC (x) =

1
2

x − PC (x) là khoảng cách từ x đến C. Dễ thấy nếu

x ∈ C thì dC (x) = 0 và PC (x) = {x}.

4

Footer Page 14 of 128.


Header Page 15 of 128.
Từ định nghĩa ta thấy hình chiếu PC (x) của x lên tập C chính là nghiệm duy nhất
của bài toán tối ưu:
1
y − x 2 : y ∈ C }.
2
Do đó, việc tìm hình chiếu PC (x) có thể đưa về việc tìm cực tiểu hàm toàn phương
min{

trên tập lồi.
Mệnh đề dưới đây chỉ ra một số tính chất cơ bản của phép chiếu.
Mệnh đề 1.1. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H.
Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) Với mọi x ∈ H, x¯ = PC (x) tồn tại và duy nhất;
(ii) Với mọi x ∈ H, x¯ = PC (x) khi và chỉ khi
y − x¯, x¯ − x ≥ 0 ∀y ∈ C;
(iii) PC là đồng bức (Co-Coercive), tức
PC (x) − PC (y), x − y ≥ PC (x) − PC (y)

2

∀x, y ∈ H;

(iv) PC là ánh xạ không giãn (Non-expansive), nghĩa là
PC (x) − PC (y) ≤ x − y

∀x, y ∈ H;

Do đó PC là hàm liên tục Lipschitz trên H;
2

PC (x) − y

(vi)

PC (x) − PC (y)

1.2

Bài toán qui hoạch lồi

1.2.1

≤ x−y

2

(v)

2

− PC (x) − x

≤ x−y

2

2

∀y ∈ C, ∀x ∈ H;

− PC (x) − x + y − PC (y)

2

∀x, y ∈ H.

Hàm lồi

Định nghĩa 1.8. Cho C là tập lồi, khác rỗng trong không gian Rn và hàm số f : C →
R ∪ {+∞}. Ta gọi f là
(i) Hàm lồi (Convex function) trên C nếu mọi x1 , x2 ∈ C và với mọi t ∈ [0, 1] ta có
f [(tx1 + (1 − t)x2 )] ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 );
(ii) Hàm lồi chặt (Strictly convex function) trên C nếu ∀x1 , x2 ∈ C,
x1 = x2 và với mọi t ∈ (0, 1) ta có
5

Footer Page 15 of 128.


Header Page 16 of 128.
f [(tx1 + (1 − t)x2 )] < tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 );
(iii) Hàm lồi mạnh (Strongly convex function) trên C với hệ số η > 0, nếu với mọi
x1 , x2 ∈ C và với mọi t ∈ (0, 1) ta có
1

f [(tx1 + (1 − t)x2 )] ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) − ηt(1 − t) x1 − x2 2 ;
2
(iv) Hàm lõm (Concave function) trên C nếu −f là hàm lồi trên C;
(v) Hàm lõm chặt (Strictly concave function) nếu −f là hàm lồi chặt trên C;
(vi) Hàm lồi chính thường nếu f là hàm lồi, domf = ∅ và
f (x) > −∞, ∀x.
Các định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để nhận biết hàm lồi, lồi chặt.
Định lý 1.4. Cho f là khả vi trên tập lồi mở C ⊆ Rn . Khi đó, f là hàm lồi trên C
khi và chỉ khi
f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x

∀x, y ∈ C.

Định lý 1.5. Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở C ⊆ Rn . Khi đó:
i) Hàm f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi ma trận Hesse ∇2 f (x∗ ) là nửa xác định
dương trên C, nghĩa là với mỗi x ∈ C, ta có
y T ∇2 f (x)y ≥ 0 ∀y ∈ Rn .
ii) Hàm f là hàm lồi chặt trên C nếu ma trận Hesse ∇2 f (x) là xác định dương trên
C, nghĩa là với mỗi x ∈ C, ta có
y T ∇2 f (x)y > 0 ∀y ∈ Rn \ {0} .
1.2.2

Dưới vi phân của hàm lồi

Cho hàm lồi chính thường f trên Rn . Véc tơ p được gọi là dưới gradient của f tại
điểm x0 nếu
p, x − x0 + f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ Rn .
Tập tất cả các dưới gradient của hàm f tại điểm x0 được gọi là dưới vi phân của hàm f
tại điểm x0 , kí hiệu ∂f (x0 ). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0 ) = ∅.
Tập ∂f (x0 ) thường chứa nhiều phần tử. Trong trường hợp hàm lồi f khả vi thì ∂f (x0 )

chứa duy nhất một phần tử.
Định lý 1.6. Mọi hàm lồi chính thường f trên Rn có dưới vi phân không rỗng tại mỗi
điểm x0 ∈ int(domf).
6

Footer Page 16 of 128.


Header Page 17 of 128.
1.2.3

Cực trị của hàm lồi

Cho C ⊆ Rn là một tập khác rỗng. Bài toán tối ưu có dạng:
min {f (x) : x ∈ C}

(1.1)

trong đó C là tập chấp nhận được (hay tập ràng buộc), f : C → R là hàm mục tiêu.
Mỗi véc tơ x → C được gọi là phương án chấp nhận được (gọi tắt là một phương án).
Phương án x∗ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục (nghiệm tối ưu) nếu
f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ C.
Phương án x∗ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục chặt nếu
f (x∗ ) < f (x) ∀x ∈ C, x = x∗ .
Phương án x∗ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận U
của x∗ sao cho
f (x∗ ) < f (x) ∀x ∈ U ∩ C.
Phương án x∗ ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu địa phương chặt nếu tồn tại một lần cận
U của x∗ sao cho
f (x∗ ) < f (x) ∀x ∈ U ∩ C, x = x∗ .

Nếu C = Rn , ta nói bài toán (1.1) là bài toán tối ưu không ràng buộc.
Chú ý 1.1. Nghiệm tối ưu toàn cục cũng là nghiệm tối ưu địa phương, nhưng điều
ngược lại không đúng và
max {f (x) : x ∈ C} = − min {−f (x) : x ∈ C} .
Nếu C là tập lồi khác rỗng và f : C → R là hàm lồi thì bài toán (1.1) là bài toán quy
hoạch lồi và được kí hiệu
min {f (x), x ∈ C}

(CP )

Mệnh đề sau cho ta kết quả đặc trưng của bài toán quy hoạch lồi (CP ).
Mệnh đề 1.2. Xét bài toán qui hoạch lồi (CP ). Khi đó các phát biểu sau là đúng:
i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của bài toán (CP ) đều là cực tiểu toàn cục.
ii) Tập nghiệm của bài toán (CP ) là tập lồi trong Rn .
iii) Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu của bài toán (CP ), nếu tồn tại là duy nhất.
Định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ về sự tồn tại nghiệm tối ưu của bài toán
qui hoạch lồi (CP ).
7

Footer Page 17 of 128.


Header Page 18 of 128.
Định lý 1.7. Xét bài toán qui hoạch lồi (CP ). Điểm x∗ ∈ C là nghiệm tối ưu của bài
toán qui hoạch lồi (CP ) khi và chỉ khi tồn tại p ∈ ∂f (x∗ ) sao cho
p, x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.
Hệ quả 1.1. Cho hàm lồi f : Rn → [−∞; +∞] và một tập lồi khác rỗng
C ⊂ int (domf). Khi đó
x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ C} ⇔ 0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ),
trong đó Arg min {f (x) : x ∈ C} là tập nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi (CP ).

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh: 0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ) khi và chỉ khi tồn tại
p ∈ ∂f (x∗ ) sao cho p, x − x∗ ≥ 0.
Thật vậy, ta có
0 ∈ ∂f (x∗ ) + NC (x∗ ) ⇔ ∂f (x∗ ) ∩ (−NC (x∗ )) = ∅.
Suy ra
−p, x − x∗ ≤ 0 ∀x ∈ C.
Hay
p, x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

Hệ quả 1.2. Cho hàm lồi f : Rn → [−∞; +∞] , một tập lồi khác rỗng C ⊂ int (domf)
và điểm x∗ ∈ intC. Khi đó
x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ C} ⇔ 0 ∈ ∂f (x∗ ).
Chứng minh. Vì x∗ ∈ intC nên NC (x∗ ) = {0}. Áp dụng Hệ quả 1.1 suy ra điều phải
chứng minh.

Nhận xét 1.1. Nếu f là hàm khả vi thì ∂f (x∗ ) = {∇f (x∗ )}. Khi đó ta nhận được kết
quả sau
x∗ ∈ intC và x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ C} ⇔ ∇f (x∗ ) = 0.
Đặc biệt
x∗ ∈ Arg min {f (x) : x ∈ Rn } ⇔ ∇f (x∗ ) = 0.

8

Footer Page 18 of 128.


Header Page 19 of 128.
Hệ quả 1.3. Cho f là hàm lồi khả vi trên tập mở chứa tập lồi C ⊂ Rn . Điểm x∗ ∈ C
là điểm cực tiểu toàn cục của bài toán quy hoạch lồi (CP ) khi và chỉ khi
∇f (x∗ ), x − x∗ ≥ 0 ∀x ∈ C.

Chứng minh. Vì hàm f khả vi nên ∂f (x∗ ) = {∇f (x∗ )}. Áp dụng Định lý 1.7 , ta suy
ra điều phải chứng minh.

1.3

Ánh xạ co

Định nghĩa 1.9. Cho C là tập con của không gian Hilbert H. Ánh xạ T : C → H
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số thực r ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ C, ta có
Tx − Ty ≤ r x − y .
Định lý 1.8. (Nguyên lý điểm bất động của ánh xạ co) Cho không gian Hilbert H và
ánh xạ f : H → H. Nếu f là ánh xạ co thì f có duy nhất điểm bất động, tức tồn tại
duy nhất x0 ∈ H để f (x0 ) = x0 .
Chứng minh.
ε
Với mọi ε > 0, tồn tại δ = (r = 0), sao cho x − y ≤ δ. Khi đó, ta có
r
f (x) − f (y) ≤ r x − y < ε ∀ x, y ∈ H.
Suy ra f : H → H là hàm liên tục.
Với bất kì x ∈ H, đặt
x1 = f (x)
x2 = f (x1 ) = f 2 (x)
..
.
xn = f (xn−1 ) = f n (x).
Khi đó
xn+1 − xn = f (xn ) − f (xn−1 )
≤ r xn − xn−1 = r f (xn−1 ) − f (xn−2 )
≤ r2 xn−1 − xn−2 ...
≤ r n x1 − x .

9

Footer Page 19 of 128.


Header Page 20 of 128.
Với bất kì m, n ∈ N; m > n ta có
xm − xn ≤ xm − xm−1 + xm−1 − xm−2 + ... + xm+1 − xn
≤ rm−1 x1 − x + rm−2 x1 − x + ... + rn x1 − x
= (rm−1 + rm−2 + ... + rn ) x1 − x
≤

rn
x1 − x .
1−r

Theo giả thuyết, 0 ≤ r < 1 nên {xn } là dãy Cauchy trong không gian Hilber H, vì vậy
tồn tại x0 ∈ X sao cho x0 = lim xn
n→∞

Vì f : H → H là hàm liên tục nên
f (x0 ) = f

lim xn = lim xn+1 = x0

n→∞

n→∞

điều này chứng tỏ f : H → H có điểm bất động x0 ∈ H.
Giả sử f : H → H có điểm bất động y0 ∈ H ta có
x0 − y0 = f (x0 ) − f (y0 ) ≤ r x0 − y0
Vì 0 ≤ r < 1 nên x0 − y0 = 0hay x0 = y0 , tức f có duy nhất điểm bất động x0 ∈ H.

1.4

Ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.10. Cho C là tập con của không gian Hilbert H. Ánh xạ T : C → H
thỏa mãn
Tx − Ty ≤ x − y

với mọi x, y ∈ C

được gọi là ánh xạ không giãn.
Trong năm 1965 xuất hiện ba định lý điểm bất động, trong đó hai định lý của
Browder và của Gohde được chứng minh độc lập nhưng kết quả trùng nhau, còn định
lý của Kirk mở rộng một phần cơ bản của hai định lý trên. Trong mục này chúng ta
chứng minh định lý của Kirk rồi sau đó suy ra định lý của Browder và Gohde.
Định lý 1.9. (Kirk). Cho C là một tập lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong
không gian định chuẩn X và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T có điểm
bất động trong C.
Chứng minh.
Đặt
F = {L ⊂ C : L lồi, đóng khác rỗng, T (L) ⊂ L}.
10

Footer Page 20 of 128.

Header Page 21 of 128.
Rõ ràng, C ∈ F nên F = ∅. Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, C) trở thành tập
hợp được sắp thứ tự bộ phận.
Đặt σ = {Lα }, với Lα ∈ F và lồng nhau. Khi đó

Lα = ∅. Vì C compact yếu và
α

Lα ) ⊂

T(
α

Lα nên
α

Lα là cận dưới của σ. Theo bổ đề Zorn, F chứa một phần tử
α

cực tiểu H.
Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử d = diamH > 0.
Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho
r = sup { z − x : x ∈ H} < d.
Vậy tập hợp D = {z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} = ∅, trong đó B(z, r) là hình cầu đóng tâm z
bán kính r. Lấy z bất kỳ trong D, do T là không giãn, ta có T (H) ⊂ B(T z, r), Vì vậy
coT (H) ⊂ B(T z, r), trong đó co ký hiệu là bao lồi, đóng của một tập hợp. Vì coT (H)
là một tập hợp lồi, đóng trong C và C compact yếu nên coT (H) cũng compact yếu.
Hơn nữa coT (H) ⊂ coH = H nên
T (coT (H)) ⊂ T (H) ⊂ coT (H).

Vậy coT (H) ∈ F . Vì coT (H) ⊂ H và H là cực tiểu nên coT (H) = H. Do đó ta có
H ⊂ B(T z, r). Suy ra T z ∈ D. Mà z là bất kỳ trong D nên T (D) ⊂ D.
Ta sẽ chứng tỏ D lồi, đóng. Thật vậy, giả sử z1 , z2 ∈ D và
z = αz1 + (1 − α)z2
với α ∈ [0, 1]. Khi đó, với mọi x ∈ H ta có x − zi ≤ r, i = 1, 2. Suy ra x − z ≤ r
với mọi x ∈ H. Do đó z ∈ D, hay D là tập lồi.
Nếu zn ∈ D và zn → z thì do x − zn ≤ r với mọi x ∈ H nên suy ra x − z ≤ r với
mọi x ∈ H. Suy ra z ∈ D, tức D là tập đóng.
Như vậy D ⊂ C là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với T , nên D ∈ F . Vì D ⊂ H
và H là cực tiểu nên D = H. Khi đó với mọi u, v ∈ D = H, ta có u − v ≤ r. Do đó
d = diamH = diamD ≤ r < d. Mâu thuẫn này chứng tỏ H chỉ có một điểm tức là
H = {x∗ }.
Vì H bất biến đối với T nên T x∗ = x∗ . Định lý đã được chứng minh.

Định lý 1.10. (Browder-Gohde). Cho C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không
gian lồi đều X và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó tập hợp các điểm bất
động của T là lồi, đóng khác rỗng.
Chứng minh.
11

Footer Page 21 of 128.


Header Page 22 of 128.
Vì X lồi đều nên X là không gian phản xạ. Do đó C là compact yếu và có cấu trúc
chuẩn tắc. Vậy theo Định lý Kirk, T có tập các điểm bất động là tập F ix(T ) = ∅.
Ngoài ra, do T liên tục, nên F ix(T ) là tập đóng.
Ta chỉ còn phải chứng minh tính lồi của tập hợp F ix(T ).
Thật vậy, giả sử u, v ∈ F ix(T ), tức u = T u, v = T v. Đặt m = λu + (1 − λ)v với
λ ∈ [0, 1]. Khi đó u − m = (1 − λ)(u − v) và v − m = λ(v − u). Vì T là ánh xạ không

giãn nên ta có
u − Tm + Tm − v ≤ u − m + m − v = u − v .
Do u − v = (u − T m) + (T m − v) nên
u − v ≤ u − Tm + Tm − v .
Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được
u − v = u − Tm + Tm − v .
Đặt x = u − T m, y = T m − v. Ta có x + y = x + y .
Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt, nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại α > 0 để cho
u − T m = α(T m − v). Do đó, ta có
Tm =

1
1
u+
v = βu + (1 − β)v,
1+α
1+α

1
.
1+α
Ta sẽ chứng minh rằng β = λ. Thật vậy, nếu β > λ, thì ta ta có
với β =

Tv − Tm = v − Tm = β u − v > λ u − v = v − m .
Bât đẳng thức này mâu thuẫn với tính không giãn của T .
Hoàn toàn tương tự, nếu β < λ thì ta cũng gặp mâu thuẫn
Tv − Tm > u − m .
Vậy β = λ nên T m = m. Suy ra m ∈ F ix(T ), hay F ix(T ) là tập lồi và định lý đã được
chứng minh.

Định lý sau cho ta đặc trưng về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không
gian Hilbert.
Định lý 1.11. Cho C là tập con lồi, đóng, không rỗng trong không gian Hilbert H và
ánh xạ không giãn T : C → C. Khi đó các mệnh đề sau tương đương
12

Footer Page 22 of 128.


Header Page 23 of 128.
(i) Tập F ix(T ) các điểm bất động của ánh xạ T là khác rỗng.
(ii) Với mọi x ∈ C dãy {T n x} bị chặn.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) :
Do F ix(T ) = ∅ nên tồn tại u ∈ F ix(T ) để u = T (u). Điều này kéo theo {T n u} = {u},
tức ta có b).
(ii) ⇒ (i) :
Do T không dãn nên với mọi x ∈ C và bất kì y ∈ C, ta có
0 ≤ T kx − y

2

− T k+1 x − T y

2

= T kx − T y + T y − y

2

2

− T k+1 x − T y .

Bất đẳng thức này kéo theo
0 ≤ T kx − T y
Đặt Sn x =
0≤

2

− T k+1 x − T y

2

+ Ty − y

2

+ 2 T k x − T y; T y − y .

1 n−1 k
T x. Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
n k=0
1
x − Ty
n

2

+ 2(Sn x − T y; T y − y) + T y − y

2

−

1 n
T x − T y 2.
n

Do {T n x} bị chặn nên {Sn x} bị chặn.

Hệ quả 1.4. Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng, bị chặn trong không gian Hilbert
H và ánh xạ T : C → C không giãn. Khi đó T có một điểm bất động trong C.
Nhận xét 1.2. Trong khi việc chỉ ra sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ không giãn
đòi hỏi những điều kiện ngặt nghèo trên miền xác định của ánh xạ, thì việc chỉ ra sự
tồn tại điểm bất động "xấp xỉ" tức là với mọi ε > 0 tồn tại xε sao cho T xε − xε < ε,
lại đòi hỏi những điều kiện rất tự nhiên. Cụ thể, ánh xạ không giãn trên một tập hợp
lồi, đóng, bị chặn luôn có điểm bất động xấp xỉ. Định lý sau chứng tỏ khẳng định này.
Định lý 1.12. (Định lí hội tụ của Browder) Cho C là tập con lồi, đóng khác
rỗng, bị chặn trong không gian Hilbert H và T : C → C là ánh xạ không giãn. Giả sử
x0 là điểm tuỳ ý trong C và ánh xạ Tn : C → C xác định bởi
Tn x =

1−

1
n

Tx +

1
x0 , ∀x ∈ C, n = 1; 2; 3...
n

Khi đó, ta có
(i) Tn : C → C có duy nhất điểm bất động un ∈ C
13

Footer Page 23 of 128.


Header Page 24 of 128.
(ii) Dãy {un } hội tụ mạnh đến PF ix(T ) x0 , với PF ix(T ) : C → F ix(T ) là phép chiếu
metric trên F ix(T ).
Chứng minh.
(i) Do T là ánh xạ không giãn, nên với x ∈ C; n = 1, 2, 3..., ta có
Tn x − Tn y =

1−

1
n

Tx − Ty ≤

1−

1
n

x−y .

Bất đẳng thức này chứng tỏ Tn : C → C là ánh xạ co. Nên Tn có duy nhất điểm bất
động un ∈ C.
(ii) Để chứng minh un → P x0 . Ta sẽ chứng minh rằng: nếu {uni } là dãy con bất kì
của dãy {un } thì {uni } có một dãy con hội tụ về u0 = P x0 ∈ F ix(T ).
Đặt vi = uni . Vì C là tập compact và vi ∈ C, nên không mất tính tổng quát ta giả sử
vi → v. Do (vi − T vi ) → 0 khi i → ∞, nên theo Định lý 1.3, ta có
lim inf vi − v < lim inf vi − T v = lim inf vi − T vi + T vi − v

n→∞

n→∞

n→∞

< lim inf T vi − T v ≤ lim inf vi − v .
n→∞

n→∞

Điều này là vô lí nên T v = v.
Tiếp theo, ta chứng minh vi → u0 = P x0 .
Thật vậy, với mọi i, vi là điểm bất động của Tni nên ta có
vi = Tni vi =

1−

1

ni

T vi +

1
1
1
x0 hay vi + 1 −
ni
ni
ni

(T vi − vi ) =

1
x0 .
ni

Măt khác u0 = PF ix(T ) x0 ∈ F ix(T ) nên u0 = T u0 , hay u0 − T u0 = 0. Do đó
1
1
u0 + 1 −
ni
ni

(T u0 − u0 ) =

1
u0 .
ni

Trừ từng vế hai đẳng thức trên ta được
1
1
1
(vi − u0 ) + 1 −
(U vi − U u0 ) =
(x0 − u0 ) với U = T − I.
ni
ni
ni
Đẳng thức này kéo theo
1
1
vi − u0 ; vi − u0 + 1 −
ni
ni

vi − U u0 ; vi − u0 =

1
x0 − u0 ; vi − u0 .
ni

Vi T là ánh xạ không giãn nên vi − U u0 ; vi − u0 ≥ 0. Do đó
1
1
1
vi − u0 2 ≤
x0 − u0 ; vi − u0 =

x0 − u0 ; v − u0 + x0 − u0 ; vi − v .
ni
ni
ni
Mà u0 = PF ix(T ) x0 nên
x0 −u0 ; v −u0 = x0 −PF ix(T ) x0 ; v −PF ix(T ) x0 = − x0 −PF ix(T ) x0 ; PF ix(T ) x0 −v ≤ 0.
Khi đó ta được, vi − u0

2

≤ x0 − u0 ; vi − v .

Theo trên, vi → v nên vi → u0 hay vi → PF ix(T ) x0 .

14

Footer Page 24 of 128.


Header Page 25 of 128.

Kết luận chương
Sau khi nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi như không
gian Hilbert, tập lồi, phép chiếu,... Phần còn lại của chương này trình bày:
- Ánh xạ không giãn;
- Một số kết quả cơ bản về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn.

15

Footer Page 25 of 128.